Просмотр кода страницы Теорема Минковского о многогранниках

'''Теорема Минковского о многогранниках''' — общее название двух теорем о существовании и единственности замкнутого [[выпуклое множество|выпуклого]] [[многогранник]]а с заданными направлениями и площадями граней.

{{рамка}}
'''Теорема единственности Минковского:''' Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) площади соответствующих граней одинаковы, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они [[конгруэнтность|конгруэнтны]]).
{{конец рамки}}

Несложно доказать, что если <math>{\mathbf n}_1, \dots, {\mathbf n}_k</math> — единичные векторы внешних нормалей к граням выпуклого многогранника и <math>S_1,\dots,S_k</math> — площади соответствующих граней, то <math>S_1{\mathbf n}_1+\ldots+S_k{\mathbf n}_k={\mathbf 0}</math>. Следующая теорема показывает, что указанное условие является единственным, связывающим площади граней и нормали к ним:

{{рамка}}
'''Теорема существования Минковского:''' Если <math>{\mathbf n}_1,\dots, {\mathbf n}_k</math> — произвольные единичные векторы, не все направленные в одно полупространство, и
<math>S_1,\dots,S_k</math> — произвольные положительные числа, причём <math>S_1{\mathbf n}_1+\ldots+S_k{\mathbf n}_k={\mathbf 0}</math>, то существует выпуклый многогранник, для которого векторы <math>{\mathbf n}_1,\dots,{\mathbf n}_k</math> (и только они) являются векторами внешних единичных нормалей к граням, а числа <math>S_1,\dots,S_k</math> являются площадями граней.
{{конец рамки}}

== Комментарии ==
* Обе теоремы доказаны [[Минковский, Герман|Германом Минковским]] в [[1897 год]]у<ref>[[Минковский, Герман|H. Minkowski]], [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=52793 ''Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder'']{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}. — Gött. Nachr., 198—219 (1897). Русский перевод: Г. Минковский, [http://mi.mathnet.ru/rus/umn/y1936/i2/p55 ''Общие теоремы о выпуклых многогранниках''], Успехи мат. наук, вып. '''2''', 55—71 (1936).</ref>. Они понадобились ему для создания математических основ [[кристаллография|кристаллографии]]<ref>[[Александров, Александр Данилович|А. Д. Александров]], [[Делоне, Борис Николаевич|Б. Н. Делоне]], Н. Н. Падуров, ''Математические основы структурного анализа кристаллов и определение основного параллелепипеда повторяемости при помощи рентгеновских лучей''. — {{М.}}; {{Л.}}: Гостехиздат, 1934.</ref>.
* Обе теоремы Минковского верны во всех евклидовых пространствах размерности 2 и выше<ref>[[Александров, Александр Данилович|А. Д. Александров]], ''Выпуклые многогранники''. — {{М.}}; {{Л.}}: ГИТТЛ, 1950.</ref><ref>[[Люстерник Лазарь Аронович|Л. А. Люстерник]], ''Выпуклые фигуры и многогранники''. — {{М.}}: ГИТТЛ, 1956.</ref>.
* Теоремы обобщаются на случай произвольных выпуклых поверхностей, см. [[Задача Минковского]]
* При некоторых ограничениях подобные теоремы верны и для невыпуклых многогранников<ref>V. Alexandrov, [https://link.springer.com/article/10.1007/s10711-004-4090-3 ''Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons''] {{Wayback|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s10711-004-4090-3 |date=20181001142627 }}, [[Geometriae Dedicata|Geom. Dedicata]] '''107''', 169—186 (2004). DOI 10.1007/s10711-004-4090-3.</ref>.
* В трёхмерном пространстве обобщением теоремы единственности Минковского служит [[теорема Александрова о выпуклых многогранниках]], утверждающая, что «Если у двух выпуклых многогранников все пары параллельных граней таковы, что ни одну грань нельзя поместить внутри другой параллельным перенесением, то такие многогранники равны и параллельно расположены».
* Одним из следствий является '''теорема Александрова — Шепарда — Макмюллена''' о том, что выпуклый многогранник с центрально-симметричными гранями сам является центрально-симметричным.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{многогранники|nocat=1}}

[[Категория:Комбинаторная геометрия]]
[[Категория:Выпуклая геометрия]]
[[Категория:Герман Минковский]]
[[Категория:Теоремы о многогранниках]]
[[Категория:Теоремы евклидовой геометрии|М]]