Просмотр кода страницы Теорема Мура о факторпространстве

'''Теорема Мура о факторпространстве''' — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что [[факторпространство]] сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Доказана [[Мур, Роберт Ли|Робертом Муром]] в [[1925 год в науке|1925 году]].

== Формулировки ==

Пусть <math>f\colon \mathbb{S}^2\to X</math> — [[Сюръекция|сюръективное]] непрерывное отображение двумерной сферы <math>\mathbb{S}^2</math> на [[хаусдорфово пространство]] <math>X</math>.
Предположим, что для любой точки <math>x\in X</math> прообраз <math>f^{-1}\{x\}</math>, а также его дополнение <math>\mathbb{S}^2\backslash f^{-1}\{x\}</math> [[связное пространство|связны]].
Тогда <math>X</math> гомеоморфно <math>\mathbb{S}^2</math>, более того отображение <math>f\colon \mathbb{S}^2\to X</math> есть предел [[гомеоморфизм]]ов <math>f_n\colon \mathbb{S}^2\to X</math>.

=== Замечания ===
Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке [[отношение эквивалентности|отношения эквивалентности]] на <math>\mathbb{S}^2</math>. Отображение <math>f\colon \mathbb{S}^2\to X</math> задаёт отношение эквивалентности <math>\sim</math> на <math>\mathbb{S}^2</math>, определяемое как 
:<math>x\sim y \iff f(x)=f(y).</math>
Классы эквивалентности <math>[x]=\{\,y\in\mathbb{S}^2 \mid x\sim y\,\}</math> образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. 
То есть, если <math>x_n\to x</math>, <math>y_n\to y</math> и <math>x_n\sim y_n</math> для любого <math>n</math>, тогда <math>x\sim y</math>.

* Если <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>\mathbb{S}^2</math> с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого <math>x</math> множества <math>[x]</math> и <math>\mathbb{S}^2\backslash [x]</math> [[связное пространство|связны]], то фактор пространство <math>\mathbb{S}^2/\sim</math> гомеоморфно <math>\mathbb{S}^2</math>.

== Вариации и обобщения ==
В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция <math>f\colon M\to X</math> из многообразия <math>M</math> на [[хаусдорфово пространство]] <math>X</math> должна быть ''клеточной''. Это означает, что для любой точки <math>x\in X</math> и любого открытого множества <math>U</math>, содержащего прообраз <math>f^{-1}\{x\}</math>, можно найти замкнутое множество <math>B</math>, гомеоморфное шару, такое что <math>f^{-1}\{x\}\subset B\subset U</math>.

== Литература ==
* {{статья|автор=R. L. Moore|заглавие=Concerning upper-semicontinuous collections of continua|ссылка=|язык=en|издание=Trans. Amer. Math. Soc.|год=1925|том=25|номер=|страницы=416–428|doi=|issn=}}
* {{книга|автор=Daverman, Robert J.|заглавие=Decompositions of manifolds|год=1986|серия=Pure and Applied Mathematics, 124|ссылка=https://archive.org/details/decompositionsof0000dave|место=Orlando, FL|издательство=Academic Press, Inc.|тираж=|страниц=xii+317|isbn=978-0-8218-4372-7}}

[[Категория:Маломерная топология]]
[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Теоремы топологии]]