Просмотр кода страницы Теорема Нётер

{{ЛП|Вторая теорема Нётер}}
[[Файл:Noether_theorem_1st_page.png|мини| Первая страница статьи [[Нётер, Эмми|Эмми Нётер]] «Invariante Variationsprobleme» (1918 г.), где она доказала теорему, названную её именем.]]
'''Теоре́ма Нётер''' или '''первая теорема Нётер''' утверждает, что каждой [[Дифференцируемая функция|дифференцируемой]] [[Симметрия (физика)|симметрии]] [[Действие (физическая величина)|действия]] для физической системы с [[Консервативные силы|консервативными силами]] соответствует [[Законы сохранения|закон сохранения]]<ref>This is sometimes referred to as Noether’s {{Em|first}} theorem, see [[Вторая теорема Нётер|Noether’s second theorem]].</ref>. Теорема была доказана математиком [[Нётер, Эмми|Эмми Нётер]] в 1915 году и опубликована в 1918 году<ref>{{Cite journal|author=Noether|first=E.|year=1918|title=Invariante Variationsprobleme|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|volume=1918|pages=235–257|url=https://eudml.org/doc/59024|access-date=2023-07-23|archive-date=2019-08-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20190805073333/https://eudml.org/doc/59024|url-status=live}}</ref>. Действие для физической системы представляет собой [[Интеграл|интеграл по времени]] функции [[Лагранжева механика|Лагранжа]], из которого можно определить поведение системы согласно [[Принцип наименьшего действия|принципу наименьшего действия]]. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над [[Пространство в физике|физическим пространством]].

Теорема Нётер используется в [[Теоретическая физика|теоретической физике]] и [[Вариационное исчисление|вариационном исчислении]]. Она раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения, что заставило современных физиков-теоретиков гораздо больше сосредоточиться на симметриях физических систем. Обобщение формулировок о [[Интегралы движения|константах движения]] в лагранжевой и [[Гамильтонова механика|гамильтоновой механике]] (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно) не применимо к системам, которые нельзя смоделировать с помощью одного лагранжиана (например, к системам с [[Диссипативная функция|диссипативной функцией Рэлея]]). В частности, [[Диссипация энергии|диссипативные]] системы с [[Непрерывная симметрия|непрерывными симметриями]] могут не обладать соответствующим законом сохранения.

== Общие сведения ==
{{Симметрия в физике}}
В качестве иллюстрации, если физическая система ведёт себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве (то есть она [[Инвариант (математика)|инвариантна]]), её [[Лагранжева механика|лагранжиан]] симметричен относительно непрерывного вращения: из этой симметрии по теореме Нётер следует, что [[Момент импульса|угловой момент]] системы сохраняется, как следствие его законов движения<ref name=":0">{{Cite book|автор=José|first=Jorge V.|author2=Saletan|first2=Eugene J.|заглавие=Classical Dynamics: A Contemporary Approach|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/857769535|место=Cambridge [England]|издательство=Cambridge University Press|date=1998|pages=126—127|isbn=978-1-139-64890-5}}</ref>. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зубчатый астероид, кувыркающийся в космосе, сохраняет момент импульса, несмотря на свою асимметрию. Именно законы его движения симметричны.

В качестве другого примера, если физический процесс приводит к одним и тем же результатам независимо от места или времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют [[законы сохранения]] [[импульс]]а и [[Энергия|энергии]] в пределах этой системы соответственно<ref>{{Cite book|автор=Hand|first=Louis N.|author2=Finch|first2=Janet D.|заглавие=Analytical Mechanics|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/37903527|место=Cambridge|издательство=Cambridge University Press|date=1998|page=23|isbn=0-521-57327-0}}</ref> <ref>{{Cite book|автор=Thornton|first=Stephen T.|author2=Marion|first2=Jerry B.|заглавие=Classical dynamics of particles and systems.|издание=5th|место=Boston, MA|издательство=Brooks/Cole, Cengage Learning|date=2004|page=261|isbn=978-0-534-40896-1}}</ref>. 

Теорема Нётер важна потому, что она даёт представление о законах сохранения и как практический вычислительный инструмент. Она позволяет определять сохраняющиеся величины (инварианты) из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, она позволяет рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы<ref name=":0"></ref>. Например, если в предлагаемой физической теории сохраняется величина ''X'', то можно вычислить типы лагранжианов, в которых сохраняется ''X'' в согласии с какой-то непрерывной симметрии. Благодаря теореме Нётер свойства этих лагранжианов дают дополнительные критерии для понимания следствий, что позволяет оценить пригодность новой теории. Теорема Нётер настолько сильно включена в структуру квантовой теории поля, что:<blockquote>«… любые результаты, которые, кажется, нарушают эту теорему, могут быть немедленно объявлены как скрытую ошибку вычислений»<ref>{{Cite journal|author=Danos|first=Michael|date=1997-02-12|title=Ward-Takahashi Identities and Noether's Theorem in Quantum Field Theory|url=https://arxiv.org/pdf/hep-th/9702096.pdf|journal=[[Foundations of Physics]]|publisher=[[Springer Science and Business Media]]|volume=27|issue=7|arxiv=hep-th/9702096|doi=10.1007/bf02551149|quote="Consequently, any results seeming to break that theorem can immediately be declared as hiding a calculational error. "|access-date=2023-07-23|archive-date=2023-12-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20231202125323/http://arxiv.org/pdf/hep-th/9702096.pdf|url-status=live}}</ref>

что позволяет ей выступать в качестве математической модели для многих современных исследований в области физики.</blockquote>Существует множество версий теоремы Нётер с разной степенью общности. Аналоги этой теоремы, естественно распространяются на квантовый случай, где называются тождествами Уорда — Такахаши. Существуют также обобщения теоремы Нётер на [[Суперпространство|суперпространства]]<ref>{{Cite journal|last1=De Azcárraga|first1=J.a.|last2=Lukierski|first2=J.|last3=Vindel|first3=P.|date=1986-07-01|title=Superfields and canonical methods in superspace|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217732386000385|journal=Modern Physics Letters A|volume=01|issue=4|pages=293–302|doi=10.1142/S0217732386000385|bibcode=1986MPLA....1..293D|issn=0217-7323|access-date=2023-07-23|archive-date=2022-09-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20220922044206/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217732386000385|url-status=live}}</ref>.

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной [[симметрия (физика)|симметрии]] физической системы соответствует некоторый [[закон сохранения]]:
* однородности [[Время|времени]] соответствует [[закон сохранения энергии]],
* однородности [[Пространство в физике|пространства]] соответствует [[закон сохранения импульса]],
* [[Изотропия|изотропии]] пространства соответствует [[закон сохранения момента импульса]],
* [[Калибровочная симметрия|калибровочной симметрии]] соответствует [[Закон сохранения заряда|закон сохранения электрического заряда]] и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих [[функционал]]ом [[Действие (физическая величина)|действия]], и выражает собой [[Инвариант (физика)|инвариантность]] [[лагранжиан]]а по отношению к некоторой [[Группа Ли|непрерывной группе]] преобразований.

Если [[Принцип наименьшего действия|действие]] инвариантно относительно [[Параметрическая группа|n-параметрической непрерывной группы]] преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует [[достаточное условие]] существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны)<ref>''В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин'' Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. — М., Наука, 1988. — с. 168</ref>. Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохранения<ref>''[[Ибрагимов, Наиль Хайруллович|Ибрагимов Н. Х.]]'' Группы преобразований в математической физике. — М., Наука, 1983. — с. 229</ref>.

== Неформальная формулировка теоремы ==
Помимо всех технических моментов, теорему Нётер можно сформулировать простым языком:{{Blockquote|Если система обладает непрерывной симметрией, то существуют соответствующие величины, значения которых сохраняются во времени.<ref>{{cite book |author=Thompson, W.J. |title=Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=0-471-55264-X |volume=1 |page=5 |url=https://books.google.com/books?id=O25fXV4z0B0C&pg=PA5}}</ref>}}Более сложная версия теоремы с привлечением полей утверждает, что:{{Blockquote|Каждой дифференцируемой [[Симметрия (физика)|симметрии]], порожденной локальными действиями, соответствует [[сохраняющийся ток]].}}Слово «симметрия» в приведённом выше утверждении относится более точно к [[Принцип общей ковариантности|ковариантности]] формы, которую физический закон принимает по отношению к одномерной [[Группа Ли|группе Ли]] преобразований, удовлетворяющих определёнными техническими критериями. [[Законы сохранения|Закон сохранения]] [[Физическая величина (метрология)|физической величины]] обычно выражается в виде [[Уравнение непрерывности|уравнения непрерывности]].

Формальное доказательство теоремы использует условие инвариантности для получения выражения для тока, связанного с сохраняющейся физической величиной. В современной (начиная с 1980 года<ref>The term «Noether charge» occurs in Seligman, ''Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City'', American Institute of Physics, 1981. It entered wider use during the 1980s, e.g. by G. Takeda in: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) ''From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne’eman'', 1985, p. 196.</ref>) терминологии сохраняющаяся величина называется ''нётеровским зарядом'', а поток, несущий этот заряд, называется ''нётеровским током''. Ток Нётер определяется [[Вплоть до|с точностью до]] [[Соленоидальное векторное поле|соленоидального]] (бездивергентного) векторного поля.

В контексте теории гравитации формулировка теоремы Нётер [[Клейн, Феликс|Феликсом Клейном]] для действия ''I'' предусматривает инварианты<ref>Nina Byers (1998) [http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.asg/noether.html «E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws»] {{Wayback|url=http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.asg/noether.html |date=20120222073524 }}. In Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, held on 2-4 December 1996, at the Bar-Ilan University, Israel, Appendix B.</ref>:
{{Blockquote|Если интеграл I инвариантен относительно непрерывной группы ''G''<sub>''ρ''</sub> с ''ρ'' параметрами, то ''ρ'' линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений обращаются в дивергенции.}}

== Краткая иллюстрация и обзор концепции ==
[[Файл:Noether_theorem_scheme.png|мини| График, иллюстрирующий теорему Нётер о координатной симметрии.]]
Основную идею теоремы Нётер проще всего проиллюстрировать на примере системы с одной координатой <math>q</math> и непрерывной симметрией <math> \varphi: q \mapsto q + \delta q </math> (серые стрелки на схеме). Рассмотрим любую траекторию <math>q(t)</math> (выделено жирным шрифтом на диаграмме), которая удовлетворяет [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|законам движения]] системы. То есть [[Действие (физическая величина)|действие]] <math>S</math> этой системой [[стационарная точка|стационарно]] на этой траектории, то есть не изменяется ни при каком локальном [[Вариационное исчисление|изменении]] траектории. В частности, оно не изменится при варианте, в котором применяется поток симметрии <math>\varphi</math> на временном промежутке [t<sub>0</sub>, t<sub>1</sub>] и неподвижен вне его. Чтобы траектория оставалась непрерывной, мы используем «буферные» промежутки с малым временем <math>\tau</math> плавный переход между сегментами.

Полное изменение действия <math>S</math> теперь включает изменения, внесённые каждым рассмотренным интервалом. Части, где исчезает сама вариация, не вносят вклад в изменение <math>\Delta S</math>. Средняя часть также не меняет действия, потому что её трансформация <math>\varphi</math> является симметрией и, таким образом, сохраняет лагранжиан <math>L</math> и действие <math display="inline"> S = \int L </math>. Единственные оставшиеся части — это «буферные» части. Грубо говоря, они вносят свой вклад в основном за счёт своей «косой» <math>\dot{q}\rightarrow \dot{q}\pm \delta q / \tau</math> .

Это меняет лагранжиан на <math>\Delta L \approx \bigl(\partial L/\partial \dot{q}\bigr)\Delta \dot{q} </math>, который интегрируется<math display="block">\Delta S =
 \int \Delta L \approx \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\Delta \dot{q} \approx
 \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\left(\pm \frac{\delta q}{\tau}\right) \approx
 \ \pm\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q =
  \pm\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \varphi\,.
</math>Эти последние условия, оцениваемые вокруг конечных точек <math>t_0</math> и <math>t_1</math>, должны компенсировать друг друга, чтобы сделать полное изменение в действии <math>\Delta S</math> равным нулю, как и следовало ожидать, если траектория является решением. То есть<math display="block">
 \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \varphi\right)(t_0) =
 \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \varphi\right)(t_1)\,,
</math>что означает величина <math>\left(\partial L /\partial \dot{q}\right)\varphi</math> сохраняется, что является выводом теоремы Нётер. Например, если чистые трансляции <math>q</math> на постоянную являются симметрией, то сохраняющаяся величина становится просто каноническим импульсом <math>\left(\partial L/\partial \dot{q}\right) = p</math>.

Более общие случаи следуют той же идее:

{{Маркированный список|Когда больше координат <math>q_r</math> претерпевает преобразование симметрии <math>q_r \mapsto q_r + \varphi_r</math>, их эффекты складываются по линейности в сохраняющуюся величину <math display="inline">\sum_r \left(\partial L/\partial \dot{q}_r\right)\varphi_r</math>.|Когда есть преобразования времени <math>t \mapsto t + T</math>, они заставляют «буферизирующие» сегменты вносить два следующих члена в <math>\Delta S</math>:
<math display="block">\Delta S \approx
   \pm \left(TL + \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r}\Delta \dot{q}_r\right) \approx
   \pm T \left(L - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r}\dot{q}_r\right),
</math>
первый член обусловлен растяжением во временном измерении «буферного» отрезка (что меняет размер области интегрирования), а второй — его «накосом», как и в образцовом случае. Вместе они добавляют слагаемое <math display="inline">T \left(L - \sum_r \left(\partial L/\partial \dot{q}_r\right)\dot{q}_r\right)</math> к сохраненному количеству.|Наконец, когда вместо траектории <math>q(t)</math> рассматриваются целые поля <math>\psi(q_r,t)</math>, аргумент заменяется
* интервал <math>[t_0,t_1]</math> с ограниченной областью <math>U</math> области <math>(q_r,t)</math>,
* конечные точки <math>t_0</math> и <math>t_1</math> с границей <math>\partial U</math> области,
* и его вклад в <math>\Delta S</math> интерпретируется как поток [[сохраняющегося тока]] <math>j_r</math>, построенный способом, аналогичным предыдущему определению сохраняемое количество.

Теперь нулевой вклад «буферизации» <math>\partial U</math> в <math>\Delta S</math> интерпретируется как обращение в нуль общего потока текущего <math>j_r</math> через <math>\partial U</math>. В этом смысле оно сохраняется: сколько «втекает», столько же и «вытекает».}}

== Исторический контекст ==
[[Законы сохранения|Закон сохранения]] гласит, что некоторая величина ''X'' в математическом описании эволюции системы остаётся постоянной на протяжении всего её движения — это [[Инвариант (физика)|инвариант]]. Математически скорость изменения ''X'' (её [[Производная функции|производная]] по [[Время|времени]]) равна нулю,

: <math>\frac{dX}{dt} = \dot{X} = 0 \,.</math>

Такие величины называются сохраняющимися; их часто называют [[Интегралы движения|константами движения]] (хотя движение ''само по себе'' не обязательно должно происходить, просто эволюционировать во времени). Например, если энергия системы сохраняется, её энергия всегда остаётся неизменной, что накладывает ограничение на движение системы и может помочь в нахождении решении. Помимо понимания, которое такие константы движения дают в природе системы, они являются полезным вычислительным инструментом; например, приближённое решение можно исправить, найдя ближайшее состояние, удовлетворяющее подходящим законам сохранения.

Самыми ранними открытыми константами движения были [[импульс]] и [[кинетическая энергия]], которые были предложены в XVII веке [[Декарт, Рене|Рене Декартом]] и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфридом Лейбницем]] на основе экспериментов [[Удар|по столкновению]] твёрдых тел и уточнены последующими исследователями. [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] был первым, кто сформулировал закон сохранения импульса в его современной форме и показал, что он следует из [[Законы Ньютона|третьего закона Ньютона]]. Согласно [[Общая теория относительности|общей теории относительности]], законы сохранения импульса, энергии и углового момента верны только в глобальном масштабе, если они выражены в терминах суммы [[Тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] и [[Псевдотензор напряжение-энергия-импульс|псевдотензора энергии-импульса Ландау — Лифшица]]. Локальное сохранение негравитационного линейного импульса и энергии в свободнопадающей системе отсчёта выражается обращением в нуль ковариантной [[Дивергенция|дивергенции]] [[Тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]]. Другой важной сохраняющейся величиной, открытой при исследованиях [[Небесная механика|небесной механики]], является [[Вектор Лапласа — Рунге — Ленца|вектор Лапласа — Рунге — Ленца]].

В конце XVIII — начале XIX веков физики разработали более систематические методы открытия инвариантов. Большой прогресс произошёл в 1788 году с развитием [[Лагранжева механика|лагранжевой механики]], связанной с [[Принцип наименьшего действия|принципом наименьшего действия]]. При этом подходе состояние системы можно описать любым набором [[Обобщённые координаты|обобщённых координат]] '''q'''; законы движения не обязательно выражать в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]], как это было принято в ньютоновской механике. [[Действие (физическая величина)|Действие]] определяется как интеграл по времени ''I'' функции, известной как [[Лагранжева механика|лагранжиан]] ''L''

: <math>I = \int L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) \, dt \,,</math>

где точка над '''q''' означает скорость изменения координат '''q''',

: <math>\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} \,.</math>

[[Принцип наименьшего принуждения|Принцип Гамильтона]] утверждает, что физическая траектория '''q'''(''t'') — фактически выбранная системой — это путь, для которого бесконечно малые изменения этого пути не вызывают изменения интеграла ''I'', по крайней мере, в первом порядке. Этот принцип приводит к [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|уравнениям Эйлера — Лагранжа]],

: <math>\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}\,.</math>

Таким образом, если одна из координат, скажем, ''q<sub>k</sub>'', не входит в лагранжиан, правая часть уравнения равна нулю, а левая часть требует, чтобы

: <math>\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) = \frac{dp_k}{dt} = 0\,,</math>

где импульс

: <math> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </math>

сохраняется на протяжении всего движения (на физической траектории).

Таким образом, отсутствие '''игнорируемой''' координаты ''q<sub>k</sub>'' в лагранжиане означает, что на лагранжиан не влияют изменения или преобразования ''q<sub>k</sub>''; лагранжиан инвариантен и, как говорят, проявляет [[Симметрия (физика)|симметрию]] относительно таких преобразований. Это исходная идея, обобщённая в теореме Нётер.

Несколько альтернативных методов нахождения сохраняющихся величин были разработаны в 19 веке. [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильямо Роуэн Гамильтон]] разработал теорию [[Каноническое преобразование|канонических преобразований]], которая позволяла изменять координаты так, чтобы некоторые координаты исчезали из лагранжиана, как указано выше, что приводило к сохранению канонических импульсов. Другим подходом, и, возможно, наиболее эффективным для нахождения сохраняющихся величин, является [[Уравнение Гамильтона — Якоби|уравнение Гамильтона — Якоби]].

== Формулировка ==

=== Первая теорема Нётер ===
Если интеграл действия <math>S</math> инвариантен по отношению к некоторой <math>r</math>-параметрической конечной группе Ли <math>G_r</math>, то <math>r</math> линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность <math>S</math> по
отношению к некоторой группе <math>G_r</math><ref name="Neter">''[[Нётер, Эмми|Эмми Нётер]]'' Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики / под ред. Полак Л. С. — М., Физматлит, 1959. — с. 613—614</ref>.

В теоретической физике выражения, стоящие под знаком дивергенций, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю (выполняются уравнения Эйлера), то дивергенции токов обращаются в нуль. Следствием этого являются дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения типа закона сохранения электрического заряда или закона сохранения энергии
получаются при интегрировании дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной 3-мерной гиперповерхности при определённых граничных условиях<ref name="Kon">''[[Коноплёва, Нелли Павловна|Коноплёва Н. П.]], [[Попов, Виктор Николаевич (физик)|Попов В. Н.]]'' Калибровочные поля. — М., Атомиздат, 1980. — c. 56, 69, 70</ref>.

=== Первая обратная теорема Нётер ===
Если <math>r</math> линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции, то интеграл действия инвариантен относительно <math>r</math>-параметрической конечной группы Ли<ref name="Kon"></ref>.

=== Вторая теорема Нётер ===
Обобщением первой теоремы Нётер для случая функционалов, инвариантных относительно произвольных бесконечных групп Ли <math>G_{\infty r}</math>, является вторая теорема Нётер<ref>{{Citation  |last=Noether  |first=Emmy  |year=1918  |title=Invariante Variationsprobleme  |url=https://de.wikisource.org/wiki/Invariante_Variationsprobleme  |journal=Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse  |volume=1918  |pages=235–257  |access-date=2023-07-23  |archive-date=2022-03-16  |archive-url=https://web.archive.org/web/20220316210132/https://de.wikisource.org/wiki/Invariante_Variationsprobleme  |url-status=dead  }}
:Translated in {{cite journal  |last1=Noether  |first1=Emmy  |year=1971  |title=Invariant variation problems |journal=[[Transport Theory and Statistical Physics]]  |volume=1  |issue=3  |pages=186–207  |arxiv=physics/0503066  |bibcode=1971TTSP....1..186N  |doi=10.1080/00411457108231446|s2cid=119019843 }}</ref>.

Если интеграл действия <math>S</math> инвариантен по отношению к некоторой <math>r</math>-параметрической бесконечной группе Ли <math>G_{\infty r}</math>, в которой встречаются производные до <math>k</math>-го порядка включительно, то имеет место <math>r</math> тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до <math>k</math>-го порядка. Обратное тоже верно.<ref name="Neter"></ref>

=== Вторая обратная теорема Нётер ===
Если имеет место <math>r</math> тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до <math>k</math>-го порядка включительно, то интеграл действия инвариантен относительно бесконечной группы Ли <math>G_{\infty r}</math>, преобразования которой содержат производные до <math>k</math>-го порядка<ref name="Kon"></ref>.

=== Классическая механика ===
Каждой однопараметрической группе [[диффеоморфизм]]ов <math>g^s(q_i)</math>, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует [[первый интеграл]] системы, равный
: <math>I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\Bigg|_{s=0}</math>

В терминах инфинитезимальных преобразований: пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид
: <math>g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)</math>
и функция Лагранжа <math>L(q,\; \dot q,\; t)</math> инвариантна относительно этих преобразований, то есть
: <math>\frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q,\; t),\; t) = 0</math> при <math>s=0.</math>
Тогда у системы существует первый интеграл, равный
: <math>I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.</math>

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра <math>\tau</math>, причем в процессе движения <math>t=\tau</math>. Тогда из преобразований
: <math>g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),</math>
: <math>g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q,\; t),</math>
следует первый интеграл
: <math>I = \xi L + \left( \vec \psi - \xi \dot {\vec q};\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right).</math>

=== Теория поля ===
Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом [[Степени свободы (физика)|степеней свободы]], примером которых являются [[Гравитационное поле|гравитационное]] и [[Электромагнитное поле|электромагнитное]] поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от <math>n</math> потенциалов, зависящих в свою очередь от <math>k</math> координат. Функционал действия будет иметь вид
: <math>S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k.</math>
Пусть однопараметрическая группа <math>g^s</math> диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа; тогда сохраняется вектор
: <math>J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},</math>
называемый '''вектором потока Нётер'''. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование: <math>\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}</math>.
Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что
: <math>\ \partial_\mu J^\mu = 0,</math>
поэтому поток <math>J</math> через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую ''временем'', и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток <math>J</math> через такую гиперплоскость постоянен во времени при условии достаточно быстрого спадания поля на бесконечности и [[компактность|некомпактности]] гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, [[тензор энергии-импульса]] для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

=== Дифференциальные уравнения ===
Пусть имеется [[вариационная задача]] с функционалом действия <math>S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x</math>. Здесь <math>L</math> — [[лагранжиан]], <math>x</math> — независимые переменные, <math>u</math> — зависимые переменные, то есть функции от <math>x</math>. <math>L</math> может зависеть также и от производных <math>u</math> по <math>x</math>, не обязательно первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к [[дифференциальные уравнения|дифференциальным уравнениям]] Эйлера — Лагранжа, которые можно записать в виде

: <math>\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q,</math>

где <math>\mathrm{E}</math> — операторы Эйлера — Лагранжа:

: <math>\mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots,</math>

<math>u^{\alpha}_{x_i}</math> — производная функции <math>u^{\alpha}</math> по переменной <math>x_i</math>. Многоточие означает, что если <math>L</math> зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в <math>\mathrm{E}</math>.
В компактной записи
: <math>\mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}</math>,
где <math>J</math> — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем таким слагаемым, что производная <math>u^{\alpha}_J</math> входит в <math>L</math>.

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала <math>S</math> с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера — Лагранжа.

==== Законы сохранения ====
Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

: <math>\mathrm{Div} \vec P =0,</math>

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Здесь <math>\mathrm{Div}</math> — полная [[дивергенция]] (дивергенция с [[полная производная|полными производными]]) по <math>x</math>. <math>\vec P</math> — гладкие функции <math>u</math>, <math>x</math> и производных <math>u</math> по <math>x</math>.

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

* для которых <math>\mathrm{Div} \vec P =0</math> само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
* или для которых <math>\vec P</math> обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
* или для которых <math>\vec P</math> есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями <math>\vec P</math> и <math>\vec R</math> разность <math>\vec P - \vec R</math> даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

: <math>\mathrm{Div} \vec P =\vec Q\cdot \vec \Delta,</math>

где <math>\Delta</math> — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: <math>\vec \Delta=0</math>. Для описываемого случая <math>\Delta_\alpha=E_\alpha (L)</math> и

: <math>\mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L).</math>

<math>Q_\alpha</math> зависят от <math>u</math>, <math>x</math> и производных <math>u</math> по <math>x</math> и называются характеристиками закона сохранения.

==== Вариационные симметрии ====
Пусть имеется обобщённое векторное поле

: <math>\vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}.</math>

«Обобщённое» понимается в том смысле, что <math>\xi</math> и <math>\varphi</math> могут зависеть не только от <math>u</math> и <math>x</math>, но и от производных <math>u</math> по <math>x</math>.

'''Определение:''' <math>\vec v</math> называется вариационной симметрией функционала <math>S</math>, если существует такой набор функций <math>\vec{\mathrm{B}}(\vec u, \vec x,\dots )</math>, что

: <math>\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div}\, \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec{\mathrm{B}}.</math>

<math>\mathrm{pr}\, \vec v</math> — продолжение <math>\vec v</math>. Продолжение учитывает, что действие <math>\vec v</math> на <math>u</math> и <math>x</math> вызывает также инфинитезимальное изменение производных, и задаётся формулами

: <math>\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr).</math>

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме <math>\vec v</math>, слагаемые с такими <math>\partial /\partial u^\alpha_J</math>, для которых <math>u^\alpha_J</math> входят в <math>L</math> или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что <math>\vec v</math> — это инфинитезимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал <math>S</math> таким образом, что уравнения Эйлера — Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

'''теорема''': если <math>\vec v</math> является вариационной симметрией, то <math>\vec v</math> является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера — Лагранжа:

: <math> \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\mathrm{E}_\alpha (L)=0}=0.</math>

Эта формула означает, что инфинитезимальные изменения выражений <math>\mathrm{E}_\alpha (L)</math>, записанные здесь в виде <math>\mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L)</math>, обращаются в 0 на решениях.

==== Характеристики векторных полей ====
Набор функций <math>Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i</math> (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля <math>\vec v</math>. Вместо <math>\vec v</math> можно брать векторное поле

: <math>\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha},</math>

которое называется эволюционным представителем <math>\vec v</math>.

<math>\vec v</math> и <math>\vec v_Q</math> определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики <math>Q_\alpha</math>, можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение <math>\vec v_Q</math> определяется аналогично продолжению <math>\vec v</math>, но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от <math>\xi</math>.

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

==== Теорема Нётер ====
Обобщённое векторное поле <math>\vec v</math> определяет группу симметрий функционала <math>S</math> в том и только в том случае, если его характеристика <math>\vec Q</math> является характеристикой закона сохранения <math>\mathrm{Div} \vec P =0</math> для соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа.

== Математическая формулировка ==

=== Простая форма с использованием возмущений ===
Суть теоремы Нётер состоит в обобщении понятия ''циклических координат''.

Можно считать, что определённый выше лагранжиан ''L'' инвариантен относительно малых возмущений (деформаций) временной переменной ''t'' и [[Обобщённые координаты|обобщённых координат]] '''q'''. Можно написать

: <math>\begin{align}
      t &\rightarrow t^{\prime} = t + \delta t \,, \\
 \mathbf{q} &\rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta  \mathbf{q} \,,
\end{align}</math>

где допустимы малые переменные возмущения ''δt'' и ''δ'''''q'''. Для общности предположим, что имеется, скажем, ''N'' таких [[Симметрия (физика)|преобразований симметрии]] действия, то есть преобразований, оставляющих действие неизменным; помеченные индексом ''r'' «=» 1, 2, 3, . . ., ''N''.

Тогда получившееся возмущение можно записать в виде линейной суммы возмущений отдельных типов:

: <math>\begin{align}
      \delta t &= \sum_r \varepsilon_r T_r \,, \\
 \delta \mathbf{q} &= \sum_r \varepsilon_r \mathbf{Q}_r \,,
\end{align}</math>

где ''ε'' <sub>''r''</sub> — [[Бесконечно малая и бесконечно большая|инфинитезимальные]] коэффициенты параметров, соответствующие каждому:

* [[Группа Ли|генератору]] ''T<sub>r</sub>'' [[Эволюция времени|временной эволюции]], и
* [[Группа Ли|генератору]] '''Q'''<sub>''r''</sub> обобщённых координат.

Для трансляций '''Q'''<sub>''r''</sub> является константой с единичной [[Длина|длиной]]; для вращений это выражение, линейное по компонентам '''q''', а параметры составляют [[угол]].

Используя эти определения, [[Нётер, Эмми|Нётер]] показала, что ''N'' величин

: <math>\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L \right) T_r - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r</math>

сохраняются то есть являются [[Интегралы движения|константами движения]].

==== Примеры ====
'''I. Стационарность во времени'''

Лагранжиан, не зависящий от времени, то есть инвариантный (симметричный) относительно вариаций ''t'' → ''t'' + δ''t'' без изменения координат '''q'''. В этом случае ''Н'' = 1, ''Т'' = 1 и '''Q''' = 0; соответствующая сохраняющаяся величина есть полная [[энергия]] ''H''<ref name="energy">{{Harvard citation no brackets|Lanczos|1970|pp=401–403}}</ref>

: <math>H = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L\,. </math>

'''II.''' '''Трансляционная инвариантность'''

Лагранжиан, который не зависит от циклической координаты ''q''<sub>''k''</sub>; поэтому он инвариантен (симметричен) относительно вариаций ''q''<sub>''k''</sub> → ''q''<sub>''k''</sub> + ''δq''<sub>''k''</sub>. В таком случае ''Н'' = 1, ''Т'' = 0 и ''Q''<sub>''k''</sub> = 1; сохраняющаяся величина — это соответствующий линейный [[импульс]] ''p''<sub>''k''</sub><ref name="momentum">{{Harvard citation no brackets|Lanczos|1970|pp=403–404}}</ref>

: <math>p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\,.</math>

В [[Специальная теория относительности|специальной]] и [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] эти два закона сохранения можно выразить либо ''глобально'' (как это сделано выше), либо ''локально'' в виде уравнения непрерывности. Глобальные версии можно объединить в единый глобальный закон сохранения: сохранение 4-вектора энергии-импульса. Локальные варианты сохранения энергии и импульса (в любой точке пространства-времени) также могут быть объединены в сохраняющиеся величины, определённые ''локально'' в точке пространства-времени: [[Тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]]<ref name="stress–energy_tensor">{{Harvard citation no brackets|Goldstein|1980|pp=592–593}}</ref>.

'''III.''' '''Вращательная инвариантность'''

Сохранение [[Момент импульса|углового момента]] '''L''' = '''r''' × '''p''' аналогично его аналогу линейного импульса<ref name="angular_momentum">{{Harvard citation no brackets|Lanczos|1970|pp=404–405}}</ref>. Предполагается, что симметрия лагранжиана вращательная, то есть лагранжиан не зависит от абсолютной ориентации физической системы в пространстве. Если лагранжиан не меняется при малых поворотах на угол ''δθ'' вокруг оси '''n''', то такое вращение преобразует [[Прямоугольная система координат|декартовы координаты]] согласно уравнению

: <math>\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\theta \, \mathbf{n} \times \mathbf{r}\,.</math>

Поскольку время не преобразуется, ''T'' = 0, а ''N'' = 1. Принимая ''δθ'' как параметр ''ε'' и декартовы координаты '''r''' как обобщённые координаты '''q''', соответствующие переменные '''Q''' задаются формулой

: <math>\mathbf{Q} = \mathbf{n} \times \mathbf{r}\,.</math>

Тогда теорема Нётер утверждает, что следующая величина сохраняется:

: <math>
\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q} = 
\mathbf{p} \cdot \left( \mathbf{n} \times \mathbf{r} \right) = 
\mathbf{n} \cdot \left( \mathbf{r} \times \mathbf{p} \right) = 
\mathbf{n} \cdot \mathbf{L}\,.
</math>

Другими словами, компонента углового момента '''L''' вдоль оси '''n''' сохраняется. А если '''n''' произвольно, то есть если система нечувствительна к повороту, то каждая компонента '''L''' сохраняется, то есть [[Момент импульса|угловой момент]] сохраняется.

=== Версия теории поля ===
Хотя только что приведённая версия теоремы Нётер полезна сама по себе, она является частным случаем общей версии, полученной в 1915 году. Чтобы дать представление об общей теореме, теперь даётся версия теоремы Нётер для непрерывных полей в четырёхмерном [[Пространство-время|пространстве-времени]]. Поскольку проблемы теории поля более распространены в современной физике, чем проблемы [[Механика|механики]], эта версия теории поля является наиболее часто используемой (или наиболее часто реализуемой) версией теоремы Нётер.

Пусть имеется множество дифференцируемых [[Поле (физика)|полей]] <math>\varphi</math> определённых во всём пространстве и времени; например, температура <math>T(\mathbf{x}, t)</math> будет репрезентативным для такого поля, будучи числом, определённым в каждом месте и в любое время. К таким полям можно применить [[принцип наименьшего действия]], но теперь действие представляет собой интеграл по пространству и времени.

: <math>\mathcal{S} = \int \mathcal{L} \left(\varphi, \partial_\mu \varphi, x^\mu \right) \, d^4 x</math>

(теорему можно дополнительно обобщить на случай, когда лагранжиан зависит от до ''n''-й производной, а также можно сформулировать с использованием [[Реактивный пучок|расслоений потоков]]).

Непрерывное преобразование полей <math>\varphi</math> можно записать через [[Бесконечно малая и бесконечно большая|инфинитезимальное]] изменение

: <math>\varphi \mapsto \varphi + \varepsilon \Psi\,,</math>

где <math>\Psi</math> — функция, которая может зависеть от обоих <math>x^\mu</math> и <math>\varphi</math>. Условие для <math>\Psi</math> для создания физической симметрии заключается в том, что действие <math>\mathcal{S}</math> остается инвариантным. Это, безусловно, будет верно, если плотность лагранжиана <math>\mathcal{L}</math> остаётся инвариантным, но также будет верным, если лагранжиан изменится на какую-то дивергенцию,

: <math>\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} + \varepsilon \partial_\mu \Lambda^\mu\,,</math>

так как интеграл расходимости становится граничным членом согласно [[Формула Гаусса — Остроградского|теореме о дивергенции]]. Система, описываемая данным действием, может иметь несколько независимых симметрий этого типа, с индексами <math>r = 1, 2, \ldots, N,</math> поэтому наиболее общее преобразование симметрии будет записано как

: <math>\varphi \mapsto \varphi + \varepsilon_r \Psi_r\,,</math>

со следствием

: <math>\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} + \varepsilon_r \partial_\mu \Lambda^\mu_r\,.</math>

Для таких систем теорема Нётер утверждает, что существуют <math>N</math> сохраняющихся [[Сохраняющийся ток|плотностей тока]]

: <math>j^\nu_r = \Lambda^\nu_r - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}} \cdot \Psi_r\,,</math>

где [[скалярное произведение]] понимается как сокращение индексов ''поля'', а не <math>\nu</math> индекс или <math>r</math> индекс.

В таких случаях [[Законы сохранения|закон сохранения]] выражается в четырёхмерном виде

: <math>\partial_\nu j^\nu = 0\,,</math>

которая выражает идею о том, что количество сохраняющейся величины внутри сферы не может измениться, если некоторая её часть не вытекает из сферы. Например, для из-за сохранения [[Электрический заряд|электрического заряда]] количество заряда внутри сферы не может измениться, если часть заряда не покинет сферу.

Для иллюстрации рассмотрим физическую систему полей, которая ведёт себя так же при перемещениях во времени и пространстве, как рассмотрено выше; другими словами, <math>L \left(\boldsymbol\varphi, \partial_\mu{\boldsymbol\varphi}, x^\mu \right)</math> постоянна по третьему аргументу. В таком случае ''N'' = 4, по одному для каждого измерения пространства и времени. Бесконечно малое перемещение в пространстве, <math>x^\mu \mapsto x^\mu + \varepsilon_r \delta^\mu_r</math> (<math>\delta</math> — [[символ Кронекера]]), влияет на поля как <math>\varphi(x^\mu) \mapsto \varphi\left(x^\mu - \varepsilon_r \delta^\mu_r\right)</math>: то есть перемаркировка координат эквивалентна тому, чтобы оставить координаты на месте при перемещении самого поля, что, в свою очередь, эквивалентно преобразованию поля путём замены его значения в каждой точке <math>x^\mu</math> со значением в точке <math>x^\mu - \varepsilon X^\mu</math> «позади» его, который будет отображён на <math>x^\mu</math> рассматриваемым бесконечно малым перемещением. Поскольку оно бесконечно мало, можно записать это преобразование как

: <math>\Psi_r = -\delta^\mu_r \partial_\mu \varphi\,.</math>

Лагранжева плотность преобразуется таким же образом, <math>\mathcal{L}\left(x^\mu\right) \mapsto \mathcal{L}\left(x^\mu - \varepsilon_r \delta^\mu_r\right)</math>, так

: <math>\Lambda^\mu_r = -\delta^\mu_r \mathcal{L}</math>

и, таким образом, теорема Нётер соответствует закону сохранения [[Тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] ''T''<sub>''µ''</sub><sup>''ν''</sup><ref name="stress–energy_tensor" />, где использовалось <math>\mu</math> на месте <math>r</math>. А именно, используя выражение, данное ранее, и собирая четыре сохраняющихся тока (по одному на каждый <math>\mu</math>) в тензор <math>T</math>, теорема Нётер даёт

: <math>
 T_\mu{}^\nu =
 -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} + \delta^\sigma_\mu \partial_\sigma \varphi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}} =
 \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}}\right) \cdot \varphi_{,\mu} - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}
</math>

с

: <math>T_\mu{}^\nu{}_{,\nu} = 0</math>

(замена <math>\mu</math> как <math>\sigma</math> на промежуточном этапе). Однако <math>T</math> полученный таким образом, может отличаться от симметричного тензора, используемого в качестве исходного члена в общей теории относительности; см. [[Тензор энергии-импульса]].

Сохранение [[Электрический заряд|электрического заряда]], напротив, можно получить, рассматривая ''Ψ'' линейным по полям ''φ'', а не по производным<ref name="charge">{{Harvard citation no brackets|Goldstein|1980|pp=593–594}}</ref>. В [[Квантовая механика|квантовой механике]] [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуда вероятности]] ''ψ''('''x''') обнаружения частицы в точке '''x''' является комплексным полем ''φ'', потому что оно приписывает [[комплексное число]] каждой точке пространства и времени. Сама амплитуда вероятности физически неизмерима; только вероятность ''p'' = |''ψ''|<sup>2</sup> можно вывести из набора измерений. Следовательно, система инвариантна относительно преобразований поля ''ψ'' и его [[Сопряжённые числа|комплексно-сопряженного]] поля ''ψ''<sup>*</sup>, оставляющих |''ψ''|<sup>2</sup> без изменений, например

: <math>\psi \rightarrow e^{i\theta} \psi\ ,\ \psi^{*} \rightarrow e^{-i\theta} \psi^{*}\,,</math>

комплексное вращение. В пределе, когда фаза ''θ'' становится бесконечно малой, ''δθ'', её можно принять за малый параметр ''ε'', а ''Ψ'' равны ''iψ'' и − ''iψ''* соответственно. Конкретным примером является [[Уравнение Клейна — Гордона|уравнение Клейна — Гордона]], [[Специальная теория относительности|релятивистски инвариантная]] версия [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]] для [[Спин|бесспиновых]] частиц, имеющая плотность Лагранжа

: <math>L = \partial_{\nu}\psi \partial_{\mu}\psi^{*} \eta^{\nu \mu} + m^2 \psi \psi^{*}\,.</math>

В этом случае теорема Нётер утверждает, что сохраняющийся (∂ ⋅ ''j'' = 0) ток равен

: <math>j^\nu = i \left( \frac{\partial \psi}{\partial x^\mu} \psi^{*} - \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x^\mu} \psi \right) \eta^{\nu \mu}\,,</math>

который при умножении на заряд этого вида частиц равен плотности электрического тока, связанного с ними. Эта «калибровочная инвариантность» была впервые отмечена [[Вейль, Герман|Германом Вейлем]] и является одним из прототипов [[калибровочная теория|калибровочных симметрий]] в физике.

== Производные ==

=== Одна независимая переменная ===
Если для системы с одной независимой переменной — временем, зависимые переменные '''q''' таковы, что интеграл действия<math display="block">I = \int_{t_1}^{t_2} L [\mathbf{q} [t], \dot{\mathbf{q}} [t], t] \, dt </math>инвариантен относительно кратких бесконечно малых вариаций зависимых переменных. Другими словами, они удовлетворяют [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|уравнениям Эйлера — Лагранжа]]

: <math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} [t] = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} [t]\,.</math>

И интеграл инвариантен относительно непрерывной симметрии. Математически такая симметрия представляется как [[поток векторного поля|поток]] '''φ''', который действует на переменные следующим образом:

: <math>\begin{align}
        t &\rightarrow t' = t + \varepsilon T\,, \\
 \mathbf{q} [t] &\rightarrow \mathbf{q}' [t'] = \varphi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \varphi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon]\,,
\end{align}</math>

где ''ε'' — вещественная переменная, указывающая количество потока, а ''T'' — вещественная константа (которая может быть равна нулю), указывающая, насколько поток смещается во времени.

: <math>
\dot{\mathbf{q}} [t] \rightarrow \dot{\mathbf{q}}' [t'] = \frac{d}{dt} \varphi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T]\,.</math>

Интеграл действия изменяется согласно

: <math>
\begin{align}
I' [\varepsilon] & = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} L [\mathbf{q}'[t'], \dot{\mathbf{q}}' [t'], t'] \, dt' \\[6pt]
& = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} L [\varphi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon], \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T], t'] \, dt'\,,
\end{align}
</math>

что можно рассматривать как функцию от ''ε''. Вычисляя производную при ''ε''' = 0 и используя [[Формула Лейбница (производной интеграла с параметром)|правило Лейбница]], получится

: <math>
\begin{align}
0 = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = {} & L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \left( - \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} \right) + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( - \frac{\partial^2 \varphi}{(\partial \mathbf{q})^2} {\dot{\mathbf{q}}}^2 T + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} -
\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} T \right) \, dt\,.
\end{align}
</math>

Уравнения Эйлера — Лагранжа подразумевают

: <math>
\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T \right) 
& = \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T \\[6pt]
& = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{\partial^2 \varphi}{(\partial \mathbf{q})^2} \dot{\mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T\,.
\end{align}
</math>

Подставляя это в предыдущее уравнение, получается

: <math>
\begin{align}
0 = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = {} & L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} \, dt\,.
\end{align}
</math>

Снова используя уравнения Эйлера — Лагранжа, получается

: <math>
\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} \right) 
= \left( \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}
= \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}\,.
</math>

Подставляя это в предыдущее уравнение, получается

: <math>
\begin{align}
0 = {} & L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt]
& {} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} [t_2] - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} [t_1]\,.
\end{align}
</math>

Из чего следует, что

: <math>\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon}</math>

— постоянная движения, то есть сохраняющаяся величина. Так как φ['''q''', 0] = '''q''', то получается <math>\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} = 1</math> поэтому сохраняемая величина упрощается до

: <math>\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \dot{\mathbf{q}} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon}\,.</math>

Избегая чрезмерного усложнения формул, в этом выводе предполагалось, что поток не меняется с течением времени. Тот же результат можно получить и в более общем случае.

=== Вывод в теории поля ===
Теорему Нётер также можно вывести для тензорных полей ''φ''<sup>''A''</sup>, где индекс ''A'' варьируется по различным компонентам различных тензорных полей. Эти величины поля являются функциями, определёнными в четырёхмерном пространстве, точки которого помечены координатами ''x''<sup>µ</sup>, где индекс ''µ'' обозначает время (''µ'' «=» 0) и три пространственных измерения (''μ'' «=» 1, 2, 3). Эти четыре координаты являются независимыми переменными; а значения полей для каждого событии являются зависимыми переменными. При бесконечно малом преобразовании изменение координат записывается

: <math>x^\mu \rightarrow \xi^\mu = x^\mu + \delta x^\mu\,,</math>

тогда как преобразование полевых переменных выражается как

: <math>\varphi^A \rightarrow \alpha^A \left(\xi^\mu\right) = \varphi^A \left(x^\mu\right) + \delta \varphi^A \left(x^\mu\right)\,.</math>

По этому определению вариации поля ''δφ''<sup>''A''</sup> являются результатом двух вкладов: внутренних изменений самого поля и изменений координат, поскольку преобразованное поле ''α''<sup>''A''</sup> зависит от преобразованных координат ξ<sup>µ</sup>. Чтобы изолировать внутренние изменения, изменение поля в одной точке ''x''<sup>μ</sup> можно определить

: <math>\alpha^A \left(x^\mu\right) = \varphi^A \left(x^\mu\right) + \bar{\delta} \varphi^A \left(x^\mu\right)\,.</math>

При изменении координат изменяется и граница области пространства-времени, по которой интегрируется лагранжиан; исходная граница и её преобразованная версия обозначаются как Ω и Ω' соответственно.

Теорема Нётер начинается с предположения, что конкретное преобразование координат и полевых переменных не меняет [[Действие (физическая величина)|действия]], которое определяется как интеграл плотности лагранжиана по заданной области пространства-времени. Выраженное математически, это предположение записывают как

: <math>\int_{\Omega^\prime} L \left( \alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, \xi^\mu \right) d^4\xi - \int_{\Omega} L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) d^{4}x = 0\,,</math>

где нижний индекс после запятой указывает на частную производную по координате (координатам), которая следует за запятой, например

: <math>{\varphi^A}_{,\sigma} = \frac{\partial \varphi^A}{\partial x^\sigma}\,.</math>

Поскольку ξ является фиктивной переменной интегрирования, а изменение границы Ω по предположению бесконечно мало, два интеграла можно объединить, используя четырёхмерную версию [[Формула Гаусса — Остроградского|теоремы о дивергенции]], в следующую форму

: <math>
 \int_\Omega \left\{ 
  \left[ L \left( \alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, x^\mu \right) - 
      L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \right] +
  \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left[ L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \delta x^\sigma \right]
 \right\} d^4 x = 0
\,.</math>

Разность лагранжианов записывают в первом порядке по бесконечно малым вариациям как

: <math>
 \left[
  L \left( \alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, x^\mu \right) - 
  L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right)
 \right] = 
 \frac{\partial L}{\partial \varphi^A} \bar{\delta} \varphi^A + 
  \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} {\varphi^A}_{,\sigma}
\,.</math>

Однако, поскольку вариации определяются в той же точке, что и описанная выше, вариация и производная вычисляются в обратном порядке; они [[Коммутативность|коммутируют]]

: <math>
 \bar{\delta} {\varphi^A}_{,\sigma} = 
 \bar{\delta} \frac{\partial \varphi^A}{\partial x^\sigma} = 
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left(\bar{\delta} \varphi^A\right)
\,.</math>

Используя уравнения поля Эйлера — Лагранжа

: <math>
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left( \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \right) =
 \frac{\partial L}{\partial\varphi^A}
</math>

разницу в лагранжианах можно точно записать как

: <math>\begin{align}
   &\left[ L \left( \alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, x^\mu \right) - L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \right] \\[4pt]
 ={} &\frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left( \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \right) \bar{\delta} \varphi^A + \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} {\varphi^A}_{,\sigma}
 =  \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left( \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} \varphi^A \right)\,.
\end{align}</math>

Таким образом, изменение действия можно записать в виде

: <math>
 \int_\Omega \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left\{
  \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} \varphi^A + 
  L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \delta x^\sigma
 \right\} d^{4}x = 0
\,.</math>

Поскольку это верно для любой области Ω, то подынтегральная функция должна быть равна нулю

: <math>
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left\{
  \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} \varphi^A + 
  L \left( \varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \delta x^\sigma
 \right\} = 0
\,.</math>

Для любой комбинации различных преобразований [[Симметрия (физика)|симметрии]], возмущение можно записать

: <math>\begin{align}
  \delta x^{\mu} &= \varepsilon X^\mu \,, \\
 \delta \varphi^A &= \varepsilon \Psi^A = \bar{\delta} \varphi^A + \varepsilon \mathcal{L}_X \varphi^A \,, 
\end{align}</math>

где <math>\mathcal{L}_X \varphi^A</math> — [[производная Ли]] от φ<sup>''A''</sup> в направлении ''X''<sup>''µ''</sup>. Когда ''φ''<sup>''A''</sup> является скаляром или <math>{X^\mu}_{,\nu} = 0 </math>,

: <math>\mathcal{L}_X \varphi^A = \frac{\partial \varphi^A}{\partial x^\mu} X^\mu\,.</math>

Отсюда следует, что изменение поля, взятое в одной точке, равно

: <math>\bar{\delta} \varphi^A = \varepsilon \Psi^A - \varepsilon \mathcal{L}_X \varphi^A\,.</math>

Дифференцируя указанную выше дивергенцию по ''ε'' в точках ''ε'' = 0 и изменение знака даёт закон сохранения

: <math>\frac{\partial}{\partial x^\sigma} j^\sigma = 0\,,</math>

где сохраняющийся ток равен

: <math>
  j^\sigma = 
  \left[\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \mathcal{L}_X \varphi^A - L \, X^\sigma\right]
 - \left(\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \right) \Psi^A\,.
</math>

=== Многообразие/расслоение ===
Предположим, у нас есть ''n''-мерное ориентированное [[риманово многообразие]] ''M'' и целевое многообразие ''T.'' Пусть <math>\mathcal{C}</math> — [[конфигурационное пространство]] [[бесконечно гладкая функция|гладких функций]] из ''M'' в ''T''. (В более общем случае у нас могут быть гладкие сечения [[Локально тривиальное расслоение|расслоения]] над ''M''.)

бращиеПримеры этого ''M'' в физике включают:

* В [[Классическая механика|классической механике]] в [[Гамильтонова механика|гамильтоновой]] формулировке ''M'' — одномерное многообразие <math>\mathbb{R}</math>, представляющее время и целевое пространство, является [[Кокасательное расслоение|кокасательным расслоением]] [[Пространство в физике|пространства]] обобщённых координат.
* В [[Поле (физика)|теории поля]] ''M'' — это [[Пространство-время|пространственно-временное]] многообразие, а целевое пространство — это набор значений, которые поля могут принимать в любой заданной точке. Например, если имеется ''m'' [[Скалярное поле|скалярных полей]] [[Вещественное число|с действительными]] значениями, <math>\varphi_1,\ldots,\varphi_m</math>, то целевое многообразие равно <math>\mathbb{R}^{m}</math>. Если поле является вещественным векторным полем, то целевое многообразие [[Изоморфизм|изоморфно]] <math>\mathbb{R}^{3}</math>.

Теперь предположим, что есть [[функционал]]

: <math>\mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}\,,</math>

называемый [[Действие (физическая величина)|действием]]. Он принимает значения в <math>\mathbb{R}</math>, а не в <math>\mathbb{C}</math>; что является следствием физических причин и не имеет значения для этого доказательства.

Чтобы перейти к обычной версии теоремы Нётер, нужны дополнительные ограничения на [[Действие (физическая величина)|действие]]. Предполагается <math>\mathcal{S}[\varphi]</math> является [[интеграл]]ом на ''M'' функции

: <math>\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x)</math>

называемой [[Лагранжиан|лагранжевой плотностью]], зависящей от ''φ'', её [[Производная функции|производной]] и координаты. Другими словами, для ''φ'' в <math>\mathcal{C}</math>

: <math> \mathcal{S}[\varphi]\,=\,\int_M \mathcal{L}[\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x),x] \, d^{n}x\,.</math>

Предполагается, что заданы [[Краевая задача|граничные условия]], то есть заданы значения ''φ'' на [[Граница (топология)|границе]], если ''M'' [[Компактное пространство|компактно]], или некоторый предел ''φ'' при приближении ''x'' к бесконечности. Тогда [[Индуцированная топология|подпространство]] <math>\mathcal{C}</math> состоящее из функций ''φ'' таких, что все [[Функциональная производная|функциональные производные]] от <math>\mathcal{S}</math> при ''φ'' равны нулю, то есть:

: <math>\frac{\delta \mathcal{S}[\varphi]}{\delta \varphi(x)}\approx 0</math>

и что ''φ'' удовлетворяет заданным граничным условиям, является подпространством решений [[на оболочке]]. (См. [[Принцип наименьшего действия|принцип стационарного действия]])

Теперь предполагается, что у есть [[бесконечно малое преобразование]] на <math>\mathcal{C}</math>, порождённое [[функционал]]ьным [[Дифференцирование (алгебра)|дифференцированием]], ''Q'' такое, что

: <math>Q \left[ \int_N \mathcal{L} \, \mathrm{d}^n x \right] \approx \int_{\partial N} f^\mu [\varphi(x),\partial\varphi,\partial\partial\varphi,\ldots] \, ds_\mu </math>

для всех компактных подмногообразий ''N'' или, другими словами,

: <math>Q[\mathcal{L}(x)]\approx\partial_\mu f^\mu(x)</math>

для всех ''x'', где

: <math>\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}[\varphi(x), \partial_\mu \varphi(x),x]\,.</math>

Если это выполняется [[на оболочке]] и [[вне оболочки]], то говорится, ''что Q'' порождает симметрию вне оболочки. Если это выполняется только [[на оболочке]], мы говорится'', что Q'' порождает симметрию на оболочке. Тогда говорят, ''что Q'' является генератором [[Однопараметрическая группа|однопараметрической]] [[Группа Ли|группы Ли]] [[Симметрия|симметрии]].

Теперь для любого ''N'' по теореме [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|Эйлера — Лагранжа]] на оболочке (и только на оболочке) выполняется

: <math>
\begin{align}
Q\left[\int_N \mathcal{L} \, \mathrm{d}^nx \right]
& =\int_N \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi} - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)} \right]Q[\varphi] \, \mathrm{d}^nx + \int_{\partial N} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}Q[\varphi] \, \mathrm{d}s_\mu \\
& \approx\int_{\partial N} f^\mu \, \mathrm{d}s_\mu\,.
\end{align}
</math>

Поскольку это верно для любого ''N'', то

: <math>\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}Q[\varphi]-f^\mu\right]\approx 0\,.</math>

Но это [[уравнение непрерывности]] для тока <math>J^\mu</math> определяется<ref name="Peskin">{{Cite book|автор=Michael E. Peskin|author2=Daniel V. Schroeder|заглавие=An Introduction to Quantum Field Theory|ссылка=https://books.google.com/books?id=i35LALN0GosC&q=weinberg+%22symmetry+%22&pg=PA689|издательство=Basic Books|год=1995|pages=18|isbn=0-201-50397-2}}</ref>:

: <math>J^\mu\,=\,\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}Q[\varphi]-f^\mu\,,</math>

который называется '''нётеровским током''', связанным с [[Симметрия|симметрией]]. Уравнение непрерывности говорит нам, что если этот ток [[Интеграл|проинтегрировать]] по [[Пространство-время|пространственно-подобному]] срезу, получится [[Законы сохранения|сохраняющаяся величина]], называемая нётеровским зарядом (при условии, конечно, что если ''M'' некомпактно, то токи достаточно быстро убывают на бесконечности).

=== Комментарии ===
Теорема Нётер — это теорема [[На оболочке|об оболочке]]: она основана на использовании уравнений движения — классического пути. Она отражает связь между граничными условиями и вариационным принципом. Если в действии нет граничных членов, из теоремы Нётер следует, что

: <math>\int_{\partial N} J^\mu ds_{\mu} \approx 0\,.</math>

Квантовые аналоги теоремы Нётер, включающие математические ожидания (например, <math display="inline">\left\langle\int d^{4}x~\partial \cdot \textbf{J} \right\rangle = 0</math>), также измеряющие величины [[вне оболочки]], являются [[Личность Уорда – Такахаши|тождествами Уорда — Такахаши]].

=== Обобщение на алгебры Ли ===
Предположим, что есть две симметрии ''Q''<sub>1</sub> и ''Q''<sub>2</sub>. Тогда [''Q''<sub>1</sub>, ''Q''<sub>2</sub>] также является симметрией. Это можно проверить явно<math display="block">Q_1[\mathcal{L}]\approx \partial_\mu f_1^\mu</math>и<math display="block">Q_2[\mathcal{L}]\approx \partial_\mu f_2^\mu\,.</math>Затем,<math display="block">[Q_1,Q_2][\mathcal{L}] = Q_1[Q_2[\mathcal{L}]]-Q_2[Q_1[\mathcal{L}]]\approx\partial_\mu f_{12}^\mu\,,</math>где''f''<sub>12</sub> = ''Q''<sub>1</sub>[''f''<sub>2</sub><sup>''μ''</sup>] − ''Q''<sub>2</sub>[''f''<sub>1</sub><sup>''μ''</sup>]. Так,<math display="block">j_{12}^\mu = \left(\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varphi)} \mathcal{L}\right)(Q_1[Q_2[\varphi]] - Q_2[Q_1[\varphi]])-f_{12}^\mu
\,.</math>Это показывает, как можно естественным образом распространить теорему Нётер на большие алгебры Ли.

=== Обобщение доказательства ===
Это относится к ''любому'' выводу локальной симметрии ''Q'', удовлетворяющему ''QS'' ≈ 0, а также к более общим локальным функциональным дифференцируемым действиям, в том числе таким, где лагранжиан зависит от высших производных полей. Пусть ''ε'' — произвольная гладкая функция пространственно-временного (или временного) многообразия такая, что замыкание её носителя не пересекается с краем. ''ε'' является [[Тестовая функция|тестовой функцией]] . Тогда из-за вариационного принципа (который, кстати, ''не'' применяется к границе), распределение дифференцирования q, порождённое ''q''[''ε''][Φ(''x'')] = ''ε''(''x'')''Q''[Φ(''x'')] удовлетворяет условию ''q''[''ε''][''S''] ≈ 0 за каждый ''ε'' или, более компактно, ''q''(''x'')[''S''] ≈ 0 для всех ''x'' не на границе (но помните, что ''q'' (''x'') является сокращением для ''распределения'' вывода, а не вывода, параметризованного ''x'' вообще). Это обобщение теоремы Нётер.

Чтобы увидеть, как это обобщение связано с приведённой выше версией, предположим, что действие представляет собой пространственно-временной интеграл лагранжиана, который зависит только от φ и его первых производных. Кроме того, предположим

: <math>Q[\mathcal{L}]\approx\partial_\mu f^\mu</math>

Затем,

: <math>
\begin{align}
q[\varepsilon][\mathcal{S}] & = \int q[\varepsilon][\mathcal{L}] d^{n} x \\[6pt]
& = \int \left\{ \left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\mathcal{L}\right) \varepsilon Q[\varphi]+ \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \varphi)}\mathcal{L}\right]\partial_\mu(\varepsilon Q[\varphi]) \right\} d^{n} x \\[6pt]
& = \int \left\{ \varepsilon Q[\mathcal{L}] + \partial_{\mu}\varepsilon \left[\frac{\partial}{\partial \left( \partial_\mu \varphi\right)} \mathcal{L} \right] Q[\varphi] \right\} \, d^{n} x \\[6pt]
& \approx \int \varepsilon \partial_\mu \left\{f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varphi)}\mathcal{L}\right]Q[\varphi]\right\} \, d^{n} x
\end{align}
</math>

для всех <math>\varepsilon</math> .

В более общем случае, если лагранжиан зависит от высших производных, то выполняется

: <math>
 \partial_\mu\left[
    f^\mu
  - \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \varphi)} \mathcal{L} \right] Q[\varphi]
  - 2\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \varphi)} \mathcal{L}\right]\partial_\nu Q[\varphi]
  + \partial_\nu\left[\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \varphi)}\mathcal{L}\right] Q[\varphi]\right]
  - \,\dotsm
 \right] \approx 0.
</math>

== Примеры ==

=== Пример 1: Сохранение энергии ===
Рассмотрим частный случай ньютоновской частицы массы ''m'', координаты ''x'', движущейся под действием потенциала ''V'', координированного временем ''t''. [[Действие (физическая величина)|Действие]], ''S'', это:

: <math>\begin{align}
 \mathcal{S}[x] & = \int L\left[x(t),\dot{x}(t)\right] \, dt \\
         & = \int \left(\frac m 2 \sum_{i=1}^3\dot{x}_i^2 - V(x(t))\right) \, dt.
\end{align}</math>

Первое слагаемое в скобках — это [[кинетическая энергия]] частицы, а второе — её [[потенциальная энергия]]. Рассмотрим генератор [[Перевод времени|временных трансляций]] ''Q'' = ''d''/''dt''. Другими словами, <math>Q[x(t)] = \dot{x}(t)\,.</math> Координата ''x'' имеет явную зависимость от времени, а ''V -'' нет; следовательно:

: <math>Q[L] =
 \frac{d}{dt}\left[\frac{m}{2}\sum_i\dot{x}_i^2 - V(x)\right] =
 m \sum_i\dot{x}_i\ddot{x}_i - \sum_i\frac{\partial V(x)}{\partial x_i}\dot{x}_i
</math>

поэтому можно установить

: <math>L = \frac{m}{2} \sum_i\dot{x}_i^2 - V(x).</math>

Затем,

: <math>\begin{align}
 j & = \sum_{i=1}^3\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}Q[x_i] - L \\
  & = m \sum_i\dot{x}_i^2 - \left[\frac{m}{2}\sum_i\dot{x}_i^2 - V(x)\right] \\[3pt]
  & = \frac{m}{2}\sum_i\dot{x}_i^2 + V(x)\,.
\end{align}</math>

Правая часть — это энергия, и теорема Нётер утверждает, что <math>dj/dt = 0</math>, то есть принцип сохранения энергии является следствием инвариантности относительно временных трансляций).

В более общем случае, если лагранжиан не зависит явно от времени, то величина

: <math>\sum_{i=1}^3 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\dot{x_i} - L</math>

(называемая [[Гамильтонова механика|гамильтонианом]]) сохраняется.

=== Пример 2: Сохранение центра импульса ===
По-прежнему рассматривая одномерное время, пусть

: <math>\begin{align}
 \mathcal{S}\left[\vec{x}\right]
  & = \int \mathcal{L}\left[\vec{x}(t), \dot{\vec{x}}(t)\right] dt \\[3pt]
  & = \int \left[\sum^N_{\alpha=1} \frac{m_\alpha}{2}\left(\dot{\vec{x}}_\alpha\right)^2 - \sum_{\alpha<\beta} V_{\alpha\beta}\left(\vec{x}_\beta - \vec{x}_\alpha\right)\right] dt,
\end{align}</math>

или <math>N</math> ньютоновские частицы, у которых потенциал только попарно зависит от относительного смещения.

Для <math>\vec{Q}</math>, рассмотрим генератор преобразований Галилея (то есть изменение системы отсчёта). Другими словами,

: <math>Q_i\left[x^j_\alpha(t)\right] = t \delta^j_i.</math>

И

: <math>\begin{align}
 Q_i[\mathcal{L}]
  & = \sum_\alpha m_\alpha \dot{x}_\alpha^i - \sum_{\alpha<\beta}t \partial_i V_{\alpha\beta}\left(\vec{x}_\beta - \vec{x}_\alpha\right) \\
  & = \sum_\alpha m_\alpha \dot{x}_\alpha^i.
\end{align}</math>

Это имеет форму <math display="inline">\frac{d}{dt}\sum_\alpha m_\alpha x^i_\alpha</math> поэтому можно установить

: <math>\vec{f} = \sum_\alpha m_\alpha \vec{x}_\alpha.</math>

Затем,

: <math>\begin{align}
 \vec{j} & = \sum_\alpha \left(\frac{\partial}{\partial \dot{\vec{x}}_\alpha} \mathcal{L}\right)\cdot\vec{Q}\left[\vec{x}_\alpha\right] - \vec{f} \\[6pt]
     & = \sum_\alpha \left(m_\alpha \dot{\vec{x}}_\alpha t - m_\alpha \vec{x}_\alpha\right) \\[3pt]
     & = \vec{P}t - M\vec{x}_{CM}\,,
\end{align}</math>

где <math>\vec{P}</math> — полный импульс, ''M'' — полная масса и <math>\vec{x}_{CM}</math> — центр масс. Теорема Нётер утверждает:

: <math>\frac{d\vec{j}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{P} - M \dot{\vec{x}}_{CM} = 0\,.</math>

=== Пример 3: Конформное преобразование ===
Оба примера 1 и 2 относятся к одномерному многообразию (времени). Примером с пространством-временем является [[Конформное отображение|конформное преобразование]] безмассового реального скалярного поля с [[Взаимодействие четвёртой степени|потенциалом четвёртой степени]] в (3 + 1)- [[Пространство Минковского|пространство-время Минковского]].

: <math>\begin{align}
 \mathcal{S}[\varphi]
  & = \int \mathcal{L}\left[\varphi (x), \partial_\mu \varphi (x)\right] d^4 x \\[3pt]
  & = \int \left(\frac{1}{2}\partial^\mu \varphi \partial_\mu \varphi - \lambda \varphi^4\right) d^4 x\,.
\end{align}</math>

Для ''Q'' рассмотрим генератор масштабирования пространства-времени. Другими словами,

: <math>Q[\varphi(x)] = x^\mu\partial_\mu \varphi(x) + \varphi(x). </math>

Второй член в правой части обусловлен «конформным весом» <math>\varphi</math>. А

: <math>Q[\mathcal{L}] = \partial^\mu\varphi\left(\partial_\mu\varphi + x^\nu\partial_\mu\partial_\nu\varphi + \partial_\mu\varphi\right) - 4\lambda\varphi^3\left(x^\mu\partial_\mu\varphi + \varphi\right)\,.</math>

Это имеет форму

: <math>\partial_\mu\left[\frac{1}{2}x^\mu\partial^\nu\varphi\partial_\nu\varphi - \lambda x^\mu \varphi^4 \right] = \partial_\mu\left(x^\mu\mathcal{L}\right)</math>

(где мы выполнили замену фиктивных индексов), поэтому установите

: <math>f^\mu = x^\mu\mathcal{L}.</math>

Затем

: <math>\begin{align}
 j^\mu & = \left[\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\mathcal{L}\right]Q[\varphi]-f^\mu \\
    & = \partial^\mu\varphi\left(x^\nu\partial_\nu\varphi + \varphi\right) - x^\mu\left(\frac 1 2 \partial^\nu\varphi\partial_\nu\varphi - \lambda\varphi^4\right).
\end{align}</math>

Теорема Нётер утверждает, что <math>\partial_\mu j^\mu = 0</math> (что можно явно проверить, подставив уравнения Эйлера — Лагранжа в левую часть).

Если кто-то попытается найти аналог этого уравнения [[Личность Уорда – Такахаши|Уорда — Такахаши]], он столкнется с проблемой из-за [[Аномалия (физика)|аномалий]].

== Приложения ==
Приложение теоремы Нётер позволяет физикам глубоко проникнуть в любую общую теорию физики, просто проанализировав различные преобразования, которые сделают форму задействованных законов неизменной. Например:

* Инвариантность изолированной системы по отношению к [[Параллельный перенос|перемещению]] в пространстве (другими словами, законы физики одинаковы во всех точках пространства) даёт закон сохранения [[импульс]]а (который утверждает, что полный импульс изолированной системы равен постоянный)
* Инвариантность изолированной системы по отношению к перемещению [[Время|времени]] (то есть законы физики одинаковы во все моменты времени) даёт [[закон сохранения энергии]] (который утверждает, что полная энергия изолированной системы постоянна)
* Инвариантность изолированной системы по отношению к [[Вращение|вращению]] (то есть что законы физики одинаковы по отношению ко всем угловым ориентациям в пространстве) даёт закон сохранения [[Момент импульса|углового момента]] (который утверждает, что полный угловой момент изолированной системы равен постоянный)
* Инвариантность изолированной системы по отношению к бустам Лоренца (то есть что законы физики одинаковы по отношению ко всем инерциальным системам отсчёта) даёт теорему о центре масс (которая утверждает, что центр масс изолированной система движется с постоянной скоростью).

В [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] аналог теоремы Нётер, тождество Уорда — Такахаши, даёт дополнительные законы сохранения, такие как сохранение [[Электрический заряд|электрического заряда]] из инвариантности относительно изменения [[Фазовый фактор|фазового фактора]] [[Комплексное число|комплексного]] поля заряженной частицы и связанный [[калибровочная теория|калибровкой]] [[Электростатический потенциал|электрического потенциала]] и [[Векторный потенциал|векторного потенциала]].

Заряд Нётер также используется при вычислении [[Энтропия|энтропии]] [[Метрика Шварцшильда|стационарных чёрных дыр]]<ref>{{Cite journal|author=Vivek Iyer|doi=10.1103/PhysRevD.52.4430|journal=[[Physical Review D]]|title=A comparison of Noether charge and Euclidean methods for Computing the Entropy of Stationary Black Holes|volume=52|issue=8|pages=4430–9|year=1995|pmid=10019667|arxiv=gr-qc/9503052|bibcode=1995PhRvD..52.4430I}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Арнольд В. И.'' Математические методы классической механики. — Изд. 5-е. — {{М.}}: Эдиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5.
* ''Ибрагимов Н. Х.'' Группы преобразований в математической физике. — {{М.}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1983. — 280 с.
* ''Гельфанд И. М., Фомин С. В.'' Вариационное исчисление. — {{М.}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1961. — 228 с.
* {{cite book| isbn=978-3-319-59694-5 |last1=Badin|first1=Gualtiero|last2=Crisciani|first2=Fulvio| title=Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws - | publisher=Springer| year=2018 | pages=218 | doi= 10.1007/978-3-319-59695-2|bibcode=2018vffg.book.....B |s2cid=125902566}}
* {{cite book |last=Goldstein |first=Herbert |author-link=Herbert Goldstein |year=1980 |title= [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |location=Reading, MA |isbn= 0-201-02918-9 |pages=588–596}}
* {{cite journal |last1=Johnson |first1=Tristan |title=Noether's Theorem: Symmetry and Conservation |journal=Honors Theses |date=2016 |url=https://digitalworks.union.edu/theses/163/ |access-date=2020-08-28 |publisher=[[Union College]]}}
* {{Cite book | last = Kosmann-Schwarzbach | first = Yvette | author-link = Yvette Kosmann-Schwarzbach | title = The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | series = Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | year = 2010 | isbn = 978-0-387-87867-6}} [http://www.math.cornell.edu/~templier/junior/The-Noether-theorems.pdf Online copy].
* {{cite book | author-link= Ланцош, Корнелий |last=Lanczos |first=C. | year = 1970 | title = The Variational Principles of Mechanics | edition = 4th | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-65067-7 | pages = 401–5}}
* {{cite journal |last1=Moser |first1=Seth |title=Understanding Noether's Theorem by Visualizing the Lagrangian |journal=Physics Capstone Projects |date=21 April 2020 |pages=1–12 |url=https://digitalcommons.usu.edu/phys_capstoneproject/86/ |access-date=2020-08-28}}
* {{Cite book | last = Olver | first = Peter |author-link=Peter J. Olver | title = Applications of Lie groups to differential equations | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | edition = 2nd | series = [[Graduate Texts in Mathematics]] | volume = 107 | year = 1993 | isbn = 0-387-95000-1 }}
* {{Cite book | last = Sardanashvily | first = G. | author-link=Сарданашвили, Геннадий Александрович| title = Noether's Theorems. Applications in Mechanics and Field Theory | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | year = 2016 | isbn = 978-94-6239-171-0 }}

== Ссылки ==
* {{cite web |author1=Emmy Noether  |year=1918  |title=Invariante Variationsprobleme  |language=de  |url=http://de.wikisource.org/wiki/Invariante_Variationsprobleme }}
** {{cite journal  |author1=Emmy Noether |translator=Mort Tavel |year=1971  |title=Invariant Variation Problems  |journal=Transport Theory and Statistical Physics  |volume=1 |issue=3 |pages=186–207  |arxiv=physics/0503066  |doi=10.1080/00411457108231446 |bibcode = 1971TTSP....1..186N |s2cid=119019843 }} (Original in ''Gott. Nachr.'' 1918:235-257)
* {{cite arXiv |eprint=physics/9807044 |first=Nina |last=Byers|title=E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws |year=1998}}
* {{cite web |last1=Baez |first1=John  |author-link1=John Baez |title=Noether's Theorem in a Nutshell |url=http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html |website=math.ucr.edu |access-date=2020-08-28 |date=2002}}
* {{cite journal |author1=Vladimir Cuesta |author2=Merced Montesinos |author3=José David Vergara |title=Gauge invariance of the action principle for gauge systems with noncanonical symplectic structures  |journal=Physical Review D |volume=76 |pages=025025 |year=2007 |issue=2 |doi=10.1103/PhysRevD.76.025025 |bibcode = 2007PhRvD..76b5025C }}
* {{cite journal |author1=Hanca, J. |author2=Tulejab, S. |author3=Hancova, M. |title=Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem |journal=American Journal of Physics |volume=72 |issue=4 |pages=428–35 |year=2004 |doi=  10.1119/1.1591764|url=http://www.eftaylor.com/pub/symmetry.html|bibcode = 2004AmJPh..72..428H }}
* {{cite arXiv |last1=Leone |first1=Raphaël |title=On the wonderfulness of Noether's theorems, 100 years later, and Routh reduction |date=11 April 2018|class=physics.hist-ph |eprint=1804.01714 }}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm Noether’s Theorem] at MathPages.<!-- Previously a referenced note; reference is lost, but we can assume this is still a valid citation -->
* {{cite journal |author1=Merced Montesinos |author2=Ernesto Flores |journal=Revista Mexicana de Física |title=Symmetric energy–momentum tensor in Maxwell, Yang–Mills, and Proca theories obtained using only Noether's theorem |volume=52 |pages=29–36 |year=2006 |issue=1 |url=http://rmf.smf.mx/pdf/rmf/52/1/52_1_29.pdf |arxiv=hep-th/0602190 |bibcode=2006RMxF...52...29M |access-date=2014-11-12 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304023543/http://rmf.smf.mx/pdf/rmf/52/1/52_1_29.pdf |url-status=dead }}
* {{cite book | last1 = Neuenschwander | first1 = Dwight E. | title = Emmy Noether's Wonderful Theorem | publisher = Johns Hopkins University Press | year = 2010 | isbn = 978-0-8018-9694-1}}
* {{cite arXiv |last1=Quigg |first1=Chris |title=Colloquium: A Century of Noether's Theorem |date=9 July 2019|class=physics.hist-ph |eprint=1902.01989 }}
* {{cite journal|author1=Sardanashvily|journal=[[International Journal of Geometric Methods in Modern Physics]]|title=Gauge conservation laws in a general setting. Superpotential |volume=6 |pages=1047–1056 |year=2009 |arxiv=0906.1732|bibcode = 2009arXiv0906.1732S|doi=10.1142/S0219887809003862|issue=6 }}
* Google Tech Talk, (June 16, 2010) {{YouTube|1_MpQG2xXVo|''Emmy Noether and The Fabric of Reality''}}
{{вс}}

{{DEFAULTSORT:Нётер теорема}}
[[Категория:Теоретическая механика]]
[[Категория:Теория поля]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Физические теоремы]]
[[Категория:Законы сохранения| ]]
[[Категория:Симметрия (физика)]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения]]
[[Категория:Именные законы и правила]]