Просмотр кода страницы Теорема Пифагора

{{универсальная карточка}}
[[Файл:Pythag anim.gif|мини|Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость{{Переход|#Доказательство через равнодополняемость}}]]
[[Файл:Nicaragua 1971 Mi 1619 stamp and back (The Ten Mathematical Equations that Changed the Face of the Earth. Pythagorean theorem - length of sides of right-angled triangle).jpg|thumb|300px|[[Десять математических формул, изменивших облик Земли (серия марок)|Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот]]. Теорема Пифагора (длина сторон прямоугольного треугольника)]]
'''Теоре́ма Пифаго́ра''' — одна из основополагающих [[Теорема|теорем]] [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]], устанавливающая соотношение между сторонами [[прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]]: сумма квадратов длин [[катет]]ов равна квадрату длины [[гипотенуза|гипотенузы]].

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое строгое доказательство приписывается  античному философу [[Пифагор]]у. Утверждение появляется как Предложение 47 в «[[Начала (Евклид)|Началах]]» [[Евклид]]а{{Переход|#История}}.

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение{{переход|#Обратная теорема Пифагора}}: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы{{Переход|#Вариации и обобщения}} — для произвольных [[треугольник]]ов, для фигур в пространствах высших размерностей. В [[Неевклидова геометрия|неевклидовых геометриях]] теорема не выполняется{{Переход|#Неевклидова геометрия}}.

== История ==
По мнению историка математики [[Кантор, Мориц Бенедикт|Морица Кантора]], в [[Древний Египет|Древнем Египте]] во времена царя [[Аменемхет I|Аменемхета I]] (около [[XXIII век до н. э.]]) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»<ref>Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея</ref>. В [[Древневавилонское царство|древневавилонском]] тексте, относимом ко временам [[Хаммурапи]] ([[XX век до н. э.]]), приведено приближённое вычисление гипотенузы<ref>{{Cite web |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html |title=History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics |access-date=2009-06-01 |archive-date=2011-06-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110606082111/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html |deadlink=no }}</ref>. По мнению [[Варден, Бартель Леендерт ван дер|Ван-дер-Вардена]], очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около [[XVIII век до н. э.|XVIII века до н. э.]]

[[Файл:Chinese pythagoras.jpg|мини|Рисунок из книги [[Чжоу би суань цзин]] (500—200 лет до нашей эры)<!--, надпись слева: «сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы» — проверить перевод, очень сомнительный-->]]
В [[Древний Китай|древнекитайской]] книге «[[Чжоу би суань цзин]]», относимой к периоду V—III веков {{донэ}}, приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы<ref>{{книга|часть=Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование|заглавие=Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах|ссылка=http://www.synologia.ru/a/%D0%A7%D0%B6%D0%BE%D1%83_%D0%B1%D0%B8_%D1%81%D1%83%D0%B0%D0%BD%D1%8C_%D1%86%D0%B7%D0%B8%D0%BD|ответственный=Титаренко М. Л|место=М.|издательство=Восточная литература РАН|год=2009|том=5|страницы=939—941|страниц=1055|isbn=9785020184299|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304082956/http://www.synologia.ru/a/%D0%A7%D0%B6%D0%BE%D1%83_%D0%B1%D0%B8_%D1%81%D1%83%D0%B0%D0%BD%D1%8C_%D1%86%D0%B7%D0%B8%D0%BD}}</ref>. В китайском сборнике задач «[[Математика в девяти книгах]]» (X—II веков {{донэ}}) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано [[Древняя Греция|древнегреческим]] философом [[Пифагор]]ом (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство [[Прокл Диадох|Прокла]] (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить [[Пифагорова тройка|пифагоровы тройки]]{{Переход|#Пифагоровы тройки}}{{Sfn|Euclid|1956|p=351}}, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда [[Плутарх]] и [[Цицерон]] пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно{{Sfn|Heath|1921|loc= vol I, p. 144}}<ref name=Fritz>{{статья |заглавие=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum |издание=The Annals of Mathematics, Second Series |том=46 |страницы=242—264 |jstor=1969021 |номер=2 |издательство=Annals of Mathematics |язык=en |тип=journal |автор=''[[Фриц, Курт фон|Kurt Von Fritz]]'' |месяц=4 |год=1945}}: ''«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».''</ref>. Существует предание, сообщённое [[Диоген Лаэртский|Диогеном Лаэртским]], согласно которому [[Пифагор]] якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков<ref>{{Книга|автор=Георг Гегель|заглавие=Лекции по истории философии|ссылка=https://books.google.com/books?id=T6WNCwAAQBAJ&pg=PT282 |место= |издательство=Litres |год=2016-09-08|страницы=282|страниц=1762|isbn=9785457981690}}</ref>.

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, [[Платон]] дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в [[Начала Евклида|«Началах» Евклида]] появилось старейшее [[Аксиома|аксиоматическое доказательство]] теоремы Пифагора<ref name= Aaboe>{{книга |заглавие=Episodes from the early history of mathematics |ссылка=https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51 |страницы=51 |isbn=0883856131 |год=1997 |издательство=[[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]] |язык=en |автор=Asger Aaboe |archive-date=2016-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160809124350/https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51 }}. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».</ref>.

== Формулировки ==
[[Файл:Pythagorean.svg|мини|Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты <math>a</math> и <math>b</math>, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе <math>c</math>]]
Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны <math>a</math> и <math>b</math>, а длина гипотенузы — <math>c</math>, выполнено соотношение <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.

{{Якорь|Геометрическая формулировка}}
Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию [[Площадь фигуры|площади фигуры]]: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.

{{Якорь|Обратная теорема Пифагора}}'''Обратная теорема Пифагора''' — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением <math>a^2 + b^2 = c^2</math>. Как следствие, для всякой тройки положительных чисел <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, такой, что <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, существует прямоугольный треугольник с катетами <math>a</math> и <math>b</math> и гипотенузой <math>c</math>. Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат ''одной'' из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против ''этой'' стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное ''корректное'' предложение, обратное теореме Пифагора, является также '''теоремой'''<ref>{{Книга|автор={{nobr|Тимофеева И. Л.}}|заглавие=Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования|ответственный=И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова|год=2011|часть=Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема)|язык=ru|место=М.|издательство=Издательский центр «Академия»|страницы=134—136|страниц=240|isbn=978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8)}}</ref>.

== Доказательства ==
В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора<ref>''Elisha Scott Loomis.'' Pythagorean Proposition</ref>, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений [[Геометрия треугольника|элементов треугольника]] (таков, например, популярный метод подобия{{Переход|#Через подобные треугольники}}), метод площадей{{переход|#Доказательства методом площадей}}, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

=== Через подобные треугольники ===
[[Файл:Podobnye treugolniki proof.svg|мини|Чертёж к доказательству теоремы Пифагора через подобные треугольники]]
Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники [[Подобие треугольников|подобия треугольников]], при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие [[площадь фигуры|площади фигуры]]<ref>См. например [https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву] {{Wayback|url=https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf |date=20210301053034 }}, § 196.</ref>.
В нём для треугольника <math>\triangle ABC</math> с прямым углом при вершине <math>C</math> со сторонами <math>a, b, c</math>, противолежащими вершинам <math>A, B, C</math> соответственно, проводится [[Высота треугольника|высота]] <math>CH</math>, при этом (согласно [[Признаки подобия треугольников|признаку подобия]] по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: <math>\triangle ABC \sim \triangle ACH</math> и <math>\triangle ABC \sim \triangle CBH</math>, из чего непосредственно следуют соотношения

: <math>\frac{a}{c} = \frac{|HB|}{a}, \quad \frac{b}{c} = \frac{|AH|}{b}.</math>

При перемножении крайних членов [[Пропорция (математика)|пропорций]] выводятся равенства

: <math>a^2 = c \cdot |HB|, \quad b^2 = c \cdot |AH|,</math>

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

: <math>a^2 + b^2 = c \cdot \big(|HB|+|AH|\big) = c^2 \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2.</math>

=== Доказательства методом площадей ===
Большое число доказательств задействуют понятие площади.
Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

==== Доказательство через равнодополняемость ====
[[Файл:Pythagorean proof2.svg|мини|Схема доказательства через равнодополняемость]]
Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами <math>a, b</math> и гипотенузой <math>c</math>, расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной <math>a+b</math> и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной <math>c</math>. Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является [[квадрат]]ом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а [[развёрнутый угол]] — 180°. Площадь внешнего квадрата равна <math>(a+b)^2</math>, он состоит из внутреннего квадрата площадью <math>c^2</math> и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью <math>\frac{ab}{2}</math>, в результате из соотношения <math>(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2</math> при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

==== Доказательство Евклида ====
[[Файл:Teorema de Pitágoras.Euclides.svg|мини|Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности <math>\triangle ACK \cong \triangle ABD</math>, площадь которых составляет половину площади прямоугольников <math>AHJK</math> и <math>ACED</math> соответственно]]
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами<ref>См. например [https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву] {{Wayback|url=https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf |date=20210301053034 }}, § 259.</ref>.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника <math>\triangle ABC</math> с прямым углом <math>C</math>, квадратов над катетами <math>ACED</math> и <math>BCFG</math> и квадрата над гипотенузой <math>ABIK</math> строится [[Высота треугольника|высота]] <math>CH</math> и продолжающий её луч <math>s</math>, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника <math>AHJK</math> и <math>BHJI</math>. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника <math>AHJK</math> с квадратом над катетом <math>AC</math>; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника <math>AHJK</math> и <math>ACED</math> устанавливается через [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтность]] треугольников <math>\triangle ACK</math> и <math>\triangle ABD</math>, площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников <math>AHJK</math> и <math>ACED</math> соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника, построенная к общей стороне, равна другой стороне прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и угла между ними (составленного в обоих случаях из прямого угла и угла <math>\angle CAB</math>).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников <math>AHJK</math> и <math>BHJI</math>, равна сумме площадей квадратов над катетами.

==== Доказательство Леонардо да Винчи ====
[[Файл:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|мини|Чертёж к доказательству, приписываемому [[Леонардо да Винчи]]]]
К методу площадей относится также доказательство, традиционно приписываемое [[Леонардо да Винчи]], но найденное, по-видимому, [[Майер, Иоганн Тобиас|Иоганном Тобиасом Майером]]<ref>{{Cite web|lang=en|url=https://www.researchgate.net/publication/310663091_Leonardo_da_Vinci%27s_Proof_of_the_Pythagorean_Theorem|title=Leonardo da Vinci’s Proof of the Pythagorean Theorem|author=Franz Lemmermeyer|website=The College Mathematics Journal 47(5):361|date=2016-11|access-date=2021-10-22|archive-date=2022-06-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220607034821/https://www.researchgate.net/publication/310663091_Leonardo_da_Vinci%27s_Proof_of_the_Pythagorean_Theorem|deadlink=no}}</ref>. В этом доказательстве для треугольника <math>\triangle ABC</math> с прямым углом <math>\angle C</math> и квадратами <math>ACED</math>, <math>BCFG</math> и <math>ABHJ</math>, построенными на сторонах треугольника, на стороне <math>HJ</math> последнего квадрата во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный <math>\triangle ABC</math>, притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть <math>JI = BC</math> и <math>HI = AC</math>). Прямая <math>CI</math> разбивает квадрат, построенный на гипотенузе, на две равные части, поскольку треугольники <math>\triangle ABC</math> и <math>\triangle JHI</math> равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников <math>CAJI</math> и <math>DABG</math>, площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

=== Доказательство методом бесконечно малых ===
[[Файл:PythagoreanDerivation.svg|мини|Доказательство методом бесконечно малых]]
Существует несколько доказательств, прибегающих к технике [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]]. В частности, [[Харди, Годфри Харолд|Харди]] приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов <math>a</math> и <math>b</math> и гипотенузы <math>c</math>. Например, приращение катета <math>da</math> при постоянном катете <math>b</math> приводит к приращению гипотенузы <math>dc</math>, так что

: <math>\frac{da}{dc} = \frac{c}{a}.</math>

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение <math>c \,dc = a \,da</math>,
интегрирование которого даёт соотношение <math>c^2 = a^2 + \mathrm{const}</math>. Применение начальных условий <math>a = 0,\ c = b</math> определяет константу как <math>b^2</math>, что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

== Вариации и обобщения ==

=== Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах ===
[[Файл:Pythagoras applied to similar triangles1.svg|мини|Обобщение для подобных треугольников, сумма площадей зелёных фигур равна площади синей]]
[[Файл:Pythagoras by similar triangles.svg|мини|Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников]]
Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «[[Начала (Евклид)|Началах]]», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных [[подобие|подобных]] геометрических фигур<ref name=Euclid_VI>Euclid’s ''Elements'': book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».</ref>: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, построенных на катетах с длинами <math>a</math> и <math>b</math> и гипотенузе <math>c</math> соответственно, имеет место соотношение:

: <math>\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, \Rightarrow \, A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C</math>.

Так как по теореме Пифагора <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, то выполнено <math>A + B = C</math>.

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение <math>A + B = C</math>, то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью <math>C</math>, а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями <math>A</math> и <math>B</math>, то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом <math>A + B = C</math> и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

=== Теорема косинусов ===
{{главная|Теорема косинусов}}
Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике<ref name= Leff1>{{книга |заглавие=Cited work |ссылка=https://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326 |страницы=326 |isbn=0764128922 |издательство=Barron's Educational Series |автор=Lawrence S. Leff |день=1 |месяц=5 |год=2005 }}</ref>:
: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2</math>,
где <math>\theta</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. Если угол равен 90°, то <math>\cos \theta = 0</math>, и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

=== Произвольный треугольник ===
[[Файл:Tâbit ibn Qorra.svg|мини|Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника <math>\triangle DBA</math> треугольнику <math>\triangle ABC</math>]]
Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом [[Сабит ибн Курра|Сабитом ибн Куррой]]<ref name=Eves>{{книга |заглавие=Great moments in mathematics (before 1650) |ссылка=https://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 |часть=§ 4.8: …generalization of Pythagorean theorem |isbn=0883853108 |год=1983 |страницы=41 |издательство=Mathematical Association of America |язык=en |автор=Howard Whitley Eves |archive-date=2016-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160809205715/https://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 }}</ref>. В нём для произвольного треугольника со сторонами <math>a, b, c</math> в него вписывается [[равнобедренный треугольник]] с основанием на стороне <math>c</math>, вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне <math>c</math> и углами при основании, равными углу <math>\theta</math>, противолежащему стороне <math>c</math>. В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами <math>a</math>, дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и <math>r</math> — части стороны <math>c</math>; второй — симметрично к нему от стороны <math>b</math> со стороной <math>s</math> — соответствующей частью стороны <math>c</math>. В результате оказывается выполнено соотношение<ref name=Sayii>{{статья |doi=10.1086/348837 |jstor=227603 |заглавие=Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem |издание=Isis |том=51 |номер=1 |страницы=35—37 |ref=Сайылы |язык=en |тип=journal |автор=''[[Сайылы, Айдын|Aydin Sayili]]'' |месяц=3 |год=1960}}</ref><ref name=Sally2>{{книга |заглавие=Cited work |часть=Exercise 2.10 (II) |страницы=62 |ссылка=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62 |isbn=0821844032 |автор=Judith D. Sally, Paul Sally |день=21 |месяц=12 |год=2007 |archive-date=2016-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160809170856/https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62 }}</ref>
: <math>a^2 + b^2 = c(r + s),</math>

вырождающееся в теорему Пифагора при <math>\theta = \pi/2</math>. Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

: <math>\frac{c}{a} = \frac{a}{r}, \quad \frac{c}{b} = \frac{b}{s} \quad \Rightarrow \quad cr + cs = a^2 + b^2.</math>

=== Теорема Паппа о площадях ===
[[Теорема Паппа о площадях]], позволяющая для произвольного треугольника и произвольных [[параллелограмм]]ов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора<ref name=Jennings>{{книга |заглавие=Modern geometry with applications: with 150 figures |часть=Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem |страницы=23 |ссылка=https://books.google.com/?id=6OhcE7YQY8QC&pg=PA23 |isbn=038794222X |год=1997 |издание=3rd |издательство={{Нп3|Springer Publishing|Springer|en|Springer Publishing}} |язык=en |автор=George Jennings}}</ref>: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

=== Многомерные обобщения ===
Обобщением теоремы Пифагора для [[Трёхмерное пространство|трёхмерного евклидова пространства]] является [[теорема де Гуа]]: если в одной вершине [[тетраэдр]]а сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «{{mvar|n}}-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей<ref name=Bhatia>
{{книга |заглавие=Matrix analysis |язык=en |ссылка=https://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21 |страницы=21 |isbn=0387948465 |год=1997 |издательство={{Нп3|Springer Publishing|Springer|en|Springer Publishing}} |автор=Rajendra Bhatia }}
</ref> — для граней ортогонального <math>n</math>-мерного [[симплекс]]а с площадями <math>S_1, \dots, S_n</math> ортогональных граней и противолежащей им грани площадью <math>S_0</math> выполнено соотношение
: <math>S_0^2 = \sum_{i=1}^n S_i^2.</math>

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали [[Прямоугольный параллелепипед|прямоугольного параллелепипеда]]: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае квадрат длины диагонали <math>n</math>-мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами <math>a_1, \dots, a_n</math> составляет
: <math>d^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2.</math>
Как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является [[равенство Парсеваля]]<ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — С. 194.</ref>.

=== Неевклидова геометрия ===
Теорема Пифагора выводится из аксиом [[евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] и недействительна для неевклидовой геометрии<ref name = false>{{книга |заглавие=Cited work |страницы=4 |ссылка=https://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |isbn=0762419229 |год=2005 |автор=Stephen W. Hawking |archive-date=2016-08-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160817140112/https://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 }}</ref> — выполнение теоремы Пифагора равносильно [[Аксиома параллельности Евклида|постулату Евклида о параллельности]]<ref name = Parallel>{{книга |заглавие=CRC concise encyclopedia of mathematics |ссылка=https://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |страницы=2147 |издание=2nd |isbn=1584883472 |год=2003 |автор=Eric W. Weisstein |archive-date=2016-08-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160817140301/https://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 }}. — «The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''.».</ref><ref name= Pruss>{{книга |заглавие=The principle of sufficient reason: a reassessment |isbn=052185959X |год=2006 |издательство=[[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]] |страницы=11 |ссылка=https://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11 |язык=en |автор=Alexander R. Pruss |archive-date=2016-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160809170851/https://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11 }}. — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».</ref>.

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в [[Сферическая геометрия|сферической геометрии]] все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой [[октант]] единичной сферы, имеют длину <math>\pi/2</math>, что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в [[Геометрия Лобачевского|гиперболической]] и [[Геометрия Римана|эллиптической]] геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему<ref>{{статья |заглавие=Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem |издание=The Mathematical Intelligencer |том=32 |страницы=2 |doi=10.1007/s00283-010-9169-0 |язык=en |тип=journal |автор=''Victor Pambuccian'' |месяц=12 |год=2010}}</ref>.

==== Сферическая геометрия ====
{{главная|Сферическая теорема Пифагора}}
[[Файл:Triangle sphérique.svg|мини|[[Сферический треугольник]]]]
Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом <math>R</math> (например, если угол <math>\gamma</math> в треугольнике прямой) со сторонами <math>a, b, c</math> соотношение между сторонами имеет вид<ref name=ONeill>{{книга |заглавие=Elementary differential geometry |ссылка=https://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441 |часть=Exercise 4 |страницы=441 |isbn=0120887355 |год=2006 |издание=2nd |издательство=[[Academic Press]] |автор=Barrett O'Neill }}</ref>

: <math>\cos\frac{c}{R} = \cos\frac{a}{R} \cdot \cos\frac{b}{R}.</math>

Это равенство может быть выведено как особый случай [[Теоремы косинусов (сферическая геометрия)|сферической теоремы косинусов]], которая справедлива для всех сферических треугольников:

: <math>\cos\frac{c}{R} = \cos\frac{a}{R} \cdot \cos\frac{b}{R} + \sin\frac{a}{R} \cdot \sin\frac{b}{R} \cdot \cos\gamma.</math>

Применяя [[ряд Тейлора]] в функции косинуса (<math>\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}</math>) можно показать, что если радиус <math>R</math> стремится к [[бесконечность|бесконечности]], а аргументы <math>\dfrac{a}{R}</math>, <math>\dfrac{b}{R}</math> и <math>\dfrac{c}{R}</math> стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

==== Геометрия Лобачевского ====
[[Файл:Hyperbolic triangle.svg|мини|[[Гиперболический треугольник]]]]
В [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] для прямоугольного треугольника со сторонами <math>a, b, c</math> со стороной <math>c</math>, противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим<ref name=Stahl>{{книга |заглавие=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry |страницы=122 |ссылка=https://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 |часть=Theorem 8.3 |isbn=086720298X |год=1993 |издательство=[[Jones & Bartlett Learning]] |язык=en |автор=Saul Stahl}}</ref>:

: <math> \operatorname{ch} c=\operatorname{ch} a \cdot \operatorname{ch} b</math>,

где <math> \operatorname{ch}</math> — [[гиперболический косинус]]<ref>''Микиша А. М., Орлов В. Б.'' Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.</ref>. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников<ref name=Gilman>{{книга |заглавие=Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) |ссылка=https://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74 |часть=Hyperbolic triangles |isbn=0821803611 |год=1995 |издательство=American Mathematical Society Bookstore |язык=en |автор=Jane Gilman}}</ref>:

: <math>\operatorname{ch}c= \operatorname{ch} a \cdot \operatorname{ch} b - \operatorname{sh} a \cdot \operatorname{sh} b \cdot \cos \gamma </math>,

где <math>\gamma</math> — угол, вершина которого противоположна стороне <math>c</math>.

Используя [[ряд Тейлора]] для гиперболического косинуса (<math>\operatorname{ch}x \approx 1 + \dfrac{x^2}{2}</math>) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

== Применение ==

=== Расстояние в двумерных прямоугольных системах ===
Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]]: расстояние <math>s</math> между точками с координатами <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> равно
: <math>s = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}.</math>

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения [[Модуль комплексного числа|модуля комплексного числа]] — для <math>z = x + yi</math> он равен длине [[радиус-вектор]]а на комплексной плоскости к точке <math>(x, y)</math>:
: <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.</math>

Расстояние между комплексными числами <math>z_1 = x_1 + y_1 i</math> и <math>z_2 = x_2 + y_2 i</math> также представляется в форме теоремы Пифагора<ref name=Gray>{{книга |заглавие=Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica |страницы=194 |ссылка=https://books.google.com/?id=TGw98Z6Cv-EC&pg=PA194 |isbn=1584884487 |год=2006 |издательство=[[CRC Press]] |издание=3rd |язык=en |автор=[[Грэй, Альфред (математик)|Alfred Gray]], Elsa Abbena, Simon Salamon}}</ref>:
: <math>|z_1 - z_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.</math>

=== Расстояние между двумя точками в [[Геометрия Лобачевского|плоскости Лобачевского]] ===
<math>ds^2 = dx^2 + \operatorname{ch}^2\left(\frac{y}{R}\right) dy^2</math>.

Здесь R — [[радиус кривизны]] плоскости Лобачевского, ''ch'' — [[гиперболический косинус]].

=== Евклидова метрика ===
[[Евклидова метрика]] — [[Функция (математика)|функция]] расстояния в [[Евклидово пространство|евклидовых пространствах]], определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек <math>n</math>-мерного пространства <math>p = (p_1, \dots, p_n)</math> и <math>q = (q_1, \dots, q_n)</math> расстояние <math>d(p, q)</math> между ними определяется следующим образом:
: <math>d(p, q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n{(p_i - q_i)^2}}</math>.

=== Теория чисел ===
[[Пифагорова тройка]] — набор из трёх [[натуральное число|натуральных чисел]] <math>(x,\;y,\;z)</math>, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие [[Диофантово уравнение|диофантову уравнению]] <math>x^2 + y^2 = z^2</math>. Пифагоровы тройки играют важную роль в [[Теория чисел|теории чисел]], задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка [[Великая теорема Ферма|Великой теоремы Ферма]] аналогична задаче нахождения [[Пифагорова тройка|пифагоровых троек]] для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: <math>3^2+4^2=5^2</math><ref>{{Cite web|url=https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2020/03/06/the-bizarre-math-of-why-10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2/|title=This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level|author=Siegel E.|website=Forbes|date=2020-03-06|publisher=|lang=en|accessdate=2020-04-28|archive-date=2020-04-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200404201423/https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2020/03/06/the-bizarre-math-of-why-10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2/|deadlink=no}}</ref>.

== В массовой культуре ==
С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны на все стороны равны», получившее особенную известность благодаря комической [[Опера|опере]] 1915 года «[[Иванов Павел (опера)|Иванов Павел]]»<ref name="vadim_i_z">{{cite web|url=https://vadim-i-z.livejournal.com/4097801.html|title=Легендарная опера: текст и ноты|publisher=[[LiveJournal]]|date=2016-08-04|access-date=2020-01-09|archive-date=2020-06-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20200609215607/https://vadim-i-z.livejournal.com/4097801.html|deadlink=no}}</ref><ref>Словарь современных цитат. Litres, 20 мар. 2019 г. [https://books.google.ru/books?id=8WSBAQAAQBAJ&pg=PT9 С. 9].</ref>.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{Навигация}}
* ''Ван-дер-Варден Б. Л.'' Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — {{М.}}, 1959.
* ''[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]]'' История математики в школе. — {{М.}}, 1982.
* ''Еленьский Щ.'' По следам Пифагора. — {{М.}}: [[Детгиз]], 1961. — 486 с. : ил., карт.
* {{книга |автор=Клауди Альсина. |заглавие=Секта чисел. Теорема Пифагора |ref=Клауди Альсина |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=152 |isbn=978-5-9774-0633-8 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 5 }}
* ''Литцман В.'' [http://www.ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm#ch1 Теорема Пифагора.] — {{М.}}, 1960.
** [http://th-pif.narod.ru/ Сайт о теореме Пифагора] с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
* ''[[Скопец, Залман Алтерович|Скопец З. А.]]'' Геометрические миниатюры. — {{М.}}, 1990
* {{книга |автор=Euclid |заглавие= The Elements (3 vols.) |ответственный=Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath |издательство=Dover |издание=Reprint of 1908 |год= 1956 |volume= 1 (Books I and II) |isbn= 0-486-60088-2 |ref=Euclid}}
* {{книга |заглавие=A History of Greek Mathematics (2 Vols.) |автор=Heath S. |издательство= Clarendon Press, Oxford |год=1921 |издание= Edition of Dover Publications, Inc. (1981) |isbn= 0-486-24073-8 |ref=Heath}}

== Ссылки ==
* [http://www.moypifagor.narod.ru/history.htm История теоремы Пифагора]
* ''[[Глейзер, Григорий Давыдович|Глейзер Г.]], академик РАО, Москва.'' [https://web.archive.org/web/20071217212244/http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm О теореме Пифагора и способах её доказательства]
* Ролик серии «[[Математические этюды]]», посвящённый теореме Пифагора (для [http://www.etudes.ru/ru/mov/mov044/index.php компьютера], [https://itunes.apple.com/ru/app/id404430950 iPhone], [https://itunes.apple.com/ru/app/pythagoras-hd/id404432708 iPad])
* [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 Теорема Пифагора и пифагоровы тройки.] {{Wayback|url=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 |date=20160303215944 }} Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html Теорема Пифагора на WolframMathWorld]{{ref-en}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация]{{ref-en}}

{{Внешние ссылки}}
{{Треугольник}}
{{Тригонометрия}}

[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Пифагор]]
[[Категория:Именные законы и правила|Пифагора]]
[[Категория:Основные теоремы|Пифагора]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Пифагора]]