Просмотр кода страницы Теорема Пуанкаре — Бендиксона

{{Значения|Теорема Пуанкаре}}
'''Теорема Пуанкаре — Бендиксона''' — теорема в теории [[динамические системы|динамических систем]], описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

== Формулировка теоремы ==
{{рамка}}
Пусть задано [[Гладкая функция|<math>C^1</math>-гладкое]] векторное поле на сфере или на плоскости или в некоторой ограниченной области плоскости (в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда ω-[[предельное множество]] любой траектории — это либо ('''1''') [[особая точка векторного поля|особая точка]], либо ('''2''') периодическая траектория, либо ('''3''') [[полицикл]] (объединение особых точек и соединяющих их отрезков траекторий). 
Аналогичное утверждение имеет место и для α-[[предельное множество|предельных множеств]]. 
{{конец рамки}}
<!-- TODO: добавить формулировку из [KH] и её сравнение с формулировкой из [I]. -->

<gallery>
Файл:Focal stability.png|<center>Пример случая 1.
Файл:VanDerPolPhaseSpace.png|<center>Пример случая 2.
Файл:Полицикл с наматывающейся траекторией.png|<center>Пример случая 3.
</gallery>

== Замечания ==
{{В планах|посвящён=замечаниям к формулировке. А именно: контрпример с полем направлений на плоскости с плотными траекториями; ячейка Черри как контрпример на торе; пример с бесконечным числом всё убывающих "по циклу" 
сепаратрис|дата=2015-07-31}}

== См. также ==
* [[Поток Черри]]
* [[Мешок Бендиксона]]
* [[Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Каток-Хасселблат|страницы=455}}
* ''[[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ю.С. Ильяшенко]].'' [http://www.mccme.ru/free-books/matpros/mpc-full.pdf Эволюционные процессы и философия общности положения], М.: МЦНМО, 2007.

{{rq|wikify}}

[[Категория:Динамические системы]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения]]