Просмотр кода страницы Теорема Риса о полноте

'''Теорема Риса о полноте''' — утверждение [[Функциональный анализ|функционального анализа]] о [[Полное метрическое пространство|полноте]] [[пространство Лебега|пространства Лебега]] <math>L_{2}\left ( a, b \right )</math>. Названа по имени венгерского математика [[Рис, Фридьеш|Фридьеша Риса]], установившего результат.

== Формулировка ==

Каждая последовательность <math>\left \{ f_{n}(x) \right \}</math> функций с интегрируемым на <math>\left [ a, b \right ]</math> квадратом, сходящаяся в среднем в себе, сходится в среднем к некоторой функции, также принадлежащей пространству <math>L_{2}\left ( a, b \right )</math>.

== Доказательство ==

Пусть задано произвольное <math>\epsilon > 0</math>. Найдется номер <math>n_{\epsilon}</math>, такой что <math>\int_{a}^{b} \left \{ f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right \}^{2} dx < \epsilon^{2} </math> при <math>n \geqslant n_{\epsilon}, p > 0</math>. Возьмем <math>\epsilon = \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \frac{1}{2^{3}}, ..., \frac{1}{2^{k}}, ...</math> и для каждого  <math>\epsilon = \frac{1}{2^{k}}</math> подберем соответствующий номер <math>n_{k}</math>. Можно считать, что <math> n_{1} < n_{2} < .... < n_{k} < ... </math>. Таким образом, <math>\int_{a}^{b} \left \{ f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math>. Взяв, в частности <math>n=n_{k}, n+p=n_{k+1}</math>, будем иметь <math>\int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math>. [[Неравенство Коши — Буняковского]] даст
<math>\int_{a}^{b} \left | f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right | dx = \int_{a}^{b} \left | f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right | * 1 dx \leqslant \sqrt{\int_{a}^{b} dx} \sqrt{\int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx}
< \sqrt{b-a} * \frac{1}{2^{k}}</math>. И поэтому положительный ряд <math>\int_{a}^{b} \left | f_{n_{1}}(x) \right | dx + \sum_{k=1}^{\infty} \left | f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right |^{2}dx</math> сходится, так как его члены не превышают членов сходящегося геометрического ряда. Покажем, что <math>f(x) \in L_{2}\left ( a, b \right )</math>. Положим в неравенстве <math>\int_{a}^{b} \left \{ f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math> <math>n=n_{k}</math> а <math>n+p=n_{m}</math>, где <math>m > k</math>. Получим <math>\int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math>. Пусть <math>m \rightarrow \infty</math>.Тогда подынтегральные функции стремятся
почти всюду к <math>\left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2}</math> и в силу их неотрицательности можно применить лемму Фату. Будем иметь <math>\int_{a}^{b} \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \leqslant \sup_{m>k} \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math>, то есть <math>f(x) \in L_{2}\left ( a, b \right )</math>. Теперь неравенство <math>\int_{a}^{b} \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \leqslant \sup_{m>k} \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math> показывает, что подпоследовательность <math>\left \{ f_{n_{k}}(x) \right \}</math> сходится в среднем к  <math>f(x)</math>. Докажем, что и вся последовательность <math>\left \{ f_{n}(x) \right \}</math> сходится к той же функции. Согласно [[Неравенство треугольника|неравенству треугольника]] имеем <math>\left \| f_{n} - f \right \| \leqslant \left \| f_{n} - f_{n_{k}} \right \| + \left \| f_{n_{k}} - f \right \| </math>. Для произвольного <math>\epsilon > 0</math> возьмем сначала <math>k</math> так, чтобы
<math>\frac{1}{2^{2k}} < \frac{\epsilon}{2}</math>. Тогда в силу <math>\int_{a}^{b} \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \leqslant \sup_{m>k} \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx < \frac{1}{2^{2k}}</math>
получаем <math>\left \| f_{n_{k}} - f \right \| < \frac{\epsilon}{2}</math>. Если, кроме того, выбрать <math>n_{k}</math> настолько большим, чтобы при <math>n \geqslant n_{k}</math> имело место неравенство <math>\left \| f_{n} - f_{n_{k}} \right \| < \frac{\epsilon}{2}</math>, что возможно в силу сходимости в среднем к себе последовательности
<math>\left \{ f_{n}(x) \right \}</math>, то будем иметь <math>\left \| f_{n} - f \right \| < \epsilon</math>
при <math>n \geqslant n_{k}</math>, а это и означает требуемую сходимость.

== Литература ==

* ''[[Соболев, Владимир Иванович (математик)|Соболев В. И.]]'' Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.

{{изолированная статья|дата=2014-04-20}}
{{rq|style|refless}}

[[Категория:Теоремы функционального анализа|Риса]]