Просмотр кода страницы Теорема Стюарта

{{Другие значения|Теорема Симсона}}
[[File:Теорема Стюарта (иллюстрация).svg|250px|thumb|Рис. 1]]
'''Теорема Стюарта''' — [[Метрическое пространство|метрическая]] теорема в [[Евклидова геометрия|евклидовой]] [[Планиметрия|планиметрии]].

Она утверждает, что если точка <math>D</math> лежит на стороне <math>BC</math> треугольника <math>ABC</math>, то

: <math> AD^2 = p^2 = b^2\frac{x}{a}+c^2 \frac{y}{a} -  {xy}, </math>

где <math>y=CD</math>, <math>x=BD</math> и <math>a=x+y=BC</math> (рис. 1). Отрезок ''AD'' называется [[Чевиана|'''чевианой''']] треугольника ''ABC''.
== Доказательства ==
=== Через произведение векторов ===
Одно из доказательств теоремы основано на применении [[вектор (математика)|векторной алгебры]] и, в частности, свойств [[скалярное произведение|скалярного произведения]]<ref>{{книга|автор=[[Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]]|заглавие=Геометрия|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1983|страниц=288|страницы=30—31}}</ref>. Представим вектор <math>\overrightarrow{AD},</math> длина которого искома, двумя способами:

: <math>\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.</math>

Первое уравнение домножим на длину <math>CD</math>, а второе — на <math>BD\colon</math>
: <math>\overrightarrow{AD}\cdot CD=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD,</math>
: <math>\overrightarrow{AD}\cdot BD=\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD.</math>

Теперь сложим полученные уравнения:
: <math>\overrightarrow{AD}\cdot BC=(\overrightarrow{AB}\cdot CD~{\color{Red}+~\overrightarrow{BD}\cdot CD}) +(\overrightarrow{AC}\cdot BD~{\color{Red}+~\overrightarrow{CD}\cdot BD}),</math>
где <math>\overrightarrow{BD}\cdot CD +\overrightarrow{CD}\cdot BD=0,</math> так как <math>\overrightarrow{BD}\cdot CD</math> и <math>\overrightarrow{CD}\cdot BD</math> имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор <math>\overrightarrow{AD}</math> равен
: <math>\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\frac{CD}{BC}+\overrightarrow{AC}\frac{BD}{BC}.</math>

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора <math>\overrightarrow{AD}</math> на самого себя:
: <math>\left (\overrightarrow{AD}  \right )^2=\left (\overrightarrow{AB}  \right )^2\left (\frac{CD}{BC}  \right )^2+\left (\overrightarrow{AC}  \right )^2\left (\frac{BD}{BC}  \right )^2+{\color{Green}2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} \cdot \frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC}.</math>
Далее, чтобы выразить <math>2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}</math> через длины, нужно найти <math>(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2\colon</math>
: <math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},</math>
:<math>BC^2=AC^2-2 \overrightarrow{AC}\cdot  \overrightarrow{AB} +AB^2,</math>
: <math>2 \overrightarrow{AC}\cdot  \overrightarrow{AB}=AC^2+AB^2-BC^2.</math>
Отсюда окончательно получается, что
: <math>AD^2=AB^2\frac{CD^2}{BC^2}+AC^2\frac{BD^2}{BC^2}
+({\color{Green}AC^2+AB^2-BC^2})\frac{CD}{BC}\cdot\frac{BD}{BC},</math>
{{Equation box 1|equation=<math>AD^2=AB^2\cdot \frac{CD}{BC}+AC^2\cdot \frac{BD}{BC}-CD\cdot BD.</math>|border colour=#00ff00|background colour=#eeffee}}

=== Через теорему косинусов === 
Выразим ''AB'' и ''AC'' через остальные стороны треугольников ''ABD'' и ''ACD'' и через углы <math>\angle ADB</math> и <math>\angle ADC,</math> [[Смежные углы|смежные]] друг другу:
:<math>AB^2=BD^2+AD^2 - 2AD\cdot BD \cos \angle ADB, </math>
: <math> \begin{alignat}{2} AC^2 &= AD^2+DC^2~{\color{Green}-}~ 2AD \cdot DC \cos \angle AD{\color{Green}C}=
\\ & = AD^2+DC^2~{\color{Green}+}~2AD\cdot DC \cos \angle AD{\color{Green}B}. \\ \end{alignat} </math>

Умножим первое уравнение на <math>DC</math>, а второе — на <math>BD\colon</math>
: <math>
\begin{cases} AB^2DC=BD^2DC+AD^2DC - 2AD\cdot BD\cdot DC \cos \angle ADB, \\
AC^2BD = AD^2BD+DC^2BD+ 2AD\cdot DC\cdot BD \cos \angle ADB,\end{cases} </math>

Чтобы избавиться от косинуса угла ''ABD'', сложим эти равенства:
: <math> AB^2DC+AC^2BD = (BD^2DC+AD^2DC)+(AD^2BD+DC^2BD), </math>
: <math> AB^2DC+AC^2BD-BD^2DC-DC^2BD=AD^2(DC+BD), </math>
: <math> AB^2DC+AC^2BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^2(DC+BD), </math>
{{Equation box 1|equation=<math>AB^2\cdot \frac{CD}{BC}+AC^2\cdot \frac{BD}{BC}-BD\cdot CD=AD^2.</math>|border colour=#00ff00|background colour=#eeffee}}

== История ==
Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель [[Симсон, Роберт|Р. Симсон]], который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

== Применение ==
* Теорему можно использовать для нахождения [[Медиана треугольника|медиан]] и [[Биссектриса|биссектрис]] треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана [[Вырождение (математика)|вырождается]] в [[Медиана треугольника|медиану]], — это [[теорема Аполлония]].
* Следствием теоремы Стюарта также является [[теорема Птолемея]].{{Прояснить}}

== Обобщение ==
* ''Теорема Стюарта'' обобщается до [[Соотношение Бретшнайдера|равенства Бретшнайдера]] для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует ''теорема Стюарта''.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''[[Атанасян, Левон Сергеевич|Л. С. Атанасян]], В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина.'' Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
* ''В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, [[Позняк, Эдуард Генрихович|Э. Г. Позняк]], [[Шестаков, Сергей Алексеевич|С. А. Шестаков]], И. И. Юдина.'' Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
* ''[[Мантуров, Олег Васильевич|Мантуров О. В.]], Солнцев Ю. К.'' Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|60-61|1}}

{{math-stub}}
{{rq|isbn|topic=math}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Стюарта]]