Просмотр кода страницы Теорема Усова о геодезической

'''Теорема Усова о геодезической''' даёт точную оценку на [[вариация поворота|вариацию поворота]] геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.

Доказана Владимиром Владимировичем Усовым.<ref>В. В. Усов. "О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности." Сибирский математический журнал
17.1 (1976), с. 233—236</ref>
Доказательство использует [[лемма Либермана|лемму Либермана]].

== Формулировка ==

Пусть <math>\Sigma\subset \mathbb{R}^3</math> есть график выпуклой [[липшицева функция|липшицевой функции]] <math>f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> и <math>\gamma</math> есть геодезическая на <math>\Sigma</math>. Тогда [[вариация поворота]] <math>\gamma</math> не превосходит <math>2\cdot L</math>, где <math>L</math> — липшицева константа <math>f</math>.

===Замечания===
*Эта оценка достигается например для конуса <math>f=L\cdot\sqrt{x^2+y^2}</math>. Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

== Вариации и обобщения ==
* Вариация поворота геодезической подграфика произвольной <math>L</math>-липшицевой функции не превосходит <math>2\cdot L</math>.<ref>I. D. Berg. “An estimate on the total curvature of a geodesic in Euclidean 3-space-with-boundary.” Geom. Dedicata 13 (1982), pp. 1–6.</ref>
* Вариация поворота [[кратчайшая|кратчайшей]] на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.<ref>
{{статья|автор=N. Lebedeva, A. Petrunin|заглавие=On the total curvature of minimizing geodesics on convex surfaces|ссылка=http://mi.mathnet.ru/aa1526 |язык=ru|издание=Алгебра и анализ|год=2017|том=29|номер=1|страницы=189–208|doi=|issn=}}
</ref>

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Дифференциальная геометрия кривых]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей]]

{{math-stub}}