Просмотр кода страницы Теорема Фари — Милнора о повороте узла

'''Теоре́ма Фа́ри — Ми́лнора''' утверждает что [[вариация поворота]] любого [[Теория узлов|узла]] превышает <math>4{\cdot}\pi</math>.

==История==

Вопрос был сформулирован [[Борсук, Кароль|Каролем Борсуком]] и доказан независимо тремя математиками: [[Фари, Иштван|Иштваном Фари]], [[Хопф, Хайнц|Хайнцем Хопфом]] в [[1949 год]]у и [[Милнор, Джон Уиллард|Джоном Милнором]] в [[1950 год]]у.
Хайнц Хопф не опубликовал своё доказательство.
Об этом доказательстве говорит замечание добавленное Иштваном Фари к гранкам своей статьи.
В нём говорится, что Хопф использовал работу {{iw|Панвиц, Эрика|Эрики Панвиц|en|Erika Pannwitz}} о существовании прямой, пересекающей узел в четырёх точках.

==Формулировка==

Пусть <math>K</math> — [[Узел (топология)|узел]] в трёхмерном евклидовом пространстве.
Если [[вариация поворота]] <math>K</math> не превосходит <math>4{\cdot}\pi</math>, то узел <math>K</math> — [[Тривиальный узел|тривиальный]].

В частности, если <math>K</math> — гладкий узел, и <math>k = k(p)</math> — его [[кривизна]] в точке <math>p</math>, то неравенство
: <math>\int\limits_{\ p\in K} k(p) \leqslant 4{\cdot}\pi</math> 
влечёт, что узел <math>K</math> — [[Тривиальный узел|тривиальный]].

==О доказательствах==

Доказательство Милнора основано на варианте [[формула Крофтона|формулы Крофтона]] для вариации поворота кривой и простом факте, что проекция узла на любую прямую имеет хотя бы 4 точки поворота.
Доказательство Фари более сложное, оно также использует аналог формулы Крофтона для вариации поворота кривой и нетривиальный факт что вариация поворота проекции узла на любую плоскость не меньше <math>4\pi</math>.

Доказательство Александер и Бишопа более элементарно, оно не использует формулы Крофтона и основывается на многократном использовании факта, что вариация поворота вписанной ломаной не превосходит вариации поворота кривой. 

Другое доказательство основано на существовании [[альтернированная четырёхкратная секущая|альтернированной четырёхкратной секущей]]. 
То есть для любого узла можно найти прямую, пересекающую его в четырёх токах <math>a, b, c, d</math>, которые появляются на прямой в том же порядке, а на кривой в порядке <math>a, c, b, d</math>.<ref>{{citation
 | last = Denne | first = Elizabeth Jane
 | arxiv = math/0510561
 | publisher = University of Illinois at Urbana-Champaign
 | series = Ph.D. thesis
 | title = Alternating quadrisecants of knots
 | lang = en
 | year = 2004
 | bibcode = 2005math.....10561D}}.</ref>
По всей видимости, это и есть доказательство, найденное, но не опубликованное Хайнцем Хопфом.

Также есть доказательство, основанное на использовании минимальных поверхностей, оно опирается на тот факт, что если поворот кривой не превосходит <math>4\pi</math>, то диск с границей на кривой, минимизирующий площадь, является вложенным.<ref>{{статья |автор=Ekholm T., White B., Wienholtz, D. |заглавие=Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π |язык=en |ссылка=https://arxiv.org/pdf/math/0405483.pdf |издание=Ann. Math. |год=2002 |том= |номер= |страницы=209–234 |doi= |issn= |archivedate=2022-02-15 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20220215044236/https://arxiv.org/pdf/math/0405483.pdf}}</ref>

== Вариации и обобщения ==
* Верно также, что любая замкнутая простая кривая в [[Пространство Адамара|CAT(0)-пространстве]] с вариацией поворота меньше чем <math>4\pi</math> ограничивает вложенный диск<ref>{{статья |автор=Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. |заглавие=The Fary–Milnor theorem in Hadamard manifolds |язык=en |ссылка= |издание=Proc. Amer. Math. Soc. |год=1998 |том=126 |номер=11 |страницы=3427–3436 |doi= |issn=}}</ref>.

== См. также ==
* [[Теорема Фенхеля о повороте кривой]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* I. Fary, [http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1949__77__128_0 ''Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un nœud'']{{ref-fr}}, Bulletin de la Société Mathématique de France, '''77''' (1949), 128—138.
* Karol Borsuk. ''Sur la courbure totale des courbes fermées''{{ref-fr}}. Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 251–265 (1948).
* J. W. Milnor, [https://www.jstor.org/pss/1969467 ''On the total curvature of knots'']{{ref-en}}, [[Annals of Mathematics]], '''52''' (1950), 248—257.
* {{статья |автор=Anton Petrunin, Stephan Stadler |заглавие=Six proofs of the Fáry–Milnor theorem |ссылка=https://arxiv.org/abs/2203.15137 |язык=en |arXiv=2203.15137 |год= |том= |номер= |страницы= |doi= |issn=}}


[[Категория:Дифференциальная геометрия кривых]]
[[Категория:Теория узлов]]