Просмотр кода страницы Теорема Фробениуса

{{О|теореме Фробениуса в алгебре|других теоремах Фробениуса|Теорема Фробениуса (значения)}}
'''Теоре́ма Фробе́ниуса''' — одна из теорем [[общая алгебра|общей алгебры]]. Теорема утверждает, что при некоторых естественных предположениях (''конечномерность'', см. ниже) всякое [[тело (алгебра)|тело]] (в частности, [[поле (алгебра)|поле]]), расширяющее поле [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb R</math>:
* либо [[изоморфизм|изоморфно]] исходному полю <math>\mathbb R</math>;
* либо [[изоморфизм|изоморфно]] полю [[комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb C</math>;
* либо [[изоморфизм|изоморфно]] телу [[кватернион]]ов <math>\mathbb H</math>.

Иными словами, невозможно задать 4 арифметических действия над столбцами (любой высоты, большей 1) из вещественных чисел так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям [[Ассоциативность (математика)|ассоциативности]], [[Коммутативность|коммутативности]], [[Обратный элемент|обратимости]] и [[Билинейная операция|билинейности]], то есть аксиомам поля, и единственным исключением из этого запрета являются комплексные числа — столбцы из двух вещественных чисел.

В случае же ослабления требований путём отказа от коммутативности умножения мы получаем ещё одно исключение, которым являются кватернионы (столбцы из четырёх вещественных чисел).

Поскольку словом «число» обычно называют элемент поля (или хотя бы тела), частным случаем теоремы является тот факт, что ''трехмерных чисел не бывает'', как не бывает и пяти- или же более -мерных.

8-мерные [[Алгебра Кэли|октонионы Кэли]] исключением из теоремы не являются, поскольку умножение для них не ассоциативно.

Эта теорема была доказана [[Фробениус, Фердинанд Георг|Ф. Г. Фробениусом]] в [[1877 год]]у.

== Формулировка ==
Пусть <math>\mathbb L</math> — [[Тело (алгебра)|тело]], содержащее в качестве подтела тело <math>\mathbb R</math> вещественных чисел, причём  выполняются два условия:
* любой элемент <math>x \in \mathbb L</math> [[коммутативность|коммутирует]] по умножению с вещественными числами: <math>xa=ax</math>, <math>a \in \mathbb R</math>;
* <math>\mathbb L</math> является конечномерным [[векторное пространство|векторным пространством]] над полем <math>\mathbb R</math>.

Другими словами, <math>\mathbb L</math> является конечномерной [[алгебра с делением|алгеброй с делением]]<ref>[[Алгебра с делением]] не содержит [[Делитель нуля|делителей нуля]]. Для конечномерной алгебры над полем верно и обратное утверждение. Поэтому в разных источниках при формулировке теоремы и следствий может быть использован как термин «алгебра с делением», так и  «алгебра без делителей нуля».</ref> над полем вещественных чисел.

Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело <math>\mathbb L</math>:
* либо изоморфно полю <math>\mathbb R</math> вещественных чисел,
* либо изоморфно полю <math>\mathbb C</math> [[комплексное число|комплексных чисел]],
* либо изоморфно телу <math>\mathbb H</math> [[кватернион]]ов.

Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям <math>\mathbb R</math>. Например, она не охватывает поле [[гипервещественное число|гипервещественных чисел]] [[Нестандартный анализ|нестандартного анализа]], которое тоже является расширением <math>\mathbb R</math>, но не конечномерным. Другой пример — алгебра [[Рациональная функция|рациональных функций]].

== Следствия и замечания ==
* Эта теорема тесно связана с [[Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением|теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах]]. Нормированные алгебры с делением — только <math>\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H</math> и (неассоциативная) [[Алгебра Кэли|алгебра чисел Кэли]].
* При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность ([[алгебра Кэли]]) и т.&nbsp;п.
* Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) мнимыми единицами.
* Поля <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math> являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными [[Алгебра над полем|алгебрами]] без [[Делитель нуля|делителей нуля]].
* Тело кватернионов <math>\mathbb H</math> является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без [[Делитель нуля|делителей нуля]].
* [[Алгебра Кэли]] является единственной конечномерной вещественной [[Альтернативная алгебра|альтернативной]] неассоциативной алгеброй без [[Делитель нуля|делителей нуля]].
Три последних утверждения образуют так называемую ''обобщённую теорему Фробениуса''.

== Алгебры с делением над полем комплексных чисел ==
Алгебра размерности ''n'' над  полем <math>\mathbb C</math> комплексных чисел является алгеброй размерности ''2n''  над <math>\mathbb R</math>.  Тело кватернионов <math>\mathbb H</math> не является алгеброй над полем <math>\mathbb C</math>, так как  центром <math>\mathbb H</math> является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над <math>\mathbb C</math> является алгебра <math>\mathbb C</math>.

== Гипотеза Фробениуса ==
В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности
при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве ''R<sup>n</sup>'' нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при ''n>1'' в пространстве ''R<sup>n</sup>'' определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере ''S''<sup>n-1</sup> существует ''n-1'' линейно независимых векторных полей<ref>{{книга|автор=Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. |заглавие=Курс гомотопической топологии|место=Москва|год=1989 — §19, стр.170}}</ref>. Из результатов, полученных  [[Адамс, Джон Фрэнк|Адамсом]] о количестве {{не переведено 5|Векторные поля на сфере |векторных полей на сфере ||Vector fields on spheres}}, следует, что это возможно только для сфер ''S''<sup>1</sup>, ''S''<sup>3</sup>, ''S''<sup>7</sup>. Это доказывает гипотезу Фробениуса.

== См. также ==
* [[Алгебра Кэли]]
* [[Гиперкомплексное число]]
* [[Седенион]]
* [[Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением|Теорема Гурвица]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Бахтурин&nbsp;Ю.&nbsp;А.|заглавие=Основные структуры современной алгебры |место=М.|издательство=Наука|год=1990|страниц=320}}
* {{книга|автор=[[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]]&nbsp;|заглавие=Лекции по общей алгебре. 2-е изд|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kurosh1973ru.djvu|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=400|ref=Курош}}
* {{книга|автор=[[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин Л. С.]]&nbsp;|заглавие=Обобщения чисел|ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/bib-kvant/pontrjagin.djvu|место=М.|издательство=Наука|год=1986|страниц=120|серия=Библиотечка [[Квант (журнал)|«Квант»]], выпуск 54|ref=Понтрягин}}

{{Числа}}
{{Алгебра над кольцом}}

[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Теоремы алгебры|Фробениуса]]