Просмотр кода страницы Теорема о равнораспределении

[[Файл:Thermally Agitated Molecule.gif|frame|''Тепловое движение'' [[альфа-спираль|α-]][[пептид]]а. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого атома так и среднюю потенциальную энергию многих колебаний. Белые, красные и синие шарики обозначают [[атом]]ы [[Водород|водорода]], [[кислород]]а и [[азот]]а соответственно; серые шарики представляют метильные/метиленовые группы.]]
'''Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы''', '''закон равнораспределения''', '''теорема о равнораспределении''' — связывает [[температура|температуру]] системы с её средней [[энергия|энергией]] в [[классическая физика|классической]] [[статистическая механика|статистической механике]]. В первоначальном виде теорема утверждала, что при [[тепловое равновесие|тепловом равновесии]] энергия разделена одинаково между её различными формами, например, средняя [[кинетическая энергия]] [[перемещение (физика)|поступательного движения]] молекулы должна равняться средней кинетической энергии её [[вращательное движение|вращательного движения]].

С помощью теоремы о равнораспределении можно делать количественные предсказания. Как и [[вириальная теорема]], она даёт ''полные'' средние кинетические и потенциальные энергии для системы при данной температуре, из которых можно вычислить [[теплоёмкость]] системы. Однако теорема о равнораспределении также позволяет определить средние значения ''отдельных компонентов'' энергии, такие как кинетическая энергия одной частицы или потенциальная энергия отдельной [[пружина|пружины]]. В теореме утверждается, что каждая молекула одноатомного [[идеальный газ|идеального газа]], находящегося в термодинамическом равновесии (или в состоянии, близком к термодинамически равновесному), обладает средней кинетической энергией равной ''(3/2)k<sub>B</sub>T'', где ''k<sub>B</sub>'' — [[постоянная Больцмана]], ''T'' — температура. В общем случае её можно применять к любой [[классическая физика|классической системе]], находящейся в состоянии [[тепловое равновесие|теплового равновесия]], независимо от того, насколько она сложна. Теорема о равнораспределении может использоваться для вывода [[Уравнение состояния идеального газа|уравнения состояния идеального газа]] и [[закон Дюлонга — Пти|закона Дюлонга — Пти]], для определения [[удельная теплоёмкость|удельной теплоёмкости]] твёрдых тел. Её также используют в предсказании свойств [[звезда|звёзд]], даже таких как [[белый карлик|белые карлики]] и [[нейтронная звезда|нейтронные звезды]], поскольку закон равнораспределения остаётся верен даже когда следует учитывать [[Специальная теория относительности|релятивистские]] эффекты.

Хотя теорема о равнораспределении делает очень точные предсказания при определённых условиях, она теряет применимость, когда [[квантовая механика|квантовые эффекты]] начинают играть существенную роль. Равнораспределение действительно только тогда, когда тепловая энергия ''k<sub>B</sub>T'' намного больше, чем интервал между соседними квантовыми уровнями энергии, потому что в противном случае средние значения энергии и теплоёмкости, приходящиеся на некоторые [[степени свободы (физика)|степени свободы]], меньше, чем величины, полученные с использованием теоремы о равнораспределении. Говорят, что степень свободы ''выморожена'', если тепловая энергия намного меньше, чем этот интервал (это означает, что практически такую степень свободы при данных условиях можно не учитывать, при таком условии переход в возбужденные состояния по данной степени свободы практически невозможен). Например, теплоёмкость твёрдого тела уменьшается при низких температурах — поскольку различные типы движения становятся вымороженными — вместо того, чтобы остаться постоянной, как это должно было бы быть в соответствии с классической теоремой о равнораспределении. Такое уменьшение теплоёмкости было первым знаком физикам XIX века, что [[классическая физика]] теряет применимость при низкой температуре, и должны быть сформулированы новые законы для объяснения реально наблюдаемого поведения теплоемкости в зависимости от температуры. Наряду с другим противоречием, несостоятельностью закона равнораспределения для описания [[электромагнитное излучение|электромагнитного излучения]] — также известного как [[ультрафиолетовая катастрофа]] — привели [[Планк, Макс|Макса Планка]]<!-- решение УФ катастрофы — Планк --> к идее, что свет излучается и поглощается [[фотон|квантами]]. Эта революционная гипотеза положила начало квантовой теории, давшей при дальнейшей разработке [[квантовая механика|квантовую механику]] и [[квантовая теория поля|квантовую теорию поля]].

== {{anchor|figure-distribution}}Основная идея и простые примеры ==
{{see also|Кинетическая энергия|Теплоёмкость}}
[[Файл:MaxwellBoltzmann-ru.svg|thumb|440px|Распределение плотности вероятности скоростей молекул для четырёх [[благородные газы|благородных газов]] при [[температура|температуре]] 298,15 [[Кельвин|К]] (25 [[Градус Цельсия|°C]]). Показаны [[гелий]] (<sup>4</sup>He), [[неон]] (<sup>20</sup>Ne), [[аргон]] (<sup>40</sup>Ar) и [[ксенон]] (<sup>132</sup>Xe) (индекс обозначает их [[Массовое число|массовые числа]]). Функции распределения плотности вероятности имеют [[Размерность физической величины|размерность]] вероятности, деленной на скорость, а поскольку вероятность — величина безразмерная, то результирующую размерность можно выразить в единицах секунда на метр.]]

Первоначально термин «равнораспределение» означал, что полная [[кинетическая энергия]] системы разделена одинаково среди всех её независимых частей ''в среднем'', как только система достигла теплового равновесия. Теорема о равнораспределении также даёт количественные предсказания для этих энергий. Например, она предсказывает, что каждый атом [[благородные газы|благородного газа]], находящегося в тепловом равновесии при температуре ''T'', обладает средней кинетической энергией поступательного движения равной ''(3/2)k<sub>B</sub>T''. Как следствие, более тяжёлые атомы [[ксенон]]а обладают более низкой средней скоростью, чем лёгкие атомы [[гелий|гелия]] при той же самой температуре. Рисунок показывает [[распределение Максвелла]] для скоростей атомов четырёх газов.

В этом примере важно отметить, что кинетическая энергия является квадратичной функцией скорости. Теорема о равнораспределении утверждает, что при тепловом равновесии, любая [[Степени свободы (физика)#Степени свободы в статистической физике и термодинамике|степень свободы]] (компоненты векторов положения или скорость частицы)<ref>Здесь, как можно видеть, термин ''[[Степени свободы (физика)|степень свободы]]'' используется в том «термодинамическом» смысле, который несколько отличается от обычного в физике, а именно (в варианте, приведенном в данной статье): отдельными степенями свободы рассматриваются координатные (ответственные за потенциальную энергию) и скоростные (ответственные за кинетическую), тогда как обычно координату и соответствующую ей скорость относят к одной и той же степени свободы. Легко видеть, что в данном контексте такое изменение смысла термина оправдано простотой формулировки теоремы. Заметим, что координаты, потенциальная энергия от которых не зависит (хотя бы в первом приближении) квадратично (а это координаты, соответствующие поступательному и вращательному движению молекулы), дают пренебрежимый вклад в потенциальную энергию, хотя обычный вклад ½''k<sub>B</sub>T'' в кинетическую энергию. Выделенность колебательных степеней свободы, потенциальная энергия которых квадратична (хотя бы приближенно), состоит в том, что в колебательных системах, близких к [[Гармонический осциллятор|гармоничности]], потенциальная энергия равна кинетической при свободных колебаниях.</ref>, которая появляется только как квадратичная функция в энергии, обладает средней энергией равной ½''k<sub>B</sub>T'' и поэтому вносит вклад ½''k<sub>B</sub>'' в теплоёмкость системы. У этого утверждения существует много практических приложений.

=== Энергия поступательного движения частиц идеальных газов ===
{{See also|Идеальный газ}}

Кинетическая энергия частицы газа с массой ''m'' и обладающая скоростью '''v''' задаётся в виде

: <math>H^{\mathrm{kin}} = \tfrac12 m |\mathbf{v}|^2 = \tfrac{1}{2} m\left( v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \right),</math>

где ''v<sub>x</sub>'', ''v<sub>y</sub>'' и ''v<sub>z</sub>'' — декартовы компоненты вектора скорости '''v'''. Здесь символ ''H'' обозначает [[Функция Гамильтона|функцию Гамильтона]] системы и используется как символ энергии в [[Гамильтонова механика|гамильтоновом формализме]]. Он играет центральную роль в большинстве [[#Общая формулировка теоремы о равнораспределении|обобщений]] закона равнораспределения.

Поскольку кинетическая энергия является квадратичной функцией компонент скорости, из закона равнораспределения следует, что каждая из этих компонент вносит одинаковый вклад ½''k<sub>B</sub>T'' в среднюю кинетическую энергию газа, находящегося в тепловом равновесии. Отсюда следует, что средняя кинетическая энергия частицы равна (3/2)''k<sub>B</sub>''T, как в примере для благородных газов сверху.

В общем случае, полная энергия [[идеальный газ|идеального газа]] состоит из (поступательной) кинетической энергии отдельных частиц, в соответствии с предположением, что частицы не имеют никаких внутренних степеней свободы и перемещаются независимо от друг друга. Равнораспределение означает, что средняя полная энергия идеального газа из ''N'' частиц равна (3/2)''N k<sub>B</sub>T''.

Отсюда следует, что [[теплоёмкость]] газа составляет (3/2)''N k<sub>B</sub>'' и, в частности, теплоёмкость одного [[Моль (единица измерения)|моля]] газа таких частиц равна (3/2)''N<sub>A</sub>k<sub>B</sub>''=(3/2)''R'', где ''N<sub>A</sub>'' — [[число Авогадро]] и ''R'' — [[Универсальная газовая постоянная|газовая постоянная]]. Поскольку ''R'' ≈ 2 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]), закон равнораспределения предсказывает что [[молярная теплоёмкость]] идеального газа приблизительно равна 3 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]). Это предсказание проверено экспериментально.<ref name="kundt_1876" />

Средняя кинетическая энергия позволяет оценить корень квадратный из среднего квадрата скорости ''v<sub>rms</sub>'' частиц в газе:

: <math>v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle v^{2} \rangle} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},</math>

где ''M = N<sub>A</sub>m'' — молярная масса газа. Этот результат полезен для многих практических приложений, таких как [[закон Грэхема]] для [[Эффузия (физика)|эффузии]], который используется в методе [[обогащение урана|обогащения урана]]<ref>[http://www.nrc.gov/reading-rm/doc-collections/fact-sheets/enrichment.html Fact Sheet on Uranium Enrichment] {{Wayback|url=http://www.nrc.gov/reading-rm/doc-collections/fact-sheets/enrichment.html |date=20210225134436 }} U.S. Nuclear Regulatory Commission. Accessed 30th April 2007</ref>

=== Энергия вращательного движения ===
{{main|Энергия вращательного движения}}
{{также|Угловая скорость}}

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с [[главные оси инерции|главными моментами инерции]] ''I<sub>1</sub>'', ''I<sub>2</sub>'' и ''I<sub>3</sub>''. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

: <math>H^{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2} ( I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} + I_{3} \omega_{3}^{2} ),</math>

где ''ω<sub>1</sub>'', ''ω<sub>2</sub>'', и ''ω<sub>3</sub>'' — главные компоненты [[угловая скорость|угловой скорости]]. Точно по тем же самым рассуждениям как и в случае поступательного движения равнораспределение подразумевает, что при тепловом равновесии средняя вращательная энергия каждой частицы: ''(3/2)k<sub>B</sub>T''. Аналогично, теорема о равнораспределении позволяет вычислить среднюю (более точно, корень квадратный из среднего квадрата) угловую скорость молекул.<ref name="pathria_1972" />

=== Потенциальная энергия и гармонические осцилляторы ===
Равнораспределение применимо не только к кинетической энергии, но и к [[потенциальная энергия|потенциальной энергии]]. Важные примеры включают [[гармонический осциллятор|гармонические осцилляторы]] такие как [[пружина]], которая обладает квадратичной по координатам потенциальной энергией

: <math>H^{\mathrm{pot}} = \tfrac 12 a q^{2},</math>

где постоянная ''a'' описывает [[жёсткость]] пружины и ''q'' — отклонение от равновесного положения. Если такая одномерная система имеет массу ''m'', тогда её кинетическая энергия ''H''<sup>kin</sup>: ½''mv²'' = ''p''²/2''m'', где ''v'' и ''p'' = ''mv'' обозначают скорость и импульс осциллятора. Суммируя эти вклады получим полную энергию системы<ref name="goldstein_1980" />

: <math>H = H^{\mathrm{kin}} + H^{\mathrm{pot}} = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2} a q^{2}.</math>

Равнораспределение подразумевает, что при тепловом равновесии осциллятор обладает средней энергией, которая равна

: <math>
\langle H \rangle = 
\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle + \langle H^{\mathrm{pot}} \rangle = 
\tfrac{1}{2} k_{B} T + \tfrac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T,
</math>

где угловые скобки <math>\left\langle \ldots \right\rangle</math> обозначают усреднение заключённой в них величины.<ref name="huang_1987" />

Этот результат остаётся верен для любых типов гармонического осциллятора, таких как [[маятник]], колеблющаяся молекула или пассивный [[Генератор колебаний электрический|электрический генератор]]. Системы таких осцилляторов возникают во многих случаях. По закону равнораспределения, каждый такой осциллятор обладает средней полной энергией ''k''<sub>''B''</sub>''T'' и следовательно даёт вклад ''k<sub>B</sub>'' в теплоёмкость системы. Этот вывод можно использовать для вывода формулы для [[тепловой шум|теплового шума]]<ref name="mandl_1971" >{{книга |год=1971 |заглавие=Statistical Physics |ссылка=https://archive.org/details/statisticalphysi00fman |издательство=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]] |страницы=[https://archive.org/details/statisticalphysi00fman/page/213 213]—219 |id=ISBN 0-471-56658-6 |ref=Mandl |автор=Mandl, F. }}</ref> и [[закон Дюлонга-Пти|закона Дюлонга — Пти]] для удельной теплоёмкости твёрдых тел. Последнее сыграло важную роль в истории теоремы о равнораспределении.

[[Файл:Vätskefas.png|frame|left|Атомы в кристалле могут колебаться около их равновесных положений в [[кристаллическая решётка|решётке]]. Такие колебания считаются (наряду c [[электрон]]ами) в значительной степени ответственными за теплоёмкость кристаллических [[диэлектрик]]ов и [[металл]]ов]]

=== Теплоёмкость твёрдых тел ===
{{см. также|Удельная теплоёмкость|Теория теплоёмкостей Эйнштейна|модель Дебая}}
Закон равнораспределения применяется для определения удельной теплоёмкости кристаллических тел. Поскольку каждый атом из такого тела может колебаться в трёх независимых направлениях, то кристалл можно рассматривать как систему ''3N'' независимых [[гармонический осциллятор|гармонических осцилляторов]], где ''N'' обозначает число атомов в решётке. Каждый гармонический осциллятор обладает средней энергией ''k<sub>B</sub>T'', поэтому средняя полная энергия тела равна ''3Nk<sub>B</sub>T'', а его удельная теплоёмкость ''3Nk<sub>B</sub>''.

Если взять за ''N'' — [[число Авогадро]] (''N<sub>A</sub>''), то, используя соотношение ''R = N<sub>A</sub>k<sub>B</sub>'' между [[Универсальная газовая постоянная|газовой постоянной]] (''R'') и постоянной Больцмана (''k<sub>B</sub>''), получим выражение для [[закон Дюлонга — Пти|закона Дюлонга — Пти]], который описывает [[молярная теплоёмкость|молярную теплоёмкость]] твёрдых тел. Он гласит, что удельная теплоёмкость одного моля атомов кристаллической решётки составляет ''3R'' ≈ 6 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]).

Следует отметить, что этот закон неверен при низких температурах, где важно принять во внимание квантовые эффекты. Он также вступает в противоречие с экспериментально подтверждённым [[третий закон термодинамики|третьим началом термодинамики]], согласно которому удельная теплоёмкость любого вещества стремится к нулю при стремлении температуры к абсолютному нулю.<ref name="mandl_1971" /> Более точные теории, которые принимают во внимание квантовые эффекты, были разработаны [[Альберт Эйнштейн|Альбертом Эйнштейном]] ([[1907 год]]) и [[Петер Дебай|Петером Дебаем]] ([[1911 год]]).<ref name="pais_1982" />

Многие физические системы можно смоделировать в виде системы [[гармонический осциллятор|связанных гармонических осцилляторов]]. Движения таких осцилляторов можно разложить на [[Нормальные колебания|нормальные моды]], которые можно представить как вибрационные моды струны [[фортепьяно]] или [[резонанс]]ы трубы [[орган (музыкальный инструмент)|органа]]. С другой стороны, теорема о равнораспределении становится неприменимой для таких систем из-за отсутствия обмена энергии между нормальными модами. В предельном случае моды независимы и, таким образом, их энергии сохраняются независимо. Это означает, что смешивание энергий, формально называемое ''эргодичностью'', важно для выполнения закона равнораспределения.

=== Седиментация частиц ===
{{See also|Седиментация|Уравнение Масона — Вивера|Пивоварение}}

Потенциальная энергия не всегда является квадратичной функцией координат, но теорема о равнораспределении утверждает, что если степень свободы ''x'' входит с множителем ''x<sup>s</sup>'' (для фиксированной постоянной ''s'') в полную энергию, то при тепловом равновесии средняя энергия этой части равна ''k<sub>B</sub>T/s''.

Это обобщение используется при рассмотрении [[седиментация|седиментации]] частиц под действием [[гравитация|гравитации]].<ref name="tolman_1918" /> Например, взвесь, иногда заметная в [[пиво|пиве]], может быть вызвана кусочками [[белки|белков]], которые [[рассеивание Рэлея|рассеивают]] свет.<ref>{{статья |заглавие=Haze formation in model beer systems |издание={{Нп3|Journal of Agricultural and Food Chemistry|J. Agric. Food Chem.||Journal of Agricultural and Food Chemistry}} |том=53 |номер=26 |страницы=10161—10165 |pmid=16366710 |doi=10.1021/jf0506941 |язык=en |автор=Miedl M., Garcia M., Bamforth C. |год=2005 |тип=journal}}</ref> В течение долгого времени, эти кусочки скапливаются на дне под действием силы тяжести, приводя к более сильному рассеянию света около основания бутылки, чем у её вершины. Однако, благодаря [[диффузия|диффузии]] работающей в противоположном направлении, частицы движутся вверх к вершине бутылки. Как только равновесие достигнуто, теорема о равнораспределении может использоваться, чтобы определить среднее положение определённого кусочка [[Закон Архимеда|плавучей массы]] ''m''<sub>''b''</sub>. Для бесконечно высокой бутылки пива гравитационная [[потенциальная энергия]] задана в виде

: <math>H^{\mathrm{grav}} = m_{b} g z\,,</math>

где ''z'' — положение белкового кусочка в бутылке по высоте и ''[[ускорение свободного падения|g]]'' — [[ускорение]] вызванное гравитацией. Поскольку ''s=1'', то средняя потенциальная энергия белкового кусочка равна ''k<sub>B</sub>T''. Если масса белкового кусочка составляет около 10 [[Атомная единица массы|МДа]] (грубо это размер [[вирус]]а), то при равновесии возникнет взвесь со средней высотой около 2 см. Процесс седиментации к равновесному положению описывается [[уравнение Масона — Вивера|уравнением Масона — Вивера]].<ref name="mason_1924" >{{статья |заглавие=The Settling of Small Particles in a Fluid |ссылка=https://archive.org/details/sim_physical-review_1924-03_23_3/page/412 |издание=[[Physical Review]] |том=23 |страницы=412—426 |doi=10.1103/PhysRev.23.412 |язык=en |автор=Mason, M; Weaver W. |год=1924 |тип=journal}}</ref>

== История ==
: ''В этой статье используются отличные от [[Международная система единиц|СИ]] единицы измерения [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]) для [[удельная теплоёмкость|удельной теплоёмкости]] из-за точности десятичной записи.<br>Для преобразования в единицы СИ [[Джоуль|Дж]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]), эти значения нужно домножить на 4.2 [[Джоуль|Дж]]/[[калория|кал]].''

Равнораспределение кинетической энергии по степеням свободы предложил в 1843 году (правильнее говорить о 1845 годе) [[Уотерстон, Джон Джеймс|Джон Джеймс Уотерстон]].<ref>{{книга |год=1976 |заглавие=The Kind of Motion We Call Heat, Volume 1 |издательство=North Holland |место=Amsterdam |страницы=134—159 |isbn=978-0444870094 |ref=Brush |язык=en |автор=Brush, S. G.}}</ref><ref>{{книга |год=1976 |заглавие=The Kind of Motion We Call Heat, Volume 2 |издательство=North Holland |место=Amsterdam |страницы=336—339 |isbn=978-0444870094 |ref=Brush |язык=en |автор=Brush, S. G.}}</ref><ref>{{статья |заглавие=On the physics of media that are composed of free and elastic molecules in a state of motion |издание=Roy. Soc. Proc. |том=5 |страницы=604 |язык=en |тип=journal |автор=[[Уотерстон, Джон Джеймс|Waterston, JJ]] |год=1846/1893}}(абстракт). Полностью не опубликован до {{статья |издание=Philos. Trans. R. Soc. London |том=A183 |страницы=1—79 |год=1893 }} Переиздан {{книга |заглавие=The collected scientific papers of John James Waterston |ссылка=https://archive.org/details/b29487468 |год=1928 |место=Edinburgh |издательство=Oliver & Boyd |язык=en |ответственный=J. S. Haldane}}</ref><ref>{{книга |год=1843 |заглавие=Thoughts on the Mental Functions |ref=Waterston |автор=[[Уотерстон, Джон Джеймс|Waterston, J. J.]] }} (перепечатано в его ''Papers'', '''3''', 167, 183.)</ref><ref>{{статья |издание=British Association Reports |том=21 |страницы=6 |автор=[[Уотерстон, Джон Джеймс|Waterston, J. J.]] |год=1851 }}

Основная статья Уотерстона была написана и подана в 1845 году в [[Королевское общество]]. После отказа напечатать работу общество также отказалось от возврата манускрипта и сохранило его среди других статей в архиве. Манускрипт был найден в 1891 году [[Стретт, Джон Уильям|Лордом Рэлеем]], который раскритиковал референта за то, что тот не распознал значительность работы Уотерстона. Уотерстону удалось опубликовать свои идеи в 1851 году, и поэтому он опередил Максвелла в изложении первой версии теоремы равнораспределения.</ref> В 1859 [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймс Клерк Максвелл]] утверждал, что кинетическая энергия при высокой температуре газа одинаково разделена между энергией поступательного движения и вращательной энергией.<ref>{{книга |год=2003 |часть=Illustrations of the Dynamical Theory of Gases |заглавие=The Scientific Papers of James Clerk Maxwell |страницы=Vol.1, pp. 377—409 |издательство=Dover |место=New York |isbn=978-0486495606 |ref=Maxwell |язык=en |автор=[[Максвелл, Джеймс Клерк|Maxwell, J. C.]] |ответственный=W. D. Niven}} Read by Prof. Maxwell at a Meeting of the British Association at Aberdeen on 21 September [[1859]].</ref> В 1876 году [[Больцман, Людвиг|Людвиг Больцман]] показал, что средняя энергия разделена одинаково между всеми независимыми компонентами движения в системе.<ref>{{статья |заглавие=Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht (Some general statements on thermal equilibrium) |издание=Wiener Berichte |том=63 |страницы=679—711 |язык=de |тип=magazin |автор=[[Больцман, Людвиг|Boltzmann, L.]] |год=1871}} {{de icon}} В этой предварительной работе Больцман показал, что средняя полная кинетическая энергия равна средней полной потенциальной энергии, когда на систему действуют внешние гармонические силы.</ref><ref>{{статья |заглавие=Über die Natur der Gasmoleküle (On the nature of gas molecules) |издание=Wiener Berichte |том=74 |страницы=553—560 |автор=[[Больцман, Людвиг|Boltzmann, L.]] |год=1876 }} {{de icon}}</ref> Больцман применил закон равнораспределения, чтобы теоретически объяснить эмпирический [[закон Дюлонга — Пти]] для теплоёмкости твёрдых тел.

[[Файл:DiatomicSpecHeat1.png|thumb|450px|Идеализированный график теплоёмкости двухатомного газа в зависимости от температуры. Значение (7/2)''R'' согласуется с предсказанной из закона равнораспределения теплоёмкостью для высоких температур (где ''R'' —[[Универсальная газовая постоянная|газовая постоянная]]), но уменьшается до (5/2)''R'' и затем до (3/2)''R'' при более низких температурах, поскольку колебательные и вращательные степени свободы ''вымораживаются''. Нарушение закона равнораспределения привело к парадоксу, который был разрешён только в [[квантовая механика|квантовой механике]]. Для большинства молекул переходная температура T<sub>rot</sub> много меньше комнатной температуры, в то время как T<sub>vib</sub> может быть в десять раз больше. (Типичный пример: [[монооксид углерода]], CO, для которого T<sub>rot</sub> ≈ 2.8 [[Кельвин|К]], а T<sub>vib</sub> ≈ 3103 [[Кельвин|К]].) Для молекул с длинными или слабыми связями между атомами T<sub>vib</sub> может быть близка к комнатной температуре (около 300 [[Кельвин|K]]); например, T<sub>vib</sub> ≈ 308 [[Кельвин|К]] для газа [[йод]]а, I<sub>2</sub>.<ref name="mcquarrie_2000c" />]]

История теоремы о равнораспределении переплетена с [[теплоёмкость|исследованиями теплоёмкости]], которые были проведены в XIX веке. В 1819 году французские физики [[Дюлонг, Пьер Луи|Пьер Дюлонг]] и [[Пти, Алексис Тереза|Алексис Пти]] обнаружили, что удельные молярные теплоёмкости для твёрдых тел практически равны при комнатной температуре, и составляют приблизительно 6 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]).<ref>{{статья |заглавие=Recherches sur quelques points importants de la théorie de la chaleur (Studies on key points in the theory of heat) |ссылка=http://web.lemoyne.edu/~giunta/PETIT.html |издание=[[Annales de chimie et de physique|Annales de Chimie et de Physique]] |том=10 |страницы=395—413 |язык=fr |автор=[[Пти, Алексис Терез|Petit, A. T.]]; [[Дюлонг, Пьер Луи|Dulong P. L.]] |год=1819 |тип=magazine |archivedate=2009-01-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090122020257/http://web.lemoyne.edu/~giunta/petit.html }} {{fr icon}}</ref> Их закон использовался многие годы для измерения [[атомный вес|атомных весов]].<ref name="pais_1982" >{{книга |год=1982 |заглавие=Subtle is the Lord |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |isbn=0-19-853907-X |ref=Pais |язык=en |автор=Pais, A. }}</ref> Однако последующие исследования [[Дьюар, Джеймс|Джеймса Дьюара]] и [[Вебер, Генрих Фридрих|Генриха Вебера]] показали, что [[закон Дюлонга-Пти]] выполняется только при больших температурах,<ref>{{статья |заглавие=The Specific Heat of Carbon at High Temperatures |издание=[[Philosophical Magazine]] |том=44 |страницы=461 |язык=en |автор=[[Дьюар, Джеймс|Dewar, J.]] |год=1872 |тип=journal}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Die specifische Wärme des Kohlenstoffs (The specific heat of carbon) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=147 |страницы=311—319 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152316 |язык=en |тип=journal |автор=[[Вебер, Генрих Фридрих|Weber, HF]] |год=1872 |archivedate=2006-12-10 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20061210131514/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152316 }} {{de icon}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Die specifische Wärmen der Elemente Kohlenstoff, Bor und Silicium (The specific heats of elemental carbon, boron, and silicon) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=154 |страницы=367—423, 553—582 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/CadresFenetre?O=NUMM-15238&M=chemindefer |язык=en |тип=journal |автор=[[Вебер, Генрих Фридрих|Weber, H. F.]] |год=1875}}{{Недоступная ссылка|date=Апрель 2018 |bot=InternetArchiveBot }} {{de icon}}</ref> а при низких температурах или для очень твёрдых кристаллов, таких как [[алмаз]], теплоёмкость меньше.<ref>{{статья |заглавие=Quelques recherches sur la chaleur spécifique (Some research on specific heat) |издание=[[Annales de chimie et de physique|Annales de Chimie et de Physique]] |том=75 |страницы=113—144 |ссылка=https://books.google.com/books?id=vBwAAAAAMAAJ&pg=RA1-PA3 |язык=fr |тип=magazine |автор=de la Rive, A.; Marcet F. |год=1840 |archivedate=2021-04-27 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210427145038/https://books.google.com/books?id=vBwAAAAAMAAJ&pg=RA1-PA3 }} {{fr icon}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Recherches sur la chaleur spécifique des corps simples et des corps composés (deuxième Mémoire) (Studies of the specific heats of simple and composite bodies) |издание=[[Annales de chimie et de physique|Annales de Chimie et de Physique]] |том=1 (3me Série) |страницы=129—207 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34742d/CadresFenetre?O=NUMM-34742&M=tdm |язык=fr |тип=magazine |автор=[[Реньо, Анри Виктор|Regnault, H. V.]] |год=1841 |archivedate=2013-04-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130413110124/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34742d/CadresFenetre?O=NUMM-34742&M=tdm }} {{fr icon}} Read at l’Académie des Sciences on 11 January [[1841]].</ref><ref>{{статья |заглавие=Über Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme fester Elemente (On the temperature dependence of the specific heats of solids) |ссылка=https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1907_22_1/page/99 |издание=[[Annalen der Physik]] |том=22 |страницы=99—106 |язык=en |тип=journal |автор=Wigand, A. |год=1907}} {{de icon}}</ref>

Экспериментальные значения теплоёмкости газов также поставили вопросы о правильности теоремы о равнораспределении. Теорема предсказывает, что молярная удельная теплоёмкость одноатомных газов должна быть примерно 3 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]), а для двухатомных газов приблизительно 7 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]). Эксперименты подтвердили первое предсказание,<ref name="kundt_1876" >{{статья |заглавие=Über die specifische Wärme des Quecksilbergases (On the specific heat of mercury gases) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=157 |страницы=353—369 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15241h |язык=en |тип=journal |автор=[[Кундт, Август|Kundt, A.]]; [[Варбург, Эмиль|Warburg E.]] |год=1876 |archivedate=2013-04-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130413113217/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15241h }} {{de icon}}</ref> но для двухатомных газов эксперимент показал, что удельная молярная теплоёмкость составляет только 5 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]),<ref name="Wueller_1896">{{книга |год=1896 |заглавие=Lehrbuch der Experimentalphysik (Textbook of Experimental Physics) |издательство=Teubner |место=Leipzig |страницы=Vol. 2, 507ff |ref=Wüller |язык=en |автор=Wüller, A.}} {{de icon}}</ref> и падает до 3 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]) при очень низких температурах.<ref name="Eucken_1912" >{{статья |заглавие=Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (The molecular specific heat of hydrogen at low temperatures) |издание=Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften |том=1912 |страницы=141—151 |язык=en |тип=journal |автор=Eucken, A. |год=1912}} {{de icon}}</ref> Максвелл заметил в 1875, что расхождение между экспериментом и законом равнораспределения даже хуже, если брать эти значения;<ref name="maxwell_1875" >{{книга |год=1890 |часть=On the Dynamical Evidence of the Molecular Constitution of Bodies |заглавие=The Scientific Papers of James Clerk Maxwell |страницы=Vol.2, pp.418—438 |издательство=At the University Press |место=Cambridge |{{ASIN|B000GW7DXY}} |ref=Maxwell |язык=en |автор=[[Максвелл, Джеймс Клерк|Maxwell, J. C.]] |ответственный=WD Niven}} Лекция прочитанная профессором Максвеллом Химическому обществу 18 февраля [[1875 год]]а.</ref> поскольку атомы имеют внутреннюю структуру, то тепловая энергия должна пойти на движение этих внутренних частей, приводя к предсказаниям для удельных молярных теплоёмкостей одноатомных и двухатомных газов много больших чем 3 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]) и 7 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[Кельвин|К]]), соответственно.

Третье разногласие связано с теплоёмкостью металлов.<ref name="kittel_1996" >{{книга |год=1996 |заглавие=Introduction to Solid State Physics |издательство=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]] |место=New York |id=ISBN 978-0-471-11181-8 |страницы=151—156 |ref=Kittel |автор=Kittel, C. }}</ref> Согласно классической [[модель Друде|модели Друде]], электроны в металле ведут себя как идеальный газ и соответственно должны давать вклад (3/2)''N<sub>e</sub> k<sub>B</sub>'', где ''N<sub>e</sub>'' — число электронов, в теплоёмкость металла по теореме о равнораспределении. Экспериментально, однако, вклад электронов в теплоёмкость невелик: молярные теплоёмкости различных проводников и диэлектриков практически совпадают.<ref name="kittel_1996" /> (См. также раздел «[[#Ограничения, накладываемые квантовой механикой|Ограничения, накладываемые квантовой механикой]]»).

Были предложены несколько объяснений неточности теоремы о равнораспределении при определении теплоёмкостей. [[Больцман, Людвиг|Больцман]] защищал доказательство своей теоремы как правильное, но предположил, что газы могут не быть в [[тепловое равновесие|тепловом равновесии]] из-за их взаимодействия с [[светоносный эфир|эфиром]].<ref>{{статья |заглавие=On certain Questions of the Theory of Gases |издание=Nature |том=51 |страницы=413—415 |язык=en |автор=[[Больцман, Людвиг|Boltzmann, L.]] |год=1895 }}</ref> [[Лорд Кельвин]] предположил, что вывод теоремы о равнораспределении должен быть неверен, поскольку её выводы расходятся с экспериментом, но не смог указать ошибку.<ref>{{книга|ref=Thomson|автор=[[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|Thomson, W.]]|заглавие=Baltimore Lectures|год=1904|место=Baltimore|издательство=[[Johns Hopkins University Press]]|страницы=Sec. 27}} Перепечатана в 1987 году издательством MIT Press под названием ''Kelvin’s Baltimore Lectures and Modern Theoretical Physics: Historical and Philosophical Perspectives'' (Robert Kargon and Peter Achinstein, editors). ISBN 978-0-262-11117-1</ref> [[Лорд Рэлей]] вместо этого выдвинул более радикальную гипотезу, заключающуюся в том что и теорема о равнораспределении и экспериментальное предположение о тепловом равновесии верны, но чтобы согласовать их, он высказался о потребности нового принципа, который обеспечит ''побег от разрушительной простоты'' теоремы о равнораспределении.<ref>{{статья |заглавие=The Law of Partition of Kinetic Energy |издание=[[Philosophical Magazine]] |том=49 |страницы=98—118 |язык=en |автор=[[Стретт, Джон Уильям (лорд Рэлей)|Rayleigh, J. W. S.]] |год=1900 |тип=journal}}</ref> [[Альберт Эйнштейн]] показал путь для разрешения этого противоречия, когда в 1907 году показал, что эти аномалии в теплоёмкости возникают из-за квантовых эффектов, в частности квантования энергии упругих колебаний твёрдого тела.<ref>{{статья |заглавие=Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme (The Planck theory of radiation and the theory of specific heat) |ссылка=https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1907_22_1/page/180 |издание=[[Annalen der Physik]] |том=22 |страницы=180—190 |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Einstein, A.]] |год=1907 }}{{de icon}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme' (Correction to previous article) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=22 |страницы=800 |язык=de |тип=magazin |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Einstein, A.]] |год=1907}} {{de icon}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül (A connection between the elastic behavior and the specific heat of solids with single-atom molecules) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=34 |страницы=170—174 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15337j |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Einstein, A.]] |год=1911 |archivedate=2020-05-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20200520125716/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15337j }} {{de icon}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Bemerkung zu meiner Arbeit: 'Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül' (Comment on previous article) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=34 |страницы=590 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15337j |язык=de |тип=magazin |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Einstein, A.]] |год=1911 |archivedate=2020-05-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20200520125716/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15337j }} {{de icon}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern (Elementary observations on the thermal movements of molecules in solids) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=35 |страницы=679—694 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15338w |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Einstein, A.]] |год=1911 |archivedate=2021-04-27 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210427222337/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15338w }} {{de icon}}</ref> Эйнштейн использовал неточность закона равнораспределения как довод в пользу того, что требуется новая квантовая теория вещества.<ref name="pais_1982" /> Эксперименты [[Нернст, Вальтер|Нернста]] в 1910 году по измерению теплоёмкости при низких температурах<ref>{{статья |заглавие=Untersuchungen über die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen. II. (Investigations into the specific heat at low temperatures) |издание=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften |том=1910 |страницы=262—282 |язык=en |тип=journal |автор=[[Нернст, Вальтер Герман|Nernst, W.]] |год=1910}} {{de icon}}</ref> подтвердили теорию Эйнштейна и привели к широкой поддержке [[квантовая теория|квантовой теории]] среди физиков.<ref>{{книга |год=1971 |заглавие=The Genesis of Quantum Theory (1899–1913) |url=https://archive.org/details/genesisofquantum00herm |издание=original title: ''Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913)'', translated by Claude W. Nash |издательство=[[MIT Press|The MIT Press]] |место=Cambridge, MA |isbn=0-262-08047-8, {{LCCN|73||151106}} |страницы=[https://archive.org/details/genesisofquantum00herm/page/124 124]—145 |ref=Hermann |язык=en |автор=Hermann, Armin}}</ref>

== Общая формулировка теоремы о равнораспределении ==
{{See also|Обобщённые координаты|Гамильтонова механика|Микроканонический ансамбль|Канонический ансамбль}}

Наиболее общая формулировка теоремы о равнораспределении<ref name="pathria_1972" /><ref name="huang_1987" /><ref name="tolman_1918" >{{статья |заглавие=A General Theory of Energy Partition with Applications to Quantum Theory |ссылка=https://archive.org/details/sim_physical-review_1918-04_11_4/page/261 |издание=[[Physical Review]] |том=11 |страницы=261—275 |язык=en |тип=journal |автор=[[Толмен, Ричард Чейз|Tolman, R. C.]] |год=1918}}</ref> гласит, что при определённых условиях (смотрите ниже) для физической системы с [[Функция Гамильтона|гамильтонианом]] ''H'' и степенями свободы ''x<sub>n</sub>'' выполняется следующее соотношение для любых индексов ''m'' и ''n'':

<div style="border:2px solid black;padding:3px;margin-left:0em;width:250px;text-align:left">
: <math>\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = \delta_{mn} k_{B} T.</math>
</div>

Здесь ''δ<sub>mn</sub>'' — [[символ Кронекера]], который равен единице если ''m''=''n'' и нулю в других случаях. Угловые скобки обозначают усреднение <math>\left\langle \ldots \right\rangle</math>, которое может относиться как к усреднению по времени, так и более общему [[усреднение по ансамблям|усреднению по ансамблям]] в фазовом пространстве. Требование [[эргодичность|эргодичности]], используемое в теореме, подразумевает, что эти два усреднения эквивалентны.

Общая формулировка теоремы верна как в случае [[микроканонический ансамбль|микроканонического ансамбля]],<ref name="huang_1987">{{книга |год=1987 |заглавие=Statistical Mechanics |издание=2nd ed. |издательство=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]] |страницы=136—138 |id=ISBN 0-471-81518-7 |ref=Huang |автор=[[Хуанг, Керсон|Huang, K.]] }}</ref> когда полная энергия системы постоянна, так и в случае [[канонический ансамбль|канонического ансамбля]],<ref name="pathria_1972" >{{книга |год=1972 |заглавие=Statistical Mechanics |ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha0000rkpa/page/43 |издательство={{Нп3|Pergamon Press}} |страницы=43—48, 73—74 |isbn=0-08-016747-0 |ref=Pathria |автор=Pathria, R. K. }}</ref><ref name="tolman_1938" >{{книга |год=1938 |заглавие=The Principles of Statistical Mechanics |издательство=[[Dover Publications]] |место=New York |страницы=93—98 |isbn=0-486-63896-0 |ref=Tolman |автор=[[Толмен, Ричард Чейс|Tolman, R. C.]] }}</ref> когда система связана с [[тепловой резервуар|тепловым резервуаром]], с которым она может обмениваться энергией. Вывод общей формулы приведён [[#Выводы|ниже]].

Общая формула эквивалентна следующим выражениям:
# <math>\Bigl\langle x_{n} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = k_{B} T </math>   для всех ''n''.
# <math>\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = 0 </math>   для всех ''m''≠''n''.

Если степень свободы ''x<sub>n</sub>'' появляется только в виде квадратичного слагаемого ''a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>²'' в гамильтониане ''H'', то первая формула утверждает, что
: <math>k_{B} T = \Bigl\langle x_{n} \frac{\partial H}{\partial x_{n}}\Bigr\rangle = 2\langle a_n x_n^2 \rangle,</math>
в два раза больше вклада этой степени свободы в среднюю энергию <math>\langle H\rangle</math>. Тогда равнораспределение для системы с энергиями, зависящими от квадратов координат, следует из общей формулы. Аналогичный аргумент для степени ''s'' в общем случае применим для вклада вида ''a<sub>n</sub>x<sub>n</sub><sup>s</sup>''.

Степени свободы ''x''<sub>''n''</sub> — координаты в [[фазовое пространство|фазовом пространстве]] системы, и поэтому они обычно разделяются на [[канонические координаты|обобщённые координаты]] ''q<sub>k</sub>'' и [[обобщённые импульсы]] ''p<sub>k</sub>'', где ''p<sub>k</sub>'' — [[обобщённые импульсы|импульс, сопряжённый]] к ''q<sub>k</sub>''. В этом случае формула 1 означает, что для всех ''k''

: <math>\Bigl\langle p_{k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle =  \Bigl\langle q_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle = k_{B} T.</math>

Используя уравнения [[Гамильтонова механика|гамильтоновой механики]],<ref name="goldstein_1980" >{{книга |год=1980 |заглавие=Classical Mechanics |издание=2nd. ed |издательство=[[Addison-Wesley]] |isbn=0-201-02918-9 |ref=Goldstein |автор=[[Голдстейн, Герберт|Goldstein, H.]] }}</ref> эти формулы можно также переписать в виде

: <math>\Bigl\langle p_{k} \frac{dq_{k}}{dt} \Bigr\rangle = -\Bigl\langle q_{k} \frac{dp_{k}}{dt} \Bigr\rangle = k_{B} T.</math>

Формула 2 утверждает, что средние

: <math>
\Bigl\langle q_{j} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle, \quad
\Bigl\langle q_{j} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle, \quad
\Bigl\langle p_{j} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle, \quad
\Bigl\langle p_{j} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle, \quad
\Bigl\langle q_{k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle,</math>   и   <math>
\Bigl\langle p_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle
</math>
равны нулю для ''j≠k''.

=== Связь с вириальной теоремой ===
{{See also|Обобщённые координаты|Гамильтонова механика|Вириальная теорема}}

Общая теорема о равнораспределении является обобщением теоремы о вириале (предложена в 1870<ref>{{статья |заглавие=Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz |издание=[[Annalen der Physik]] |том=141 |страницы=124—130 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258/CadresFenetre?O=NUMM-15225&M=tdm |язык=de |тип=magazin |автор=[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эмануэль|Clausius, R.]] |год=1870 |archivedate=2021-03-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210308115801/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258/CadresFenetre?O=NUMM-15225&M=tdm }} {{de icon}}<br>{{статья |заглавие=On a Mechanical Theorem Applicable to Heat |издание=Philosophical Magazine, Ser. 4 |том=40 |страницы=122—127 |автор=[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эмануэль|Clausius, R. J. E.]] |год=1870 }}</ref>) и гласит

: <math>
\Bigl\langle \sum_{k} q_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle = 
\Bigl\langle \sum_{k} p_{k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle = 
\Bigl\langle \sum_{k} p_{k} \frac{dq_{k}}{dt} \Bigr\rangle = -\Bigl\langle \sum_{k} q_{k} \frac{dp_{k}}{dt} \Bigr\rangle,
</math>

где ''t'' обозначает [[время]].<ref name="goldstein_1980" /> Два ключевых различия между ними заключаются в том, что вириальная теорема связывает «суммированные», а не «индивидуальные» средние друг с другом, и первая не связывает их с [[температура|температурой]] «T». Другое различие — то, что традиционные доказательства вириальной теоремы используют усреднение в течение длительного периода времени, тогда как теорема о равнораспределении также использует усреднение по [[фазовое пространство|фазовому пространству]].

== Применения ==

=== Уравнение состояния идеального газа ===
{{See also|Идеальный газ|Уравнение состояния идеального газа}}

Теорема о равнораспределении используется для вывода уравнения состояния [[Идеальный газ|идеального газа]] из классической механики.<ref name="pathria_1972" />. Формула для средней кинетической энергии на одну частицу, принимая во внимание только три поступательных степени свободы, запишется в виде
: <math>
\begin{align}
\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle &= \frac{1}{2m} \langle p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2} \rangle\\
&=  \frac{1}{2} \biggl(
\Bigl\langle p_{x} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{x}} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle p_{y} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{y}} \Bigr\rangle +
\Bigl\langle p_{z} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{z}} \Bigr\rangle \biggr) = 
\frac{3}{2} k_{B} T
\end{align}
</math>
Если '''q''' = (''q<sub>x</sub>'', ''q<sub>y</sub>'', ''q<sub>z</sub>'') и '''p''' = (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'') обозначают координаты и импульс частицы в газе, а '''F''' — сила, действующая на эту частицу, тогда
: <math>
\begin{align}
\langle \mathbf{q} \cdot \mathbf{F} \rangle &= \Bigl\langle q_{x} \frac{dp_{x}}{dt} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle q_{y} \frac{dp_{y}}{dt} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle q_{z} \frac{dp_{z}}{dt} \Bigr\rangle\\
&=-\Bigl\langle q_{x} \frac{\partial H}{\partial q_x} \Bigr\rangle -
\Bigl\langle q_{y} \frac{\partial H}{\partial q_y} \Bigr\rangle - 
\Bigl\langle q_{z} \frac{\partial H}{\partial q_z} \Bigr\rangle = -3k_{B} T,
\end{align}
</math>
где первое равенство представляет собой [[второй закон Ньютона]], а вторая строчка использует [[уравнения Гамильтона]] и равнораспределение. Суммирование по системе из ''N'' частиц приводит к выражению

: <math>3Nk_{B} T = - \biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle.</math>
<!--
[[Файл:Translational motion.gif|frame|Кинетическая энергия одной молекулы может сильно варьироваться, но закон равнораспределения позволяет вычислить её «среднюю» энергии при любой температуре. Равнораспределение по степеням свободы также приводит к [[уравнение состояния идеального газа|уравнению состояния идеального газа]], которое связывает [[давление]], [[объём]] и [[температура|температуру]] идеального газа. (На этом рисунке пять из молекул изображены красным, чтобы было легче отслеживать их движение среди других частиц.)]]
— файл слишком большой — 400 килобайт // AVB
-->
Используя [[третий закон Ньютона]] и предположение об идеальности газа, получим полную силу в системе — силу, которая действует со стороны стенок контейнера на систему, и эта сила задаётся давлением ''P'' газа. Следовательно

: <math>-\biggl\langle\sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}\biggr\rangle = P \oint_{\mathrm{surface}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{dS},</math>

где '''dS''' — бесконечно малый элемент площади стенок контейнера. Поскольку [[дивергенция]] радиус-вектора '''q''' равняется

: <math>
\boldsymbol\nabla \cdot \mathbf{q} =
\frac{\partial q_{x}}{\partial q_{x}} + 
\frac{\partial q_{y}}{\partial q_{y}} + 
\frac{\partial q_{z}}{\partial q_{z}} = 3,
</math>

то из [[Формула Остроградского|теоремы о дивергенции]] получаем

: <math>P \oint_{\mathrm{surface}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{dS} = P \int_{\mathrm{volume}} \left( \boldsymbol\nabla \cdot \mathbf{q} \right) dV = 3PV,</math>

где ''dV'' — бесконечно малый объём внутри контейнера, ''V'' — его полный объём.

Собирая уравнения вместе, получаем

: <math>3Nk_{B} T = -\biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle = 3PV,</math>

которое приводит к уравнению состояния для идеального газа для ''N'' частиц:

: <math>PV = Nk_{B} T = nRT,</math>

где ''n=N/N<sub>A</sub>'' — число [[Моль (единица измерения)|молей]] газа и ''R=N<sub>A</sub>k<sub>B</sub>'' — [[Универсальная газовая постоянная|газовая постоянная]].<ref name="configint">L. Vu-Quoc, [http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_(statistical_mechanics) Configuration integral (statistical mechanics)] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081011041922/http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_(statistical_mechanics) |date=2008-10-11 }}, 2008.</ref>

=== Двухатомные газы ===
{{See also|Задача двух тел|Ротор|Гармонический осциллятор}}

Двухатомный газ можно представить как две массы ''m<sub>1</sub>'' и ''m<sub>2</sub>'', соединённые между собой посредством [[пружина|пружины]] с [[Закон Гука|жёсткостью]] ''a''.<ref name="mcquarrie_2000c" >{{книга |год=2000 |заглавие=Statistical Mechanics |ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0 |издание=revised 2nd ed. |издательство=University Science Books |id=ISBN 978-1-891389-15-3 |страницы=[https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/91 91]—128 |ref=McQuarrie |автор=McQuarrie, D. A. }}</ref> Классическая энергия этой системы записывается в виде суммы кинетических энергий движения отдельных масс и потенциальной энергии деформации пружины:

: <math>
H = 
\frac{\left| \mathbf{p}_{1} \right|^{2}}{2m_{1}} + 
\frac{\left| \mathbf{p}_{2} \right|^{2}}{2m_{2}} + 
\frac{1}{2} a q^{2},
</math>

где '''p'''<sub>1</sub> и '''p'''<sub>2</sub> — импульсы двух атомов, ''q'' — отклонение от положения равновесия. Каждая степень свободы является квадратичной функцией, и поэтому должна давать вклад равный ½''k<sub>B</sub>T'' в полную среднюю энергию и ½''k<sub>B</sub>'' в удельную теплоёмкость. Таким образом, удельная теплоёмкость газа из ''N'' двухатомных молекул должна равняться ''7N'' · ½''k<sub>B</sub>'': импульсы '''p'''''<sub>1</sub>'' и '''p'''''<sub>2</sub>'' дают каждый по три степени свободы и отклонение ''q'' добавляет седьмую. Отсюда следует, что удельная теплоёмкость одного моля газа двухатомных молекул без каких-либо отличных от упомянутых выше степеней свободы должна составить (7/2)''N<sub>A</sub>k<sub>B</sub>''=(7/2)''R'' и, таким образом, предсказанная молярная удельная теплоёмкость составит 7 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[кельвин|К]]). В то же время, как показали измерения, молярная удельная теплоёмкость газа двухатомных молекул равняется 5 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[кельвин|К]])<ref name="Wueller_1896" /> и уменьшается до 3 [[калория|кал]]/([[Моль (единица измерения)|моль]]·[[кельвин|К]]) при очень низких температурах.<ref name="Eucken_1912" /> Это расхождение между предсказанным значением по закону равнораспределения и экспериментом нельзя объяснить, используя более сложную структуру молекулы, поскольку с добавлением степеней свободы увеличивается и предсказанное значение теплоёмкости.<ref name="maxwell_1875" /> Это разногласие было одним из ключевых, которые требовали более правильных, а именно [[квантовая механика|квантовых]] представлений о структуре материи.

[[Файл:Chandra-crab.jpg|thumb|left|300px|Совмещённое рентгеновское и оптическое изображения [[крабовидная туманность|крабовидной туманности]]. В центре этой туманности находится быстро вращающаяся [[нейтронная звезда]], которая в полтора раза тяжелее нашего Солнца, но только 25 км в диаметре. Теорема о равнораспределении оказывается полезной для изучения свойств таких звёзд]]

=== Ультрарелятивистские идеальные газы ===
{{See also|Специальная теория относительности|Белый карлик|нейтронная звезда}}

Закон равнораспределения использовался выше, чтобы получить классическое [[уравнение состояния идеального газа]] из [[ньютоновская механика|ньютоновской механики]]. Однако [[специальная теория относительности|релятивистские]] эффекты становятся доминирующими в некоторых системах, таких как [[белый карлик|белые карлики]] и [[нейтронная звезда|нейтронные звезды]],<ref name="huang_1987" /> и уравнение состояния идеального газа нужно изменить. Теорема о равнораспределении даёт удобный способ получить соответствующие законы для ультрарелятивистского [[идеальный газ|идеального газа]].<ref name="pathria_1972" /> В этом случае, кинетическая энергия [[релятивистская частица|отдельной частицы]] задана формулой

: <math>H^{\mathrm{kin}} \approx cp = c \sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}.</math>

Дифференцируя ''H'' по компоненте импульса ''p<sub>x</sub>'', получим

: <math>p_{x} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{x}}  = c \frac{p_{x}^{2}}{\sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}}</math>

и аналогично для компонент ''p<sub>y</sub>'' и ''p<sub>z</sub>''. Складывая три компоненты вместе придём к выражению для средней кинетической энергии

: <math>
\begin{align}
\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle
&= \biggl\langle c \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{\sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}}  \biggr\rangle\\
&= \Bigl\langle p_{x} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{x}} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle p_{y} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{y}} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle p_{z} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{z}} \Bigr\rangle\\
&= 3 k_{B} T
\end{align}
</math>
где последнее равенство следует из равнораспределения. Таким образом, средняя полная энергия ультрарелятивистского газа в два раза больше полной энергии газа в нерелятивистском случае: для ''N'' частиц, получим ''3 N k<sub>B</sub>T''.

=== Неидеальные газы ===
{{See also|Вириальное разложение|Вириальный коэффициент}}

В идеальном газе частицы взаимодействуют только через соударения. Закон равнораспределения можно использовать для получения выражения для давления и энергии «неидеальных газов», в которых частицы взаимодействуют друг с другом посредством [[консервативные силы|консервативных сил]]. Потенциал взаимодействия ''U''(''r'') этих частиц зависит только от расстояния ''r'' между частицами.<ref name="pathria_1972" /> Эта ситуация описывается в модели одной частицы, где остальные частицы в газе образуют [[сферическая симметрия|сферически-симметричное]] распределение. Удобно ввести [[радиальная функция распределения|радиальную функцию распределения]] ''g(r)'', такую что [[плотность вероятности]] найти частицу на расстоянии ''r'' от данной равна 4π''r²ρ g(r)'', где ''ρ=N/V'' — средняя [[плотность]] газа.<ref name="mcquarrie_2000b" >{{книга |год=2000 |заглавие=Statistical Mechanics |ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0 |издание=revised 2nd ed. |издательство=University Science Books |isbn=978-1891389153 |страницы=[https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/254 254]—264 |ref=McQuarrie |автор=McQuarrie, D. A. }}</ref> Отсюда следует, что средняя потенциальная энергия взаимодействия частицы с её окружением равна

: <math>
\langle h^{\mathrm{pot}} \rangle = \int_{0}^{\infty} 4\pi r^{2} \rho U(r) g(r)\, dr.
</math>

Полная средняя потенциальная энергия газа равна <math> \langle H^{pot} \rangle = \tfrac12 N \langle h^{\mathrm{pot}} \rangle </math>, где ''N'' — число частиц в газе, и множитель ½ необходим поскольку суммирование по всем частицам включает каждое взаимодействие дважды.

После суммирования потенциальной и кинетической энергии и применения равнораспределения получим ''энергетическое уравнение''

: <math>
H = 
\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle + \langle H^{\mathrm{pot}} \rangle = 
\frac{3}{2} Nk_{B}T + 2\pi N \rho \int_{0}^{\infty} r^{2} U(r) g(r) \, dr.
</math>

Похожие рассуждения<ref name="pathria_1972" /> приводят к уравнению для давления

: <math>3Nk_{B}T = 3PV + 2\pi N \rho \int_{0}^{\infty} r^{3} U'(r) g(r)\, dr.</math>

=== Ангармонические осцилляторы ===
{{See also|Ангармонический осциллятор}}

Для ангармонического осциллятора (в противоположность простому [[гармонический осциллятор|гармоническому осциллятору]]) потенциальная энергия не является квадратичной функцией смещения ''q'' (обобщённая координата, которая показывает отклонение от положения равновесия). Такие осцилляторы позволяют более широко взглянуть на закон равнораспределения.<ref name="tolman_1927" >{{книга |год=1927 |заглавие=Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry |издательство=Chemical Catalog Company |страницы=76—77 |ref=Tolman |язык=en |автор=[[Толмен, Ричард Чейс|Tolman, R. C.]]}}</ref><ref name="terletskii_1971" >{{книга |год=1971 |заглавие=Statistical Physics |издание=translated: N. Fröman |издательство=North-Holland |место=Amsterdam |isbn=0-7204-0221-2, {{LCCN|70||157006}} |страницы=83—84 |ref=Terletskii |автор=Terletskii, Y. P. }}</ref> В качестве простого примера рассмотрим функции потенциальной энергии вида

: <math>H^{\mathrm{pot}} = C q^{s},</math>

где ''C'' и ''s'' произвольные [[вещественное число|реальные постоянные]]. В этом случае закон равнораспределения приводит к выыражению

: <math>
k_{B} T = \Bigl\langle q \frac{\partial H^{\mathrm{pot}}}{\partial q} \Bigr\rangle = 
\langle q \cdot s C q^{s-1} \rangle = \langle s C q^{s} \rangle = s \langle H^{\mathrm{pot}} \rangle.
</math>

Таким образом, средняя потенциальная энергия равна ''k<sub>B</sub>T/s'', а не ''k<sub>B</sub>T/2'' как для квадратичного потенциала гармонического осциллятора (где ''s''=2).

В более общем случае типичная функция энергии одномерной системы представима в виде [[ряд Тейлора|разложения Тейлора]] по ''q'':

: <math>H^{\mathrm{pot}} = \sum_{n=2}^{\infty} C_{n} q^{n}</math>

для неотрицательных [[Целое число|целых чисел]] ''n''. Слагаемое с ''n''=1 отсутствует, поскольку в точке равновесия отсутствует результирующая сила и первая производная энергии обращается в ноль. Слагаемое с ''n''=0 нужно включить, поскольку потенциальная энергия в точке равновесия может быть выбрана произвольным образом (ноль для простоты). В этом случае из закона равнораспределения следует что<ref name="tolman_1927" />

: <math>
k_{B} T = \Bigl\langle q \frac{\partial H^{\mathrm{pot}}}{\partial q} \Bigr\rangle = 
\sum_{n=2}^{\infty} \langle q \cdot n C_{n} q^{n-1} \rangle = 
\sum_{n=2}^{\infty} n C_{n} \langle q^{n} \rangle.
</math>

В противоположность другим примерам, приведённым здесь, закон равнораспределения
: <math>
\langle H^{\mathrm{pot}} \rangle = \frac{1}{2} k_{B} T - 
\sum_{n=3}^{\infty} \left( \frac{n - 2}{2} \right) C_{n} \langle q^{n} \rangle
</math>
для средней потенциальной энергии не может быть записан в терминах известных постоянных.

=== Броуновское движение ===
[[Файл:Wiener process 3d.png|thumb|400px|Типичное броуновское движение частицы в трёх измерениях]]

{{See also|Броуновское движение}}

Закон равнораспределения используют для вывода среднеквадратичного отклонения [[Броуновское движение|броуновской]] частицы, используя [[уравнение Ланжевена]].<ref name="pathria_1972" /> Согласно этому уравнению движение частицы с массой ''m'' и скоростью '''v''' подчиняется [[законы Ньютона|второму закону Ньютона]]

: <math>\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{1}{m} \mathbf{F} = -\frac{\mathbf{v}}{\tau} + \frac{1}{m} \mathbf{F}^{\mathrm{rnd}},</math>

где '''F'''<sup>rnd</sup> — случайная сила, которая описывает случайные соударения частицы с окружающими молекулами, и где [[постоянная времени]] <math>\tau</math> отражает существование [[Лобовое сопротивление (аэродинамика)|силы трения]], которая направлена в противоположную движению сторону. Сила трения часто записывается в виде пропорциональном скорости частицы <math> \mathbf{F}^\mathrm{drag} = -\gamma \mathbf{v}</math>, и тогда постоянная времени <math>\tau</math> равна <math>m/\gamma</math>.

Скалярное произведение этого уравнения и вектора местоположения частицы <math>\mathbf{r}</math> после усреднения (по времени) приводит к уравнению

: <math>
\Bigl\langle \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt} \Bigr\rangle + 
\frac{1}{\tau} \langle \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \rangle = 0
</math>

для броуновского движения (поскольку случайная сила '''F'''<sup>rnd</sup> нескоррелирована с вектором '''r'''). Используя математические соотношения

: <math>
\frac{d}{dt} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} \right) = 
\frac{d}{dt} \left( r^{2} \right) = 2 \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \right)
</math>

и

: <math>\frac{d}{dt} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \right) = v^{2} + \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt},</math>

основное уравнение для броуновского движения можно записать в виде

: <math>
\frac{d^{2}}{dt^{2}} \langle r^{2} \rangle + \frac{1}{\tau} \frac{d}{dt} \langle r^{2} \rangle = 
2 \langle v^{2} \rangle = \frac{6}{m} k_{B} T,
</math>

где последнее равенство следует из закона равнораспределения для кинетической энергии поступательного движения:

: <math>\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle = \Bigl\langle \frac{p^{2}}{2m} \Bigr\rangle = \langle \tfrac{1}{2} m v^{2} \rangle = \tfrac{3}{2} k_{B} T.</math>

Тогда [[дифференциальное уравнение]] для <math>\langle r^2\rangle</math> (с подходящими начальными условиями) можно решить точно:

: <math>\langle r^{2} \rangle = \frac{6k_{B} T \tau^{2}}{m} \left( e^{-t/\tau} - 1 + \frac{t}{\tau} \right).</math>

Если время мало по сравнению с постоянной времени (<math>t\ll\tau</math>), то частицу можно рассматривать как свободно движущуюся, и используя разложение Тейлора для экспоненциальной функции, поскольку квадрат смещения растёт приблизительно ''квадратично'', получим

: <math>\langle r^{2} \rangle \approx \frac{3k_{B} T}{m} t^{2} = \langle v^{2} \rangle t^{2}.</math>

При временах много больших постоянной времени (<math>t\gg\tau</math>) экспоненциальное слагаемое и константа пренебрежимо малы и квадрат смещения растёт ''линейно'':

: <math>\langle r^{2} \rangle \approx \frac{6k_{B} T\tau}{m} t = 6\gamma k_{B} T t.</math>

Это выражение описывает [[диффузия|диффузию]] частицы во времени. Аналогичное уравнение для вращательной диффузии жёсткой молекулы выводится аналогичным методом.

[[Файл:Sun poster ru.svg|thumb|left|400px|Теорема о равнораспределении даёт правильную оценку для температуры внутри ядра [[Солнце|Солнца]]]]

=== Физика звёзд ===
{{See also|Астрофизика|Структура звезды}}

Теорема о равнораспределении и [[вириальная теорема]] давно используется в [[астрофизика|астрофизике]].<ref>{{книга |год=1978 |заглавие=The Virial Theorem in Stellar Astrophysics |издательство=Pachart Press |ref=Collins |язык=en |автор=Collins, G. W. |ссылка=http://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/ |archive-date=2010-12-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101204144027/http://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/ }}</ref> Например, вириальную теорему используют для оценки температур звёзд или [[предел Чандрасекара|предела Чандрасекара]] для массы [[белый карлик|белых карликов]].<ref>{{книга |год=1939 |заглавие=An Introduction to the Study of Stellar Structure |издательство=[[University of Chicago Press]] |место=Chicago |страницы=49—53 |ref=Chandrasekhar |язык=en |автор=[[Субраманьян Чандрасекар|Chandrasekhar, S.]]}}</ref><ref>{{книга |год=1980 |заглавие=Introduction to Advanced Astrophysics |издательство={{Нп3|D. Reidel}} |место=Dordrecht, Holland |страницы=59—60, 134—140, 181—184 |ref=Kourganoff |автор=Kourganoff, V. }}</ref>

Средняя температура звезды оценивается из теоремы о равнораспределении.<ref>{{книга |год=1968 |заглавие=Stellar Physics, volume I |издательство=Blaisdell Publishing |место=Waltham, MA |id={{LCCN|67|0|17990}} |ref=Chiu |автор=Chiu, H.-Y. }}</ref> Поскольку большинство звёзд сферически симметричны, то полная [[Закон всемирного тяготения Ньютона|гравитационная]] [[потенциальная энергия]] оценивается интегралом

: <math>H^{\mathrm{grav}}_{\mathrm{tot}} = -\int_{0}^{R} \frac{4\pi r^{2} G}{r} M(r)\, \rho(r)\, dr,</math>

где ''M(r)'' — масса внутри радиуса ''r'', ''ρ(r)'' — звёздная плотность на радиусе ''r'', ''G'' — [[гравитационная постоянная]], ''R'' — полный радиус звезды. В случае постоянной плотности звезды интегрирование по радиусу приводит к выражению

: <math>H^{\mathrm{grav}}_{\mathrm{tot}} = - \frac{3G M^{2}}{5R},</math>

где ''M'' — полная масса звезды. Отсюда следует, что средняя потенциальная энергия одной частицы равна

: <math>\langle H^{\mathrm{grav}} \rangle = \frac{H^{\mathrm{grav}}_{\mathrm{tot}}}{N} = - \frac{3G M^{2}}{5RN},</math>

где ''N'' — число частиц в звезде. Большинство [[звезда|звёзд]] состоит главным образом из [[ион]]изированного [[водород]]а, тогда ''N'' равно приблизительно ''(M/m<sub>p</sub>)'', где ''m<sub>p</sub>'' — масса протона. Применение закона о равнораспределении даёт оценку температуры звезды

: <math>
\Bigl\langle r \frac{\partial H^{\mathrm{grav}}}{\partial r} \Bigr\rangle = \langle -H^{\mathrm{grav}} \rangle = 
k_{B} T = \frac{3G M^{2}}{5RN}.
</math>

Если подставить в это выражение массу и радиус [[Солнце|Солнца]], то оценочная солнечная температура ''T'' составит 14 миллионов [[кельвин]]ов, очень близко к температуре ядра Солнца (15 миллионов кельвинов). Правда здесь надо отметить, что Солнце по структуре гораздо сложнее, чем принято в этой упрощённой модели и её температура как и плотность изменяются сильно как функция радиуса, а такое хорошее согласие (≈7 % [[относительная ошибка]]) частично наше везение.<ref>{{книга |год=1982 |заглавие=The Sun, Our Star |ссылка=https://archive.org/details/sunourstar00robe |издательство=[[Издательство Гарвардского университета|Harvard University Press]] |место=Cambridge, MA |isbn=0-674-85435-7 |ref=Noyes |автор=Noyes, R. W. }}</ref>

=== Звездообразование ===
Полученные [[#Физика звёзд|выше]] формулы можно использовать для определения условий для [[звездообразование|звездообразования]] из гигантских [[молекулярное облако|молекулярных облаков]].<ref>{{книга |год=1996 |заглавие=An Introduction to Modern Stellar Astrophysics |ссылка=https://archive.org/details/introductiontomo0000ostl |издательство=[[Addison-Wesley]] |место=Reading, MA |isbn=0-201-59880-9 |ref=Ostlie |язык=en |автор=Ostlie, D. A.; Carroll B. W.}}</ref>

Местные колебания плотности в таких облаках могут привести к нестабильному состоянию, в котором облако сожмётся под собственной тяжестью. Такой коллапс происходит, когда теорема о равнораспределении или, эквивалентно, [[теорема о вириале]] больше не применимы, то есть, когда гравитационная потенциальная энергия в два раза превышает кинетическую энергию

: <math>\frac{3G M^{2}}{5R} > 3 N k_{B} T</math>

Предполагая, что плотность облака <math>\rho</math> постоянна, по формуле

: <math>M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho</math>

можно получить оценку минимальной массы для зарождения звезды, которая называется массой Джинса ''M<sub>J</sub>''

: <math>M_{J}^{2} = \left( \frac{5k_{B}T}{G m_{p}} \right)^{3} \left( \frac{3}{4\pi \rho} \right)</math>

Подстановка значений типичных масс в таких наблюдаемых облаках (''T''=150 К, ρ = 2{{e|−16}} г/см³) даёт оценку минимальной массы равную 17 солнечным массам, которая согласуется с наблюдаемым звездообразованием. Этот эффект известен как [[Гравитационная неустойчивость|нестабильность Джинса]]. Он назван в честь британского физика [[Джинс, Джеймс Хопвуд|Джеймса Джинса]], который опубликовал описание этой нестабильности в 1902 году.<ref>{{статья |заглавие=The Stability of a Spherical Nebula |издание={{Нп3|Philosophical Transactions of the Royal Society A|Phil. Trans. A||Philosophical Transactions of the Royal Society A}} |том=199 |страницы=1—53 |doi=10.1098/rsta.1902.0012 |язык=en |автор=[[Джинс, Джеймс Хопвуд|Jeans, J. H.]] |год=1902 |тип=journal}}</ref>

== Выводы ==

=== Кинетическая энергия и распределение Максвелла — Больцмана ===
Первоначальная формулировка теоремы о равнораспределении гласит, что в физической системе при [[термодинамическое равновесие|термодинамическом равновесии]] каждая частица обладает одинаковой средней [[кинетическая энергия|кинетической энергией]], (3/2)''k<sub>B</sub>T''.<ref name="mcquarrie_2000a" >{{книга |год=2000 |заглавие=Statistical Mechanics |ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0 |издание=revised 2nd ed. |издательство=University Science Books |isbn=978-1891389153 |страницы=[https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/121 121]—128 |ref=McQuarrie |автор=McQuarrie, D. A. }}</ref> Это можно показать, используя [[распределение Максвелла — Больцмана]] (см. выше [[#figure-distribution|рисунок распределения плотности вероятности скоростей молекул]]), которое является распределением вероятности

: <math>
f (v) = 4 \pi 
\left( \frac{m}{2 \pi k_B T}\right)^{3/2}\!\!v^2
\exp \Bigl(
\frac{-mv^2}{2k_B T}
\Bigr)
</math>

для скорости частицы с массой ''m'' в системе, где скорость ''v'' — амплитуда <math>\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math> [[вектор (геометрия)|вектора]] [[скорость|скорости]] <math>\mathbf{v} = (v_x,v_y,v_z)</math>.

Распределение Максвелла — Больцмана применимо для системы, состоящей из атомов, и предполагает только, что система частиц представляет собой [[канонический ансамбль]], в частности, что кинетические энергии распределены в соответствии с [[множитель Больцмана|множителем Больцмана]] при температуре ''T''.<ref name="mcquarrie_2000a" /> Средняя кинетическая энергия для частицы массы ''m'' задаётся интегральной формулой

: <math>
\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle = 
\langle \tfrac{1}{2} m v^{2} \rangle = 
\int _{0}^{\infty} \tfrac{1}{2} m v^{2}\  f(v)\  dv = \tfrac{3}{2} k_{B} T,
</math>

как и гласит теорема о равнораспределении. Тот же результат можно получить, усредняя энергии частиц и используя вероятность найти частицу в некотором энергетическом квантовом состоянии<ref name="configint"/>.

=== Квадратичные энергии и статистическая сумма ===
В более общей формулировке теорема о равнораспределении гласит, что любая [[Степени свободы (физика)|степень свободы]] <math>x</math>, которая появляется в полной энергии <math>H</math> только как квадратичное слагаемое вида <math>Ax^2</math>, где <math>A</math> — постоянная, имеет среднюю энергию ''½''<math>k_B T</math> в термодинамическом равновесии. В этом случае равнораспределение можно вывести из [[Статистическая сумма|статистической суммы]] <math>Z(\beta)</math>, где <math>\beta=1/(k_B T)</math> — [[обратная температура]].<ref>{{книга |год=1985 |заглавие=Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics |ссылка=https://archive.org/details/thermodynamicsin00call_349 |издательство=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]] |место=New York |страницы=[https://archive.org/details/thermodynamicsin00call_349/page/375 375]—377 |isbn=0-471-86256-8 |ref=Callen |язык=en |автор=[[Каллен, Герберт|Callen, H. B.]]}}</ref> Интегрирование по переменной <math>x</math> даёт множитель

: <math>Z_{x} = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ e^{-\beta A x^{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{\beta A}},</math>

в формуле для <math>Z</math>. Средняя энергия, связанная с этим фактором, дана выражением

: <math>\langle H_{x} \rangle = - \frac{\partial \ln Z_{x}}{\partial \beta} = \frac{1}{2\beta} = \frac{1}{2} k_{B} T</math>

как гласит теорема о равнораспределении.

=== Общие доказательства ===
Общие выводы теоремы о равнораспределении можно найти во многих учебниках по [[статистическая механика|статистической механике]] как для [[микроканонический ансамбль|микроканонического ансамбля]]<ref name="pathria_1972" /><ref name="huang_1987" />, так и для [[канонический ансамбль|канонического ансамбля]]<ref name="pathria_1972" /><ref name="tolman_1938" />.
Эти методы предполагают усреднение системы в [[фазовое пространство|фазовом пространстве]], которое представляет собой [[симплектическое многообразие]].

Для объяснения этих выводов нужно ввести следующие обозначения. Во первых, фазовое пространство описано в терминах [[канонические координаты|обобщённых координат]] ''q''<sub>''j''</sub> вместе с их [[сопряжённый импульс|сопряжёнными импульсами]] ''p''<sub>''j''</sub>. Величины ''q''<sub>''j''</sub> полностью описывают [[конфигурационное пространство|конфигурацию]] системы, в то же время величины (''q''<sub>''j''</sub>,''p''<sub>''j''</sub>) вместе полностью описывают её [[состояние (физика)|состояние]].

Во вторых, вводят бесконечно малый объём
: <math>d\Gamma = \prod_{i} dq_{i} dp_{i}</math>
фазового пространства и используют его как объём Γ(''E'', Δ''E'') той части фазового пространства, где энергия системы ''H'' принимает значение в диапазоне энергий между ''E'' и ''E+ΔE'':

: <math>\Gamma (E, \Delta E) = \int_{H \in \left[E, E+\Delta E \right]} d\Gamma .</math>
В этом выражении, ''ΔE'' очень мало, ''ΔE&lt;&lt;E''. Аналогично, Σ(''E'') определён как полный объём фазового пространства, где энергия меньше чем ''E'':

: <math>\Sigma (E) = \int_{H < E} d\Gamma .</math>

Из-за малости ''ΔE'', следующие интегрирования эквивалентны

: <math>\int_{H \in \left[ E, E+\Delta E \right]} \ldots d\Gamma  = \Delta E \frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E} \ldots d\Gamma,</math>

где точки представляют собой интегрируемое выражение. Из этого следует, что Γ пропорционален ΔE

: <math>\Gamma = \Delta E \ \frac{\partial \Sigma}{\partial E} = \Delta E \ \rho(E),</math>

где ''ρ(E)'' — [[плотность состояний]]. По обычным определениям из [[статистическая механика|статистической механики]], [[энтропия]] ''S'' равна ''k<sub>B</sub>'' log ''Σ(E)'', и [[температура]] ''T'' определена как

: <math>\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} = k_{b} \frac{\partial \log \Sigma}{\partial E} = k_{b} \frac{1}{\Sigma}\,\frac{\partial \Sigma}{\partial E} .</math>

==== Канонический ансамбль ====
В [[канонический ансамбль|каноническом ансамбле]] система находится в [[тепловое равновесие|тепловом равновесии]] с бесконечным тепловым резервуаром при [[температура|температуре]] ''T'' (в кельвинах).<ref name="pathria_1972" /><ref name="tolman_1938" /> Вероятность каждого состояния в [[фазовое пространство|фазовом пространстве]] задаётся её [[множитель Больцмана|множителем Больцмана]], умноженным на [[нормировка|нормирующий множитель]] <math>\mathcal{N}</math>, который выбран таким образом, чтобы сумма вероятностей равнялась единице

: <math>\mathcal{N} \int e^{-\beta H(p, q)} d\Gamma = 1,</math>

где ''β = 1/k<sub>B</sub>T''. [[Интегрирование по частям]] для переменной в фазовом пространстве ''x<sub>k</sub>'' (которая может быть либо ''q<sub>k</sub>'' либо ''p<sub>k</sub>'') между двумя пределами ''a'' и ''b'' приводит к уравнению

: <math>
\mathcal{N} \int  \left[ e^{-\beta H(p, q)} x_{k} \right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b} d\Gamma_{k}+ 
\mathcal{N} \int  e^{-\beta H(p, q)} x_{k} \beta \frac{\partial H}{\partial x_{k}} d\Gamma = 1,
</math>

где ''dΓ<sub>k</sub> = dΓ/dx<sub>k</sub>'', то есть, первое интегрирование не производится по ''x<sub>k</sub>''. Первое слагаемое обычно равно нулю, потому что ''x<sub>k</sub>'' равен нулю на пределах, или потому что энергия расходится на пределах. В этом случае теорема о равнораспределении немедленно следует из этого уравнения

: <math>
\mathcal{N} \int e^{-\beta H(p, q)} x_{k} \frac{\partial H}{\partial x_{k}} \,d\Gamma = 
\Bigl\langle x_{k} \frac{\partial H}{\partial x_{k}} \Bigr\rangle = \frac{1}{\beta} = k_{B} T.
</math>

Здесь усреднение <math>\langle \ldots \rangle</math> означает [[усреднение по каноническому ансамблю]].

==== Микроканонический ансамбль ====
В микроканоническом ансамбле система изолирована от остального мира или, по крайней мере, слабо связана.<ref name="huang_1987" /> Отсюда следует, что её полная энергия постоянная величина. Пусть для определённости полная энергия ''H'' находится между ''E'' и ''E+ΔE''. Для данной энергии ''E'' и неопределённости ''ΔE'', имеется область в [[фазовое пространство|фазовом пространстве]] Γ, когда система имеет эту энергию, и вероятности каждого состояния в этой области фазового пространства равны, по определению микроканонического ансамбля. Из этих определений следует, что усреднение по переменным в фазовом пространстве ''x<sub>m</sub>'' (которые могут быть либо ''q<sub>k</sub>'' или ''p<sub>k</sub>'') и ''x<sub>n</sub>'' задано в виде

: <math>
\begin{align}
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr \rangle &=
\frac{1}{\Gamma}   \, \int_{H \in \left[ E, E+\Delta E \right]}  x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \,d\Gamma\\
&=\frac{\Delta E}{\Gamma}\, \frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E}  x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \,d\Gamma\\
&= \frac{1}{\rho} \,\frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E}  x_{m} \frac{\partial \left( H - E \right)}{\partial x_{n}} \,d\Gamma,
\end{align}
</math>

где последнее равенство следует из того, что ''E'' не зависит от ''x<sub>n</sub>''. [[Интегрирование по частям]] приводит к соотношению

: <math>
\begin{align}
\int_{H < E}  x_{m} \frac{\partial ( H - E )}{\partial x_{n}} \,d\Gamma &= 
\int_{H < E}  \frac{\partial}{\partial x_{n}} \bigl( x_{m} ( H - E ) \bigr) \,d\Gamma - 
\int_{H < E}  \delta_{mn} ( H - E ) d\Gamma\\
&=  \delta_{mn} \int_{H < E} ( E - H ) \,d\Gamma,
\end{align}
</math>
поскольку первое слагаемое справа в первой строчке равно нулю (его можно записать как интеграл ''H'' — ''E'' по [[Псевдоевклидово пространство|гиперпространству]], где ''H'' = ''E'').

Подставляя этот результат в предыдущее уравнение, получаем

: <math>
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = 
\delta_{mn} \frac{1}{\rho} \, \frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E}\left( E - H \right)\,d\Gamma  = 
\delta_{mn}  \frac{1}{\rho}  \, \int_{H < E} \,d\Gamma = 
\delta_{mn}  \frac{\Sigma}{\rho}.
</math>

Поскольку <math> \rho = \frac{\partial \Sigma}{\partial E} </math>, закон о равнораспределении гласит:

: <math>
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = 
\delta_{mn} \Bigl(\frac{1}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial E}\Bigr)^{-1}  = 
\delta_{mn} \Bigl(\frac{\partial \log \Sigma} {\partial E}\Bigr)^{-1} = \delta_{mn} k_{B} T.
</math>

Таким образом, мы получили [[#Обшая формулировка теоремы о равнораспределении|общую формулировку теоремы о равнораспределении]]

<div style="border:2px solid black;padding:3px;margin-left:0em;width:250px;text-align:left">
: <math>\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = \delta_{mn} k_{B} T,</math>
</div>

которая была использована в [[#Применения|применениях]], приведённых выше.

== Применимость ==
=== Требование эргодичности ===
{{See also|Эргодичность|Теория хаоса|Теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера}}

Закон равнораспределения выполняется только для [[эргодическая гипотеза|эргодичных]] систем, находящихся в [[термодинамическое равновесие|термодинамическом равновесии]], что подразумевает, что все состояния с равной энергией должны быть заполнены с равной вероятностью.<ref name="huang_1987" /> Следовательно, должен быть возможен обмен энергией между различными её формами в пределах системы, или с внешним [[тепловой резервуар|тепловым резервуаром]] в [[канонический ансамбль|каноническом ансамбле]]. Число физических систем, для которых известно строгое доказательство эргодичности, мало. Наиболее известный пример — {{iw|Динамический бильярд|система твёрдых шаров|en|Dynamical billiards}} [[Синай, Яков Григорьевич|Якова Синая]].<ref>{{книга |год=1967 |заглавие=Théorie ergodique des systèms dynamiques |издательство=Gauthier-Villars, Paris. {{fr icon}} (English edition: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968) |ref=Arnold |автор=[[Арнольд, Владимир Игоревич|Arnold, V. I.]]; Avez A. }}</ref> Изученные требования для изолированных систем с гарантированной эргодичностью и, таким образом, равнораспределение, обеспечили предпосылки для современной [[теория хаоса|теории хаоса]] [[динамическая система|динамических систем]]. Хаотическая [[гамильтонова система]] не обязательно должна быть эргодичной, хотя это обычно хорошее приближение.<ref name="reichl_1998" />

Система связанных гармонических осцилляторов — обычно цитируемый контрпример, поскольку энергия не делится между различными её формами и равнораспределение не выполняется в микроканоническом ансамбле.<ref name="reichl_1998" >{{книга |год=1998 |заглавие=A Modern Course in Statistical Physics |издание=2nd ed. |издательство=[[John Wiley & Sons|Wiley Interscience]] |isbn=978-0471595205 |страницы=326—333 |ref=Reichl |автор=Reichl, L. E. }}</ref> Если система изолирована от остального мира, энергия в каждой [[Нормальные волны|нормальной моде]] постоянна и энергия не передаётся от одной моды к другой. Следовательно, закон равнораспределения не выполняется для такой системы, поскольку количество энергии в каждой нормальной моде определяется её начальным значением. Если присутствуют достаточно сильные нелинейные слагаемые в энергии, то она может перераспределяться между нормальными модами, приводя к тому что закон равнораспределения выполняется. Однако, [[теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера]] утверждает, что нелинейные возмущения должны быть достаточно сильны для перераспределения энергии; в противном случае, когда они малы, энергия останется сконцентрирована в, по крайней мере, некоторых из мод.

Другим простым примером является идеальный газ конечного числа частиц, помещенный в сосуд круглой формы. Вследствие симметрии сосуда, у такого газа сохраняется его полный момент импульса. Поэтому не все состояния с равной энергией оказываются заполнены. В результате, у такого газа средняя энергия частицы оказывается зависящей от её массы, а также от масс всех остальных частиц газа.<ref>{{Статья|ссылка=https://www.nature.com/articles/s41598-023-30636-6|автор=Dmitry M. Naplekov, Vladimir V. Yanovsky|заглавие=Distribution of energy in the ideal gas that lacks equipartition|год=2023-02-28|язык=en|издание=Scientific Reports|том=13|выпуск=1|страницы=3427|issn=2045-2322|doi=10.1038/s41598-023-30636-6|archivedate=2023-04-21|archiveurl=https://web.archive.org/web/20230421111251/https://www.nature.com/articles/s41598-023-30636-6}}</ref>

=== Ограничения, накладываемые квантовой механикой ===
{{See also|Ультрафиолетовая катастрофа|История квантовой механики|Неразличимые частицы}}

Закон равнораспределения нарушается, когда тепловая энергия ''k<sub>B</sub>T'' становится значительно меньше, чем расстояние между энергетическими уровнями. Равнораспределение не работает, потому что предположение о [[непрерывный спектр|непрерывном спектре]] энергетических уровней, которое использовалось [[#Выводы|выше]] при выводе закона равнораспределения, больше не является хорошим приближением.<ref name="pathria_1972" /><ref name="huang_1987" /> Исторически, невозможность объяснить с помощью классической теоремы о равнораспределении [[удельная теплоёмкость|удельную теплоёмкость]] и [[излучение абсолютно чёрного тела]] послужила основной причиной осознания того факта, что необходимы новые теории материи и излучения, а именно [[квантовая механика]] и [[квантовая теория поля]].<ref name="pais_1982" />

[[Файл:Et fig2.png|thumb|400px|График средней энергии квантовомеханического осциллятора (красная кривая) в зависимости от температуры в логарифмическом масштабе. Для сравнения: значения, предсказанные теоремой о равнораспределении, показаны чёрным. При высокой температуре две кривые имеют очень хорошее согласие, но при низких температурах, когда ''k<sub>B</sub>T &lt;&lt; hν'', квантовомеханическое значение уменьшается намного быстрее. Это приводит к решению проблемы [[ультрафиолетовая катастрофа|ультрафиолетовой катастрофы]]: для данной температуры энергия высокочастотных мод (когда ''hν &gt;&gt; k<sub>B</sub>T'') почти обращается в ноль.]]

Для иллюстрации нарушения теоремы о равнораспределении, рассмотрим среднюю энергию одиночного (квантового) гармонического осциллятора, который обсуждался выше для классического случая. Его квантовые уровни заданы в виде ''E<sub>n</sub> = nhν'', где ''h'' — [[постоянная Планка]], ''ν'' — [[фундаментальная частота]] осциллятора, и ''n'' — целое положительное число. Вероятность того, что заданный уровень энергии окажется заполнен, в [[канонический ансамбль|каноническом ансамбле]] задаётся его множителем Больцмана:

: <math>P(E_{n}) = \frac{e^{-n\beta h\nu}}{Z},</math>

где ''β'' = 1/''k''<sub>''B''</sub>''T'' и знаменатель ''Z'' — [[статистическая сумма]], здесь [[геометрический ряд]]

: <math>Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\beta h\nu} = \frac{1}{1 - e^{-\beta h\nu}}.</math>

Его средняя энергия задаётся в виде

: <math>
\langle H \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} E_{n} P(E_{n}) =
\frac{1}{Z} \sum_{n=0}^{\infty} nh\nu \ e^{-n\beta h\nu} = 
-\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = 
-\frac{\partial \log Z}{\partial \beta}.
</math>

Подставляя формулу для ''Z'', приходим к искомому результату<ref name="huang_1987" />

: <math>\langle H \rangle = h\nu \frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}.</math>

При высоких температурах, когда тепловая энергия ''k<sub>B</sub>T'' много больше расстояния ''hν'' между энергетическими уровнями, экспоненциальный показатель ''βhν'' оказывается много меньше единицы и средняя энергия становится равной ''k<sub>B</sub>T'', в соответствии с законом о равнораспределении (см. график). Однако, при низких температурах, когда ''hν'' &gt;&gt; ''k<sub>B</sub>T'', средняя энергия стремится к нулю — высокочастотные уровни энергии «вымораживаются» (см. график). Другой пример, возбуждённые электронные состояния атома водорода не вносят вклада в удельную теплоёмкость газа при комнатной температуре, потому что тепловая энергия ''k<sub>B</sub>T'' (приблизительно 0.025 [[электронвольт|эВ]]) много меньше, чем расстояние между основным состоянием и первым возбуждённым уровнем (приблизительно 10 [[электронвольт|эВ]]).

Аналогичные рассмотрения применимы вне зависимости от того, больше ли расстояние между энергетическими уровнями, чем тепловая энергия. Например, эта посылка была использована [[Эйнштейн, Альберт|Альбертом Эйнштейном]], чтобы разрешить ультрафиолетовую катастрофу излучения абсолютно чёрного тела.<ref name="Einstein1905">{{статья |заглавие=Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (A Heuristic Model of the Creation and Transformation of Light) |издание=[[Annalen der Physik]] |том=17 |страницы=132—148 |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/CadresFenetre?O=NUMM-209459&M=chemindefer |doi=10.1002/andp.19053220607 |язык=de |тип=magazin |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Einstein, A.]] |год=1905}}{{Недоступная ссылка|date=Апрель 2018 |bot=InternetArchiveBot }}{{ref-de}}. An [[s:A Heuristic Model of the Creation and Transformation of Light|English translation]] is available from [[Wikisource]].</ref> Парадокс возникает из-за того, что имеется бесконечное число независимых мод [[электромагнитное поле|электромагнитного поля]] в замкнутом контейнере, каждая из которых трактуется как гармонический осциллятор. Если каждая электромагнитная мода обладает средней энергией ''k<sub>B</sub>T'', тогда в контейнере будет содержаться бесконечная энергия.<ref name="Einstein1905" /><ref>{{статья |заглавие=Remarks upon the Law of Complete Radiation |издание=[[Philosophical Magazine]] |том=49 |страницы=539—540 |язык=en |автор=[[Стретт, Джон Уильям (лорд Рэлей)|Rayleigh, J. W. S.]] |год=1900 |тип=journal}}</ref> Однако, по причине обсуждаемой выше, средняя энергия в высокочастотных модах стремится к нулю, когда частота стремится к бесконечности; более того, планковский [[Формула Планка|закон излучения абсолютно чёрного тела]], который следует из экспериментально найденного распределения энергии по модам следует из этой же причины.<ref name="Einstein1905" />

Есть более тонкие квантовые эффекты, которые могут привести к коррекциям теоремы равнораспределения, такие как [[тождественность частиц]] и [[симметрия|непрерывные симметрии]]. Эффекты неразличимости частиц могут доминировать при больших концентрациях и низких температурах. Например, [[валентные электроны]] в металле могут иметь среднюю кинетическую энергию несколько [[электронвольт]], которая соответствует температуре в десятки тысяч градусов. Эти электроны в состоянии, в котором их плотность настолько высока, что [[принцип запрета Паули]] делает неприменимым классический подход, образуют [[вырожденное вещество|вырожденный ферми-газ]]. Такие газы важны в структуре [[белый карлик|белых карликов]] и [[нейтронные звёзды|нейтронных звёзд]]. При низких температурах формируется [[фермионный конденсат|фермионный аналог]] [[конденсат Бозе — Эйнштейна|конденсата Бозе — Эйнштейна]] (в котором много тождественных частиц занимают основное энергетическое состояние); такие [[сверхтекучесть|сверхтекучие]] электроны ответственны за [[сверхпроводимость]].

== См. также ==
* [[Молекулярно-кинетическая теория]]
* [[Статистическая механика]]
* [[Квантовая статистика]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Хуанг, Керсон|K. Huang]].|год=1987|заглавие=Statistical Mechanics|ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha0000huan_02ed/page/136|издание=2nd ed|издательство=[[John Wiley and Sons]]|pages=136—138|isbn=0-471-81518-7}}
* {{книга|автор=[[Хинчин, Александр|A. I. Khinchin]].|год=1949|заглавие=Mathematical Foundations of Statistical Mechanics|ответственный=Пер. [[Гамов, Георгий|G. Gamow]]|издательство=[[Dover Publications]]|место=New York|pages=93—98|isbn=0-486-63896-0}}
* {{книга|автор=[[Ландау, Лев Давидович|L. D. Landau]], [[Лифшиц, Евгений|E. M. Lifshitz]].|год=1980|заглавие=Statistical Physics, Part 1|издание=3rd ed|издательство=[[Pergamon Press]]|pages=129—132|isbn=0-08-023039-3}}
* {{книга|автор=F. Mandl.|год=1971|заглавие=Statistical Physics|ссылка=https://archive.org/details/statisticalphysi00fman|издательство=[[John Wiley and Sons]]|pages=[https://archive.org/details/statisticalphysi00fman/page/213 213]—219|isbn=0-471-56658-6}}
* {{книга|автор=F. Mohling.|год=1982|заглавие=Statistical Mechanics: Methods and Applications|издательство=[[John Wiley and Sons]]|pages=137—139, 270—273, 280, 285—292|isbn=0-470-27340-2}}
* {{книга|автор=R. K. Pathria.|год=1972|заглавие=Statistical Mechanics|ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha0000rkpa/page/43|издательство=[[Pergamon Press]]|pages=43—48, 73—74|isbn=0-08-016747-0}}
* {{книга|автор=[[Паули, Вольфганг|W. Pauli]].|год=1973|заглавие=Pauli Lectures on Physics: Volume 4. Statistical Mechanics|ссылка=https://archive.org/details/statisticalmecha0004paul/page/27|издательство=[[MIT Press]]|pages=27—40|isbn=0-262-16049-8}}
* {{книга|автор=[[Толман, Ричард|R. C. Tolman]].|год=1927|заглавие=Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry|издательство=[[Chemical Catalog Company]]|pages=72—81}}
* {{книга|автор=[[Толман, Ричард|R. C. Tolman]].|год=1938|заглавие=The Principles of Statistical Mechanics|издательство=[[Dover Publications]]|место=New York|pages=93—98|isbn=0-486-63896-0}}

== Ссылки ==
* [http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/thermo_paper/thermo/examples/ex20_4.html Апплет] {{Wayback|url=http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/thermo_paper/thermo/examples/ex20_4.html |date=20200806154151 }}, демонстрирующий закон равнораспределения в реальном времени для смеси одноатомных и двухатомных газов
* [http://www.sciencebits.com/StellarEquipartition The equipartition theorem in stellar physics], written by Nir J. Shaviv, an associate professor at the Racah Institute of Physics in the [[Hebrew University of Jerusalem]].

[[Категория:Статистическая механика]]
[[Категория:Термодинамика]]
[[Категория:Физические теоремы|Равнораспределение]]
[[Категория:Энергия]]