Просмотр кода страницы Теорема о свёртке

'''Теорема о свёртке''' гласит, что при подходящих условиях [[преобразование Фурье]] [[Свёртка (математический анализ)|свёртки]] двух функций (или [[сигнал]]ов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во [[Временная область|временной]]) равна точечному умножению в другой области (например, в [[Частотный интервал|частотной]]). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.

== Функции непрерывной переменной ==
Рассмотрим две функции <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> с соответствующими преобразованиями Фурье <math>U</math> и <math>V</math>:

: <math>\begin{align}
U(f) &\triangleq \mathcal{F}\{u\}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}u(x) e^{-i 2 \pi f x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R}\\
V(f) &\triangleq \mathcal{F}\{v\}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}v(x) e^{-i 2 \pi f x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R},
\end{align}</math>

где <math>\mathcal{F}</math> обозначает '''[[Оператор (математика)|оператор]] преобразования Фурье'''. Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно <math>2\pi</math> или <math>\sqrt{2\pi}</math>) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> определяется как:

: <math>r(x) = \{u*v\}(x) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) v(x-\tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} u(x-\tau) v(\tau)\, d\tau.</math>

В данном контексте [[Звёздочка (типографика)|звёздочка]] обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ [[Тензорное произведение|тензорного произведения]] <math>\otimes</math>.

'''Теорема о свёртке''' утверждает, что<ref name=McGillem/><ref name=Weisstein/>{{rp|ур.8}}:

{{Нумерованная формула|:|<math>R(f) \triangleq \mathcal{F}\{r\}(f) = U(f) V(f). \quad f \in \mathbb{R}</math>|Ур. 1a|LnSty=5px none green}}

Применение обратного преобразования Фурье <math>\mathcal{F}^{-1},</math> даёт следствие<ref name=Weisstein/>{{rp|ур.7,10}}:
{{Нумерованная формула||{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Теорема о свёртке'''
|cellpadding=6
|border=
|border colour=#0073CF
|background colour=#F5FFFA
|equation=<math>r(x) = \{u*v\}(x) = \mathcal{F}^{-1}\{U\cdot V\}, \quad</math> где <math>\displaystyle \cdot</math> обозначает поточечное произведение
}}|Ур. 1b|LnSty=5px none green}}
Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.

{{Collapse top|title=Вывод ур. 1 для функций нескольких переменных}}
Рассмотрим функции <math>u,v</math> в [[Lp (пространство)|L<sup>''p''</sup>]]-пространстве <math>L^1(\mathbb{R}^n),</math> и преобразования Фурье <math>U,V</math>:

: <math>
\begin{align}
U(f) &\triangleq \mathcal{F}\{u\}(f) = \int_{\mathbb{R}^n} u(x) e^{-i 2 \pi f \cdot x} \, dx, \quad f \in \mathbb{R}^n\\
V(f) &\triangleq \mathcal{F}\{v\}(f) = \int_{\mathbb{R}^n} v(x) e^{-i 2 \pi f \cdot x} \, dx,
\end{align}
</math>

где <math>f\cdot x</math> обозначает [[скалярное произведение]] в '''<math>\mathbb{R}^n</math>''': <math>f\cdot x = \sum_{j=1}^{n} {f}_j x_j</math> и <math>dx = \prod_{j=1}^{n} d x_j.</math>

Свёртка <math>u</math> и <math>v</math> определяется как:

: <math>r(x) \triangleq \int_{\mathbb{R}^n} u(\tau) v(x-\tau)\, d\tau.</math>

Также:

: <math>\iint |u(\tau)v(x-\tau)|\,dx\,d\tau=\int \left( |u(\tau)| \int |v(x-\tau)|\,dx \right) \,d\tau = \int |u(\tau)|\,\|v\|_1\,d\tau=\|u\|_1 \|v\|_1.</math>

Отсюда по [[Теорема Тонелли — Фубини|теореме Фубини]] следует, что <math>r\in L^1(\mathbb{R}^n)</math>. Поэтому его преобразование Фурье <math>R</math> определяется интегральной формулой:

: <math>
\begin{align}
R(f) \triangleq \mathcal{F}\{r\}(f) &= \int_{\mathbb{R}^n} r(x) e^{-i 2 \pi f \cdot x}\, dx\\
&= \int_{\mathbb{R}^n} \left(\int_{\mathbb{R}^n} u(\tau) v(x-\tau)\, d\tau\right)\, e^{-i 2 \pi f \cdot x}\, dx.
\end{align}
</math>

Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования):

: <math>
\begin{align}
R(f) &= \int_{\mathbb{R}^n} u(\tau)
\underbrace{\left(\int_{\mathbb{R}^n} v(x-\tau)\ e^{-i 2 \pi f \cdot x}\,dx\right)}_{V(f)\ e^{-i 2 \pi f \cdot \tau}}\,d\tau\\
&=\underbrace{\left(\int_{\mathbb{R}^n} u(\tau)\ e^{-i 2\pi f \cdot \tau}\,d\tau\right)}_{U(f)}\ V(f).
\end{align}
</math>
{{Collapse bottom}}
Эта теорема также справедлива для [[Преобразование Лапласа|преобразования Лапласа]], [[Двустороннее преобразование Лапласа|двустороннего преобразования Лапласа]] и, при соответствующей модификации, для [[Преобразование Меллина|преобразования Меллина]] и [[Преобразование Хартли|преобразования Хартли]] (см. {{iw|Теорема об инверсии Меллина|теорему об инверсии Меллина|en|Mellin inversion theorem}}). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.

=== Периодическая свёртка (коэффициенты ряда Фурье) ===
Рассмотрим <math>P</math>-периодическую функцию <math>u_{_P}</math> и <math>v_{_P}</math>, которые могут быть выражены как периодические суммы:

: <math>u_{_P}(x)\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} u(x-mP)</math>   и   <math>v_{_P}(x)\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} v(x-mP).</math>

На практике ненулевая часть компонентов <math>u</math> и <math>v</math> часто ограничивается продолжительностью <math>P</math>, но ничто в теореме этого не требует.

Коэффициенты [[Ряд Фурье|ряда Фурье]]:

: <math>\begin{align}
   U[k] &\triangleq \mathcal{F}\{u_{_P}\}[k] = \frac{1}{P} \int_P u_{_P}(x) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad \quad \scriptstyle \text{интегрирование по любому интервалу длины } P\\
   V[k] &\triangleq \mathcal{F}\{v_{_P}\}[k] = \frac{1}{P} \int_P v_{_P}(x) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx, \quad k \in \mathbb{Z}
 \end{align}</math>

где <math>\mathcal{F}</math> обозначает '''интеграл ряда Фурье'''.
* Поточечное произведение <math>u_{_P}(x)\cdot v_{_P}(x)</math> также <math>P</math>-периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой <math>U</math> и <math>V</math>:
* Свёртка:

: <math>\begin{align}
\{u_{_P} * v\}(x)\ &\triangleq \int_{-\infty}^{\infty} u_{_P}(x-\tau)\cdot v(\tau)\ d\tau\\
&\equiv \int_P u_{_P}(x-\tau)\cdot v_{_P}(\tau)\ d\tau; \quad \quad \scriptstyle \text{интегрирование по любому интервалу длины } P
\end{align}</math>

также Р-периодична и называется '''периодической свёрткой'''.

{{Collapse top|title=Вывод периодической свёртки}}
: <math>\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty u_{_P}(x - \tau) \cdot v(\tau)\,d\tau
  &= \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{x_o+kP}^{x_o+(k+1)P} u_{_P}(x - \tau) \cdot v(\tau)\ d\tau\right] \quad x_0 \text{ — произвольный параметр}\\
  &=\sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{x_o}^{x_o+P} \underbrace{u_{_P}(x - \tau-kP)}_{u_{_P}(x - \tau), \text{ по периодичности}} \cdot v(\tau + kP)\ d\tau\right] \quad \text{замена } \tau \rightarrow \tau+kP\\
  &=\int_{x_o}^{x_o+P} u_{_P}(x - \tau) \cdot \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty v(\tau + kP)\right]}_{\triangleq \ v_{_P}(\tau)}\ d\tau
\end{align}</math>
{{Collapse bottom}}

Соответствующая теорема свёртки имеет вид:

{{Нумерованная формула|:|<math>\mathcal{F}\{u_{_P} * v\}[k] =\ P\cdot U[k]\ V[k].</math>|Ур. 2|LnSty=5px none green}}

{{Collapse top|title=Вывод ур. 2}}
: <math>\begin{align}
\mathcal{F}\{u_{_P} * v\}[k] &\triangleq \frac{1}{P} \int_P \left(\int_P u_{_P}(\tau)\cdot v_{_P}(x-\tau)\ d\tau\right) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx\\
&= \int_P u_{_P}(\tau)\left(\frac{1}{P}\int_P v_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k x/P} dx\right) \, d\tau\\
&= \int_P u_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P}
\underbrace{\left(\frac{1}{P}\int_P v_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k (x-\tau)/P} dx\right)}_{V[k], \text{ по периодичности}} \, d\tau\\
&=\underbrace{\left(\int_P\ u_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P} d\tau\right)}_{P\cdot U[k]}\ V[k].
\end{align}</math>
{{Collapse bottom
}}

== Функции дискретной переменной (последовательности) ==
Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор {{iw|Дискретно-временное преобразование Фурье|дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ)|en|Discrete-time Fourier transform}}. Рассмотрим две последовательности <math>u[n]</math> и <math>v[n]</math> с преобразованиями <math>U</math> и <math>V</math>:

: <math>\begin{align}
U(f) &\triangleq \mathcal{F}\{u\}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n]\cdot e^{-i 2\pi f n}\;, \quad f \in \mathbb{R}, \\
V(f) &\triangleq \mathcal{F}\{v\}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} v[n]\cdot e^{-i 2\pi f n}\;, \quad f \in \mathbb{R}.
\end{align}</math>

Дискретная свёртка <math>u</math> и <math>v</math> определяется:

: <math>r[n] \triangleq (u * v)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty u[m]\cdot v[n - m] = \sum_{m=-\infty}^\infty u[n-m]\cdot v[m].</math>

Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид<ref name=Proakis/><ref name=Oppenheim/>{{rp|с.60 (2.169)}}:

{{Нумерованная формула|:|<math>R(f) = \mathcal{F}\{u * v\}(f) =\ U(f) V(f).</math>|Ур. 3|LnSty=5px none green}}

=== Периодическая свёртка ===
<math>U(f)</math> и <math>V(f)</math>, как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим <math>N</math>-периодические последовательности <math>u_{_N}</math> и <math>v_{_N}</math>:

: <math>u_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} u[n-mN]</math> и <math>v_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} v[n-mN], \quad n \in \mathbb{Z}.</math>

Эти функции возникают в результате выборки <math>U</math> и <math>V</math> с интервалом в <math>1/N</math> и обратного [[Дискретное преобразование Фурье|дискретного преобразования Фурье]] (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:

: <math>\{u_{_N} * v\}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} u_{_N}[m]\cdot v[n-m] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot v_{_N}[n-m],</math>

она также является <math>N</math>-периодической и называется '''периодической свёрткой'''. Переопределим оператор <math>\mathcal{F}</math> как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид<ref name="Rabiner" /><ref name="Oppenheim" />{{rp|с. 548}}:

{{Нумерованная формула|:|<math>\mathcal{F}\{u_{_N} * v\}[k] =\ \underbrace{\mathcal{F}\{u_{_N}\}[k]}_{U(k/N)} \cdot \underbrace{\mathcal{F}\{v_{_N}\}[k]}_{V(k/N)}, \quad k \in \mathbb{Z}.</math>|Ур. 4a|LnSty=5px none green}}

И следовательно:
{{Нумерованная формула|:|<math>\{u_{_N} * v\}[n] =\ \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{u_{_N}\} \cdot \mathcal{F}\{v_{_N}\}\}.</math>|Ур. 4b|LnSty=5px none green}}

При соответствующих условиях возможно, что <math>N</math>-значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки <math>u*v</math>. Но когда ненулевая часть <math>u(n)</math> или <math>v(n)</math> последовательности равна или длиннее, чем <math>N</math>, неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта{{efn-ua
|1=Примером является функция [[MATLAB]] '''[http://www.mathworks.com/help/toolbox/signal/ref/hilbert.html;jsessionid=67ed4e69e9729363548abed31054 hilbert(u,N)]'''.}}.

Для последовательностей <math>u</math> и <math>v</math>, ненулевая длина которых меньше или равна <math>N</math>, окончательное упрощение имеет вид:
{{Нумерованная формула||
{{Equation box 1
|title='''Периодическая свёртка'''
|indent=:
|cellpadding=6
|border=
|border colour=#0073CF
|background colour=#F5FFFA
|equation=<math>\{u_{_N} * v\}[n] =\ \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{u\} \cdot \mathcal{F}\{v\}\}.</math>}}|Ур. 4c|LnSty=5px none green}}

Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано<ref>{{cite book |last1=Amiot |first1=Emmanuel |title=Music through Fourier Space |series=Computational Music Science |date=2016 |publisher=Springer |location=Zürich |isbn=978-3-319-45581-5 |page=8 |doi=10.1007/978-3-319-45581-5 |s2cid=6224021 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-45581-5 |ref=Theorem 1.11 }} {{Wayback|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-45581-5 |date=20230603045238 }}</ref>, что любое линейное
преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).

{{Collapse top|title=Вывод ур. 4}}
Вывод во временной области осуществляется следующим образом:

:<math>
\begin{align}
\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{u_{_N} * v\}[k] &\triangleq \sum_{n=0}^{N-1} \left(\sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot v_{_N}[n-m]\right) e^{-i 2\pi kn/N}\\
&= \sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m] \left(\sum_{n=0}^{N-1} v_{_N}[n-m]\cdot e^{-i 2\pi kn/N}\right)\\
&= \sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot e^{-i 2\pi km/N}
\underbrace{
\left(\sum_{n=0}^{N-1} v_{_N}[n-m]\cdot e^{-i 2\pi k(n-m)/N}\right)}_{\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\quad \scriptstyle \text{due to periodicity}}\\
&= \underbrace{
\left(\sum_{m=0}^{N-1} u_{_N}[m]\cdot e^{-i 2\pi km/N}\right)}_{\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]}
\left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right).
\end{align}
</math>

ДВПФ можно записать в виде:

:<math>
\mathcal{F}\{u_{_N} * v\}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{u_{_N} * v\}[k]\right)\cdot \delta\left(f-k/N\right). \quad \scriptstyle \mathsf{(Eq.5a)}
</math>

:<math>
\mathcal{F}\{u_{_N}\}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot \delta\left(f-k/N\right).
</math>

Произведение <math>V(f)</math> тем самым сводится к дискретно-частотной функции:

:<math>
\begin{align}
\mathcal{F}\{u_{_N} * v\}(f) &= G_{_N}(f) V(f) \\
&= \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot V(f)\cdot \delta\left(f-k/N\right)\\
&= \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot V(k/N)\cdot \delta\left(f-k/N\right)\\
&= \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right) \cdot \delta\left(f-k/N\right), \quad \scriptstyle \mathsf{(Eq.5b)}
\end{align}
</math>

где эквивалентность <math>V(k/N)</math> и <math>\left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right)</math> следует по свойству выборки ДВПФ. Таким образом, эквивалентность (5a) и (5b) требует:

:<math>\scriptstyle{\rm DFT}
\displaystyle {\{u_{_N} * v\}[k]}
 = \left(\scriptstyle{\rm DFT}
\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\right).</math>

<br>Мы также можем проверить обратное ДВПФ из (5b):

:<math>
\begin{align}
(u_{_N} * v)[n] & = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\cdot \delta\left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i 2 \pi f n} df \\
& = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\cdot \underbrace{\left(\int_{0}^{1} \delta\left(f-k/N\right)\cdot e^{i 2 \pi f n} df\right)}_{\text{0, for} \ k\ \notin\ [0,\ N)} \\
& = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \bigg(\scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{u_{_N}\}[k]\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle\{v_{_N}\}[k]\bigg)\cdot e^{i 2 \pi \frac{n}{N} k}\\
&=\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \bigg( \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{u_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT}\displaystyle \{v_{_N}\} \bigg).
\end{align}
</math>
{{Collapse bottom}}

== Теорема свёртки для обратного преобразования Фурье ==
Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь «<math>\cdot</math>» представляет собой [[произведение Адамара]], а «<math>*</math>» представляет свёртку двух матриц.

: <math>\begin{align}
&\mathcal{F}\{u*v\} = \mathcal{F}\{u\} \cdot \mathcal{F}\{v\}\\
&\mathcal{F}\{u \cdot v\}= \mathcal{F}\{u\}*\mathcal{F}\{v\}
\end{align}</math>

так что

: <math>\begin{align}
&u*v= \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{u\}\cdot\mathcal{F}\{v\}\right\}\\
&u \cdot v= \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{u\}*\mathcal{F}\{v\}\right\}
\end{align}</math>

== Теорема свёртки для обобщённых функций умеренного роста ==
Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:

: <math>\begin{align}
&\mathcal{F}\{u*v\} = \mathcal{F}\{u\} \cdot \mathcal{F}\{v\}\\
&\mathcal{F}\{\alpha \cdot v\}= \mathcal{F}\{\alpha\}*\mathcal{F}\{v\}.
\end{align}</math>

Но <math>u = F\{\alpha\}</math> должно «быстро убывать» по направлению к <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math>, чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если <math>\alpha = F^{-1}\{u\}</math> — гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует
существование как умножения, так и произведения свёрток<ref>{{cite book | last=Horváth | first=John | title=Topological Vector Spaces and Distributions | publisher=Addison-Wesley Publishing Company | location=Reading, MA | year=1966}}</ref><ref>{{cite book | last=Barros-Neto | first=José | title=An Introduction to the Theory of Distributions | publisher=Dekker | location=New York, NY | year=1973}}</ref><ref>{{cite book | last=Petersen | first=Bent E. | title=Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators | publisher=Pitman Publishing | location=Boston, MA | year=1983}}</ref>.

В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, [[дельта-функция]], является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые
функции, такие как функция, которая постоянно равна <math>1</math>, являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например, <math>v\equiv\operatorname{\text{Ш}}</math> является [[Гребень Дирака|гребнем Дирака]], то оба уравнения дают {{iw|Формула суммирования Пуассона|формулу суммирования Пуассона|en|Poisson summation formula}}, и если, кроме того, <math>\alpha \equiv 1</math> является дельта-функцией, то <math>\alpha \equiv 1</math> постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.

== Замечания ==
{{notelist-ua}}

== Примечания ==
{{примечания|1|refs=
<ref name=McGillem>
{{cite book |last1=McGillem |first1=Clare D. |last2=Cooper |first2=George R. |title=Continuous and Discrete Signal and System Analysis
 |url=https://archive.org/details/continuousdiscre0000mcgi/page/118 |page=118 (3–102) |publisher=Holt, Rinehart and Winston
 |edition=2 |date=1984 |isbn=0-03-061703-0}}
</ref>
<ref name=Proakis>
{{Citation |last1=Proakis |first1=John G. |last2=Manolakis |first2=Dimitri G. |title=Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications |page=297 |place=New Jersey |publisher=Prentice-Hall International |year=1996 |edition =3 |language=en |id=sAcfAQAAIAAJ |isbn=9780133942897 |bibcode=1996dspp.book.....P |url-access=registration |url=https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa}}
</ref>
<ref name=Rabiner>
{{cite book |last1=Rabiner |first1=Lawrence R. |author1-link=Lawrence Rabiner |last2=Gold |first2=Bernard |date=1975 |title=Theory and application of digital signal processing |page=59 (2.163) |location=Englewood Cliffs, NJ |publisher=Prentice-Hall, Inc. |isbn=978-0139141010 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi}}
</ref>
<ref name=Weisstein>{{cite web |last1=Weisstein |first1=Eric W. |title=Convolution Theorem |url=https://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html |website=From MathWorld--A Wolfram Web Resource |access-date=2024-04-13 |lang=en |archive-date=2000-07-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20000711062946/https://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html |url-status=live }}</ref>
<ref name=Oppenheim>
{{cite book
 |last1=Oppenheim
 |first1=Alan V.
 |last2=Schafer
 |first2=Ronald W.
 |last3=Buck
 |first3=John R.
 |title=Discrete-time signal processing
 |year=1999
 |publisher=Prentice Hall
 |location=Upper Saddle River, N.J.
 |isbn=0-13-754920-2
 |edition=2nd
 |url-access=registration
 |url=https://archive.org/details/discretetimesign00alan
}}
</ref>
}}
{{refbegin}}

== Литература ==
* {{citation |first=Yitzhak |last=Katznelson |title=An introduction to Harmonic Analysis|year=1976|publisher=Dover |isbn=0-486-63331-4}}
* {{citation |first1=Bing |last1=Li |first2=G. Jogesh |last2=Babu |chapter=Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency |title=A Graduate Course on Statistical Inference |location=New York |publisher=Springer |year=2019 |isbn=978-1-4939-9759-6 |pages=295–327 }}
* {{citation |last=Crutchfield |first=Steve |url=http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html |title=The Joy of Convolution |work=Johns Hopkins University |date=October 9, 2010 |access-date=November 19, 2010}}
{{refend}}

[[Категория:Преобразование Фурье]]