Просмотр кода страницы Теория гомологий

{{Значения|Гомология}}

'''Теория гомоло́гий''' ({{lang-grc|[[гомо-|ὁμός]]}} «равный, одинаковый; общий; взаимный» и {{lang-grc2|[[логос|λόγος]]}} «учение, [[наука]]») — раздел [[Математика|математики]], который изучает конструкции некоторых [[Топологический инвариант|топологических инвариантов]], называемых '''''группами гомологий''''' и '''''группами когомологий'''''. Также '''теориями гомологий''' называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае [[Топологическое пространство|топологическому пространству]] <math>X</math> сопоставляется последовательность [[Абелева группа|абелевых групп]] гомологий <math>H_k(X)</math>, занумерованных натуральными числами <math>k</math>. Они являются [[Гомотопия#Связанные определения|гомотопическими инвариантами]] и, в отличие от [[Гомотопическая группа|гомотопических групп]], они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для [[Односвязное пространство|односвязных пространств]] несут столько же информации{{sfn|Фоменко, Фукс|1989|с=95}}.

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию{{sfn|Hatcher|2002|p=97}}, и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих [[Математическая структура|дополнительной структуры]], так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для [[CW-комплекс|клеточных пространств]] это обеспечивается [[Аксиомы Стинрода — Эйленберга|аксиомами Стинрода — Эйленберга]].

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии <math>H_k(X, A)</math> с коэффициентами в абелевой группе <math>A</math>, относительные гомологии <math>H_k(X, Y)</math> пары пространств <math>X \supset Y</math> и когомологии <math>H^k(X)</math>, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения <math>H^k(X) \otimes H^l(X) \to H^{k+l}(X)</math>, превращающего их в [[Градуированная алгебра|градуированную алгебру]].

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — [[Группа (математика)|группам]], [[Алгебра Ли|алгебрам Ли]], [[Пучок (математика)|пучкам]]. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий [[Цепной комплекс|цепного комплекса]] — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

== Общее определение ==
Напомним, что <math>k</math>-я [[Гомотопические группы|гомотопическая группа]] <math>\pi_k(X)</math> пространства <math>X</math> — это множество отображений из [[Гиперсфера|<math>k</math>-мерной сферы]] в <math>X</math>, рассмотренное с точностью до [[Гомотопия|непрерывной деформации]]. Для определения гомологий <math>H_k(X)</math> отображения сфер заменяют на <math>k</math>-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности <math>k</math> внутри <math>X</math>, но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие того, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа <math>k</math>-циклов — <math>Z_k(X)</math> (от {{lang-de|Zyklus}} — «цикл»), группа <math>k</math>-границ — <math>B_k(X)</math> (от {{lang-en|boundary}} — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как
: <math>H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X)</math>.

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности <math>k > 2</math> приводит к некоторым трудностям{{sfn|Фоменко, Фукс|1989|с=95}}. Решением является определение промежуточного понятия группы <math>k</math>-цепей <math>C_k(X)</math>, состоящей из формальных [[Линейная комбинация|линейных комбинаций]] отображений в <math>X</math> неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы <math>\partial_k: C_k(X) \to C_{k-1}(X)</math>. Тогда <math>k</math>-циклы определяются как <math>k</math>-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются [[Ядро (алгебра)|ядром]], а границы — [[Образ (алгебра)|образом]] отображения границы:
: <math>Z_k(X) = Ker(\partial_k: C_k(X) \to C_{k-1}(X)), ~~~~ B_k(X) = Im(\partial_{k+1}: C_{k+1}(X) \to C_k(X))</math>.
Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия [[Цепной комплекс|цепного комплекса]]: <math>\partial_{k+1} \circ \partial_k=0</math>, а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории [[Сингулярные гомологии|сингулярных гомологий]] такими элементами являются [[симплекс]]ы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории [[Симплициальные гомологии|симплициальных гомологий]], определённых для [[Симплициальный комплекс|симплициальных комплексов]], — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории [[Клеточные гомологии|клеточных гомологий]], определённых для [[CW-комплекс|клеточного комплекса]], это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

== Гомологические теории ==
* [[Симплициальные гомологии]] — гомологии определяются для очень простых пространств ([[симплициальный комплекс|симплициальных комплексов]]).
Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

* [[Сингулярные гомологии]] — другая теория гомологий, предложенная [[Лефшец, Соломон|Лефшецом]]. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
* [[Гомологии Чеха]] — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

== Гомологии с коэффициентами в произвольных группах ==
Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы <math>G</math>. То есть, вместо групп <math>C_k(X)</math> рассматривать группы <math>C_k(X) \otimes G </math>.

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства <math>X</math> с коэффициентами в группе <math>G</math> обозначаются <math>H_k(X;G).</math> Обычно применяют группу действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, или циклическую группу вычетов по модулю <math>m</math> — <math>\mathbb{Z}_m</math>, причём обычно берётся <math>m=p</math> — простое число, тогда <math>\mathbb{Z}_p</math> является [[Поле (алгебра)|полем]].

Другое описание. Применяя к комплексу <math>C_{*}(X)</math>

: <math>\ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\xleftarrow{}C_{n}(X)\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\xleftarrow{}\ldots </math>
[[Функтор (математика)|функтор]] <math>\cdot \otimes G </math>, мы получим комплекс

: <math>\ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\otimes G\xleftarrow{}\ldots </math>,

[[Цепной комплекс#Гомологии и когомологии|гомологии]] которого и есть гомологии с коэффициентами в <math>G</math>.

== Когомологии ==
Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу <math>G</math>. То есть, пространство коцепей <math>C^k(X)=\operatorname{Hom}(C_k(X),G)</math>.

Граничный оператор <math>\delta^k:C^k\to C^{k+1}</math> определяется по формуле: <math>(\delta^k x)(c)=x(d_{k+1}c)</math> (где <math>x\in C^k,\; c\in C_{k+1}</math>). Для такого граничного оператора также выполняется
: <math>\delta^{k+1}\delta^k=0</math>, а именно
: <math>(\delta^{k+1}\delta^k(x))(c)=\delta^k x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0</math>.
Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия [[коцикл]]ов <math>Z^k(X,G)=\operatorname{Ker} \delta^k</math>, кограниц <math>B^k(X,G)=\operatorname{Im} \delta^{k-1}</math> и когомологий <math>H^k(X,G)=Z^k(X,G)/B^k(X,G)</math>.

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если <math>G</math> — [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], то в группе когомологий <math>H^*(X,G)</math> определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или <math>\cup</math>-произведение), превращающее эту группу в [[градуированное кольцо]], называемое ''кольцо когомологий''.

В случае, когда <math>X</math> — [[дифференцируемое многообразие]], кольцо когомологий <math>H^*(X,\mathbb{R})</math> может быть вычислено при помощи [[дифференциальная форма|дифференциальных форм]] на <math>X</math> (см. [[Когомологии де Рама#теорема де Рама|Теорема де Рама]]).

Понятие когомологии было введено [[Александер, Джеймс Уэдделл|Александером]] и [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоровым]].

== Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность ==
Возьмём случай двух топологических пространств <math>Y\sub X</math>. Группа цепей <math>C_k(Y)\sub C_k(X)</math> (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе <math>G</math>). ''Относительными цепями'' будут называться элементы [[факторгруппа|факторгруппы]] <math>C_k(X,Y)=C_k(X)/C_k(Y)</math>. Так как граничный оператор <math>d</math> на группе гомологий подпространства <math>Y</math> переводит <math>d_k\colon C_k(Y)\to C_{k-1}(Y)</math>, то можно определить на факторгруппе <math>C_k(X,Y)</math> граничный оператор (мы его обозначим так же) <math>d_k\colon C_k(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)</math>.

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в <math>0</math> будут называться ''относительными циклами'' <math>Z_k(X,Y)</math>, а цепи, которые являются его значениями — ''относительными границами'' <math>B_k(X,Y)</math>. Так как <math>dd=0</math> на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда <math>B_k(X,Y)\sub Z_k(X,Y)</math>. Факторгруппа <math>H_k(X,Y)=Z_k(X,Y)/B_k(X,Y)</math> называется ''группой относительных гомологий''.

Так как каждый абсолютный цикл в <math>H_k(X)</math> является также и относительным то имеем гомоморфизм <math>j_k:H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> По функториальному свойству вложение <math>i_k:Y\to X</math> приводит к гомоморфизму <math>i_*:H_k(Y)\to H_k(X)</math>.

В свою очередь можно построить гомоморфизм <math>d_{* k}:H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math>, который мы определим следующим образом. Пусть <math>c_k\in C_k(X,Y)</math> — относительная цепь, которая определяет цикл из <math>H_k(X,Y)</math>. Рассмотрим её как абсолютную цепь в <math>C_k(X)</math> (с точностью до элементов <math>C_k(Y)</math>). Так как это относительный цикл, то <math>d_k c</math> будет равен нулю с точностью до некоторой цепи <math>c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)</math>. Положим <math>d_{* k}</math> равным классу гомологий цепи <math>c_{k-1}=d_k c \in Z_{k-1}(Y)</math>.

Если мы возьмём другую абсолютную цепь <math>c'_k\in C_k(X)</math>, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь <math>c=c'+u</math>, где <math>u\in C_k(Y)</math>. Имеем <math>d_k c=d_k c'+d_k u</math>, но так как <math>d_k u</math> является границей в <math>Z_{k-1}(Y)</math> то <math>d_k c</math> и <math>d_k c'</math> определяют один и тот же элемент в группе гомологий <math>H_{k-1}(Y)</math>. Если взять другой относительный цикл <math>c''</math>, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий <math>c=c''+b</math>, где <math>b</math> — относительная граница, то в силу того, что <math>b</math> граница для относительных гомологий <math>b=d_{k+1}x+v</math>, где <math>v\in C_k(Y)</math> , отсюда <math>d_k c=d_k c''+d_k d_{k+1}x+d_k v</math>, но <math>dd=0</math>, а <math>d_k v</math> — граница в <math>Z_{k-1}(Y)</math>.

Поэтому класс гомологий <math>d_{* k}c_k</math> определен однозначно. Ясно по линейности оператора <math>d_{* k}</math>, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:
: <math>i_{* k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)</math>;
: <math>j_{* k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> и
: <math>d_{* k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math>;
:: <math>...\to H_k(Y)\to H_k(X)\to H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to...</math>

Можно доказать, что эта последовательность [[точная последовательность|точна]], то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

== [[Аксиомы Стинрода — Эйленберга]] ==
Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например [[клеточные гомологии]], [[Когомологии Александрова — Чеха]], [[когомологии де Рама]] и т. д. [[Стинрод, Норман|Стинрод]] и [[Эйленберг, Самуэль|Эйленберг]] определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар <math>D</math> топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

# Если <math>(X,Y)\in D,</math> то <math>(X,X)\in D,</math> <math>(X,\varnothing)\in D,</math> <math>(Y,Y)\in D</math> и <math>(Y,\varnothing)\in D</math>.
# Если <math>(X,Y)\in D</math>, то и <math>(X\times I,Y\times I)\in D</math>, где <math>I</math> — замкнутый интервал [0,1].
# <math>(*,\varnothing)\in D</math>, где <math>*</math> — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа <math>H_k(X,Y)</math> и непрерывному отображению пар <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> соответствует гомоморфизм <math>f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')</math> (Пространство <math>X</math> отождествляется с парой <math>(X,\varnothing)</math>)'', а <math>H_k(X)</math> с <math>H_k(X,\varnothing)</math>)'', причём выполняются следующие аксиомы:

# Тождественному отображению пары <math>id</math> соответствует тождественный гомоморфизм <math>id_{*k}</math>.
# <math>(gf)_{*k} = g_{*k}f_{*k}</math> (''функториальность'')
# Определен граничный гомоморфизм <math>d_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y)</math>, причём если <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math>, то для соответствующего гомоморфизма <math>f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')</math> верно <math>d_{*k}f_{*k} = f_{*k-1}d_{*k}</math> для любой размерности <math>k</math>.
# Пусть <math>i\colon Y\to X</math> и <math>j\colon X\to (X,Y)</math> — вложения, <math>i_{*k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)</math> и <math>j_{*k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> — соответствующие гомоморфизмы, <math>d_{*k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math> — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность <br> <math>\ldots \to H_k(Y) \to H_k(X) \to H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y) \to \ldots</math> <br> точна (''аксиома точности'').
# Если отображения <math>f,g\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> [[Гомотопия|гомотопны]], то соответствующие гомоморфизмы равны <math>f_{*k}=g_{*k}</math> для любой размерности <math>k</math> (''аксиома гомотопической инвариантности'').
# Пусть <math>U\sub X</math> — открытое подмножество <math>X</math>, причём его замыкание содержится во внутренности множества <math>Y</math>, тогда если пары <math>(X\setminus U, Y\setminus U)</math> и <math>(X,Y)</math> принадлежат допустимому классу, то для любой размерности <math>k</math> вложению <math>(X\setminus U, Y\setminus U) \hookrightarrow (X,Y)</math> соответствует изоморфизм <math>H_k(X\setminus U, Y\setminus U) \simeq H_k(X,Y)</math> (''аксиома вырезания'').
# Для одноточечного пространства <math>H_k(*)=0</math> для всех размерностей <math>k > 0</math>. Абелева группа <math>G=H_0(*)</math> называется группой коэффициентов (''аксиома размерности'').

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе <math>G</math> их отображения и граничный гомоморфизм <math>d_*</math> удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> соответствует <math>f^{*k}\colon H^k(X',Y') \to H^k(X,Y)</math> (''контравариантность'') и что кограничный гомоморфизм <math>\delta^{*k}\colon H^{k-1}(Y) \to H^k(X,Y)</math> увеличивает размерность.

== Экстраординарные гомологии ==
В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей <math>k > 0</math>, называются '''''экстраординарными''''', или '''''обобщёнными'''''. Наиболее важными экстраординарными теориями являются [[K-теория]] [[Атья, Майкл Фрэнсис|Атьи]] (надо отметить важный вклад в эту теорию [[Хирцебрух, Фридрих|Хирцебруха]], [[Ботт, Рауль|Ботта]] и [[Адамс, Джон Фрэнк|Адамса]]) и теория [[бордизм]]ов [[Том, Рене|Р. Тома]].

== См. также ==
* [[Гомологическая алгебра]]
* [[Гомотопия]]
* [[Фундаментальный класс]]
* [[Гомотопические группы]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Вик Дж. У.'' Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — {{М}}: [[МЦНМО]], 2005
* ''Дольд А.'' Лекции по алгебраической топологии. — {{М}}: Мир, 1976
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.'' Современная геометрия: Методы теории гомологий. — {{М}}: Наука, 1984
* ''Зейферт Г., Трельфалль В.'' Топология. — Ижевск: РХД, 2001
* ''Лефшец С.'' Алгебраическая топология. — {{М}}: ИЛ, 1949
* ''Новиков П. С.'' Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
* ''Прасолов В. В.'' Элементы теории гомологий. — {{М}}: [[МЦНМО]], 2006
* ''Свитцер Р. М.'' Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — {{М}}: Наука, 1985
* ''Спеньер Э.'' Алгебраическая топология. — {{М}}: Мир, 1971
* ''Стинрод Н., Эйленберг С.'' Основания алгебраической топологии. — {{М}}: Физматгиз, 1958
* {{книга |автор=[[Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко А. Т.]], [[Фукс, Дмитрий Борисович|Фукс Д. Б.]] |заглавие=Курс гомотопической топологии |ответственный= |ссылка=https://books.google.ru/books?id=6277AgAAQBAJ |место={{М}} |издательство=Наука |год=1989 |том= |страниц=528 |страницы= |isbn=5020139297 |ref=Фоменко, Фукс}}
* {{книга |автор=[[Хатчер, Аллен|Hatcher A.]] |заглавие=Algebraic Topology |ответственный= |ссылка=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |место= |издательство=Cambridge University Press |год=2002 |том= |страниц= |страницы= |isbn=0521795400 |ref=Hatcher}}

{{Топология|state=expanded}}

[[Категория:Алгебраическая топология]]
[[Категория:Гомологическая алгебра]]