Просмотр кода страницы Теория кос

[[File:Complicated diagram of the trivial braid.svg|thumb|Запутанное [[диаграмма косы|изображение]] [[тривиальная коса|развязывающейся косы]]|450px]]
'''Теория кос''' — раздел [[топология|топологии]] и [[Алгебра|алгебры]], изучающий [[Коса (математика)|косы]] и их приложения.

Исследования кос затрагивают различные аспекты [[Теория групп|теории групп]], [[Комбинаторика|комбинаторики]], [[Алгебраическая топология|алгебраической топологии]], [[Гиперболическая геометрия|гиперболической геометрии]], [[Динамическая система|динамики]], [[Теория представлений|теории представлений]], а сама теория кос проникает в [[Теория узлов|теорию узлов]], [[Группа классов преобразований поверхности|теорию гомеоморфизмов поверхностей]], [[Алгебраическая геометрия|алгебраическую геометрию]], [[Теория гомотопий|теорию гомотопий]], [[Статистическая механика|статистическую механику]] и [[Некоммутативная криптография|криптографию]].

== История ==
Косы впервые рассматривались [[Гаусс, Карл Фридрих|Карлом Фридрихом Гауссом]]. В одном из его черновиков, написанном в период между 1815 и 1830 годами, Гаусс предложил разбиение кос на элементарные составляющие и наметил определение нетривиального инварианта кос, вдохновлённого недавно введёнными им [[Гауссовы целые числа|гауссовыми целыми числами]]{{sfn|Epple|1998|pp=45—52}}.

На значимость кос также обратил внимание [[Адольф Гурвиц]] в своей работе 1891 года{{sfn|Hurwitz|1891|pp=1—60}}, посвящённой {{нп5|разветвлённое накрытие|разветвлённым накрытиям|en|Branched covering}} поверхностей и явлению [[монодромия|монодромии]]. Он изучал поведение нулей многочлена одной комплексной переменной при непрерывном изменении его коэффициентов. Иными словами, Гурвиц неявно рассматривал косы в терминах [[конфигурационное пространство (топология)|конфигурационных пространств]].

Следующее проявление математики кос произошло в теории узлов. В 1897 году на первом [[Международный конгресс математиков|Международном математическом конгрессе]] в Цюрихе [[Брунн, Карл Герман|Генрих Карл Брунн]] представил доказательство того, что произвольный [[узел (математика)|узел]] может быть приведён к виду замкнутой косы{{sfn|Brunn|1898|pp=256—259}}{{sfn|Epple|1999|с=325}}. В литературе данное утверждение известно как {{нп5|Теорема Александера|теорема Александера|en|Alexander's theorem}}, в честь [[Джеймс Уэдделл Александер|Джеймса Уэдделла Александера]], доказавшего его в 1923 году{{sfn|Alexander|1923|pp=93—95}} и, по-видимому, не знавшего о работе Брунна.

В явном виде косы были введены [[Эмиль Артин|Эмилем Артином]]. В своей работе 1925 года{{sfn|Artin|1925|pp=47–72}}, возникшей в результате сотрудничества с [[Шрайер, Отто|Отто Шрайером]]{{sfn|Frei et al.|2014|p=92}}, он рассмотрел их с наглядной, геометрической точки зрения и обратил внимание на то, что косы с <math>n</math> нитями образуют группу, которую он назвал [[группа кос|группой кос]] и обозначил символом <math>B_n.</math> Артин задал её [[задание группы|образующими и соотношениями]], которые по своей природе схожи с [[Движение Рейдемейстера|движениями Рейдемейстера]], но ненадолго опережают их появление в литературе.
Также он предложил решение {{нп5|Задача равенства|задачи равенства|en|Word problem for groups}} для группы кос, которое основано на её представлении в группу автоморфизмов [[свободная группа|свободной группы]], а точнее, естественном [[действие группы|действии]] групп кос на [[фундаментальная группа|фундаментальной группе]] проколотого диска, и тем самым положил начало алгоритмическому направлению в теории кос. В 1947 году он опубликовал в [[Annals of Mathematics]] статью с полными доказательствами{{sfn|Artin|1947|pp=101–126}}, в которой с помощью более действенных методов исследовал косы тщательнее, алгебраически.
В ней он отозвался о своей первой работе следующим образом:

{{цитата|текст=Большинство доказательств совершенно интуитивны. Доказательство основной теоремы даже не является убедительным. Но эти доказательства можно исправить.
{{оригинальный текст|en|Most of the proofs are entirely intuitive. That of the main theorem is not even convincing. But it is possible to correct the proofs.}}}}

Вслед за Артином продолжил развивать алгебраическую линию в теории кос {{нп5|Бурау, Вернер|Вернер Бурау|de|Werner Burau}}, ученик [[Рейдемейстер, Курт Вернер Фридрих|Курта Рейдемейстера]]. В 1933 году он глубже исследовал намеченную Артином связь между косами и [[перестановка]]ми и, пользуясь так называемым переписывающим процессом Рейдемейстера — Шрайера, задал подгруппу [[Группа кос#Подгруппа крашеных кос|крашеных кос]] группы кос образующими и соотношениями{{sfn|Burau|1933|pp=117—124}}. А в 1935 году он представил довольно неожиданную связь между группами кос и [[Многочлен Александера|многочленом Александера]] — полиномиальным инвариантом узлов{{sfn|Burau|1935|pp=179–186}}. А именно, Бурау показал, что матрица Александера узла, представленного в виде замкнутой косы с <math>n</math> нитями, может быть вычислена в терминах образа этой косы относительно [[Представление группы|линейного представления]] группы <math>B_n</math>, ныне [[представление Бурау|носящего его имя]]. Как сообщает Джоан Бирман, сам Бурау узнал об этом представлении либо от Рейдемейстера, либо от Артина{{sfn|Epple|1999|с=330}}. Стоит отметить, что с точки зрения {{нп5|Производная Фокса|исчисления Фокса|en|Fox derivative}} данное линейное представление естественным образом получается из представления Артина кос автоморфизмами свободной группы.

== Основные понятия ==
{{Основная статья|Глоссарий теории кос}}
Основными понятиями теории кос являются понятия косы и группы кос.
Её терминология близка к [[Глоссарий теории узлов|терминологии теории узлов]].

=== Коса ===
{{Основная статья|Коса (математика)}}
Центральным в теории кос является понятие [[Глоссарий теории кос#Коса|косы]].
Классический подход к его определению состоит из двух шагов.
Сначала вводятся определённые наборы кривых в трёхмерном пространстве, которые называются ''геометрическими косами''.
Затем на множестве всех геометрических кос вводится определённое [[отношение эквивалентности]], которое называется ''изотопией'' и отвечает возможности преобразовать одну геометрическую косу в другую определёнными физическими манипуляциями нитей.
По определению принимается, что эквивалентные геометрические косы представляют один и тот же математический объект — косу.
Иными словами, косой называется [[класс эквивалентности]] относительно такого отношения.

Некоторые авторы злоупотребляют обозначениями и опускают прилагательное «геометрические», называя косами как классы эквивалентности, так и их представителей{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=71}}.

{{Float begin|side=right}}
| || <div style="position:relative; top:0px; left:0px;{{Transform-rotate|90}}">[[Файл:Tresse math.svg|200px]]</div>
{{Float end|caption=Пример геометрической косы из трёх нитей.}}
==== Геометрическая коса ====
Кратко охарактеризовать геометрическую косу из <math>n</math> нитей можно следующим образом.

Пусть в [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] <math>\R^3</math> на двух параллельных [[Плоскость|плоскостях]] <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math> отмечены по <math>n</math> точек, расположенных друг напротив друга на двух параллельных [[Прямая|прямых]] <math>\R\times \{0\}\times \{0\}</math> и <math>\R\times \{0\}\times \{1\}</math>.

В литературе при рассмотрении геометрических кос обычно ограничиваются либо пространством <math>\R^2\times [0,1]</math>, ограниченным такими плоскостями, либо его подпространством, представляющем собой [[Цилиндр|прямой круговой цилиндр]], ограниченный данными плоскостями и содержащий отмеченные точки во [[Внутренность|внутренности]] его оснований.
Данные подходы к определению эквивалентны{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=32}}.

'''''Геометрической косой''''' из <math>n</math> нитей называется такое подмножество пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>, состоящее из <math>n</math> непересекающихся [[Кривая#Определение в топологии|кривых]], что:
* концы этих кривых расположены в отмеченных точках; 
* каждая плоскость, параллельная плоскостям <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math> и находящаяся между ними, пересекает геометрическую косу по ровно <math>n</math> точкам.

Данные кривые называются '''''нитями''''' геометрической косы. Второе условие означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, [[Перпендикулярность|перпендикулярной]] плоскостям <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math>.

В определении геометрической косы некоторые авторы ограничиваются либо [[Глоссарий теории кос#Полигональная коса|полигональными]], либо [[Гладкая кривая|гладкими кривыми]] и соответствующим образом модифицируют определения остальных основных понятий.
Данные подходы приводят к эквивалентным теориям{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=71}}{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=21}}.

==== Изотопность геометрических кос ====
Изотопия геометрических кос представляет собой определённое непрерывное шевеление нитей и может быть определена по-разному.
В простейшем случае предполагается, что при таких манипуляциях должны сохраняться два указанных выше определяющих свойства геометрических кос.
Для этого необходимо, чтобы концы нитей были неподвижны, а сами нити оставались монотонными и не проходили друг сквозь друга.
Так, допустимыми движениями являются покачивания нитей, но не их задирания или попытки заузливания.

Точнее, изотопность геометрических кос обычно определяется с помощью понятия [[Глоссарий теории кос#Объемлющая изотопия|объемлющей изотопии]].
Данное понятие означает непрерывное шевеление сразу всех точек пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>.
При таком шевелении точки не могут наезжать друг на друга, но могут переставляться и перемешиваться.

'''''Изотопией''''' геометрических кос называется такая объемлющая изотопия пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>, что: 
* его точки не выходят за пределы содержащих их плоскостей вида <math>\R^2\times \{t\}</math>, параллельных <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math>; 
* точки на плоскостях <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math> неподвижны.

При изотопии геометрических кос сохраняется не только количество нитей, но и изменение порядка<ref group="комментарий">Данное обстоятельство приводит к понятию [[Коса (математика)#Перестановка косы|перестановки косы]].</ref> их кончиков при движении от плоскости <math>\R^2\times \{0\}</math> к плоскости <math>\R^2\times \{1\}.</math>

Геометрические косы называются '''''изотопными''''', если одна может быть получена из другой изотопией.

В литературе те авторы, которые ограничиваются полигональными или гладкими геометрическими косами, соответствующим образом модифицируют определение изотопии. Так, в случае полигональных кос рассматривают [[Глоссарий теории кос#Элементарная изотопия|элементарную изотопию]]{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=71}}, а в случае гладких — гладкую.

Вышеописанное определение изотопии геометрических кос допускает несколько следующих ослаблений, приводящих к тому же самому понятию косы, т. е. модификаций, при которых классы эквивалентности геометрических кос не изменяются{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}.
Во-первых, определение изотопии можно ослабить, исключив первое условие о невыходе точек за пределы плоскостей.
Во-вторых, его можно ослабить, следующим образом исключив из рассмотрения прочие точки пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>, не лежащие на нитях. 
Так, геометрическая коса представляет собой определённое [[непрерывное отображение]] из [[несвязное объединение|несвязного объединения]] отрезков, а ограничение изотопии геометрических кос задаёт [[гомотопия|гомотопию]] таких отображений. 
Оказывается, две геометрические косы изотопны в том и только в том случае, когда соответствующие им отображения гомотопны в классе геометрических кос.

==== Гомотопность геометрических кос ====
Впервые на указанную выше эквивалентность трёх подходов к определению изотопии кос указал Артин в своей работе 1947 года{{sfn|Artin|1947|p=101}}. В ней же он предложил список некоторых нерешённых вопросов теории кос, одним из которых является вопрос об эквивалентности таких подходов следующему, ещё более общему.

Геометрические косы называются '''''гомотопными''''', если соответствующие им отображения из несвязного объединения отрезков связаны гомотопией, при которой, грубо говоря, каждая отдельная нить может самопересекаться, различные нити не пересекаются, а концы нитей неподвижны<ref group="комментарий">Следует подчеркнуть, что, грубо говоря, данный тип гомотопии разрешает точкам на нитях выходить за пределы своих плоскостей.</ref>. В 1974 году [[Голдсмит, Дебора Луиза|Дебора Луиза Голдсмит]] дала ответ на вопрос Артина, указав примеры гомотопных, но не изотопных геометрических кос{{sfn|Goldsmith|1974}}, и привела полное описание множества <math>\hat{B}_n</math> классов эквивалентности геометрических кос из <math>n</math> нитей относительно отношения гомотопности (см. {{ссылка на раздел|Группа кос#Группа гомотопических кос}}).

=== Умножение кос ===
{{Основная статья|Группа кос}}
[[File:Braid product.svg|thumb|Произведение <math>\alpha\ast\beta</math> кос <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> из одинакового числа нитей|450px]]
На множестве <math>B_n</math> всех кос из <math>n</math> нитей определена [[бинарная операция]], которая превращает его в [[группа (математика)|группу]].
Грубо говоря, '''''произведением''''' двух кос с одинаковым числом нитей называется коса, полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы и сжатием полученного объекта в два раза.

Точнее, произведением ''геометрических'' кос <math>A, B \subset \R^2\times [0,1]</math> из <math>n</math> нитей называется геометрическая коса из <math>n</math> нитей, состоящая из таких точек <math>(p,t)</math>, что <math>(p,2t) \in A</math>, если <math>t \in [0,1/2]</math>, и <math>(p,2t-1) \in B</math>, если <math>t \in [1/2,1]</math>.
Произведением кос <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется коса, заданная произведением любых их геометрических представителей.
Она обычно обозначается символом <math>\alpha\ast\beta</math> или просто <math>\alpha\beta</math>.

Данная операция умножения удовлетворяет всем определяющим свойствам группы.
Полученная группа <math>(B_n,\ast)</math> называется [[группа кос|группой кос]].

== Основные результаты теории ==
[[Файл:Artin generators of the braid group.svg|thumb|Стандартные [[диаграмма косы|диаграммы]] [[Образующая Артина|образующих Артина]] и обратных к ним (слева) и диаграмма, заданная некоторым [[Артиновское слово|артиновским словом]] (справа)|400px]]
=== Теорема Артина о задании группы кос ===
{{Основная статья|Теорема Артина о задании группы кос}}
Основополагающим результатом теории кос является теорема Артина, которая посредством [[Образующая Артина|образующих Артина]] сводит геометрическое изучение кос к их алгебраическому изучению.

Согласно этой теореме, группа кос [[Порождающее множество группы|порождается]] образующими Артина, то есть любая коса может быть задана их произведением — [[Артиновское слово|артиновским словом]], причем имеется конечный список типов преобразований, позволяющих получить из одного артиновского слова, представляющего данную косу, любое другое.

С точки зрения [[комбинаторная теория групп|комбинаторной теории групп]] теорема Артина предоставляет задание группы кос [[задание группы|образующими и соотношениями]].

Важность теоремы Артина объясняется тем, что с её помощью классифицируются косы с малым числом нитей и определяются практически все [[Инвариант кос|инварианты]] кос.
Например, из неё следует корректность определения [[Коэффициент зацепления нитей косы|коэффициентов зацепления]] нитей косы.

== Алгоритмические проблемы ==
Первостепенными в теории кос являются [[алгоритм]]ические вопросы, связанные с распознаванием различных свойств геометрических кос.

=== Проблема тождества ===

Основной алгоритмической задачей, связанной с косами, является их распознавание.
Так, '''''проблемой эквивалентности геометрических кос''''' называется [[задача разрешимости]], заключающаяся в определении того, являются ли изотопными две заданные геометрические косы{{sfn|Лин|1979|p=172}}.

Две геометрические косы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> изотопны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа нитей, и геометрическая коса <math>\alpha\beta^{-1}</math> изотопна [[тривиальная коса|тривиальной]].
Таким образом, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна задаче определения того, изотопна ли данная геометрическая коса тривиальной.

Ввиду [[Теорема Артина о задании группы кос|теоремы Артина]], проблема эквивалентности геометрических кос равносильна [[Проблема тождества (теория групп)|проблеме тождества]] для групп кос.

Данная алгоритмическая проблема разрешима и известно несколько существенно различных алгоритмов распознавания кос.
Их можно, в основном, разделить на алгебраические и топологические (геометрические).
Первые основаны на поиске той или иной [[Нормальная форма (теория групп)|нормальной формы]], представляющие заданный элемент группы кос, вторые — на определении [[действие группы|действия]] элемента группы на топологических объектах{{sfn|Малютин|2001|p=214}}.

== См. также ==
* [[Группа кос]]
* [[Глоссарий теории кос]]
* [[Теория узлов]]
* {{iw|Хореография n тел|Хореография <math>n</math> тел|en|n-body choreography}} — раздел динамики, использующий теорию кос.

== Примечания ==
'''Комментарии'''

{{Примечания|group=комментарий}}

'''Источники'''
{{примечания}}

== Литература ==
=== Вводные материалы ===
* {{книга
 |автор         = {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы и косы
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.10.pdf
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2001
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 24
 |серия         = Библиотека «Математическое просвещение»
 |isbn          = 5-900916-76-6
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Мантуров, Василий Олегович|Мантуров, В. О}}
 | заглавие      = Экскурс в теорию кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/mp/v14/s3/p107
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Математическое просвещение
 | тип           = 
 | место         = {{М.}}
 | издательство  = [[МЦНМО]]
 | год           = 2010
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 3
 | выпуск        = 14
 | номер         = 
 | страницы      = 107–142
 | isbn          = 978-5-94057-597-9
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Мантуров
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы. Хронология одной математической теории
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d63008f4-a780-11dc-945c-d34917fee0be/71_sosinskij_uzli.pdf
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2005
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 112
 |серия         = 
 |isbn          = 5-94057-220-0
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}

=== Учебники ===
* {{книга
 |автор         = {{автор|Кассель, Кристиан|Кассель, К}}, {{автор|Тураев, Владимир Георгиевич|Тураев, В. Г}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Группы кос
 |nodot         = 
 |оригинал      = Braid groups
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = пер. с англ. С. Н. Малыгина
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2014
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 424
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-4439-0245-6
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кассель и Тураев
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов, В. В}}, {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 1997
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 352
 |серия         = 
 |isbn          = 5-900916-10-3
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Прасолов и Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Мантуров, Василий Олегович|Мантуров, В. О}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Теория узлов
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = 
 |издательство  = Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований
 |год           = 2005
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 512
 |серия         = 
 |isbn          = 5-93972-404-3
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Мантуров
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Матвеев, Сергей Владимирович|Матвеев, С. В}}, {{автор|Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко, А. Т}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 2
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1998
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 304
 |серия         = Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения
 |isbn          = 5-02-013655-7
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Матвеев и Фоменко
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Васильев, Виктор Анатольевич|Васильев, В. А}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Топология дополнений к дискриминантам
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = 
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = ФАЗИС
 |год           = 1997
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 538
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-7036-0033-7
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = 
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Звонкин, Александр Калманович|Звонкин, А. К}}, {{автор|Ландо, Сергей Константинович|Ландо, С. К}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Графы на поверхностях и их приложения
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2010
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 480
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-94057-588-7
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Звонкин и Ландо
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}

== Ссылки ==
* {{статья
|автор = {{автор|Adolf Hurwitz|Hurwitz A.}}
|заглавие = Über Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten
|ссылка = https://zenodo.org/record/1614548/files/article.pdf
|издание = Mathematische Annalen
|год = 1891
|номер = 39
|ref = Hurwitz}}
* {{статья 
 |автор={{автор|Hermann Brunn|Brunn H.}} 
 |заглавие=Über verknotete Kurven 
 |ссылка=https://archive.org/details/verhandlungendes1897rudi_368/page/n267/mode/2up 
 |издание=Verhandlungen des ersten Internationalen Mathematiker-Kongresses 
 |место=Zurich 
 |издательство=Teubner 
 |год=1898
 |ref=Brunn}}
* {{статья 
 |автор = {{автор|James Waddell Alexander|Alexander J. W.}}
 |заглавие =  A lemma on a system of knotted curves
 |ссылка = https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1085274/pdf/pnas01876-0031.pdf 
 |издание = [[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] 
 |год = 1923 
 |том = 9 
 |номер = 3 
 |страницы = 93—95
 |ref = Alexander}}
* {{статья
|автор = {{автор|Emil Artin|Artin E.}}
|заглавие = Theorie der Zöpfe
|ссылка = https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/artinzopfe.pdf
|издание = Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
|год = 1925
|номер = 4
|ref = Artin}}
* {{статья 
 |автор={{автор|Werner Burau|Burau W.}} 
 |заглавие=Über Zopfinvarianten 
 |издание=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 
 |год=1933 
 |том=9  
 |doi=10.1007/BF02940634
 |ref = Burau}}
* {{статья 
 |автор={{автор|Werner Burau|Burau W.}}
 |заглавие=Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen 
 |издание=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 
 |год=1935 
 |том=11 
 |doi=10.1007/bf02940722
 |ref = Burau}}
* {{статья
|автор = {{автор|Emil Artin|Artin E.}}
|заглавие = Theory of Braids
|ссылка = https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/artinbraids.pdf
|издание = Annals of Mathematics
|год = 1947
|том = 48
|номер = 1
|ref = Artin}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Голдсмит, Дебора Луиза|Goldsmith, Deborah Louise}}
 | заглавие      = Homotopy of braids: In answer to a question of E. Artin
 | оригинал      = 
 | ссылка        = 
 | язык          = 
 | язык издания  = 
 | ответственный = {{автор|Raymond Frank Dickman|Dickman, Raymond Frank}}, {{автор|Peter Fletcher|Fletcher, Peter}}
 | автор издания = 
 | издание       = Topology Conference. Lecture Notes in Mathematics
 | тип           = 
 | место         = Berlin, Heidelberg
 | издательство  = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 | год           = 1974
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 375
 | выпуск        = 
 | номер         = 
 | страницы      = 91—96
 | isbn          = 978-3-540-37948-5
 | issn          = 
 | doi           = 10.1007/BFb0064014
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Goldsmith
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = }}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Лин, Владимир Яковлевич|Лин, В. Я}}
 | заглавие      = Косы Артина и связанные с ними группы и пространства
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/inta/v17/p159
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Итоги науки и техники. Серия «Алгебра. Топология. Геометрия»
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 1979
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 17
 | выпуск        = 
 | номер         = 
 | страницы      = 159–227
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Лин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = }} 
* {{статья
|автор = {{автор|Moritz Epple|Epple M.}}
|заглавие = Orbits of asteroids, a braid, and the first link invariant
|ссылка = https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/epple8.pdf
|издание = The Mathematical Intelligencer
|год = 1998
|номер = 20
|ref=Epple}}
* {{статья
 |автор={{автор|Moritz Epple|Epple M.}}
 |заглавие=Geometric Aspects in the Development of Knot Theory
 |ссылка=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/epple3.pdf
 |автор издания=James I. M. 
 |издание=History of Topology
 |год=1999
 |страницы=301—357
 |doi=10.1016/B978-044482375-5/50012-2
 |ref=Epple}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Малютин, Андрей Валерьевич|Малютин, А. В}}
 | заглавие      = Быстрые алгоритмы распознавания и сравнения кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v279/p197
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = 
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = [[Записки научных семинаров ПОМИ]]
 | год           = 2001
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 279
 | выпуск        = 
 | номер         = 
 | страницы      = 197–217
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Малютин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = }}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Günther Frei|Frei G.}}, {{автор|Franz Lemmermeyer|Lemmermeyer F.}}, {{автор|Рокетт, Петер|Roquette P. J.}}
 |заглавие      = Emil Artin and Helmut Hasse: The Correspondence 1923-1958
 |оригинал      = Emil Artin und Helmut Hasse: die Korrespondenz 1923-1934
 |язык          = en
 |ссылка        = https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-0348-0715-9.pdf
 |ответственный = пер. с нем. {{nobr|F. Lemmermeyer}}
 |издательство  = Springer Basel
 |год           = 2014
 |volume        = 5
 |allpages      = 484
 |серия         = Contributions in Mathematical and Computational Sciences
 |isbn          = 978-3-0348-0714-2
 |doi           = 10.1007/978-3-0348-0715-9
 |ref           = Frei et al.}}

{{Топология|state=collapsed}}
{{Теория узлов|state=collapsed}}

[[Категория:Теория кос]]
[[Категория:Теория узлов]]
[[Категория:Маломерная топология]]