Просмотр кода страницы Теория представлений группы Лоренца

[[Файл:Einstein en Lorentz.jpg|220px|thumb|right|[[Лоренц, Хендрик Антон|Хендрик Антон Лоренц]] (справа), именем которого названа [[группа Лоренца]], и [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]], [[специальная теория относительности]] которого является главным приложением группы Лоренца. Фотография сделана [[Эренфест, Пауль|Паулем Эренфестом]] в 1921.]]

[[Группа Лоренца]] является [[Группа Ли|группой Ли]] симметрий [[Пространство-время|пространства-времени]] в [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]]. Эта группа может быть реализована как набор [[Матрица (математика)|матриц]], [[Линейное отображение|линейных преобразований]] или [[Унитарный оператор|унитарных операторов]] на некотором [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]. Группа имеет различные [[Представление группы Ли|представления]]. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены<ref group=nb>Способ, в котором они вводятся, может принимать разные формы в зависимости от обсуждаемой теории. Некоторые детали этих способов здесь не освещены, но отражены в сносках и в секции [[#Приложения|«Приложения»]].</ref>. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с [[Квантовая механика|квантовой механикой]] являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены<ref group=nb>{{harvnb|Weinberg|2002|p=1}}; «''Если окажется, что система не описывается квантовой теорией поля, это будет сенсацией. Если окажется, что она не подчиняется правилам квантовой механики и теории относительностиa, это будет катаклизм.''»</ref> и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более [[Спекуляция (философия)|спекулятивными теориями]] настоящего времени.

Полная теория конечномерных представлений [[Алгебра Ли|алгебры Ли]] группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений [[Полупростая алгебра Ли|полупростых алгебр Ли]]. Конечномерные представления связной компоненты <math>\text{SO}(3; 1)^+</math> полной группы Лоренца {{math|O(3; 1)}} получаются путём использования {{не переведено 5|Соответствие Ли|соответствия Ли||Lie correspondence}} и [[Экспонента матрицы|экспоненты матрицы]]. Полная теория конечномерных представлений {{не переведено 5|Накрывающая группа|универсальной накрывающей группы||universal covering group}} (а также [[Спинорная группа|спинорной группы]], двойное покрытие) <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> компоненты <math>\text{SO}(3; 1)^+</math> получается, и явно задаётся в терминах действия на пространстве функций на [[#Реализация представлений группы SL(2, C) и алгебры sl(2, C)|представлениях групп <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>]]. Представления [[T-симметрия|обращения времени]] и [[Чётность (физика)|инверсии пространства]] даны в разделе [[#Инверсия пространства и обращение времени|«Инверсия пространства и обращение времени»]], завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Кратко изложены общие [[#Свойства представлений (''m'', ''n'')|свойства представлений (''m'', ''n'')]]. Рассматривается [[#Действие на пространствах функций|действие на пространствах функций]] с действиями на [[#Сферические гармоники|сферических гармониках]] и [[#P-символы Римана|P-символах Римана]] в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений конкретизирован для <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> [[#Главная серия|главной серии]] и {{не переведено 5|Дополнительная серия|дополнительной серии||complementary series}}. Наконец, дана [[#Теорема Планшереля для SL(2, C)|формула Планшереля]] для <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и представления группы {{math|SO(3, 1)}} [[#Классификация представлений группы SO(3, 1)|классифицированы]] и реализованы для алгебр Ли.

За разработкой теории представлений последовала разработка более общей теории представлений [[Редуктивная группа|полупростых групп]], в основном благодаря [[Картан, Эли Жозеф|Эли Жозефу Картану]] и [[Вейль, Герман|Герману Вейлю]], но группа Лоренца получила особое внимание ввиду важности в физике. Существенный вклад в теорию для групп Лоренца внесли физик [[Вигнер, Юджин|Юджин Вигнер]] и математик [[Баргман, Валентин|Валентин Баргман]] с их [[Уравнения Баргмана — Вигнера|программой Баргмана — Вигнера]]{{sfn|Bargmann, Wigner|1948}}, одно из заключений которой, грубо говоря, ''классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских уравнений''{{sfn|Bekaert, Boulanger|2006}}. Классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца установил PhD-кандидат [[Дирак, Поль Адриен Морис|Поля Дирака]] в теоретической физике [[Хариш-Чандра]], позднее ставший математиком<ref group=nb>в 1945 году Хариш-Чандра навестил Дирака в Кембридже. Он пришёл к выводу, что он непригоден для теоретической физики. Хариш-Чандра нашёл ошибку в доказательстве Дирака в его работе о группе Лоренца, однако Дирак сказал: «Я не интересуюсь доказательствами, а интересуюсь только природой происходящего.»<p> Хариш-Чандра позднее написал: «Это замечание подтвердило моё растущее убеждение, что у меня нет чудесного шестого чувства, которое нужно для успеха в физике, и я вскоре решил перейти в математики.»<p> Дирак, однако предложил ему тему для работы — классификация неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца.<p>См. статью Далица и Пайерлса {{harv|Dalitz, Peierls|1986}}</ref> в 1947. Соответствующая классификация для группы <math>\mathrm{SL}(2, \mathbb C)</math> была опубликована независимо Баргманом и [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Израилем Моисеевичем Гельфандом]] вместе с [[Наймарк, Марк Аронович|Марком Ароновичем Наймарком]] в том же году<ref>[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|И. М. Гельфанд]], [[Наймарк, Марк Аронович|М. А. Наймарк]], [http://mi.mathnet.ru/izv3007 Унитарные представления группы Лоренца], Изв. АН СССР. Сер. матем., 11:5 (1947), 411–504</ref>.

[[#Неформальное введение в теорию представлений|Неформальное введение]] содержит некоторые предварительные требования к читателю, не знакомому с теорией представлений. Стандартные результаты, использованные здесь из общей теории конечномерных представлений, очерчены в разделе [[#Введение в теорию конечномерных представлений|«Введение в теорию конечномерных представлений»]]. Базис алгебры Ли и другие соглашения представлены в разделе [[#Соглашения и базисы алгебры Ли|«Соглашения и базисы алгебры Ли»]].

== Неформальное введение в теорию представлений ==
=== Симметрия пространства и времени ===
{{Основная статья|Симметрия (физика)|Симметрии пространства-времени|Группа Лоренца}}
[[Файл:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|140px|right|thumb|Сфера, максимально симметричный объект.]]

Пространство само по себе обладает симметрией. Оно выглядит одинаково, как бы вы не вращали его, и вращательная симметрия рассматривается как изотропия пространства. В данном случае обычно используются {{не переведено 5|Активное и пассивное преобразование|пассивные вращения||Active and passive transformation}}, что означает, что наблюдатель<ref group=nb>Негласно всегда предполагается, что каждая [[инерциальная система отсчёта]] имеет выделенного ''лоренцева наблюдателя'', т. е. кого-то, кто обладает, в принципе, полным набором информации (т. е. координат!) любого события, наблюдаемого в этой системе отсчёта.</ref> вращается сам. Математически, ''активная'' операция вращения осуществляется путём умножения [[радиус-вектор]]ов на [[Матрица поворота|матрицу поворота]]. {{не переведено 5|Активное и пассивное преобразование|Пассивное вращение||Active and passive transformation}} выполняется только путём вращения базисных векторов координатной системы (координатную систему можно считать закреплённой к вращающемуся наблюдателю, физически вращается наблюдатель). Таким образом, любая точка пространства получает новые координаты, как будто бы вращалось пространство.

Группа Лоренца содержит все матрицы вращения, продолженные на четвёртое измерение, с нулями в первой строке и первом столбце, за исключением верхнего левого элемента, который равен единице.

Имеются, кроме того, матрицы, которые выполняют [[Преобразования Лоренца|лоренцевские бусты]] (пространственно-временные вращения). Их можно рассматривать, при пассивном наблюдении, как (постоянно!) задающие скорость координатной системы (а с нею и наблюдателя) в выбранном направлении.

Наконец, используются два специальных преобразования для обращения координатной системы в пространстве — [[Чётность (физика)|инверсия пространства]], а во времени — [[T-симметрия|обращение времени]]. В первом случае обращаются пространственные оси координат. Во втором случае обращается ''направление'' времени. Это можно рассматривать при пассивном наблюдении как установка наблюдателем хода часов ''назад'', так что часы идут против обычного хода часовой стрелки. Физическое время идёт вперёд.

Математически группа Лоренца определяется как множество преобразований, сохраняющих билинейную форму

:<math>(ct_1, x_1, y_1, z_1) \cdot  (ct_2, x_2, y_2, z_2) = -c^2t_1t_2 + x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,</math>

в которой левая сторона является [[Пространство Минковского|скалярным произведением Минковского]] двух [[Событие (теория относительности)|событий]] в [[Пространство-время|пространстве-времени]], а правая сторона является [[Пространство-время|пространственно-временным интервалом]], см. статью {{не переведено 5|Классическая группа|«Классическая группа»||classical group}} для математических деталей.

=== Преобразования Лоренца ===
{{Основная статья|Преобразования Лоренца}}
В [[Пространство-время|пространстве-времени]] [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]], которое называется [[Пространство Минковского|пространством Минковского]], пространство и время переплетаются. Тогда четыре координаты точек в пространстве-времени, называемые [[Событие (теория относительности)|событиями]], меняются неожиданным (до появления специальной теории относительности) образом с [[Релятивистское замедление времени|замедлением времени]] и [[Лоренцево сокращение|сокращением длины]] как два немедленных следствия. Четырёхмерные матрицы [[Преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] составляют [[Группа Лоренца|группу Лоренца]]. Её элементы представляют симметрии и, подобно физическим объектам, могут вращаться с помощью матриц вращения, физические объекты (координаты которых теперь включают координату времени) могут быть ''преобразованы'' с помощью матриц, представляющих преобразования Лоренца. В частности, [[4-вектор]], представляющий [[Событие (теория относительности)|событие]] в системе отсчёта Лоренца преобразуется как

:<math> x' = \begin{bmatrix} x'^0 \\ x'^1 \\ x'^2 \\ x'^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{00}&\lambda_{01}&\lambda_{02}&\lambda_{03}\\ \lambda_{10}& \lambda_{11}& \lambda_{12}& \lambda_{13} \\ \lambda_{20}&\lambda_{21}&\lambda_{22}&\lambda_{23} \\ \lambda_{30}&\lambda_{31}&\lambda_{32}&\lambda_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix},</math>

или в краткой форме

:<math>x' = \Lambda x.</math>

=== Таблица умножения и представления ===
{{Основная статья|Таблица Кэли|Теория представлений}}
Основная особенность любой конечной группы — её ''таблица умножения'', называемая также [[Таблица Кэли|таблицей Кэли]], в которой записаны результаты умножения двух элементов. ''Представление'' группы можно рассматривать как новый набор элементов, конечномерных и бесконечномерных матриц, ''дающих ту же таблицу произведений'' после отображения старых элементов в новые взаимнооднозначно<ref group=nb>В действительности не требуется, чтобы отображение было взаимнооднозначным. Просто требуется, чтобы отображение было [[Гомоморфизм групп|гомоморфмзмом групп]], т. е. <math>\mathrm{\Pi}(gh) = \mathrm{\Pi}(g)\mathrm{\Pi}(h)</math> в некоторую [[Полная линейная группа|полную линейную группу]] {{math|GL(''V'')}} некоторого векторного пространства {{mvar|V}}. (Допускается, чтобы векторное пространство {{mvar|V}} было бесконечномерными, например, [[Гильбертово пространство|гильбертовым пространством]] {{math|''H''}}. В этом случае говорят о {{math|''B''(''H'')}}, линейных операторах на {{mvar|H}}, а не о {{math|GL(''V'')}}.</ref>. То же самое верно в случае бесконечных групп, таких как [[Группа вращений|группа вращений SO(3)]] группы Лоренца. Таблицу умножения труднее изобразить визуально в случае группы [[Счётное множество|несчётного]] размера (размера множества вещественных чисел). Один из путей сделать это — [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядочить]] элементы группы с [[Порядковое число|ординальным числом]] {{mvar|ρ}} являющимся [[Порядковый тип|порядковым типом]]. «Бесконечная таблица Кэли» тогда индексируется двумя ординалами <math>0 \leqslant \alpha, \beta \leqslant \rho</math>, записанными в {{не переведено 5|Арифметика ординалов|нормальной форме Кантора||Cantor normal form}}.

=== Обычного матричного преобразования Лоренца недостаточно ===
[[Файл:Lorentz boost electric charge.svg|300px|thumb|Лоренцевский буст электрического заряда, заряд покоится в одной системе отсчёта или в другой.]]

Преобразуемые объекты могут отличаться от обычных физических объектов, распростёртых в трёх пространственных измерениях (и времени, если система отсчёта не покоится). Для этих объектов нужна теория представлений для математического описания преобразований, индуцированных обычными преобразованиями Лоренца пространства-времени. Например, [[электромагнитное поле]] часто (наивно) представляется путём назначения каждой точке пространства-времени трёхмерного вектора, представляющего [[электрическое поле]], и другого трёхмерного вектора, представляющего [[магнитное поле]].

Когда пространство вращается, происходят классически ожидаемые вещи. Вектора электрического и магнитного полей в обозначенной точке вращаются с сохранением длины и угла между векторами.

При лоренцевских бустах они ведут себя по-другому, показывая, что эти два вектора не являются отдельными физическими объектами. Электрические и магнитные компоненты смешиваются. См. рисунок справа. [[Тензор электромагнитного поля]] показывает [[Лоренц-ковариантность|явно ковариантную]] математическую структуру электромагнитного поля. Она имеет шесть независимых компонент в событии<ref group=nb>В открытом множестве пространства-времени имеется только две [[Степени свободы (физика)|степени свободы]]. Введение [[Электромагнитный потенциал|4-потенциала]] даёт, номинально, четыре степени свободы. Уравнения поля и [[калибровочная инвариантность]], каждое удаляет, по одной степени свободы.</ref>.

=== Конечномерное представление матрицами ===

Задачей представления группы Лоренца является, в конечномерном случае, поиск нового набора матриц, не обязательно размера {{math|4 × 4}}, которые бы удовлетворяли той же таблице умножения, что и матрицы в оригинальной группе Лоренца. Возвращаясь к примеру электромагнитного поля, определяем, что нужны {{math|6 × 6}} матрицы, которые можно применить к шестимерным векторам, содержащим все шесть компонент электромагнитного поля. Таким образом, ищутся матрицы {{math|6 × 6}}, такие, что

:<math> F' = \begin{bmatrix} E'^1 \\ E'^2 \\ E'^3 \\ B'^1 \\ B'^2 \\ B'^3  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Pi(\Lambda)_{00}&\Pi(\Lambda)_{01}&\Pi(\Lambda)_{02}&\Pi(\Lambda)_{03}&\Pi(\Lambda)_{04}&\Pi(\Lambda)_{05}\\ \Pi(\Lambda)_{10}&\Pi(\Lambda)_{11}&\Pi(\Lambda)_{12}&\Pi(\Lambda)_{13}&\Pi(\Lambda)_{14}&\Pi(\Lambda)_{15} \\ \Pi(\Lambda)_{20}&\Pi(\Lambda)_{21}&\Pi(\Lambda)_{22}&\Pi(\Lambda)_{23}&\Pi(\Lambda)_{24}&\Pi(\Lambda)_{25} \\ \Pi(\Lambda)_{30}&\Pi(\Lambda)_{31}&\Pi(\Lambda)_{32}&\Pi(\Lambda)_{33}&\Pi(\Lambda)_{34}&\Pi(\Lambda)_{35} \\ \Pi(\Lambda)_{40}&\Pi(\Lambda)_{41}&\Pi(\Lambda)_{42}&\Pi(\Lambda)_{43}&\Pi(\Lambda)_{44}&\Pi(\Lambda)_{45} \\ \Pi(\Lambda)_{50}&\Pi(\Lambda)_{51}&\Pi(\Lambda)_{52}&\Pi(\Lambda)_{53}&\Pi(\Lambda)_{54}&\Pi(\Lambda)_{55} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E^1 \\ E^2 \\ E^3 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{bmatrix},</math>

или в краткой форме

:<math>F' = \Pi(\Lambda)F,</math>

корректно выражают преобразование электромагнитного поля при преобразовании Лоренца {{math|Λ}}<ref group=nb>Это преобразование обычно выражается другим способом, см., например, [[Преобразования Лоренца|«Преобразование электромагнитного поля»]]. Этот метод можно преобразовать для использования матриц {{math|6 × 6}}, и наоборот, поскольку тензор имеет {{math|6}} независимых компонент.</ref> Те же рассуждения можно применить к [[биспинор]]ам Дирака. Поскольку они имеют {{math|4}}-компоненты, исходные {{math|4 × 4}}-матрицы в группе Лоренца непригодны, даже если ограничиться вращениями. Необходимо другое {{math|4 × 4}}-представление.

Раздел, посвящённый конечномерным представлениям, предназначен для показа ''всех'' таких представлений с помощью конечномерных матриц, подчиняющихся правилам в таблице умножения.

=== Бесконечномерные представления действиями на векторных пространствах функций ===

Бесконечномерные представления обычно реализуются как действующие на множестве вещественных или комплексных функций на множестве {{mvar|X}}, согласующиеся с [[Действие группы|действием группы]]. «Множество согласуется с a действием группы» {{mvar|A}} означает, по сути, что если <math>x \in X</math> и <math>g \in G</math>, то <math>A(g)x = y</math> с <math>y \in X</math>. Если <math>\Complex^X</math> означает множество всех комплексных функций от {{mvar|X}}, которое является [[Векторное пространство|векторным пространством]], представление {{mvar|Π}} группы {{mvar|G}} может быть определено согласно Росману{{sfn|Rossmann|2002|с=Section 6.1}} как

:<math>(\Pi(g))f(x) = f(A(g^{-1})x),\quad f \in \Complex^{X}, g \in G, x\in X.</math>

Следует подчеркнуть, что снова

:<math>(\Pi(g))f\in \Complex^{X}.</math>

является представлением группы {{mvar|G}}. Это представление группы {{mvar|G}} конечномерно тогда и только тогда, когда {{mvar|X}} является конечным множеством. Этот метод является очень общим, и обычно используются векторные пространства более специализированных функций на множествах, находящихся под рукой. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим группу {{mvar|G}} {{math|''n''}}-мерных матриц как подмножество евклидового пространства <math>\R^{n^2}</math> и пространство [[многочлен]]ов, той же максимальной степени {{mvar|d}} или даже [[Однородный многочлен|однородных многочленов]] степени {{mvar|d}}, определённых на <math>\R^{n^2}</math>. Эти многочлены (как функции) ограничены на <math>G \subset \R^{n^2}</math>. Множество <math>X = G</math> автоматически получается оснащённым действиями группы, а именно

:<math>L_gh = gh, R_gh = hg, C_gh = ghg^{-1}, g, h \in G.</math>

Здесь <math>L_g</math> означает ''левое действие (с помощью {{mvar|g}})'', <math>R_g</math> означает ''правое действие (с помощью {{mvar|g}})'', а <math>C_g</math> означает ''сопряжение (с помощью {{mvar|g}})''. При этих действиях действующие вектора являются функциями. Получающиеся представления являются (если функции не ограничены) в первом и во втором случаях соответственно {{не переведено 5|Регулярное представление|левым регулярным представлением||left regular representation}} и ''правым регулярным представлением'' группы {{mvar|G}} на <math>\Complex^G.</math>{{sfn|Rossmann|2002|с=Section 6.1}}.

Целью теории представлений в бесконечномерном случае является классификация всех различных возможных представлений и выражения их в терминах векторных пространств функций и действий стандартных представлений на аргументы функций.

=== Бесконечномерные представления как бесконечномерные матрицы ===
Для того, чтобы связать представления на бесконечномерных пространствах с конечномерными случаями, выбирается упорядоченный базис для векторного пространства функций и исследуются действия на базисных функциях при заданных преобразованиях. Выписывается ''образ'' базисных функций при преобразовании, выраженный как линейная комбинация базисных функций. Конкретно, если {{math|''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ...}} является базисом, вычисляем

:<math>\begin{align}
\Pi(\Lambda)f_1 & = \lambda_{11}f_1 + \lambda_{21}f_2 + \cdots,\\
\Pi(\Lambda)f_2 & = \lambda_{12}f_1 + \lambda_{22}f_2 + \cdots,\\
& \,\,\, \vdots
\end{align}</math>

Коэффициенты при базисных функциях в выражении для каждого преобразования базисной функции является столбцом в матрице представления. Обычно получающаяся матрица имеет [[Счётное множество|счётную бесконечную]] размерность<ref group=nb>Могут существовать представления несчётной размерности. Они ведут себя менее хорошо (в частности, неунитарны) и не рассматриваются здесь.</ref>.

:<math> \Pi(\Lambda) = \begin{bmatrix}\lambda_{11}&\lambda_{12}&\cdots \\ \lambda_{21}&\lambda_{22}&\cdots \\ \vdots & \vdots &\ddots \end{bmatrix}</math>

Снова требуется, чтобы множество бесконечных матриц, полученных таким образом, находилось во взаимнооднозначном соответствии с исходными {{math|4 × 4}}-матрицами ''и'' чтобы таблица умножения соответствовала таблице умножения {{math|4 × 4}}-матриц.<ref group=nb>Может случиться, что произведение двух представителей бесконечномерных матриц плохо обусловлено. В этом случае правило может проверяться по другим критериям.</ref> Следует подчеркнуть, что в бесконечномерном случае редко интересуются всей матрицей полностью. Они показаны здесь, только чтобы подчеркнуть общие черты. Но ''индивидуальные'' матричные элементы часто вычисляются, особенно для алгебр Ли (ниже).

=== Алгебра Ли ===
{{Основная статья|Алгебра Ли}}
Группа Лоренца является [[Группа Ли|группой Ли]] и, будучи таковой, имеет [[Алгебра Ли|алгебру Ли]], Алгебра Ли является векторным пространством матриц, которые могут считаться моделью группы вблизи тожественного элемента. Алгебра наделена операцией умножения, [[Алгебра Ли|скобкой Ли]]. С этой операцией произведение в группе вблизи тождественного элемента может быть выражено терминах алгебр Ли (но не очень просто). Связью между (матричной) алгеброй Ли и (матричной) группой Ли служит [[экспонента матрицы]]. Эта связь взаимнооднозначна вблизи тождественного элемента группы.

Вследствие этого часто достаточно найти [[Представление алгебры Ли|представления алгебры Ли]]. Алгебры Ли являются существенно более простыми объектами для работы, чем группы Ли. Вследствие того факта, что алгебра Ли является конечномерным векторным пространством, в случае лоренцевой алгебры Ли размерность равна {{math|6}} и нужно найти лишь конечное число представляющих матриц алгебры Ли, по одной для каждого элемента базиса алгебры Ли как векторного пространства. Остальное следует из линейности, а представление группы получается путём возведения в степень.

Один из возможных выборов [[базис]]а для алгебры Ли в стандартном представлении дан в разделе [[#Соглашения и базисы алгебры Ли|«Соглашения и базисы алгебры Ли»]].

== Приложения ==
Многие из представлений, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления возникают при описании полей в [[Классическая теория поля|классической теории поля]] и, наиболее важно, в теории [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]] и [[Частица|частиц]] в [[релятивистская квантовая механика|релятивистской квантовой механике]], а также как частиц и квантовых полей в [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] и различных объектов в [[Теория струн|теории струн]]. Теория представлений даёт также теоретическую основу для понятия [[спин]]а. Теория представлений входит также в [[Общая теория относительности|общую теорию относительности]] в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени, физика является представлением специальной теории относительности{{sfn|Misner, Thorne, Wheeler|1973}}.

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями ''неоднородной'' группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямую физическую значимость{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.5, Chapter 5}}{{sfn|Tung|1985|с=Sections 10.3, 10.5}}.

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются при ''ограничении'' неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующей на [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространствах]] [[релятивистская квантовая механика|релятивистской квантовой механике]] и [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]]. Но они представляют также математический интерес и ''потенциальную'' прямую физическую значимость в другой роли, не просто как ограничения{{sfn|Tung|1985|с=Section 10.4}}. Имелись [[Спекуляция (философия)|спекулятивные теории]] {{sfn|Dirac|1945}}{{sfn|Harish-Chandra|1947}} (тензоры и спиноры имеют бесконечные дубликаты в ''экпансорах'' Дирака и ''экспинорах'' Хариша-Чандры), согласующиеся с релятивистской и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют те же ингредиенты.

=== Математика ===
Если смотреть с точки зрения математики, целью которой является классификация и описание, то теория представлений группы Лоренца с 1947 является пройденной главой. Но в связи с программой Баргмана – Вигнера, имеются (к 2006 году) нерешённые чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.

Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенную значимость для физической действительности в современных спекулятивных теориях, поскольку (обобщённая) группа Лоренца появляется как [[Действие группы|малая группа]] группы Пуанкаре [[Пространство Минковского|пространственноподобных векторов]] в пространствах-времени более высокой размерности. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщённой) группы Пуанкаре являются так называемыми ''тахионными представлениями''. [[Тахион]]ы появляются в спектре [[Теория бозонных струн|бозонных струн]] и ассоциируются с нестабильностью вакуума {{sfn|Zwiebach|2004|с=Section 12.8.}}{{sfn|Bekaert, Boulanger|2006|с=48.}}. Даже хотя тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть математически ''приняты'' для понимания теории струн. Это потому, что состояния тахиона появляются в [[Теория суперструн|теориях суперструн]] в попытке создать реалистичные модели{{sfn|Zwiebach|2004|с=Section 18.8}}.

Открытой проблемой (на 2006 год) является завершение программы Баргмана – Вигнера для группы изометрий {{math|SO(''D'' – 2, 1)}} [[Модель де Ситтера|пространства-времени Ситтера]] {{math|''dS''<sub>''D'' – 2</sub>}}. В идеале, физические компоненты функции волны могли бы быть реализованы на гиперболоиде {{math|''dS''<sub>''D'' – 2</sub>}} радиуса {{math|''μ'' > 0}}, вложенном в <math>\R^{D-2, 1}</math>, и соответствующие {{math|O(''D'' − 2, 1)}} уравнения ковариантной волны бесконечномерного унитарного представления известны{{sfn|Bekaert, Boulanger|2006|с=48.}}.

Для математиков свойственно считать группу Лоренца, большей частью, [[Преобразование Мёбиуса|группой Мёбиуса]], которой она изоморфна. Группу можно представить в терминах набора функций, определённых на [[Сфера Римана|сфере Римана]]. Они являются [[Дифференциальное уравнение Римана|P-символами Римана]], которые выражаются как [[Гипергеометрическая функция|гипергеометрические функции]].

=== Классическая теория поля ===
Хотя [[электромагнитное поле]] вместе с [[Гравитационное поле|гравитационным полем]] являются единственными классическими полями, доказывающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. При рассмотрении [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] (КТП), для описания которой используется [[вторичное квантование]], исходной точкой является одно и более классических полей, где, например, волновые функции, решающие [[уравнение Дирака]], рассматриваются как классические поля ''предшествующие'' (вторичному) квантованию{{sfn|Greiner, Reinhardt|1996|с=Chapter 2}}. В то время как вторичное квантование и [[Лагранжиан|лагранжев формализм]], ассоциированный с ним, не являются фундаментальными аспектами КТП{{sfn|Weinberg|2002|с=Foreword and introduction to chapter 7}}, на самом деле ко всем теориям квантового поля можно подходить с этой стороны, включая [[Стандартная модель|стандартную модель]]{{sfn|Weinberg|2002|с=Introduction to chapter 7.}}. В этих случаях имеются классические версии уравнений поля, вытекающих из [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|уравнения Эйлера — Лагранжа]], и полученных из лагранжиана с помощью [[Принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]]. Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными и их решения (которые будут расцениваться как релятивистские функции волны согласно определению ниже) должны преобразовываться по некоторому представлению группы Лоренца.

Действие группы Лоренца на пространство ''конфигураций поля'' (конфигурация поля — это история пространства-времени конкретного решения, например, электромагнитное поле во всём пространстве во всё время является ''одной'' конфигурацией поля) напоминает действие на гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что [[Коммутатор|коммутаторные скобки]] заменены на [[Скобка Пуассона|скобки Пуассона]] теории поля{{sfn|Greiner, Reinhardt|1996|с=Chapter 2}}.

=== Релятивистская квантовая механика ===
Для целей настоящего раздела введём следующее определение{{sfn|Tung|1985|с=Definition 10.11}}: ''Релятивистская функция волны'' — это множество {{mvar|n}} функций <math>\psi^{\alpha}</math> в пространстве-времени, которые преобразуются под произвольным собственным преобразованием Лоренца {{math|Λ}} как

:<math>\psi'^\alpha(x) = D{[\Lambda]^\alpha}_\beta \psi^\beta \left(\Lambda^{-1} x\right),</math>

где {{math|''D''[Λ]}} — {{math|''n''}}-мерное матричное представление преобразования {{math|Λ}}, принадлежащее той же прямой сумме {{math|(''m'', ''n'')}} представления, которое будет введено ниже.

Наиболее полезными релятивистскими квантовыми механиками ''одночастичных'' теорий (строго последовательной таковой теории не существует) являются [[уравнение Клейна — Гордона]]{{sfn|Greiner, Müller|1994|с=Chapter 1}} и [[уравнение Дирака]]{{sfn|Greiner, Müller|1994|с=Chapter 2}} в их оригинальном виде. Они релятивистски инварианты и их решения преобразуются под группой Лоренца как {{не переведено 5|Лоренцов скаляр|лоренцовы скаляры||Lorentz scalar}} (<math>(m, n) = (0, 0)</math>) и [[биспинор]]ы соответственно (<math>(0, \tfrac{1}{2}) \oplus (\tfrac{1}{2}, 0)</math>). Электромагнитное поле является релятивистской функцией волны согласно этому определению, преобразующейся под <math>(1, 0) \oplus (0, 1)</math>{{sfn|Tung|1985|с=203}}.

Бесконечномерные представления могут быть использованы в анализе рассеяния{{sfn|Delbourgo, Salam, Strathdee|1967}}/

=== Квантовая теория поля ===
В квантовой теории поля возникает требование релятивистского инварианта среди других путей потребовать, чтобы [[Матрица рассеяния|S-матрица]] была обязательно инвариантом Пуанкаре{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 3.3}}. Отсюда следует, что имеется одно или более бесконечномерных представления группы Лоренца, действующих на [[Пространство Фока|пространстве Фока]]<ref group=nb>См. формулу (1) в статье [[Матрица рассеяния]] для описания, как свободные мультичастицы меняют состояния.</ref>. Один из способов гарантии такого представления — существование лагранжева описания (с современными требованиями, см. ссылку) системы, использующее канонический формализм, из которого может быть выведена реализация генераторов группы Лоренца{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 7.4.}}.

Преобразование операторов поля иллюстрирует взаимодополняющие роли конечномерных представлений группы Лоренца и бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, что свидетельствует о глубоком единстве между математикой и физикой{{sfn|Tung|1985|с=Introduction to chapter 10.}}. Для примера рассмотрим определение {{mvar|n}}-компонентного {{не переведено 5|Оператор поля|оператора поля||field operator}}{{sfn|Tung|1985|с=Definition 10.12.}}. Релятивистский оператор поля — это множество {{mvar|n}} функций, значениями которых являются операторы, на пространстве-времени, которые преобразуются при подходящих преобразованиях Пуанкаре {{math|(Λ, ''a'')}} согласно выражению{{sfn|Tung|1985|с=Equation 10.5-2.}}{{sfn|Weinberg|2002|с=Equations 5.1.6–7.}}.

:<math>
  \Psi^\alpha(x) \to \Psi'^\alpha(x') =
    U[\Lambda, a]\Psi^\alpha(x) U^{-1} \left[\Lambda, a\right] =
    D{\left[\Lambda^{-1}\right]^\alpha}_\beta \Psi^\beta (\Lambda x + a)
</math>

Здесь {{math|''U''[Λ, a]}} является унитарным оператором, представляющим {{math|(Λ, a)}} в гильбертовом пространстве, на котором определена {{math|Ψ}}, {{mvar|D}} является {{mvar|n}}-мерным представлением группы Лоренца. Правилом преобразования служит [[Аксиомы Уайтмана|вторая аксиома Уайтмана]] квантовой теории поля.

Из соглашений о дифференциальных связях, которым должен следовать оператор поля для описания отдельной частицы с определённой массой {{mvar|m}} и спином {{mvar|s}} (или спиральностью), выводится, что {{sfn|Tung|1985|с=Equation 10.5–18}}<ref group=nb>{{harvnb|Weinberg|2002|loc=Equations 5.1.4–5}}. Вайнберг выводит необходимость операторов создания и уничтожения из других соображений, {{не переведено 5|Теорема о декомпозиции кластера|принципа декомпозиции кластера||Cluster decomposition theorem}}, {{harvtxt|Weinberg|2002|loc=Chapter 4.}}</ref>

{{EF|:
 |<math>\Psi^\alpha(x) = \sum_\sigma \int dp \left(a(\mathbf{p}, \sigma) u^\alpha(\mathbf{p}, \sigma) e^{ip \cdot x} + a^\dagger(\mathbf{p}, \sigma) v^\alpha(\mathbf{p}, \sigma) e^{-ip \cdot x} \right),</math>
 |ref=X1}}

где <math>a^{\dagger}, a</math> интерпретируются как [[операторы рождения и уничтожения]] соответственно. Оператор рождения <math>a^{\dagger}</math> преобразуется согласно формулам{{sfn|Tung|1985|с=Equation 10.5–18}}{{sfn|Weinberg|2002|с=Equations 5.1.11–12}}

:<math>
  a^\dagger(\mathbf{p}, \sigma) \rightarrow
  a'^\dagger \left(\mathbf{p}', \sigma\right) =
  U[\Lambda]a^\dagger(\mathbf{p}, \sigma) U \left[\Lambda^{-1}\right] =
  a^\dagger(\Lambda \mathbf{p}, \rho) D^{(s)}{\left[R(\Lambda, \mathbf{p})^{-1}\right]^\rho}_\sigma,</math>

и аналогично для оператора аннигиляции. В данном случае следует подчеркнуть, что оператор поля преобразуется согласно конечномерному неунитарному представлению группы Лоренца, в то время как оператор создания преобразуется под бесконечномерном унитарном представлении группы Пуанкаре, описываемом массой и спином {{math|(''m'', ''s'')}} частицы. Связью между этими двумя служат ''функции волны'', называемые также ''коэффициентными функциями''

:<math>u^\alpha(\mathbf{p}, \sigma) e^{ip \cdot x},\quad v^\alpha(\mathbf{p}, \sigma) e^{-ip \cdot x}</math>

которые несут ''оба'' индекса, как {{math|(''x'', ''α'')}}, оперирующий преобразованиями Лоренца, так и индекс {{math|('''p''', ''σ'')}}, оперирующий преобразованиями Пуанкаре. Это можно назвать связью Лоренца–Пуанкаре{{sfn|Tung|1985|с=Section 10.5.3}}. Чтобы продемонстрировать связь, применим к обеим частям уравнения {{Eqref|X1|(X1)}} преобразование Лоренца, что даёт, например, для {{mvar|u}}

:<math>
  {D[\Lambda]^\alpha}_{\alpha'} u^{\alpha'}(\mathbf{p}, \lambda) =
  {D^{(s)}[R(\Lambda, \mathbf{p})]^{\lambda'}}_\lambda u^\alpha \left(\Lambda \mathbf{p}, \lambda'\right),
</math>

где {{mvar|D}} является представлением неунитарной группой Лоренца {{math|Λ}}, а {{math|''D''<sup>(''s'')</sup>}} является унитарным представлением так называемого ''вращения Вигнера'' {{mvar|R}}, ассоциированного с {{math|Λ}} и {{math|'''p'''}}, которое выводится из представления группы Пуанкаре, а {{mvar|s}} является спином частицы.

Все вышеприведённые формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, как и дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с указанной массой, спином и {{math|(''m'', ''n'')}} представлением, которое он должен преобразовывать<ref group=nb>Предписание, как частица должна вести себя при CPT симметрии, может также требоваться.</ref>, а также функция волны, могут быть выведены лишь из теоретических соглашений, как только заданы рамки квантовой механики и специальной теории относительности<ref group=nb>Например, существуют версии (уравнения свободного поля, т.e. без взаимодействующих членов) [[Уравнение Клейна — Гордона|уравнения Клейна — Гордона]], [[Уравнение Дирака]], [[уравнения Максвелла]], [[уравнения Прока]], [[уравнение Рариты — Швингера]] и [[уравнения Эйнштейна]], которые могут быть выведены, начиная с заданного представления группы Лоренца. В общем случае, они являются коллективными версиями квантовой теории поля
 [[Уравнения Баргмана — Вигнера|уравнений Баргмана — Вигнера]].<p>См. Вайнберга {{harv|Weinberg|2002|loc=Chapter 5}}, Танга {{harv|Tung|1985|loc=Section 10.5.2}} и ссылки, приведённые в этих работах.<p>Следует заметить, что теории высших спинов ({{math|''s'' > 1}}) имеют трудности. Вайнберг {{harv|Weinberg|2002|loc=Section 5.8}} для общих {{math|(''m'', ''n'')}} полей глубоко обсуждает вопрос. Частицы с высшим спином, без сомнения, ''существуют'', например, ядра. Известные такие частицы не ''элементарны''.</ref>

=== Абстрактные теории ===
В теориях, в которых размерность пространства-времени может быть больше <math>D = 4</math>, обобщённые группы Лоренца <math>\mathrm{O}(D - 1; 1)</math> подходящей размерности занимают место группы {{math|O(3; 1)}}{{#tag:ref|Для информации о теории представлений этих групп см. статью Бекарта и Буланже{{sfn|Bekaert, Boulanger|2006}}, которая посвящена теории представления группы Пуанкаре. Эти представления получаются с помощью метода {{не переведено 5|индуцированное представление|индуцированных представлений||induced representation}} или, на языке физики, с помощью метода [[Действие группы|малой группы]], который разработал Вигнер в 1939 для групп его типа (групп Вигнера), а прочный математический фундамент заложил [[Маккей, Джордж|Джордж Маккей]] в пятидесятых годах.|group = nb}}.

Требование лоренцевой инвариантности принимает, видимо, наиболее драматический эффект в [[Теория струн|теории струн]]. С ''классическими'' релятивистскими струнами можно работать в лагранжевых рамках с помощью {{не переведено 5|Действие Намбу Гото|действия Намбу Гото||Nambu–Goto action}}{{sfn|Zwiebach|2004|с=Section 6.4}}. Это работает в релятивистки инвариантной теории в пространстве-времени любой размерности{{sfn|Zwiebach|2004|с=Chapter 7}}. Но, оказывается, в теории [[Теория струн|открытых и закрытых]] [[Теория бозонных струн|бозонных струн]] (самой простой теории струн) невозможно квантование таким способом, каким группа Лоренца представляется в пространстве состояний ([[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]), если размерность пространства-времени не равна 26{{sfn|Zwiebach|2004|с=Section 12.5}}. Соответствующий результат для [[Теория суперструн|теории суперструн]] снова приводит к требованию лоренцевой инвариантности, но теперь с [[Суперсимметрия|суперсимметрией]]. В этих теориях [[Группа Пуанкаре|алгебра Пуанкаре]] заменяется на {{не переведено 5|Алгебра суперсимметрий|алгебру суперсимметрий||supersymmetry algebra}}, которая является {{не переведено 5|Градуированная алгебра Ли|{{math|''Z''<sub>2</sub>}}-градуированной алгеброй Ли||graded Lie algebra}}, расширяющей алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры в высокой степени определяется требованием инварианта Лоренца. В частности, фермионные операторы (класса {{math|1}}) принадлежат {{math|(0, {{Дробь2|1|2}})}} или {{math|({{Дробь2|1|2}}, 0)}} представлению пространства (обычной) лоренцевой алгебры Ли{{sfn|Weinberg|2000|с=Section 25.2.}}. Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях равна 10{{sfn|Zwiebach|2004|с=Last paragraph, section 12.6}}.

== Конечномерные представления ==
Теория представлений групп в общем, и групп Ли в частности, является очень богатой областью. Полная группа Лоренца не является исключением. Группа Лоренца имеет некоторые свойства, которые делают её «податливой», а другие её же свойства делают её «не очень податливой» в контексте теории представлений. Группа является {{не переведено 5|Простая алгебра (универсальная алгеба)|простой||Simple (abstract algebra)}}, а тогда и [[Полупростая алгебра Ли|полупростой]], но не [[Связное пространство|связной]], и ни одна из её компонент не является [[Односвязное пространство|односвязной]]. Возможно, наиболее важно, что группа Лоренца не [[Компактное пространство|компактна]]<ref>Эти факты можно найти в большинстве вводных математических и физических текстов. См, например, книги Росмана{{harv|Rossmann|2002}}, Холла{{harv|Hall|2015}} и Танга{{harv|Tung|1985}}.</ref>.

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать тем же образом, как и с другими полупростыми группами, используя хорошо разработанную теорию. Кроме того, все представления строятся из [[Неприводимое представление|неприводимых]], поскольку алгебра Ли обладает ''свойством полной приводимости''<ref group=nb>{{harvtxt|Hall|2015|loc=Section 4.4.}}
{{Абзац}}
Говорят, что группа имеет ''свойство полной приводимости'', если любое представление разбивается на прямую сумму неприводимых представлений.</ref>{{sfn|Hall|2015|с=Theorem 4.34 и последующее обсуждение}}. Однако с некомпактными группами Лоренца в комбинации с отсутствием односвязности нельзя работать во всех аспектах в простых рамках, которые применимы к односвязным компактным группам. Из некомпактности следует для связной простой группы Ли, что не существует нетривиальных конечномерных {{не переведено 5|Унитарное представление|унитарных||Unitary representation}} представлений{{sfn|Wigner|1939}}. Отсутствие односвязности приводит к {{не переведено 5|Представление спина|представлению спинов||spin representation}} групп{{sfn|Hall|2015|с=Appendix D2}}. Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца [[T-симметрия|обращение времени]] и [[Чётность (физика)|инверсию пространства]] следует рассматривать отдельно{{sfn|Greiner, Reinhardt|1996}}{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.6, Chapter 5}}.

=== История ===
Разработка теории конечномерных представлений группы Лоренца большей частью следует стратегии общей теории. Теория Ли, разработанной [[Ли, Софус|Софусом Ли]] в 1873{{sfn|Coleman|1989|с=30}}{{sfn|Lie|1888}}{{sfn|Lie|1890}}{{sfn|Lie|1893}}. В 1888 {{не переведено 5|Список простых групп Ли|классификацию простых алгебр Ли||list of simple lie groups}} по существу выполнил [[Киллинг, Вильгельм|Вильгельм Киллинг]]{{sfn|Coleman|1989|с=34}}{{sfn|Killing|1888}}. В 1913 {{не переведено 5|Теорема Картана|теорему о наибольшем весе||Cartan's theorem}} для представлений простых алгебр Ли доказал [[Картан, Эли Жозеф|Картан]] и этим же путём следует данная статья{{sfn|Rossmann|2002}}{{sfn|Cartan|1913}}. [[Брауэр, Ричард|Ричард Брауэр]] в 1935–38 годах занимался разработкой теории {{не переведено 5|Матрицы Вейля — Брауэра|матриц Вейля — Брауэра||Weyl-Brauer matrices}}, описывающих как спиновые представления лоренцевой алгебры Ли могут быть вложены в [[Алгебра Клиффорда|алгебры Клиффорда]]{{sfn|Green|1998|с=76}}{{sfn|Brauer, Weyl|1935}}. Группа Лоренца получила также исторически специальное внимание в теории представления, см раздел «История бесконечномерных унитарных представлений» ниже, ввиду её исключительной важности в физике. Математики [[Вейль, Герман|Герман Вейль]]{{sfn|Rossmann|2002}}{{sfn|Tung|1985|с=Introduction}}{{sfn|Coleman|1989|с=30}}{{sfn|Weyl|1931}}{{sfn|Weyl|1939}} и [[Хариш-Чандра]]{{sfn|Langlands|1985|с=203–205}}{{sfn|Harish-Chandra|1947}} и физики [[Вигнер, Юджин|Юджин Вигнер]]{{sfn|Tung|1985|с=Introduction}}{{sfn|Wigner|1939}} и [[Баргман, Валентин|Валентин Баргман]]{{sfn|Klauder|1999}}{{sfn|Bargmann|1947}}<ref>Баргман был также [[математик]]ом. Он работал ассистентом [[Эйнштейн, Альберт|Альберта Эйнштейна]] в [[Институт перспективных исследований|Институте перспективных исследований]] в Принстоне ({{harvtxt|Klauder|1999}}).</ref> внесли существенный вклад как в общие теории представлений так и, в частности, в теорию групп Лоренца{{sfn|Bargmann, Wigner|1948}}. Физик [[Дирак, Поль Адриен Морис|Поль Дирак]] был, возможно, первым, кто явно связал всё вместе в практическом приложении с [[Уравнение Дирака|уравнением Дирака]] в 1928{{sfn|Dalitz, Peierls|1986}}{{sfn|Dirac|1928}}<ref group=nb>Дирак предложил тему работы Вигнера {{harv|Wigner|1939}} в 1928 (как утверждается в статье Вигнера). Он также опубликовал одну из первых работ по явным бесконечномерным унитарным представлениям статье 1945 года в статье Дирака {{harv|Dirac|1945}} {{harv|Langlands|1985}}, и предложил тему работы Хариша-Чандры по классификации неприводимых бесконечномерных представлений {{harv|Dalitz, Peierls|1986}}.</ref>.

=== Введение в теорию конечномерных представлений ===
* Для обозрения стратегии, применяемой для алгебры Ли, обратитесь к разделу [[Представление алгебры Ли|«Обзор классификации представлений алгебры Ли»]].
* Техники, специфичные для некомпактных групп, можно найти в разделах {{не переведено 5|Унитарный приём|«Унитарный приём»||unitarian trick}} и [[Представление алгебры Ли|«Представления алгебры Ли и унитарный приём Вейля»]].
* Переход от представлений алгебры Ли к группе Ли представлен в разделах «[[Проективное представление]]» и [[#Представления матричной группы Ли из представления алгебры Ли|«Представления матричной группы Ли из представления алгебры Ли»]].

=== Алгебра Ли ===
[[Файл:Wilhelm Karl Joseph Killing.jpeg|upright|thumb|left| [[Киллинг, Вильгельм|Вильгельм Киллинг]], независимо открывший [[Алгебра Ли|алгебры Ли]]. Простые алгебры Ли были классифицированы им в 1888.]]
Согласно [[#Введение в теорию конечномерного представления|стратегии]], были найдены неприводимые комплексные линейные представления [[Комплексификация|комплексификации]], <math>\mathfrak{so}(3; 1)_\Complex</math> алгебры Ли <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> группы Лоренца. Подходящий базис для <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> задаётся тремя [[#Явные формулы|генераторами]] {{math|''J''<sub>''i''</sub>}} [[Вращение|вращений]] и тремя генераторами {{math|''K''<sub>''i''</sub>}} [[Преобразования Лоренца|бусты]]. Они в явном виде даны в разделе [[#Соглашения и базисы алгебры Ли|«Соглашения и базисы алгебры Ли»]].

Алгебра Ли является {{не переведено 5|комплексификация (группы Ли)|комплексифицированной||Complexification (Lie group)}}, а базис заменяется на компоненты {{sfn|Weinberg|2002|с=Equations 5.6.7–8.}}

:<math>\mathbf{A} = \frac{\mathbf{J} + i \mathbf{K}}{2},\quad \mathbf{B} = \frac{\mathbf{J} - i \mathbf{K}}{2}.</math>

Компоненты <math>\mathbf{A} = (A_1, A_2, A_3)</math> и <math>\mathbf{B} = (B_1, B_2, B_3)</math> по отдельности удовлетворяют {{не переведено 5|Соотношение коммутирования|соотношения коммутирования||commutation relation}} алгебры Ли [[Специальная унитарная группа|<math>\mathfrak{su}(2)</math>]] и, более того, коммутируют друг с другом{{sfn|Weinberg|2002|с=Equations 5.6.9–11}},

:<math>\left[A_i, A_j\right] = i\varepsilon_{ijk} A_k,\quad \left[B_i, B_j\right] = i\varepsilon_{ijk} B_k,\quad \left[A_i, B_j\right] = 0,</math>

где {{math|''i'', ''j'', ''k''}} являются индексами, принимающими значениями {{math|1, 2, 3}}, а <math>\varepsilon_{ijk}</math> является трёхмерным [[Символ Леви-Чивиты|символом Леви-Чивиты]]. Пусть <math>\mathbf{A}_\Complex</math> и <math>\mathbf{B}_\Complex</math> означают комплексные [[Линейная оболочка|линейные оболочки]] {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} соответственно.

Имеем изоморфизмы {{sfn|Hall|2003|с=Chapter 6}}<ref group=nb>{{harvnb|Knapp|2001}}; Выглядящий удивительным третий изоморфизм доказан в главе 2, параграфе 4.</ref>

{{Equation box 1
 |indent=
 |equation = {{EF|:
  |<math>\begin{align}
      \mathfrak{so}(3; 1) \hookrightarrow
        \mathfrak{so}(3; 1)_\Complex \cong
        \mathbf{A}_\Complex \oplus \mathbf{B}_\Complex
      &\cong \mathfrak{su}(2)_\Complex  \oplus  \mathfrak{su}(2)_\Complex \\[5pt]
      &\cong \mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus  \mathfrak{sl}(2, \Complex) \\[5pt]
      &\cong \mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus i\mathfrak{sl}(2, \Complex) =
        \mathfrak{sl}(2, \Complex)_\Complex \hookleftarrow \mathfrak{sl}(2, \Complex),
    \end{align}</math>
  |ref=A1}}
 |cellpadding=6
 |border |border colour=#0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
}}

где <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> является комплексификацией алгебры <math>\mathfrak{su}(2) \cong \mathbf{A} \cong \mathbf{B}.</math>

Полезность этих изоморфизмов проистекает из факта, что вcе неприводимые [[Представление алгебры Ли|представление алгебры]] <math>\mathfrak{su}(2)</math>, а потому (см. [[#Введение в теорию конечномерного представления|стратегию]]) все неприводимые комплексные линейные представления <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex),</math> известны. Согласно конечному заключению [[#Введение в теорию конечномерного представления|стратегии]], неприводимое комплексное линейное представление алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> изоморфно одному из {{не переведено 5|Вес (теория представлений)|представлений наибольшего веса||highest weight representation}}. Они приведены в явном виде в разделе [[#Комплексные линейные представления|«Комплексные линейные представления <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex).</math>»]]

==== Унитарный приём ====
[[Файл:Hermann Weyl ETH-Bib Portr 00890.jpg|upright|thumb|right|[[Вейль, Герман|Герман Вейль]], разработчик {{не переведено 5|Унитарный приём|унитарного приёма||unitarian trick}}. Имеется несколько концепций и формул в теории представлений, названных именем Вейля, а именно, [[группа Вейля]] и {{не переведено 5|формула Вейля для характеров|||Weyl character formula}}.{{Абзац}}Фото любезно предоставлено ETH-Bibliothek Zürich, Bildarchiv]]

Алгебра Ли <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> является алгеброй Ли группы <math>\text{SL}(2, \Complex) \times \text{SL}(2, \Complex).</math> Она содержит компактную подгруппу {{math|SU(2) × SU(2)}} с алгеброй Ли <math>\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)</math>. Последняя является вещественной компактной вещественной формой алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>. Тогда из [[#Введение в теорию конечномерных представлений#Unitarian trick|первого утверждения]] унитарного приёма представления группы {{math|SU(2) × SU(2)}} взаимнооднозначно соответствуют голоморфным представлениям группы <math>\text{SL}(2, \Complex) \times \text{SL}(2, \Complex).</math>

Согласно компактности, {{не переведено 5|теорема Питера — Вейля|||Peter–Weyl theorem}} применима к {{math|SU(2) × SU(2)}}{{sfn|Knapp|2001}} и, следовательно, ортогональность [[Характер представления группы|непереводимых характеров]] может быть также использована. Неприводимые унитарные представления группы {{math|SU(2) × SU(2)}} в точности являются [[Тензорное произведение|тензорными произведениями]] неприводимых унитарных представлений группы {{math|SU(2)}}<ref>Это является приложением предложения 10 из статьи Росмана {{harv|Rossmann|2002|loc=Section 6.3, Proposition 10.}}</ref>

Привлекая односвязность, можно использовать [[#Введение в теорию конечномерных представлений#Unitarian trick|второе утверждение]] унитарного приёма. Объекты в следующем списке находятся во взаимнооднозначном соотношении:
* Голоморфные представления группы <math>\text{SL}(2, \Complex) \times \text{SL}(2, \Complex)</math>
* Гладкие представления {{math|SU(2) × SU(2)}}
* Вещественные линейные представления алгебры <math>\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)</math>
* Комплексные линейные представления алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>

Тензорное произведение представлений появляется в алгебрах Ли в одной из форм<ref group=nb>Произведение тензоров представлений, <math>\pi_g \otimes \pi_h</math> алгебры <math>\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{h}</math> может, когда оба множителя приходят из той же алгебры Ли <math>\mathfrak{h} = \mathfrak{g},</math> пониматься или как представление <math>\mathfrak{g}</math>, или как представление <math>\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}</math>.</ref>

{{EF|:
 |<math>\begin{align}
        \pi_1\otimes\pi_2(X) &= \pi_1(X) \otimes \mathrm{Id}_V + \mathrm{Id}_U \otimes \pi_2(X) && X \in \mathfrak{g} \\ 
     \pi_1\otimes\pi_2(X, Y) &= \pi_1(X) \otimes \mathrm{Id}_V + \mathrm{Id}_U \otimes \pi_2(Y) && (X, Y) \in \mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}
   \end{align}</math>
 |ref=A0}}

где {{math|Id}} является тождественным оператором. Здесь пердполагается последняя интерпретация, которая следует из уравнения {{Eqref|G6|(G6)}}. Наибольший вес представления алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> индексируется значениями {{mvar|μ}} для {{math|1=''μ'' = 0, 1/2, 1, ...}}. (Наибольшие веса в действительности равны <math>2\mu = 0, 1, 2, ...</math>, но обозначения здесь адаптированы к обозначениям алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1).</math>). Тензорные произведения двух таких комплексных линейных сомножителей тогда образуют неприводимые комплексные линейные представления алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2, \Complex).</math>

Наконец, <math>\R</math>-линейные представления {{не переведено 5|Вещественная форма (теория Ли)|вещественных форм||real form (Lie theory)}} крайние слева, (алгебры) <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>, и крайние справа, <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex),</math><ref group=nb>Если комплексификацировать ''комплексную'' алгебру Ли, её нужно рассматривать как ''вещественную'' алгебру Ли вещественной размерности, вдвое большей комплексной размерности. Аналогично, вещественная форма, на самом деле, может быть комплексной, как в этом случае.</ref> в формуле {{Eqref|A1|(A1)}} получаются из <math>\Complex</math>-линейных представлений алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>, описанной в предыдущем параграфе.

==== Представления ====
Вещественные линейные представления для алгебр <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> и <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>, рассматриваемые здесь, предполагают, что комплексные линейные представления алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> известны. Явные реализации и представления групп даны ниже.

===== (''μ'', ''ν'')-представления алгебры sl(2, C) =====
Комплексные линейные представления комплексификации алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex), \mathfrak{sl}(2, \Complex)_\Complex,</math>, полученные с помощью изоморфизмов в уравнении {{Eqref|A1|(A1)}}, находятся во взаимнооднозначном соответствии с вещественными линейными представлениями алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>{{sfn|Knapp|2001|с=32}}. Множество всех, ''по меньшей мере вещественных линейных'', неприводимых представлений алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> тогда индексируется парой <math>(\mu, \nu)</math>. Индексы комплексных линейных представлений, точно соответствующих комплексификации вещественных линейных <math>\mathfrak{su}(2)</math> представлений, имеют вид {{math|(''μ'', 0)}}, в то время как индексы сопряжённых линейных имеют вид {{math|(0, ''ν'')}}{{sfn|Knapp|2001|с=32}}. Все другие представления являются только вещественными линейными. Свойства линейности следуют из канонического вложения, крайне правого в формуле {{Eqref|A1|(A1)}}, алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> в её комплексификацию. Представления в виде {{math|(''ν'', ''ν'')}} или <math>(\mu, \nu) \oplus (\nu, \mu)</math> задаются ''вещественными'' матрицами (второе не является неприводимым). Явными вещественными линейными <math>(\mu, \nu)</math>-представлениями алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math> являются

{{Equation box 1
 |indent=
 |equation=
:<math>\varphi_{\mu, \nu}(X) =
  \left(\varphi_\mu \otimes \overline{\varphi_\nu}\right)(X) =
  \varphi_\mu(X) \otimes \operatorname{Id}_{\nu+1} + \operatorname{Id}_{\mu+1} \otimes \overline{\varphi_\nu(X)},\qquad X \in \mathfrak{sl}(2, \Complex)
</math>
 |cellpadding=6
 |border |border colour=#0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
}}

где <math>\varphi_\mu, \mu = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots</math> являются комплексными линейными неприводимыми представлениями алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>, а <math>\overline{\varphi_\nu}, \nu = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots</math> являются их комплексными сопряжёнными представлениями. (В математической литературе обычно применяются индексы {{math|0, 1, 2, &hellip;}}, но здесь выбраны дроби для согласования с индексами для <math>\mathfrak{so}(3, 1)</math> алгебры Ли.) Здесь скалярное произведение интерпретируется в первоначальном смысле как {{Eqref|A0|(A0)}}. Эти представления [[#Конкретная реализация|конкретно реализованы]] ниже.

===== (''m'', ''n'')-представления алгебры so(3; 1) =====
Через указанный изоморфизм в уравнении {{Eqref|A1|(A1)}} и знание комплексных линейных неприводимых представлений алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>, разрешённой относительно {{math|'''J'''}} и {{math|'''K'''}}, получаются все неприводимые представления алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)_\Complex</math> и, путём ограничения, представления алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>. Представления алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>, полученные таким образом, являются вещественными линейными (а не комплексными или антилинейными), поскольку алгебры не замкнуты относительно сопряжения, но они остаются неприводимыми{{sfn|Hall|2003|с=Chapter 6}}. Поскольку алгебра <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> является [[Полупростая алгебра Ли|полупростой]]{{sfn|Hall|2003|с=Chapter 6}}, все её представления можно построить как [[Прямая сумма|прямые суммы]] неприводимых представлений.

Тогда неприводимые представления конечной размерности алгебры Лоренца классифицируются упорядоченными парами половинок целых чисел {{math|1=''m'' = ''μ''}} и {{math|1=''n'' = ''ν''}}, которые традиционно записываются как

:<math>(m, n) \equiv \pi_{(m,n)} : \mathfrak{so}(3;1) \to \mathfrak{gl}(V),</math>

где {{mvar|V}} является конечномерным векторным пространством. Они, с точностью до [[Подобные матрицы|подобия]], единственным образом задаются выражениями<ref group=nb>Комбинируем формулы 5.6.7–8, 5.6.14–15 из работы Вайнберга {{harv|Weinberg|2002|loc=Equations 5.6.7–8, 5.6.14–15}} c предложением Холла {{harv|Hall|2015|loc=Proposition 4.18}} о представлениях алгебры Ли в виде тензорных произведений группы представлений.</ref>

{{Equation box 1
 |indent=
 |equation={{EF|:
  |<math>\begin{align}
      \pi_{(m,n)}(J_i) & = 1_{(2m+1)} \otimes J^{(n)}_i + J^{(m)}_i \otimes 1_{(2n+1)} \\
      \pi_{(m,n)}(K_i) & = i \left(1_{(2m+1)} \otimes J^{(n)}_i - J^{(m)}_i \otimes 1_{(2n+1)}\right),
    \end{align}</math>
  |ref=A2}}
 |cellpadding=6
 |border|border colour=#0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
}}

где {{math|1<sub>''n''</sub>}} является {{mvar|n}}-мерной [[Единичная матрица|единичной матрицей]], а

:<math>\mathbf{J}^{(n)} = \left(J^{(n)}_1, J^{(n)}_2, J^{(n)}_3\right)</math>

являются {{math|(2''n'' + 1)}}-мерными неприводимыми {{не переведено 5|Теория представлений SU(2)|представлениями алгебры||Representation theory of SU(2)}} <math>\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)</math>, которые называются также [[Группа вращений|спиновыми матрицами]] или ''матрицами момента импульса''. Они явно задаются формулами{{sfn|Weinberg|2002|с=Уравнения 5.6.16–17}}

:<math>\begin{align}
  \left(J_1^{(j)}\right)_{a'a} &= \frac{1}{2} \left(\sqrt{(j - a)(j + a + 1)}\delta_{a',a + 1} + \sqrt{(j + a)(j - a + 1)}\delta_{a',a - 1}\right) \\
  \left(J_2^{(j)}\right)_{a'a} &= \frac{1}{2i}\left(\sqrt{(j - a)(j + a + 1)}\delta_{a',a + 1} - \sqrt{(j + a)(j - a + 1)}\delta_{a',a - 1}\right) \\
  \left(J_3^{(j)}\right)_{a'a} &= a\delta_{a',a}
\end{align}</math>

где {{math|''δ''}} означает [[символ Кронекера]]. В компонентах с <math>-m \leqslant a, a' \leqslant  m</math>, <math>-n \leqslant b, b' \leqslant n</math> представления задаются уравнениями<ref name="Weinberg 2002 Chapter 2">{{harvnb|Weinberg|2002|loc=Section 5.6}}; Равенство следует из равенств 5.6.7–8 и 5.6.14–15</ref>

:<math>\begin{align}
  \left(\pi_{(m,n)}\left(J_i\right)\right)_{a'b', ab} &= \delta_{b'b} \left(J_i^{(m)}\right)_{a'a} + \delta_{a'a} \left(J_i^{(n)}\right)_{b'b}\\
  \left(\pi_{(m,n)}\left(K_i\right)\right)_{a'b', ab} &= i \left(\delta_{a'a} \left(J_i^{(n)}\right)_{b'b} - \delta_{b'b} \left(J_i^{(m)}\right)_{a'a}\right)
\end{align}</math>

====== Общие представления ======
{|class="wikitable floatright"

 |+ Неприводимые представления для малых {{math|(''m'', ''n'')}}. Размерность дана в скобках.
 |-
 !
 ! <math>m = 0</math>
 ! <math>\tfrac{1}{2}</math>
 ! {{math|1}}
 ! <math>\tfrac{3}{2}</math>

 |-
 ! <math>n = 0</math>
 |Скаляр (1)
 |Левый <br/> спинор Вейля (2)
 |Самодвойственная <br/>2-форма (3)
 |(4)

 |-
 ! <math>\tfrac{1}{2}</math>
 |Правый <br/>спинор Вейля spinor (2)
 |4-вектор (4)
 |(6)
 |(8)

 |-
 ! {{math|1}}
 |Антисамодвойственная <br/>2-форма (3)
 |(6)
 |Бесследовый <br/>симметричный <br/>тензор (9)
 |(12)

 |-
 ! <math>\tfrac{3}{2}</math>
 |(4)
 |(8)
 |(12)
 |(16)

|}

* Представление {{math|(0, 0)}} является одномерным тривиальным представлением и содержатся в релятивистских теориях [[Скалярное поле|скалярного поля]].
* Генераторы фермионной [[Суперсимметрия|суперсимметрии]] преобразуются под одним из <math>(0, \tfrac{1}{2})</math> или <math>(\tfrac{1}{2}, 0)</math> представлений{{sfn|Weinberg|2000|с=Section 25.2}}.
* [[Четырёхимпульс]] [[Частица|частицы]] (не имеющая массы или [[Инвариантная масса|с массой]]) преобразуются при {{math|({{Дробь2|1|2}}, {{Дробь2|1|2}})}} представлении.
* Физическим примером бесследового {{не переведено 5|симметричная билинейная форма|симметричного||symmetric bilinear form}} [[Тензорное поле|тензорного поля]] является бесследовая<ref group=nb>Свойство «бесследовость» может быть выражено как <math>S_{\alpha\beta}g^{\alpha\beta} = 0</math> (''g'' = [[метрика пространства-времени]]), <math>S_\alpha^\alpha = 0</math> или <math>S^{\alpha\beta}g_{\alpha\beta} = 0</math> в зависимости от представления поля: ковариантное, смешанное и контрвариантное соответственно.</ref> часть [[Тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] {{mvar|T<sup>μν</sup>}}{{sfn|Tung|1985}}<ref group=nb>Симметрия тензора не вытекает непосредственно из лагранжиана при использовании [[Теорема Нётер|теоремы Нётер]], но он может быть симметризован как {{не переведено 5|тензор энергии-импульса Белинфанте-Розенфельда|||Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor}}.</ref>.

'''Недиагональные прямые суммы'''

Так как для любого неприводимого представления, для которого {{math|''m'' ≠ ''n''}}, необходимо оперировать над полем [[Комплексное число|комплексных чисел]], {{не переведено 5|Прямая сумма представлений|прямая сумма представлений||direct sum of representations}} {{math|(''m'', ''n'')}} и {{math|(''n'', ''m'')}} имеют особую важность для физики, поскольку это позволяет использовать [[Линейное отображение|линейные отображения]] над [[Вещественное число|вещественными числами]].

* <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math> является представлением [[биспинор]]а. См. также [[Биспинор|дираковский спинор]] и [[#Спиноры Вейля и биспиноры|спиноры Вейля и биспиноры]] ниже.
* <math>(1, \tfrac{1}{2}) \oplus (\tfrac{1}{2}, 1)</math> является представлением поля [[Уравнение Рариты — Швингера|Рариты — Швингера]].
* <math>(\tfrac{3}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{3}{2})</math> могло бы быть симметрией гипотетического [[гравитино]]<ref group=nb>Эта чётность является симметрией. В противном случае имелось бы две разновидности, {{math|({{Дробь2|3|2}}, 0)}} и {{math|(0, {{Дробь2|3|2}})}} по аналогии с [[нейтрино]].</ref>. Это можно получить из представления <math>(1, \tfrac{1}{2}) \oplus (\tfrac{1}{2}, 1)</math>{{sfn|Weinberg|2002|с=footnote on p. 232}}.
* <math>(1, 0) \oplus (0,1)</math> является представлением инварианта [[Чётность (физика)|чётности]] поля [[Дифференциальная форма|2-формы]] (известная как [[форма кривизны]]). [[Тензор электромагнитного поля]] преобразуется этим представлением.

=== Группа ===
Подход в этом разделе основывается на теоремах, которые, в свою очередь, основываются на фундаментальном {{не переведено 5|соответствие Ли|соответствии Ли||Lie correspondence}}{{sfn|Lie|1888}}. Соответствие Ли является, по сути, словарём между связными группами Ли и алгебрами Ли{{sfn|Rossmann|2002|с=Section 2.5}}. Связь между ними является {{не переведено 5|Экспоненциальное отображение (теория Ли)|экспоненциальным отображением||exponential map (Lie theory)}} из алгебры Ли в группу Ли, которое обозначается <math>\exp : \mathfrak{g} \to G</math>. Общая теория суммирована в разделе [[#Введение в теорию конечномерного представления|«Введение в теорию конечномерных представлений»]].

Если алгебра <math>\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)</math> для некоторого векторного пространства {{mvar|V}} является представлением, представление {{math|Π}} связной компоненты группы {{mvar|G}} определяется уравнениями

{{EF|:|<math>\begin{align}
\Pi(g = e^{iX}) &\equiv e^{i\pi(X)}, && X \in \mathfrak g, \quad g = e^{iX} \in \mathrm{im}(\exp),\\
\Pi(g = g_1g_2\cdots g_n) &\equiv \Pi(g_1)\Pi(g_2)\cdots \Pi(g_n), && g \notin \mathrm{im}(\exp), \quad g_1 , g_2, \ldots, g_n \in \mathrm{im}(\exp).
\end{align}</math>|ref=G2}}

Это определение применяется независимо от того, результирующее представление проективно или нет.

==== Сюръективность экспоненциального отображения для SO(3, 1) ====
С практической точки зрения важно знать, может ли первая формула в {{Eqref|G2|(G2)}} быть использована для всех элементов ''группы''. Это выполняется для всех <math>X \in \mathfrak{g}</math>, однако, в общем случае, например, для <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>, не все {{math|''g'' ∈ ''G''}} находятся в образе {{math|exp}}.

Однако <math>\exp : \mathfrak{so}(3;1) \to \text{SO}(3;1)^+</math> ''является'' сюръективным. Один из путей показать это — использовать изоморфизм <math>\text{SO}(3; 1)^+ \cong \text{PGL}(2,\Complex)</math>, в котором правая часть — [[Преобразование Мёбиуса|группа Мёбиуса]]. Это факторгруппа группы <math>\text{GL}(n,\Complex)</math> (см. ссылку на статью). Факторотображение обозначается через <math>p : \text{GL}(n,\Complex) \to \text{PGL}(2,\Complex)</math>. Отображение <math>\exp : \mathfrak{gl}(n, \Complex) \to \text{GL}(n, \Complex)</math> является отображением '''на'''{{sfn|Hall|2015|с=Theorem 2.10}}. Применяем формулу {{Eqref|Lie|(Lie)}} с {{mvar|π}}, который является дифференциалом {{mvar|p}} на тождестве. Тогда

:<math>\forall X \in \mathfrak{gl}(n, \Complex): \quad  p ( \exp (iX)) =\exp ( i \pi (X)).</math>

Поскольку левая сторона сюръективна (так как {{math|exp}} и {{mvar|p}} таковы), правая сторона сюръективна, а следовательно <math>\exp : \mathfrak{pgl}(2, \Complex) \to \text{PGL}(2, \Complex)</math> сюръективно {{sfn|Bourbaki|1998|p=424.}}. Наконец, используем аргумент ещё раз, но теперь с известным изоморфизмом между {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} и <math>\text{PGL}(2, \Complex)</math>, чтобы показать, что {{math|exp}} является отображением «на» для связной компоненты группы Лоренца.

==== Фундаментальная группа ====
Группа Лоренца ''дважды связна'', т. е. <math>\pi_1(\mathrm{SO}(3; 1))</math> является группой с двумя классами эквивалентности петель в качестве элементов.
{{Hidden begin|titlestyle = color:green;background:lightgrey;|заглавие=Proof}}
Чтобы показать [[Фундаментальная групп|фундаментальную группу]] группы <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math>, рассматриваем топологию её [[#Накрывающая группа|накрывающей группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>]]. Согласно [[Полярное разложение|теореме о полярном разложении]] любая матрица <math>\lambda \in \text{SL}(2,\Complex)</math> может быть ''единственным образом'' выражена в виде{{sfn|Weinberg|2002|с=88 Section 2.7}}

:<math>\lambda = ue^h,</math>

где {{mvar|u}} — [[унитарная матрица]] с [[Определитель|определителем]], равным единице, следовательно, матрица лежит в {{math|SU(2)}} и {{mvar|h}} является [[Эрмитова матрица|эрмитовой]] с нулевым [[След матрицы|следом]]. Условия для [[След матрицы|следа]] и [[Определитель|определителя]] означают{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.7}}:

:<math>\begin{align}
h &= \begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix} && (a,b,c) \in \R^3 \\[4pt]
u &= \begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix} && (d,e,f,g) \in \R^4, d^2 + e^2 + f^2 + g^2 = 1
\end{align}</math>

Очевидно, что непрерывное взаимнооднозначное отображение является [[гомеоморфизм]]ом с непрерывным обратным отображением, задаваемым выражениями (место {{mvar|u}} отождествляется ч <math>\mathbb{S}^3 \subset \R^4</math>)

:<math>\begin{cases} \R^3 \times \mathbb{S}^3\to \text{SL}(2, \Complex) \\ (r,s) \mapsto u(s) e^{h(r)} \end{cases}</math>,

что явно показывает, что <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> односвязна. Но <math>\text{SO}(3; 1)\cong \text{SL}(2,\Complex)/\{\pm I\},</math> где <math>\{\pm I\}</math> является центром группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>. Отождествление {{mvar|λ}} и {{math|−''λ''}} — это то же самое, что и отождествление унитарных множителей {{mvar|u}} и {{math|−''u''}}, которое, в свою очередь, эквивалентно отождествлению {{не переведено 5|Антиподальная точка|антиподальных точек||antipodal point}} на сфере <math>\mathbb{S}^3.</math> Топологически{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.7}}

:<math>\text{SO}(3; 1) \cong \R^3 \times ( \mathbb{S}^3/\Z_2),</math>

где последний множитель односвязен. Геометрически, очевидно (с целью визуализации <math>\mathbb{S}^3</math> можно заменить на <math>\mathbb{S}^2</math>), что путь из {{mvar|u}} в {{math|−''u''}} в <math>SU(2) \cong \mathbb{S}^3</math> ''является'' петлёй в <math>\mathbb{S}^3/\Z_2</math>, поскольку {{mvar|u}} и {{math|−''u''}} являются антиподными точками, и что он не стягивается в точку. Но путь из {{mvar|u}} в {{math|−''u''}} и снова к {{mvar|u}}, петля в <math>\mathbb{S}^3</math> и ''двойная петля'' (считая <math>p(ue^h) = p(-ue^h)</math>, где <math>p : \text{SL}(2,\Complex)\to \text{SO}(3; 1)</math> является накрывающим отображением) в <math>\mathbb{S}^3/\Z_2</math>, которая ''стягиваема'' в точку (непрерывно двигаясь от {{math|−''u''}} «вверх по лестннице» в <math>\mathbb{S}^3</math> и стягивает путь в точку {{mvar|u}}){{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.7}}. Тогда {{math|''π''<sub>1</sub>(SO(3; 1))}} является группой с двумя классами эквивалентности петель в качестве элементов, или, выражаясь проще, {{math|SO(3; 1)}} ''дважды связна''.
{{Hidden end}}

==== Проективные представления ====
Поскольку <math>\pi_1(\mathrm{SO}(3; 1)^+</math> имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли приводят к [[Проективное представление|проективным представлениям]]{{sfn|Hall|2015|loc=Appendix C.3}}<ref group=nb>Терминология в физике и математике отличаются. В статье (по ссылке) термин проективное представление имеет слегка другое значение, чем в физике, в которой проективное представление понимается как локальное сечение [[Накрытие|накрытия]] из накрывающей группы в накрываемую группу, составленную из собственных представлений накрывающей группы. Поскольку это можно сделать (локально) непрерывно двумя путями, как описано ниже, терминология двойных представлений естественна.</ref>. Если известно, что представление проективно, формулу {{Eqref|G2|(G2)}} можно применять ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, принимая во внимание, что представление элемента группы будет зависеть от того, какой элемент алгебры Ли ({{mvar|X}} в {{Eqref|G2|(G2)}}) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.

Для группы Лоренца {{math|(''m'', ''n'')}}-представление является проективным, когда {{math|''m'' + ''n''}} является половиной целого числа. См. раздел [[#Спиноры|«Спиноры»]].

Для проективного представления {{math|Π}} группы <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math> выполняется{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.7}}

{{Equation box 1|indent=|equation=
{{EF|:|<math> \left [\Pi(\Lambda_1)\Pi(\Lambda_2)\Pi^{-1}(\Lambda_1\Lambda_2) \right ]^2 = 1\Rightarrow \Pi(\Lambda_1\Lambda_2) = \pm \Pi(\Lambda_1)\Pi(\Lambda_2), \qquad \Lambda_1,\Lambda_2 \in \mathrm{SO}(3; 1),</math>|ref=G5}}
|cellpadding=6|border|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

поскольку любая петля в {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}}, обходя дважды, ввиду двойной связности, [[Стягиваемое пространство|стягиваема]] в точку, так что её класс гомотопии является классом постоянного отображения. Отсюда следует, что функция {{math|Π}} имеет два значения. Невозможно однозначно выбрать знак для получения непрерывного представления всей <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math>, но, возможно, ''локально'' около каждой точки{{sfn|Wigner|1939}}.

=== Накрывающая группа группы SL(2, C) ===
Рассмотрим <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> как ''вещественную'' алгебру Ли с базисом

:<math>\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_2, \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_3, \frac{i}{\sqrt{2}}\sigma_1, \frac{i}{\sqrt{2}}\sigma_2, \frac{i}{\sqrt{2}}\sigma_3\right)\equiv(j_1, j_2, j_3, k_1, k_2, k_3),</math>

где <math>\sigma</math>-ы означают [[матрицы Паули]]. Из отношений

{{EF|:|<math>[\sigma_i, \sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k</math>|ref=J1}}

получаем

{{EF|:|<math>[j_i, j_j] = i\epsilon_{ijk}j_k, \quad [j_i, k_j] = i\epsilon_{ijk}k_k, \quad [k_i, k_j] = -i\epsilon_{ijk}j_k,</math>|ref=J2}}

что в точности имеет вид {{math|3}}-мерной версии соотношений коммутирования для алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> (см. [[#Соглашения и базисы алгебры Ли|«Соглашения и базисы алгебры Ли»]] ниже). Таким образом, отображение <math>J_i  \leftrightarrow j_i</math>, <math>K_i \leftrightarrow k_i</math>, продолженное по линейности, является изоморфизмом. Поскольку группа <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> односвязна, она является {{не переведено 5|Накрывающая группа |универсальной накрывающей группой||universal covering group}} группы <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math>.

{{Hidden begin|titlestyle = color:green;background:lightgrey;|заглавие=Больше накрывающих групп и <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>, накрывающая группу Лоренца, в частности }}

==== Геометрическая точка зрения ====
[[Файл:Wigner.jpg|upright|thumb|left|[[Вигнер, Юджин|Ю.П. Вигнер]] глубоко исследовал группу Лоренца и он известен по [[Уравнения Баргмана — Вигнера|уравнению Баргмана — Вигнера]]. Реализация накрывающей группы, данной здесь, взята из его статьи 1939 года.]]

Пусть <math>p_g(t), 0 \leqslant t \leqslant 1</math> — путь из <math>1 \in \mathrm{SO}(3; 1)^+</math> в <math>g \in \mathrm{SO}(3; 1)^+</math>, обозначим его класс гомотопии через <math>[p_g]</math> и пусть <math>\pi_g</math> — множество таких классов гомотопии. Определим множество

{{EF|:|<math>G = \{(g,[p_g]): g\in \mathrm{SO}(3; 1)^+,[p_g]\in \pi_g\} </math>|ref=C1}}

и снабдим его мультипликативной операцией

{{EF|:|<math>(g_1,[p_1])(g_2,[p_2]) = (g_1g_2,[p_{12}]),</math>|ref=C2}}

где <math>p_{12}</math> является [[Фундаментальная группа#Определение|произведением путей]] <math>p_1</math> и <math>p_2</math>:

:<math>p_{12} (t) = (p_1 * p_2)(t) = \begin{cases} p_1(2t) & 0 \leqslant t \leqslant \tfrac{1}{2} \\ p_2(2t-1) & \tfrac{1}{2} \leqslant t \leqslant 1 \end{cases}</math>

С этим умножением группа {{mvar|G}} становится [[Группа (математика)|группой]], изоморфной <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>{{sfn|Wigner|1939|с=27.}}, универсальной накрывающей группой группы {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}}. Поскольку каждая {{mvar|π<sub>g</sub>}} имеет два элемента, по построению выше, имеется [[Накрытие|накрытие 2:1]] <math>p : G \to \mathrm{SO}(3; 1)^+</math>. Согласно теории {{не переведено 5|Накрывающая группа|накрывающих групп||covering group}} алгебры Ли <math>\mathfrak{so}(3; 1), \mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> и <math>\mathfrak{g}</math> группы {{mvar|G}} изоморфны. Накрывающее отображение {{math|''p'' : ''G'' → SO(3; 1)<sup>+</sup>}} задаётся просто формулой <math>p(g, [p_g]) = g</math>.

==== Алгебраическая точка зрения ====
Пусть <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> действует на множестве всех эрмитовых {{gaps|2|×|2}} матриц <math>\mathfrak{h}</math> посредством операции{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.7}}
{{EF|:|<math>\begin{cases} \mathbf{P}(A): \mathfrak{h} \to \mathfrak{h} \\ X \mapsto A^\dagger XA  \end{cases} \qquad A \in \mathrm{SL}(2,\Complex)</math>|ref=C3}}

: Действие на <math>\mathfrak{h}</math> линейно. Элемент множества <math>\mathfrak{h}</math> можно записать в виде

{{EF|:|<math>X = \begin{pmatrix} \xi_4 + \xi_3&\xi_1 + i\xi_2\\ \xi_1 - i\xi_2&\xi_4 - \xi_3\\ \end{pmatrix} \qquad \xi_1, \ldots, \xi_4 \in \R.</math>|ref=C4}}

Отображение {{math|'''P'''}} является автоморфизмом группы в <math>\text{GL}(\mathfrak{h}) \subset \text{End}(\mathfrak{h})</math>. Тогда <math>\mathbf{P} : \text{SL}(2,\Complex) \to \text{GL}(\mathfrak{h})</math> является 4-мерным представлением группы <math>\mathrm{SL}(2,\Complex)</math>. Его ядро должно, в частности, переводить единичную матрицу в себя, <math>A^{\dagger}IA = A^{\dagger}A = I</math>, а потому <math>A^{\dagger} = A^{-1}</math>. Тогда <math>AX = XA</math> для {{mvar|A}} из ядра, так что, по [[Лемма Шура|лемме Шура]]<ref group=nb>В частности, {{math|''A''}} коммутирует с [[Матрицы Паули|матрицами Паули]], следовательно, для всех {{math|SU(2)}} применима лемма Шура.</ref>, {{mvar|A}} является единичной матрицей, умноженной на константу, и {{mvar|A}} должна быть равна {{math|±''I''}}, поскольку <math>\mathrm{det} A = 1</math>{{sfn|Гельфанд, Минлос, Шапиро|1958|с=§4 секции 1 главы 1 второй части}}. Пространство <math>\mathfrak{h}</math> отображается в [[пространство Минковского]] {{math|'''M'''<sup>4</sup>}} посредством

{{EF|:|<math>X = (\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4) \leftrightarrow \overrightarrow{(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)} = (x,y,z,t) = \overrightarrow{X}.</math>|ref=C5}}

Действие {{math|'''P'''(''A'')}} на <math>\mathfrak{h}</math> сохраняет определители. Индуцированное представление {{math|'''p'''}} группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> на <math>\R^4,</math> с помощью изоморфизма, приведённого выше, заданное формулой
{{EF|:|<math>\mathbf{p}(A)\overrightarrow{X} = \overrightarrow{AXA^\dagger}</math>|ref=C6}}

сохраняет лоренцево скалярное произведение, поскольку

:<math>- \det X = \xi_1^2 + \xi_2^2 +\xi_3^2 -\xi_4^2 = x^2 + y^2 +z^2 - t^2.</math>

Это означает, что {{math|'''p'''(''A'')}} принадлежит полной группе Лоренца {{math|SO(3; 1)}}. Согласно [[Связное пространство|теореме о связности]], поскольку <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> связна, её образ при отображении {{math|'''p'''}} в {{math|SO(3; 1)}} связен, а потому содержится в {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}}.

Можно показать, что [[Дифференциал (дифференциальная геометрия)|отображение Ли]] <math>\mathbf{p} : \text{SL}(2,\Complex) \to \text{SO}(3; 1)^+,</math> является изоморфизмом <math>\pi : \mathfrak{sl}(2,\Complex) \to \mathfrak{so}(3; 1)</math><ref group = nb>Что означает, что ядро тривиально. Чтобы это понять, вспомним, что ядро гомеоморфизма алгебры Ли является [[Алгебра Ли|идеалом]], а потому подпространством. Поскольку {{math|'''p'''}} является {{math|2:1}} и обе алгебры <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} {{nowrap|{{math|6}}-мерны}}, ядро должно быть {{nowrap|{{math|0}}-мерным}}, то есть {{math|{0}.}}</ref>. Отображение {{math|'''P'''}} является отображение '''в'''<ref group=nb>Экспоненциальное отображение является взаимнооднозначным в окрестности тождественного элемента в <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>, а потому и суперпозиция <math>\exp \circ \sigma \circ \log : \text{SL}(2,\Complex) \to \text{SO}(3; 1)^+</math>, где {{mvar|σ}} является изоморфизмом алгебры Ли, находится в открытой окрестности <math>U \subset \mathrm{SO}(3; 1)^+</math>, содержащей тождественный элемент. Такая окрестность генерирует связную компоненту.</ref>.

Тогда <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>, поскольку она односвязна, является универсальной накрывающей группой группы {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}}, изоморфной группе {{mvar|G}} выше.
{{Hidden end}}

==== Несюръективность экспоненциального отображения для SL(2, C) ====
[[Файл:Commutative diagram SO(3, 1) latex.svg|350px|thumb|left|Рисунок показывает связи отображений, обсуждаемых в тексте. Здесь {{mvar|V}} является конечномерным векторным пространством, несущими представления алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex), \mathfrak{so}(3; 1),</math> <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>, а <math>\text{SO}(3; 1)^+.</math> <math>\exp</math> обозначает экспоненциальное отображение, {{math|'''p'''}} является накрывающим отображением из <math>\text{SL}(2,\Complex),</math> в {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}}, а {{mvar|σ}} является изоморфизмом алгебры Ли, индуцированным отображением.

Отображения {{math|Π, ''π''}} и два {{math|Φ}} являются представлениями. Представленная картина верна лишь частично, когда {{math|Π}} проективно.]]

Экспоненциальное отображение <math>\exp : \mathfrak{sl}(2,\Complex) \to \text{SL}(2,\Complex)</math> не является отображением '''на'''{{sfn|Rossmann|2002|с=Section 2.1}}. Матрица

{{EF|:|<math>q = \begin{pmatrix} -1&1\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}</math>|ref=S6}}

находится в <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>, но нет никакого <math>Q\in \mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>, такого, что <math>q = \mathrm{exp}(Q)</math><ref group=nb>{{harvnb|Rossmann|2002}}; Из примера 4 секции 2.1. Это можно понимать следующим образом. Матрица {{mvar|q}} имеет собственные значения {{math|{-1, -1} }}, но не [[Диагонализируемая матрица|диагонализируема]]. Если {{math|''q'' {{=}} exp(''Q'')}}, то {{mvar|Q}} имеет собственные значения {{math|''λ'', −''λ''}} с <math>\lambda = i\pi + 2{\pi}ik</math> для некоторого {{mvar|k}}, поскольку элементы алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> не имеют следов. Но тогда {{mvar|Q}} диагонализируема, откуда {{mvar|q}} диагонализируема, получили противоречие.</ref>.

В общем случае, если {{mvar|g}} является элементом связной группы Ли {{mvar|G}} с алгеброй Ли <math>\mathfrak{g},</math> то, по формуле {{Eqref|Lie|(Lie)}},

{{EF|:|<math>g = \exp(X_1) \cdots \exp(X_n), \qquad X_1, \ldots X_n \in \mathfrak{g}.</math>|ref=S7}}

Матрицу {{mvar|q}} можно записать в виде

{{EF|:|<math>\begin{align}
\exp(-X)\exp(i\pi H) &= \exp \left(\begin{pmatrix} 0&-1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\right) \exp \left(i\pi \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix} \right)\\[4pt]
&= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}\\[4pt]
&= \begin{pmatrix} -1&1\\ 0&-1\\ \end{pmatrix} = q.
\end{align}</math>|ref=S8}}

=== Реализация представлений групп {{math|SL(2, C)}} и {{math|sl(2, C)}} и их алгебр Ли ===
Комплексные линейные представления <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> и <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> более просты для получения, чем представления алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)^+</math>. Их можно (обычно так и делается) создавать с нуля. [[Голоморфная функция|Голоморфные]] представления групп (что означает, что соответствующее представление алгебры Ли является комплексным линейным) связаны с комплексным линейным представлением алгебры Ли возведением в степень. Вещественные линейные представления алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> являются в точности {{math|(''μ'', ''ν'')}}-представлениями. Они могут быть также возведены в степень. {{math|(''μ'', 0)}}-Представления являются комплексными линейными и они являются (изоморфны) представлениями наибольшего веса. Они обычно индексируются только одним целым числом (но здесь используется половина целого).

Для удобства в этом разделе используются математические соглашения. Элементы алгебры Ли отличаются на множитель {{math|''i''}} и не имеют множителя {{math|''i''}} в экспоненциальном отображении по сравнению с физическими соглашениями, применяемыми повсеместно. Пусть базисом <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>{{sfn|Hall|2015|loc=First displayed equations in section 4.6.}} будет

{{EF|:|<math>H = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}, \quad  X = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix}.
</math>|ref=S1}}

Выбор базиса и обозначения являются стандартными для математической литературы.

==== Комплексные линейные представления ====
Неприводимые голоморфные {{math|(''n'' + 1)}}-мерные представления <math>\text{SL}(2,\Complex), n \geqslant 2,</math> могут быть реализованы на пространстве [[Однородный многочлен|однородных многочленов]] [[Степень многочлена|степени]] {{math|''n''}} от 2 переменных <math>\mathbf{P}^2_n,</math>{{sfn|Hall|2015|с=Example 4.10}}{{sfn|Knapp|2001|с=Chapter 2.}}, элементами которого являются

:<math>P\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} = c_n z_1^n + c_{n-1} z_1^{n-1}z_2 + \cdots + c_0 z_2^n, \quad c_0, c_1, \ldots, c_n \in \mathbb Z.</math>

Действие <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> задаётся формулой {{sfn|Knapp|2001|с=Equation 2.1}}{{sfn|Hall|2015|с=Equation 4.2.}}

{{EF|:|<math>(\phi_n(g)P)\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} = \left [\phi_n \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} P\right ] \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} = 
P\left( \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} \right ), \qquad P \in \mathbf{P}^2_n.</math>|ref=S2}}

Ассоциированным <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>-действием является, используя формулу {{Eqref|G6|(G6)}} и определение выше, для базисных элементов алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>{{sfn|Hall|2015|с=Equation before 4.5}}

{{EF|:|<math>\phi_n(H) = -z_1\frac{\partial}{\partial z_1} + z_2\frac{\partial}{\partial z_2}, \quad \phi_n(X) = -z_2\frac{\partial}{\partial z_1}, \quad \phi_n(Y) = -z_1\frac{\partial}{\partial z_2}.</math>|ref=S5}}

С выбором базиса для <math>P \in \mathbf{P}^2_{n}</math> эти представления становятся матричными алгебрами Ли.

==== Вещественные линейные представления ====
{{math|(''μ'', ''ν'')}}-Представления реализуется на пространстве многочленов <math>\mathbf{P}^2_{\mu,\nu}</math> от <math>z_1, \overline{z_1}, z_2, \overline{z_2}</math>, однородных степени {{mvar|μ}} от переменных <math>z_1, z_2</math> и однородных степени {{mvar|ν}} от <math>\overline{z_1}, \overline{z_2}.</math>{{sfn|Knapp|2001|с=Chapter 2.}}. Представления задаются формулой{{sfn|Knapp|2001|с=Equation 2.4}}

{{Equation box 1|indent=|equation=
{{EF|:|<math>(\phi_{\mu,\nu}(g)P)\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} =\left [\phi_{\mu,\nu} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} P\right ] \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} = 
P \left( \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \end{pmatrix} \right ), \qquad P \in \mathbf{P}^2_{\mu,\nu}.</math>|ref=S6}}|cellpadding=6|border|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

При рассмотрении формулы {{Eqref|G6|(G6)}} опять, находим, что

{{Equation box 1|indent=|equation=
{{EF|:|<math>\phi_{\mu,\nu}(E)P = -\frac{\partial P}{\partial z_1} \left (E_{11}z_1 + E_{12}z_2 \right ) - \frac{\partial P}{\partial z_2} \left (E_{21}z_1 + E_{22}z_2 \right ) -\frac{\partial P}{\partial \overline{z_1}}\left (\overline{E_{11}}\overline{z_1} + \overline{E_{12}}\overline{z_2} \right ) -\frac{\partial P}{\partial \overline{z_2}} \left (\overline{E_{21}}\overline{z_1} + \overline{E_{22}}\overline{z_2} \right ), \qquad E \in \mathfrak{sl}(2, \mathbf{C}).</math>|ref=S7}}
|cellpadding=6|border|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

В частности, для базисных элементов:

{{Equation box 1|indent=|equation=
{{EF|:|<math>\begin{align}
\phi_{\mu,\nu}(H) &= -z_1\frac{\partial}{\partial z_1} + z_2\frac{\partial}{\partial z_2}-\overline{z_1}\frac{\partial}{\partial \overline{z_1}} + \overline{z_2}\frac{\partial}{\partial \overline{z_2}} \\
\phi_{\mu,\nu}(X) &= -z_2\frac{\partial}{\partial z_1} - \overline{z_2}\frac{\partial}{\partial \overline{z_1}} \\
\phi_{\mu,\nu}(Y) &= -z_1\frac{\partial}{\partial z_2} - \overline{z_1}\frac{\partial}{\partial \overline{z_2}}
\end{align}</math>|ref=S8}}|cellpadding=6|border|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

=== Свойства представлений (''m'', ''n'') ===
Представления {{math|(''m'', ''n'')}}, определённые выше формулой {{Eqref|A1|(A1)}} (как ограничения вещественной формы <math>\mathfrak{sl}(3, 1)</math>) тензорного произведения неприводимых комплексных линейных представлений <math>\pi_{m = \mu}</math> и <math>\pi_{n = \nu}</math> алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex),</math> неприводимы, и они являются единственными неприводимыми представлениями{{sfn|Knapp|2001}}.
* Неприводимость следует из унитарного приёма{{sfn|Knapp|2001|с=Section 2.3}} и того, что представления {{math|Π}} группы {{math|SU(2) × SU(2)}} неприводимы тогда и только тогда, когда <math>\Pi = \Pi_{\mu} \otimes \Pi_{\nu}</math><ref group=nb>{{harvnb|Rossmann|2002|loc=Proposition 10, paragraph 6.3.}}. Наиболее простое доказательство с помощью [[Характер представления группы|теории характеров]]</ref>, где <math>\Pi_{\mu}, \Pi_{\nu}</math> являются неприводимыми представлениями группы {{math|SU(2)}}.
* Единственность следует из того, что <math>\Pi_m</math> являются единственными неприводимыми представлениями группы {{math|SU(2)}}, что является одной из набора теорем о наибольшем весе{{sfn|Hall|2015|с=Theorems 9.4–5}}.

==== Размерность ====
Представления {{math|(''m'', ''n'')}} являются {{math|(2''m'' + 1)(2''n'' + 1)}}-мерными{{sfn|Weinberg|2002|с=Chapter 5}}. Это наиболее просто следует из подсчёта размерностей в любой конкретной реализации, такой, как приведённой в разделе [[#Реализация представлений группы SL(2, C) и алгебры sl(2, C)|«Представления группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и алгебры <math>\mathfrak{sl}(2, \Complex)</math>»]]. Для алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math> общего вида применима {{не переведено 5|Формула Вейля для характеров|формула Вейля для размерности||Weyl character formula}}{{sfn|Hall|2015|с=Theorem 10.18}},

:<math>\dim\pi_\rho = \frac{\Pi_{\alpha \in R^+} \langle\alpha, \rho + \delta \rangle}{\Pi_{\alpha \in R^+} \langle\alpha, \delta \rangle},</math>

где {{math|''R''<sup>+</sup>}} является множеством положительных корней, {{math|''ρ''}} является наибольшим весом, а {{math|''δ''}} равно половине суммы положительных корней. Скалярное произведение <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> является скалярным произведением алгебры Ли <math>\mathfrak{g},</math> инвариантным под действием группы Вейля на алгебре <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g},</math> [[подалгебра Картана|подалгебре Картана]]. Корни (вещественные элементы <math>\mathfrak{h}^*</math> через это скалярное произведение отождествляются с элементами алгебры <math>\mathfrak{h}.</math> Для <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex),</math> формула сокращается до <math>\mathrm{dim} \pi_{\mu} = 2\mu + 1 = 2m + 1</math>, ''где нужно учитывать существующие обозначения''. Наибольший вест равен {{math|2''μ''}}{{sfn|Hall|2003|с=235}}.

==== Точность ====
Если представление {{math|Π}} группы Ли {{math|''G''}} не точное, то {{math|''N'' {{=}} ker Π}} является нетривиальной нормальной подгруппой<ref>См. любой текст по основам теории групп.</ref>. Существует три случая.
# {{math|''N''}} недискретна и [[Абелева группа|абелева]].
# {{math|''N''}} недискретна и неабелева.
# {{math|''N''}} дискретна. В этом случае {{math|''N'' ⊂ ''Z''}}, где {{math|''Z''}} является центром группы {{math|''G''}}.<ref group=nb>Любая дискретная нормальная подгруппа [[Связное пространство|линейно связной]] группы {{math|''G''}} содержится в центре {{math|''Z''}} группы {{math|''G''}}.
{{Абзац}}
{{harvnb|Hall|2015|loc=Exercise 11, chapter 1.}}</ref>
В случае {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} первый случай исключается, поскольку группа {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} полупроста<ref group=nb>A полупростая группа Ли не имеет недискретной нормальной [[Абелева группа|абелевой подгруппы]]. Это может быть взято в качестве определения полупростоты.</ref>. Второй случай (и первый) исключается, поскольку {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} проста<ref group=nb>Простая группа не имеет какой-либо недискретной нормальной подгруппы.</ref>. В третьем случае {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} изоморфна факторгруппе <math>\text{SL}(2,\Complex)/\{\pm I\}</math>. Однако <math>\{\pm I\}</math> является центром <math>\text{SL}(2,\Complex)</math>. Отсюда следует, что центр группы {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} тривиален, и это исключает третий случай. Отсюда можно сделать заключение, что любое представление {{math|Π : SO(3; 1)<sup>+</sup> → GL(''V'')}} и любое проективное представление {{math|Π : SO(3; 1)<sup>+</sup> → PGL(''W'')}} для {{math|''V'', ''W''}} конечномерных векторных пространств является точным.

При использовании фундаментального соответствия Ли утвержения и доводы выше переносятся непосредственно на алгебры Ли с заменой (абелевых) нетривиальных недискретных нормальных подгрупп на (одномерные) нетривиальные идеалы в алгебре Ли{{sfn|Rossmann|2002|с=Propositions 3 and 6 paragraph 2.5}}, а центр группы {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} заменяется центром алгебры <math>\mathfrak{sl}(3; 1)^+</math>. Центр любой полупростой алгебры Ли тривиален{{sfn|Hall|2003|с=exercise 1, Chapter 6.}}, а алгебра <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> является полупростой и простой, а потому не имеет нетривиальных идеалов.

Есть связанный факт, что если соответствующее представление группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> точное, то представление является проективным. Обратно, если представление не проективно, то соответствующее представление группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> не точное, а является представлением {{math|2:1}}.

==== Неунитарные ====
Представление {{math|(''m'', ''n'')}} алгебры Ли не эрмитово. Таким образом, соответствующее (проективное) представление группы не является [[Унитарная матрица|унитарным]]<ref group=nb>. В отличие от этого, приём Вейля, также называемый унитарным приёмом, но не связанный с унитарным приёмом, описанным выше, показывает, что все конечномерные представления являются или могут быть сделаны унитарными. Если {{math|(Π, ''V'')}} является конечномерным представлением ''компактной'' группы Ли {{mvar|G}} и если {{math|(·, ·)}} является каким-либо [[Предгильбертово пространство|скалярным произведением]] на {{mvar|V}}, определяем новое скалярное произведение <math>(\cdot, \cdot)_{\Pi}</math> формулой <math>(x, y)_{\Pi} = \int_G(\Pi(g)x, \Pi(g)y d\mu(g)</math>, где {{mvar|μ}} является [[Мера Хаара|мерой Хаара]] на {{mvar|G}}. Тогда {{math|Π}} является унитарным по отношению к {{math|(·, ·)<sub>Π</sub>}}. См. книгу Холла {{harv|Hall|2015|loc=Theorem 4.28}}.
{{Абзац}}
Другим следствием является, что любая компактная группа Ли имеет ''свойство полной приводимости'', означающей, что все её конечномерные представления разлагаются на прямую сумму ''неприводимых'' представлений. {{harv|Hall|2015|loc=Definition 4.24., Theorem 4.28.}}
{{Абзац}}
Верно также, что нет бесконечномерных ''неприводимых'' унитарных представлений компактных групп Ли. Утверждение приведено без доказательства в книге Грайнера и Мюллера {{harv|Greiner, Müller|1994|loc=Section 15.2.}}.</ref> Это следствие некомпактности группы Лоренца. Фактически, связная простая некомпактная группа Ли не может иметь ''каких-либо'' нетривиальных унитарных конечномерных представлений{{sfn|Wigner|1939}}. Существует топологическое доказательство этого{{sfn|Bekaert, Boulanger|2006|с=4}}. Пусть <math>u : G \to \mathrm{GL}(V)</math>, где {{math|''V''}} является конечномерным, является непрерывным унитарным представлением некомпактной связной простой группа Ли {{mvar|G}}. Тогда <math>u(G) \subset \mathrm{U}(V) \subset \mathrm{GL}(V)</math>, где {{math|U(''V'')}} является компактной подгруппой группы {{math|GL(''V'')}}, состоящей из унитарных преобразований пространства {{mvar|V}}. [[Ядро (алгебра)|Ядро]] представления {{math|''u''}} является [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]] группы {{mvar|G}}. Поскольку группа {{mvar|G}} проста, {{math|ker ''u''}} является либо всей группой {{mvar|G}}, и в этом случае {{math|''u''}} тривиально, либо {{math|ker ''u''}} тривиально, и в этом случае {{math|''u''}} является [[Точное представление|точным]]. В последнем случае {{math|''u''}} является [[диффеоморфизм]]ом на его образ{{sfn|Hall|2003|с=Proposition 1.20}}, <math>u(G) \cong G</math> и {{math|''u''(''G'')}} является группой Ли. Это означало бы, что {{math|''u''(''G'')}} является [[Подмногообразие|вложенной]] некомпактной подгруппой компактной группы {{math|U(''V'')}}, что невозможно с топологией пространства на <math>u(G) \subset \mathrm{U}(V)</math>, поскольку все ''вложенные'' подгруппы Ли группы Ли замкнуты{{sfn|Lie|2003|с=Theorem 8.30.}}. Если {{math|''u''(''G'')}} было бы замкнуто, оно было бы компактно<ref group=nb>{{harvnb|Lie|2003}} Лемма A.17 (c). Замкнутое подмножество компактного множества компактно.</ref>, а тогда была бы компактна группа {{mvar|G}}<ref group=nb>{{harvnb|Lie|2003}} Lemma A.17 (a). Если {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} непрерывно, а {{mvar|X}} компактно, то {{math|''f''(''X'')}} компактно.</ref>, что противоречит предположению<ref group=nb>Неунитарность является важной составляющей в доказательстве {{не переведено 5|Теорема Коулмана — Мандулы|теоремы Коулмана — Мандулы||Coleman–Mandula theorem}}, из которой следует, что в противном случае в нерелятивистских теориях не могут существовать ''обычные'' симметрии частиц различных спинов. См. статью Вайнберга {{harv|Weinberg|2000|loch=Chapter 24.}}</ref>.

В случае группы Лоренца это можно видеть непосредственно из определения. Представления {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}}, используемые при построении, являются эрмитовыми. Это означает, что матрица {{math|'''J'''}} является эрмитовой, а {{math|'''K'''}} является [[Антиэрмитова матрица|антиэрмитовой]]{{sfn|Weinberg|2002|с=231 Section 5.6}}. Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку от объектов наблюдения не требуется иметь лоренц-инвариантную положительно определённую норму{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 5.6}}.

==== Ограничения для SO(3) ====
Представление {{math|(''m'', ''n'')}} является, однако, унитарным, если оно ограничено подгруппой вращения {{math|SO(3)}}, но эти представления не являются неприводимыми как представления группы SO(3). [[Коэффициенты Клебша — Гордана|Разложение Клебша — Гордана]] может быть использовано, чтобы показать, что {{math|(''m'', ''n'')}} представление имеет {{math|SO(3)}}-инвариантные подпространства наибольшего веса (спина) <math>m + n, m + n - 1, \dots , abs{m - n}</math>{{sfn|Weinberg|2002|с=231}}, где каждый возможный наибольший вес (спин) возникает ровно одни раз. Взвешенное подпространство наибольшего веса (спина) {{math|''j''}} является {{math|(2''j'' + 1)}}-мерным. Так, например, ({{Дробь2|1|2}}, {{Дробь2|1|2}}) представление имеет подпространства со спином 1 и спином 0 размерности 3 и 1 соответственно.

Поскольку оператор [[Момент импульса|момента импульса]] задаётся равенством <math>\mathbf{J} = \mathbf{A} + \mathbf{B}</math>, наибольший спин в квантовой механике вращательного подпредставления будет равен <math>(m + n)\hbar</math> и применимо «обычное» правило сложения угловых моментов и формализм [[3j-символ]]ов, [[6j-символ]]ов, и т.д.{{sfn|Weinberg|2002|с=Sections 2.5, 5.7}}.

==== Спиноры ====
{{math|SO(3)}}-инвариантные пространства неприводимых представлений определяют, имеет ли представление спин. Из предыдущего параграфа видно, что представление {{math|(''m'', ''n'')}} имеет спин, если {{math|''m'' + ''n''}} является полуцелым. Простейшими являются <math>(\tfrac{1}{2}, 0)</math> и <math>(0, \tfrac{1}{2})</math>, спиноры Вейля размерности {{math|2}}. Тогда, например, <math>(0, \tfrac{3}{2})</math> и <math>(1, \tfrac{1}{2})</math> являются суммой представлений размерностей <math>2\tfrac{3}{2} + 1 = 4</math> и <math>(2 + 1)(2\tfrac{1}{2} + 1) = 6</math> соответственно. Заметим, что согласно предыдущему параграфу существуют подпространства со спинами как <math>\tfrac{3}{2}</math>, так и <math>\tfrac{1}{2}</math> в последних двух случаях, так что не похоже, чтобы эти представления представляли ''одиночные'' физические частицы, которые должны хорошо себя вести при {{math|SO(3)}}. Невозможно исключить в общем случае, однако, чтобы представления с множественными {{math|SO(3)}} подпредставлениями с различными спинами могли представлять физические частицы с вполне определённым спином. Может существовать подходящее релятивистское уравнение волны, которое проецируется на ''нефизические компоненты'', оставляя только один спин{{sfn|Tung|1985|с=Section 10.5}}.

Построения чистых спинов <math>\tfrac{n}{2}</math> представления для любого {{math|''n''}} (для {{math|SO(3)}}) из неприводимых представлений вовлекает вычисление тензорных произведений представления Дирака с неспинорным представлением, выделение подходящего пространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений<ref>{{harvnb|Weinberg|2002}}; Это описано (очень кратко) на странице 232, чуть больше, чем здесь в сноске.</ref>

==== Двойственные представления ====
[[Файл:Root system A1xA1.svg|200px|thumb|right|[[Система корней]] {{math|''A''<sub>1</sub> × ''A''<sub>1</sub>}} алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2,\Complex).</math>]]

Следующие теоремы применяются для проверки, не [[Теория представлений|изоморфно]] ли {{не переведено 5|Двойственное представление|двойственное представление||dual representation}} неприводимого представления оригинальному представлению:
# Множество {{не переведено 5|Вес (теория представлений)|весов||Weight (representation theory)}} {{не переведено 5|Двойственное представление|двойственного представления||dual representation}} неприводимого представления полупростой алгебры Ли является, включая кратности, отрицательными значениями множества весов исходного представления {{sfn|Hall|2003|с=Proposition 7.39}}.
# Два неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый {{не переведено 5|Вес (теория представлений)|наибольший вес||Weight (representation theory)}}.<ref group=nb>Это одно из следствий {{не переведено 5|Теорема Картана|||Cartan's theorem}}, теоремы о наибольшем весе.{{Абзац}}
{{harvnb|Hall|2015|loc=Theorems 9.4–5.}}</ref>
# Для любой полупростой алгебры Ли существует единственный элемент {{math|w<sub>0</sub>}} [[группа Вейля|группы Вейля]], такой, что, если {{math|''μ''}} является доминирующим суммарным весом, то {{math|''w''<sub>0</sub> ⋅ (−''μ'')}} снова является доминирующим суммарным весом{{sfn|Hall|2003|с=Theorem 7.40}}
# Если <math>\pi_{\mu_0}</math> является неприводимым представлением с наибольшим весом <math>\mu_0</math>, то <math>\pi^*_{\mu_0}</math> имеет наибольший вес <math>w_0 \cdot (-\mu)</math>{{sfn|Hall|2003|с=Theorem 7.40}}.
Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие умножением матриц на вещественном векторном пространстве [[Система корней|корней]]. Если {{math|−''I''}} является элементом [[Группа Вейля|группы Вейля]] полупростой алгебры Ли, то <math>w_0 = -I</math>. В случае алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex),</math> группой Вейля является <math>W = \{I, -I\}</math>{{sfn|Hall|2003|с=Section 6.6}}. Отсюда следует, что каждое <math>\pi_\mu, \mu = 0, 1, \dots</math> изоморфно его двойственному <math>\pi^*_{\mu}.</math> Система корней алгебры <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex) \oplus \mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> показана на рисунке справа<ref group=nb>{{harvnb|Hall|2015|loc=Section 8.2}} Система корней является объединением двух копий {{math|''A''<sub>1</sub>}}, где каждая копия находится в своих собственных размерностях во вложенном векторном пространстве.</ref>. Группа Вейля генерируется элементами <math>\{w_{\gamma}\}</math>, где <math>w_\gamma</math> является отражением в плоскости, ортогональной к {{math|''γ''}}, когда {{math|''γ''}} пробегает все корни<ref group=nb>{{harvnb|Rossmann|2002}}; Это определение эквивалентно определению в терминах связной группы Ли, алгебра Ли которой является алгеброй Ли системы корней.</ref>. Изучение показывает, что <math>w_\alpha \cdot w_\beta = -I</math>, так что <math>-I \in W</math>. Используя факт, что если <math>\pi, \sigma</math> являются представлениями алгебры Ли и <math>\pi \cong \sigma</math>, то <math>\Pi \cong \Sigma</math>{{sfn|Hall|2003|с=Second item in proposition 4.5}}, получаем для <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math>

:<math>\pi_{m, n}^{*} \cong \pi_{m, n}, \quad \Pi_{m, n}^{*} \cong \Pi_{m, n}, \quad 2m, 2n \in \mathbf{N}. </math>

==== Комплексные сопряжённые представления ====
Если {{math|π}} является представлением алгебры Ли, то <math>\overline{\pi}</math> является представлением, где черта сверху означает поэлементное комплексное сопряжение в матрицах представления. Это следует из факта, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением{{sfn|Hall|2003|с=219}}. В общем случае любое неприводимое представление {{math|π}} алгебры <math>\mathfrak{sl}(n,\Complex)</math> может быть записано единственным образом в виде <math>\pi = \pi^+ + \pi^-</math>, где {{sfn|Rossmann|2002|с=Exercise 3, §6.5}}

:<math>\pi^\pm(X) = \frac{1}{2}\left(\pi(X) \pm i\pi\left(i^{-1}X\right)\right),</math>

с <math>\pi^+</math> голоморфной (комплексной линейной) и <math>\pi^-</math> '''антиголоморфной''' (сопряжённой линейной). Для <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>, поскольку представление <math>\pi_\mu</math> голоморфно, представление <math>\overline{\pi_\mu}</math> антиголоморфно. Прямое исследование явных выражений для <math>\pi_{\mu, 0}</math> и <math>\pi_{0, \nu}</math> в уравнении {{Eqref|S8|(S8)}} ниже показывает, что они голоморфны и антиголоморфны соответственно. Более тесное рассмотрение выражения {{Eqref|S8|(S8)}} также позволяет отождествить <math>\pi^+</math> и <math>\pi^-</math> для <math>\pi_{\mu, \nu}</math> с

:<math>\pi^+_{\mu, \nu} = \pi_\mu^{\oplus_{\nu+1}},\qquad \pi^-_{\mu, \nu} = \overline{\pi_\nu^{\oplus_{\mu+1}}}.</math>

Используя вышеприведённые тождества (рассматриваемые как поточечное сложение функций), для {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} получаем

:<math>\begin{align}
  \overline{\pi_{m, n}} &= \overline{\pi_{m, n}^+ + \pi_{m, n}^-} =
    \overline{\pi_m^{\oplus_{2n + 1}}} + \overline{\overline{\pi_n}^{\oplus_{2m + 1}}} =
    \pi_n^{\oplus_{2m + 1}} + \overline{\pi_m}^{\oplus_{2n + 1}} =
    \pi_{n, m}^+ + \pi_{n, m}^- = \pi_{n, m} \\
                        & &&2m, 2n \in \mathbb{N} \\
  \overline{\Pi_{m, n}} &= \Pi_{n, m}
\end{align}</math>

где утверждение для представлений группы следует из {{math|exp({{overline|''X''}})}} = {{math|{{overline|exp(''X'')}}}}. Отсюда следует, что неприводимые представления {{math|(''m'', ''n'')}} имеют представителей в виде вещественных матриц тогда и только тогда, когда <math>m = n</math>. Приводимые представления вида <math>(m, n) \oplus (n, m)</math> также имеют вещественные матрицы.

=== Присоединённое представление, алгебра Клиффорда и представление cпинора Дирака ===
[[Файл:Richard Brauer.jpg|upright|thumb|right|[[Брауэр, Ричард|Ричард Брауэр]] с женой Ильзе 1970. Брауэр обобщил {{не переведено 5|Представление спина|представления спинов||spin representation}} алгебр Ли, находящихся внутри [[Алгебра Клиффорда|алгебры Клиффорда]], до спинов, больших {{Дробь2|1|2}}. {{Абзац}}Фото любезно представлено MFO.]]

В общей теории представления, если {{math|(''π'', ''V'')}} является представлением алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math>, то существует ассоциированное представление алгебры <math>\mathfrak{g}</math> на {{math|[[Эндоморфизм|End]](''V'')}}, также обозначаемое {{mvar|π}}, которое задаётся формулой

{{EF|:|<math>\pi(X)(A) = [\pi(X), A],\qquad A \in \operatorname{End}(V),\ X \in \mathfrak{g}.</math>|ref=I1}}

Подобным же образом представление {{math|(Π, ''V'')}} группы {{mvar|G}} даёт представление {{math|Π}} на {{math|End(''V'')}}<ref>Пусть ''H'' — гильбертово пространство. ''End H'' — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих на ''H''. {{harv|Ускова|2006}}</ref> группы {{mvar|G}}, также обозначаемое {{math|Π}}, которое задаётся формулой{{sfn|Hall|2003|с=appendix D.3}}

{{EF|:|<math>\Pi(g)(A) = \Pi(g)A\Pi(g)^{-1},\qquad A \in \operatorname{End}(V),\ g \in G.</math>|ref=I2}}

Если {{mvar|π}} и {{math|Π}} являются стандартными представлениями на <math>\R^4</math> и если действие ограничено на алгебре <math>\mathfrak{so}(3, 1) \subset \text{End}(\R^4),</math> то два вышеупомянутых представления являются [[Присоединённое представление группы Ли|присоединённым представлением алгебры Ли]] и [[Присоединённое представление группы Ли|присоединённым представлением группы]] соответственно. Соответствующие представления (<math>\R^n</math> или <math>\Complex^n</math>) всегда существуют для любой матричной группы Ли и являются наиболее важными для изучения теории представления в общем, и для любой заданной группы Ли в частности.

Если применить это к группе Лоренца, когда {{math|(Π, ''V'')}} является проективным представлением, то прямые вычисления с использованием формулы {{Eqref|G5|(G5)}} показывают, что индуцированное представление на {{math|End(''V'')}} является собственным представлением, т.е. представлением без фазовых множителей.

В квантовой механике это означает, что если {{math|(''π'', ''H'')}} или {{math|(Π, ''H'')}} является представлением, действующим на некотором гильбертовом пространстве {{mvar|H}}, то соответствующие индуцированные представления действуют на множестве линейных операторов на {{mvar|H}}. Как пример, индуцированное представление представления проективного спина <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math> на {{math|End(''H'')}} является непроективным 4-векторным ({{Дробь2|1|2}}, {{Дробь2|1|2}}) представлением{{sfn|Weinberg|2002|с=Equation 5.4.8}}.

Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» алгебры {{math|End(''H'')}}, то есть, если задан базис для {{mvar|H}}, то множество постоянных матриц различных размерностей, включая возможные бесконечные размерности. Индуцированное 4-векторное представление выше на этом упрощённом {{math|End(''H'')}} имеет инвариантное 4-размерное подпространство, натянутое на четыре [[Матрицы Дирака|гамма-матрицы]]{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 5.4}}. (Метрические соглашения отличаются в статье, указанной в ссылке.) Соответствующим образом, полная клиффордова {{не переведено 5|алгебра пространства-времени|||spacetime algebra}}, <math>\mathcal{Cl}_{3,1}(\R),</math> комплексификацией которой является<math>\text{M}(4, \Complex),</math> генерируемая гамма-матрицами, разлагается на прямую сумму [[Теория представлений|пространств представлений]] '''скалярных''' неприводимых представлений, {{math|(0, 0)}}, '''псевдоскалярных''' неприводимых представлений, также {{math|(0, 0)}}, но с обратным значением собственного значения чётности {{math|−1}}, см. [[#Полная группа Лоренца|следующий раздел]] ниже, уже упомянутых '''векторных''' неприводимых представлений <math>(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})</math>, '''псевдовекторных''' неприводимых представлений <math>(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})</math> с обратным собственным значением чётности +1 (не −1) и '''тензорных''' неприводимых представлений <math>(1, 0) \oplus (0, 1)</math>{{sfn|Weinberg|2002|с=215–216}}. Размерности складываются в значение {{math|1=1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16}}. Другими словами,

{{EF|:|<math>\mathcal{Cl}_{3,1}(\R) = (0,0) \oplus \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \oplus [(1, 0) \oplus (0, 1)] \oplus \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)_p \oplus (0, 0)_p.</math>|ref=I3}}

==== Спинорное <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math> представление ====

Шестимерное пространство представления тензора <math>(1, 0) \oplus (0, 1)</math>-представление внутри <math>\mathcal{Cl}_{3,1}(\R)</math> играет две роли. Первая{{sfn|Weinberg|2002|с=Equation 5.4.6}}

{{EF|:|<math>\sigma^{\mu\nu} = -\frac{i}{4} \left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right],</math>|ref=I4}}

где <math>\gamma^0, \ldots, \gamma^3 \in \mathcal{Cl}_{3,1}(\R)</math> являются гамма-матрицами. На сигмы, только {{math|6}} из которых не нулевые вследствие антисимметрии скобки, натянуто пространство представления. Более того, они имеют соотношения коммутирования лоренцевой алгбры Ли{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 5.4}},

{{EF|:|<math>\left[\sigma^{\mu\nu}, \sigma^{\rho\tau}\right] = i \left(\eta^{\tau\mu}\sigma^{\rho\nu} + \eta^{\nu\tau}\sigma^{\mu\rho} - \eta^{\rho\mu}\sigma^{\tau\nu} - \eta^{\nu\rho}\sigma^{\mu\tau}\right),</math>|ref=I5}}

и, следовательно, составляют представление, находящееся внутри <math>\mathcal{Cl}_{3,1}(\R)</math>, <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math> спинорное представление. Для деталей см. статьи «[[Биспинор]]» и {{не переведено 5|Алгебра Дирака|«Алгебра Дирака»||Dirac algebra}}.

Вывод: любой элемент комплексификацировнной <math>\mathcal{Cl}_{3,1}(\R)</math> в {{math|End(''H'')}} (то есть любая комплексная матрица {{gaps|4|×|4}}) имеет вполне определённые свойства преобразования Лоренца. Кроме того, этот элемент имеет спинорное представление лоренцевой алгебры Ли, которое при экспоненциировании становится спинорным представлением группы, действующим на <math>\Complex^4</math>, превращая его в пространство биспиноров.

=== Приводимые представления ===
Существует много других представлений, которые можно вывести из неприводимых путём взятия прямых сумм, тензорных произведений и факторгрупп неприводимых представлений. Среди других методов получения представлений — ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например, <math>\text{GL}(n,\R)</math> и группу Пуанкаре. Такие представления в общем случае не являются неприводимыми.

Группа Лоренца и её алгебра Ли имеют ''свойство полной приводимости''. Это означает, что любое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Приводимые представления поэтому здесь не обсуждаются.

=== Инверсия пространства и обращение времени ===
(Возможно проективное) представление {{math|(''m'', ''n'')}} является неприводимыми как представление группы {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}}, единичная компонента группы Лоренца, в физической терминологии [[Группа Лоренца|собственная ортохронная]] группа Лоренца. Если {{math|1=''m'' = ''n''}}, представление может быть расширено на представление всех {{math|O(3; 1)}}, полных групп Лоренца, включая [[Чётность (физика)|инверсию пространственной чётности]] и [[T-симметрия|обращение времени]]. Представления <math>(m, n) \oplus (n, m)</math> могут быть расширены аналогично {{sfn|Weinberg|2002|с=Section 5.7, 232–233}}.

==== Обращение чётности пространства ====
Для обращения чётности пространства рассматривается [[Присоединённое представление группы Ли|присоединённое действие]] {{math|Ad<sub>''P''</sub>}} {{math|''P'' ∈ SO(3; 1)}} на <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>, где {{math|''P''}} является стандартным представителем обращения чётности пространства, {{math|1=''P'' = diag(1, −1, −1, −1)}}, задаваемого выражением

{{EF|:|<math>\mathrm{Ad}_P(J_i) = PJ_iP^{-1} = J_i, \qquad \mathrm{Ad}_P(K_i) = PK_iP^{-1} = -K_i.</math>|ref=F1}}

Это те свойства {{math|'''K'''}} и {{math|'''J'''}} под {{mvar|P}}, которые объясняют термины ''вектор'' для {{math|'''K'''}} и [[Аксиальный вектор|псевдовектор]] или ''аксиальный вектор'' для {{math|'''J'''}}. Аналогичным образом, если {{math|π}} является любым представлением алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> и {{math|Π}} является его ассоциированным представлением группы, то {{math|Π(SO(3; 1)<sup>+</sup>)}} действует на представлении {{math|π}} путём присоединённого действия, <math>\pi(X) \mapsto \mathrm{\Pi}(g) \pi(X) \mathrm{\Pi}(g)^{-1}</math> для алгебры <math>X \in \mathfrak{so}(3; 1),</math> <math>g \in \mathrm{SO}(3; 1)^+</math>. Если {{math|''P''}} включить в {{math|Π}}, то согласованность с уравнением {{Eqref|F1|(F1)}} требует, чтобы выполнялось

{{EF|:|<math>\Pi(P)\pi(B_i)\Pi(P)^{-1} = \pi(A_i),</math>|ref=F2}}

где {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} определены, как в первой секции раздела. Это может выполняться, только если <math>A_i</math> и <math>B_i</math> имеют одинаковые размерности, т.е., только если {{math|1=''m'' = ''n''}}. Если {{math|''m'' ≠ ''n''}}, то <math>(m, n) \oplus (n, m)</math> может быть расширено к неприводимому представлению группы <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math>, ортохронной группы Лоренца. Представление с обратной чётностью {{math|Π(''P'')}} не приходит автоматически с основным построением {{math|(''m'', ''n'')}} представлений. Оно должно быть указано отдельно. Матрица {{math|1=[[Матрицы Дирака|''β'' = ''i'' ''γ''<sup>0</sup>]]}} может быть использована в <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math>{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 5.7, 233}} представлении.

Если чётность входит со знаком минус ({{math|1×1}} матрица {{math|[−1]}}) в представление {{math|(0,0)}}, оно называется [[псевдоскаляр]]ным представлением.

==== Обращение времени ====
[[T-симметрия|Обращение времени]] <math>T = \mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1)</math> действует аналогично на алгебре <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> как{{sfn|Weinberg|2002|с=Equation 2.6.5}}

{{EF|:|<math>\mathrm{Ad}_T(J_i) = TJ_iT^{-1} = -J_i,  \qquad \mathrm{Ad}_T(K_i) = TK_iT^{-1} = K_i.</math>|ref=F3}}

Путём явного включения представления для {{math|''T''}}, как и для {{math|''P''}}, получается представление полной группы Лоренца {{math|O(3; 1)}}. Для физики здесь возникает небольшая проблема, в частности, в квантовой механике. Когда рассматривается полная {{не переведено 5|Теория представлений группы Пуанкаре|группа Пуанкаре||Representation theory of the Poincaré group}}, четыре дополнительных генератора, {{mvar|P<sup>μ</sup>}} вместе с {{mvar|J<sup>i</sup>}} и {{mvar|K<sup>i</sup>}}, генерируют группу. Они интерпретируются как генараторы параллельного переноса. Компонента времени {{math|''P''<sup>0</sup>}} является гамильтонианом {{math|''H''}}. Оператор {{math|''T''}} удовлетворяет отношению{{sfn|Weinberg|2002|с=Equation following 2.6.6}}

{{EF|:|<math>\mathrm{Ad}_{T}(iH) = TiHT^{-1} = -iH</math>|ref=F4}}

по аналогии с вращениями с алгеброй <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math> заменёнными на полную {{не переведено 5|Теория представлений группы Пуанкаре|алгебру Пуанкаре||Representation theory of the Poincaré group}}. После простого удаления переменных {{mvar|i}}'s из {{math|1=''THT''<sup>−1</sup> = −''H''}} следовало бы, что любое состояние {{math|Ψ}} с положительной энергией {{mvar|E}} в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантостью обращения времени было бы состоянием {{math|Π(''T''<sup>−1</sup>)Ψ}} с отрицательной энергией {{math|−''E''}}. Такие состояния не существуют. Оператор {{math|Π(''T'')}} поэтому выбирается {{не переведено 5|Антилинейное отображение|антилинейным||antilinear}} и {{не переведено 5|Антиунитарный оператор|антиунитарным||antiunitary}}, так что он [[Коммутатор|антикоммутирует]] с {{mvar|i}}, давая <math>THT^{-1} = H</math>, и его действие в гильбертовом пространстве равным образом становится антилинейным и антиунитарным{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 2.6.}}. Его можно выразить как суперпозицию [[Комплексное число|комплексного сопряжения]] с умножением на унитарную матрицу<ref>Для детального обсуждения случаев спина 0, {{Дробь2|1|2}} и 1 см. книгу Грайнера и Райнхардта {{harv|Greiner, Reinhardt|1996}}.</ref>. Для математического рассмотрения вопроса см. статью «[[Теорема Вигнера]]», но с оглядкой на разночтение терминологии — {{math|Π}} не ''представление''.

При построении теорий, таких как [[Квантовая электродинамика|КЭД]], которая инвариантна по чётности пространства и обращению времени, могут быть использованы cпиноры Дирака, в то время как другие теории, в которых инвариантности нет, такие как [[электрослабое взаимодействие]], должны быть сформулированы в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math> обычно берётся для включения как чётности пространства, так и обращения времени. Без обращения чётности пространства, оно не является неприводимым представлением.

Третья дискретная симметрия, входящая в [[CPT-инвариантность|CPT-теорему]], вместе с {{math|''P''}} и {{math|''T''}}, [[Зарядовое сопряжение|симметрия зарядового сопряжения]] {{math|''C''}}, напрямую не имеет ничего общего с инвариантностью Лоренца{{sfn|Weinberg|2002|с=Chapter 3}}.

== Действия на пространства функций ==
Если {{mvar|V}} является векторным пространством функций от конечного числа переменных {{mvar|n}}, то действие на скалярную функцию <math>f \in V</math>, заданную формулой

{{EF|:|<math>(\Pi(g)f)(x) = f\left(\Pi_x(g)^{-1} x\right),\qquad x \in \R^n, f \in V</math>|ref=H1}}

даёт другую функцию <math>\mathrm{\Pi}f \in V</math>. Здесь <math>\mathrm{\Pi}_x</math> является {{mvar|n}}-мерным представлением, а {{math|Π}} является, возможно, бесконечномерным представлением. Специальный случай этого построения получаем, когда {{mvar|V}} является пространством функций, определённых на самой линейной группе {{mvar|G}}, рассматриваемой как {{mvar|n}}-мерное [[многообразие]], вложенное в <math>\R^{m^2}</math> (с {{mvar|m}} в качестве размерности матриц)<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}}; См. раздел 6.1 для других примеров как конечномерных, так и бесконеномерных.</ref> Это установки, в которых формулируются {{не переведено 5|теорема Питера — Вейля|||Peter–Weyl theorem}} и {{не переведено 5|теоерма Бореля — Вейля —  Ботта|||Borel–Weil theorem}}. Первое из упомянутых демонстрирует существование разложения Фурье функций на компактных группах в [[Характер группы|характеры]] конечномерных представлений{{sfn|Knapp|2001}}. Последняя теорема, давая более явные представления, использует {{не переведено 5|Унитарный приём|унитарный приём||unitarian trick}} для получения представления комплексных некомпактных групп, например, <math>\text{SL}(2,\Complex).</math>

Следующие разделы иллюстрируют действие группы Лоренца и подгрупп вращения на некоторых пространствах функций.

=== Евклидовы вращения ===
{{Основная статья|Группа вращений|Сферические гармоники}}

Подгруппа {{math|SO(3)}} трёхмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве

:<math>L^2 \left(\mathbb{S}^2\right) = \operatorname{span} \left\{ Y^l_m, l \in \mathbb{N}^+, -l \leqslant m \leqslant l \right\},</math>

где <math>Y^l_m</math> являются [[Сферические функции|сферическими гармониками]]. Произвольная квадратично интегрируемая функция {{mvar|f}} на [[Единичная сфера|единичной сфере]] может быть выражена как{{sfn|Гельфанд, Минлос, Шапиро|1958}}

{{EF|:|<math>f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 1}^\infty\sum_{m = -l}^l f_{lm} Y^l_m(\theta, \varphi),</math>|ref=H2}}

где {{math|''f''<sub>''lm''</sub>}} являются обобщёнными {{не переведено 5|Обобщённый ряд Фурье|коэффициентами Фурье||Generalized Fourier serie}}.

Действия группы Лоренца ограничиваются действиями на {{math|SO(3)}} и выражаются как

{{EF|:|<math>
  (\Pi(R)f)(\theta(x), \varphi(x)) =
    \sum_{l = 1}^\infty\sum_{m = -l}^l \sum_{m' = -l}^l D^{(l)}_{mm'}(R) f_{lm'} Y^l_m \left(\theta\left(R^{-1} x\right), \varphi\left(R^{-1}x\right) \right), \qquad
    R \in \mathrm{SO}(3), \quad
    x \in \mathbb{S}^2,
</math>|ref=H4}}

где {{math|''D''<sup>''l''</sup>}} получаются из представителей нечётных размерностей генераторов вращений.

=== Группа Мёбиуса ===
{{Основная статья|Преобразование Мёбиуса |Группа Лоренца#Relation to the Möbius group}}
Единичная компонента группы Лоренца изоморфна [[Преобразование Мёбиуса|группе Мёбиуса]] {{math|M}}. Эту группу можно рассматривать как [[Конформное отображение|конформные отображения]] либо [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], или, через [[Стереографическая проекция|стереографическую проекцию]], [[Сфера Римана|сферы Римана]]. Таким образом, саму группу Лоренца можно рассматривать как действующую конформно на комплексной плоскости или на сфере Римана.

На плоскости преобразование Мёбиуса, которое описывается комплексными числами <math>a, b, c, d</math>, действует согласно формуле{{sfn|Churchill, Brown|2014|с=Chapter 8 pp. 307–310.}}.

{{EF|:|<math>f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}, \qquad ad - bc \neq 0</math>.|ref=M1}}

и может быть представлена комплексными матрицами

{{EF|:|<math>\Pi_f =
  \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} =
    \lambda \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad
  \lambda \in \Complex - \{0\}, \operatorname{det} \Pi_f = 1,
</math>|ref=M2}}

поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр не меняет {{mvar|f}}. Это элементы группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и они единственны с точностью до знака (поскольку <math>\pm\mathrm{\Pi}_f</math> даёт ту же {{mvar|f}}), следовательно, <math>\text{SL}(2, \Complex)/\{\pm I\} \cong \text{SO}(3; 1)^+.</math>

=== P-символы Римана ===
{{Основная статья|Дифференциальное уравнение Римана}}
[[Дифференциальное уравнение Римана|P-символы Римана]], решения дифференциального уравнения Римана, являются примером множества функций, которые преобразуются друг в друга под действием группы Лоренца. P-символы Римана выражаются как{{sfn|Gonzalez, Vasquez|2014|с=3}}

{{EF|
:|<math>w(z) = P \left\{ \begin{matrix}
    a       & b      & c       &      \\ 
    \alpha  & \beta  & \gamma  & \; z \\
    \alpha' & \beta' & \gamma' &
  \end{matrix} \right\} =
  \left(\frac{z - a}{z - b}\right)^\alpha \left(\frac{z - c}{z - b}\right)^\gamma
  P \left\{ \begin{matrix}
    0                & \infty                   & 1                &                                         \\
    0                & \alpha + \beta + \gamma  & 0                & \;\frac{(z - a)(c - b)}{(z - b)(c - a)} \\
    \alpha' - \alpha & \alpha + \beta' + \gamma & \gamma' - \gamma &
  \end{matrix} \right\},
</math>|ref=T1}}

где <math>a, b, c, \alpha, \beta, \gamma, \alpha', \beta', \gamma'</math> являются комплексными константами. P-функция справа может быть выражена с использованием стандартных [[Гипергеометрическая функция|гипергеометрических функций]]. Вот эта связь{{sfn|Abramowitz, Stegun|1965|с=Equation 15.6.5}}

{{EF|:|<math>P \left\{ \begin{matrix}
    0     & \infty & 1         &     \\
    0     & a      & 0         & \;z \\
    1 - c & b      & c - a - b &
  \end{matrix} \right\} =
  {}_2 F_1(a,\, b;\, c;\, z).
</math>|ref=T2}}

Константы множества {{math|0, ∞, 1}} из верхнего ряда слева являются {{не переведено 5|Регулярная особая точка|регулярными особыми точками||regular singular point}} [[Гипергеометрическая функция#Гипергеометрическое уравнение|гипергеометрического уравнения]]{{sfn|Simmons|1972|с=Sections 30, 31.}}. Их ''показателями'', т. е. решениями [[Метод Фробениуса|определяющего уравнения]] для продолжения вокруг сингулярной точки {{math|0}}, будут {{math|0}} и {{math|1 − ''c''}}, соответствующие двум линейно независимым решениям<ref group = nb>См. книгу Симонса {{harv|Simmons|1972|loc=Section 30.}} для точных условий, при которых два [[Метод Фробениуса|метода Фробениуса]] дают два линейно независимых решения. Если показатели не отличаются на целое число, это выполняется всегда.</ref>, а для продолжения вокруг сингулярной точки {{math|1}} ими будут {{math|0}} и <math>c - a - b</math>{{sfn|Simmons|1972|с=Sections 30.}}. Аналогично, показателями для {{math|∞}} будут {{mvar|a}} и {{mvar|b}} для двух решений{{sfn|Simmons|1972|с=Section 31.}}.

Тогда мы имеем

{{EF|:|<math>w(z) = \left(\frac{z - a}{z - b}\right)^\alpha \left(\frac{z - c}{z - b}\right)^\gamma {}_2F_1 \left(\alpha + \beta + \gamma,\, \alpha + \beta' + \gamma;\, 1 + \alpha - \alpha';\, \frac{(z - a)(c - b)}{(z - b)(c - a)}\right),</math>|ref=T3}}

где условие (иногда называемое тождеством Римана){{sfn|Simmons|1972|с=Equation 11 in appendix E, chapter 5.}}.

:<math>\alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma' = 1</math>

для показателей решений дифференциального уравнения Римана используется для определения {{math|''γ''&prime;}}.

Первый набор констант в левой части в {{Eqref|T1|(T1)}}, {{math|''a'', ''b'', ''c''}}, представляет регулярные особые точки дифференциального уравнения Римана. Второе множество t, <math>\alpha, \beta, \gamma</math>, является набором соответствующих показателей в <math>a, b, c</math> для одного из двух линейно независимых решений и, соответственно, <math>\alpha', \beta', \gamma'</math> являются показателями в точках {{math|''a'', ''b'', ''c''}} для второго решения.

Определим действие группы Лоренца на множестве всех P-символов Римана, принимая

{{EF|:|<math>u(\Lambda)(z) = \frac{Az + B}{Cz + D},</math>|ref=T4}}

где <math>A, B, C, D</math> являются элементами матрицы

{{EF|:|<math>\lambda = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in \text{SL}(2, \Complex),</math>|ref=T5}}

для <math>\Lambda = p(\lambda) \in \mathrm{SO}(3; 1)^+</math> преобразования Лоренца.

Определим

{{EF|:|<math>[\Pi(\Lambda) P](z) = P[u(\Lambda)(z)],</math>|ref=T6}}

где {{mvar|P}} является P-символом Римана. Получившаяся функция снова является P-функцией Римана. Эффект преобразования Мёбиуса аргумента выражается в сдвиге [[Полюс (комплексный анализ)|полюса]] в новое место, а следовательно, изменения критичных точек, но нет изменения в показателях дифференциального уравнения, которому новая функция удовлетворяет. Новая функция выражается выражением

{{EF|:|<math>[\Pi(\Lambda) P](u) =
  P \left\{ \begin{matrix}
    \eta    & \zeta  & \theta  &    \\
    \alpha  & \beta  & \gamma  & \;u \\
    \alpha' & \beta' & \gamma' &
  \end{matrix} \right\},
</math>|ref=T6}}

где

{{EF|:|<math>\eta = \frac{Aa + B}{Ca + D} \quad, \quad \zeta = \frac{Ab + B}{Cb + D} \quad, \quad \theta = \frac{Ac + B}{Cc + D}.</math>|ref=T7}}

== Бесконечномерные унитарные представления ==

=== История ===
Группа Лоренца <math>\mathrm{SO}(3; 1)^+</math> и её двойное покрытие <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> имеют бесконечномерные унитарные представления, которые независимо изучали Баргман{{sfn|Bargmann|1947}}, Гельфанд и Наймарк{{sfn|Гельфанд, Наймарк|1947}} и Хариш-Чандра{{sfn|Harish-Chandra|1947}} по наущению [[Дирак, Поль Адриен Морис|Поля Дирака]]{{sfn|Langlands|1985|с=205.}}{{sfn|Varadarajan|1989|с=Sections 3.1. 4.1}}. Эту тропу в исследования начал протаптывать Дирак{{sfn|Dirac|1936}}, когда он придумал матрицы {{math|'''U'''}} и {{math|'''B'''}}, нужные для описания высших спинов (сравните с [[Матрицы Дирака|матрицами Дирака]]), протоптал своими разработками Фирц{{sfn|Fierz|1939}} (см. статью Фирца и Паули{{sfn|Fierz, Pauli|1939}}) и предложил предшественника [[Уравнения Баргмана — Вигнера|уравнений Баргмана — Вигнера]]{{sfn|Langlands|1985|с=203}}. Дирак в своей статье{{sfn|Dirac|1945}} предложил конкретное бесконечномерное представление пространства, элементы которого назвал ''' экспансорами''', в качестве обобщения тензоров.<ref group=nb>''«Это очень близко к источнику теории бесконечномерных преставлений полупростых и приводимых групп...»'', Леглендс {{harv|Langlands|1985|p=204.}}. Леглендс осылает к вводному замечанию в статье Дирака 1945 года.</ref> Эти идеи взял на вооружение Хариш–Чандра и в статье 1947 года расширил понятие спиноров на '''экспиноры''' как бесконечномерное обобщение спиноров.

[[Теорема Планшереля|Формулу Планшереля]] для этих групп получили Гельфанд и Наймарк с помощью объёмных вычислений. Изложение в значительной мере впоследствии упростил Хариш-Чандра{{sfn|Harish-Chandra|1951}} и Гельфанд с Граевым{{sfn|Гельфанд, Граев|1953}}, основываясь на аналогии с <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> формулы интегрирования [[Вейль, Герман|Германа Вейля]] для {{не переведено 5|Компактная группа|компактных групп Ли||compact Lie group}}{{sfn|Varadarajan|1989|с=Section 4.1}}. Элементарное изложение этого подхода можно найти у Рюля{{sfn|Rühl|1970}} и Кнаппа{{sfn|Knapp|2001}}.

Теория {{не переведено 5|Зональная сферическая функция|сферических функций||Zonal spherical function}} для группы Лоренца, которые требуются для [[Гармонический анализ|гармонического анализа]] на [[Пространство Минковского#Geometry|гиперболоидной модели]] 3-мерного [[Гиперболическое пространство|гиперболического пространства]], находящегося в [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]], в значительной мере проще, чем в общей теории. Она вовлекает только представления из сферической {{не переведено 5|Представление главной серии|главной серии||principal series}} и может быть изучена прямо, поскольку в радиальных координатах [[Оператор Лапласа|лапласиан]] на гиперболоиде эквивалентен лапласиану на <math>\R.</math> Эта теория обсуждается в статьях Такашаши{{sfn|Takahashi|1963}}, Хедьгасона{{sfn|Helgason|1968}}{{sfn|Helgason|2000}} и в посмертных текстах Йоргенсона и Ленга{{sfn|Jorgenson, Lang|2008}}.

=== Главная серия для SL(2, C) ===

'''Главные серии''' или '''унитарные главные серии''' являются унитарными представлениями {{не переведено 5|Индуцированное представление|индуцированными||induced representation}} из одномерных представлений нижней треугольной подгруппы {{mvar|B}} группы <math>G = \text{SL}(2,\Complex).</math> Поскольку одномерные представления подгруппы {{mvar|B}} соответствуют представлениям диагональных матриц с ненулевыми комплексными элементами {{mvar|z}} и {{math|''z''<sup>−1</sup>}}, они имеют вид

:<math>\chi_{\nu,k}\begin{pmatrix}z& 0\\ c& z^{-1}\end{pmatrix}=r^{i\nu} e^{ik\theta},</math>

для целого {{mvar|k}} и вещественного {{mvar|ν}} с <math>z = re^{i\theta}</math>. Представления являются [[Неприводимое представление|неприводимыми представлениями]]. Единственные повторения, т.е. изоморфизмы представлений, возникают, когда {{mvar|k}} заменяется на {{math|−''k''}}. По определению представления реализуются на слоях {{math|L<sup>2</sup>}} {{не переведено 5|линейное расслоение|линейных расслоений||line bundle}} на <math>G/B = \mathbb{S}^2</math>, которые изоморфны [[Сфера Римана|сфере Римана]]. Когда {{math|1=''k'' = 0}}, эти представления образуют так называемую '''сферическую главную серию'''.

Ограничение главной серии на максимальную компактную подгруппу <math>K = \mathrm{SU}(2)</math> группы {{mvar|G}} может быть реализовано как индуцированное представление подгруппы {{mvar|K}} при использовании отождествления <math>G/B = K/T</math>, где <math>T = B \cap K</math> является [[Максимальный тор|максимальным тором]] в подгруппе {{mvar|K}}, состоящим из диагональных матриц с <math>|z|= 1</math>. Это представление порождается 1-мерным представлением <math>z^kT</math> и оно независимо от <math>\nu</math>. По {{не переведено 5|Взаимность Фробениуса|взаимности Фробениуса||Frobenius reciprocity}}, на подгруппе {{mvar|K}} они разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений подгруппы {{mvar|K}} с размерностями <math>abs(k) + 2m + 1</math> с неотрицательным целым {{mvar|m}}.

С использованием отождествления между сферой Римана без точки и <math>\Complex</math> главная серия может быть определена прямо на <math>L^2(\Complex)</math> по формуле{{sfn|Гельфанд, Граев, Пятецкий-Шапиро|1966}}.

{{Equation box 1|indent=|equation=
:<math>\pi_{\nu,k}\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu} \left({cz+d\over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b\over cz+d}\right).</math>
|cellpadding=6|border|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

Неприводимость можно проверить несколькими путями:

* Представление уже неприводимо на {{mvar|B}}. Это можно видеть непосредственно, но имеется также специальный случай общих результатов по неприводимости индуцированных представлений, благодаря {{не переведено 5|Брюа, Франсуа|Франсуа Брюа||François Bruhat}} и [[Маккей, Джордж|Джорджу Маккею]], опирающийся на {{не переведено 5|разложение Брюа|||Bruhat decomposition}} <math>G = B \cup BsB</math>, где {{mvar|s}} является элементом [[Группа Вейля|группы Вейля]]{{sfn|Knapp|2001|с=Chapter II.}}.
::<math>\begin{pmatrix}0& -1\\ 1& 0\end{pmatrix}</math>.

* Действие алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math> группы {{mvar|G}} может быть вычислено явно на алгебраической прямой сумме неприводимых подпространств подгруппы {{mvar|K}} и можно проверить непосредственно, что подпространство наименьшей размерности генерирует эту прямую сумму как <math>\mathfrak{g}</math>-модуль{{sfn|Harish-Chandra|1947}}{{sfn|Taylor|1986}}.

=== Дополнительные серии для SL(2, C) ===

Для <math>0 < t < 2</math> дополнительная серия определена на пространстве {{не переведено 5|Квадратично интегрируемая функция|квадратично интегрируемых функций||L2 space}} <math>L^2(\Complex)</math> для скалярного произведения{{sfn|Knapp|2001|с=Chapter 2. Equation 2.12}}.

:<math> (f,g)_t =\iint \frac{f(z) \overline{g(w)}}{|z-w|^{2-t}} \, dz\, dw,</math>

с действием, которое задаётся уравнением{{sfn|Bargmann|1947}}{{sfn|Гельфанд, Граев |1953}}

{{Equation box 1|indent=|equation=
:<math>\pi_{t}\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t} f\left({az+b\over cz+d}\right).</math>
|cellpadding=6|border|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

Представления дополнительной серии неприводимы и попарно неизоморфны. Как представление подгруппы {{mvar|K}}, каждое изоморфно гильбертову пространству прямых сумм всех неприводимых представлений нечётной размерности для подгруппы {{math|1=''K'' = SU(2)}}. Неприводимость можно доказать путём анализа действия алгебры <math>\mathfrak{g}</math> на алгебраическую сумму этих подпространств {{sfn|Harish-Chandra|1947}}{{sfn|Taylor|1986}} или непосредственно без использования алгебры Ли{{sfn|Гельфанд, Наймарк|1947}}{{sfn|Takahashi|1963|с=343.}}.

=== Теорема Планшереля для SL(2, C) ===
Единственными неприводимыми унитарными представлениями группы <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> является главная серия, дополнительная серия и тривиальное представление.
Поскольку {{math|−''I''}} действует как {{math|(−1)<sup>''k''</sup>}} на главной серии и тривиально на остальных, это даст все неприводимые унитарные представления группы Лоренца, если {{mvar|k}} чётно.

Чтобы разложить левое регулярное представление группы {{mvar|G}} на <math>L^2(G)</math> нужна только главная серия. Это немедленно даёт разложение на подпредставлениях <math>L^2(G/\{\pm I\}),</math> левого регулярного представления группы Лоренца и <math>L^2(G/K)</math>, регулярного представления в 3-мерном гиперболическом пространстве. (Первое использует только представления главной серии с чётным ''k'', второе — только представления с {{math|1=''k'' = 0}}.)

Левое и правое регулярное представление {{mvar|λ}} и {{mvar|ρ}} определяются на <math>L^2(G)</math> формулами

:<math>\begin{align}
  (\lambda(g)f)(x) &= f\left(g^{-1}x\right) \\
  (\rho(g)f)   (x) &= f(xg)
\end{align}</math>

Теперь, если {{mvar|f}} является элементом {{math|''C<sub>c</sub>''(''G'')}}, оператор <math>\pi_{\nu, k}(f)</math>, определённый как

:<math>\pi_{\nu, k}(f) = \int_G f(g)\pi(g)\, dg</math>

является [[Оператор Гильберта — Шмидта|оператором Гильберта — Шмидта]]. Определим гильбертово пространство &nbsp;{{mvar|H}} формулой

:<math>H = \bigoplus_{k\geqslant 0} \text{HS} \left(L^2(\Complex)\right) \otimes L^2 \left(\R, c_k\sqrt{\nu^2 + k^2} d\nu \right),</math>

где

:<math>c_k = \begin{cases}
  \frac{1}{4\pi^{3/2}}   & k = 0 \\
  \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} & k \neq 0
\end{cases}</math>

и <math>\text{HS}\left(L^2(\Complex)\right)</math> обозначают гильбертово пространство операторов Гильберта – Шмидта на <math>L^2(\Complex)</math><ref group=nb>Заметим, что для гильбертова пространства {{mvar|H}}, {{math|HS(''H'')}} может быть определено канонически с помощью тензорного произведения гильбертова пространства {{mvar|H}} и сопряжённого пространства.</ref>. Тогда отображение {{mvar|U}}, определённое на {{math|''C<sub>c</sub>''(''G'')}} выражением

:<math>U(f)(\nu, k) = \pi_{\nu,k}(f)</math>

расширяется до унитарного отображения группы <math>L^2(G)</math> в {{mvar|H}}.

Отображение {{mvar|U}} удовлетворяет свойству переплетения

:<math>U(\lambda(x)\rho(y)f)(\nu,k) = \pi_{\nu,k}(x)^{-1} \pi_{\nu,k}(f)\pi_{\nu,k}(y).</math>

Если <math>f_1, f_2</math> входят в <math>C_c(G)</math>, тогда согласно унитарности

{{Equation box 1
 |cellpadding=6
 |border |border colour=#0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
 |indent=:
 |equation=<math>(f_1, f_2) = \sum_{k\geqslant 0} c_k^2 \int_{-\infty}^\infty \operatorname{Tr} \left(\pi_{\nu,k}(f_1)\pi_{\nu,k}(f_2)^*\right) \left(\nu^2 + k^2\right) \, d\nu.</math>
}}

Тогда, если <math>f = f_1 * f_2^*</math> обозначает [[Свёртка (математический анализ)|свёртку]] <math>f_1</math> и <math>f_2^*</math>, а <math>f_2^*(g)=\overline{f_2(g^{-1})},</math> то{{sfn|Knapp|2001|с=Equation 2.24}}

{{Equation box 1
 |cellpadding=6
 |border |border colour=#0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
 |indent=:
 |equation=<math>f(1) = \sum_{k\geqslant 0} c_k^2 \int_{-\infty}^\infty  \operatorname{Tr} \left(\pi_{\nu,k}(f) \right) \left(\nu^2 + k^2\right)\, d\nu.</math>
}}

На две последние приведённые формулы обычно ссылаются как на [[Теорема Планшереля|формулу Планшереля]] и формулу {{не переведено 5|обратное преобразование Фурье|обратного преобразования Фурье||inverse Fourier transform}} соответственно.

Формула Планшереля распространяется на все <math>f_i \in L^2(G)</math>. По теореме Жака Диксмье и Поля Маллявена любая гладкая функция с компактным носителем на <math>G</math> является конечной суммой свёртки подобных функций, формула обращения выполняется для таких {{mvar|f}}. Это можно распространить на существенно более широкий класс функций, удовлетворяющих слабым условиям дифференцируемости{{sfn|Knapp|2001}}.

=== Классификация представлений SO(3, 1) ===
Стратегия, которой следуют в классификации неприводимых бесконечномерных представлений, заключается, по аналогии конечномерному случаю, в ''допущении'' их существования, а затем исследованию их свойства. Сначала допустим, что имеется неприводимое {{не переведено 5|Сильная операторная топология|сильно непрерывное||Strong operator topology}} бесконечномерое представление {{math|Π<sub>''H''</sub>}} на гильбертовом пространстве {{mvar|H}} группы {{math|SO(3; 1)<sup>+</sup>}} {{sfn|Folland|2015|с=Section 3.1}}. Поскольку {{math|SO(3)}} является подгруппой, {{math|Π<sub>''H''</sub>}} является её представлением. Каждое неприводимое подпредставление группы {{math|SO(3)}} является конечномерным, а представление группы {{math|SO(3)}} разложимо в прямую сумму неприводимых конечномерных унитарных представлений группы {{math|SO(3)}}, если {{math|Π<sub>''H''</sub>}} унитарно{{sfn|Folland|2015|с=Theorem 5.2}}.

Шаги следующие{{sfn|Tung|1985|с=Section 10.3.3}}:
# Выбираем подходящий базис общих собственных векторов матриц {{math|''J''<sup>2</sup>}} и {{math|''J''<sub>3</sub>}}.
# Вычисляем матричные элементы {{math|''J''<sub>1</sub>, ''J''<sub>2</sub>, ''J''<sub>3</sub>}} и {{math|''K''<sub>1</sub>, ''K''<sub>2</sub>, ''K''<sub>3</sub>}}.
# Обеспечиваем соотношения коммутирования алгебры Ли.
# Требуем унитарность вместе с ортогональностью базиса<ref group=nb>Если требуется конечномерность, в результате получим {{math|(''m'', ''n'')}} представления, см. статью Танга {{harv|Tung|1985|loc=Problem 10.8}}. Если ничего не требуется, получаем широкую классификацию ''всех'' неприводимых представлений, включая конечномерные и унитарные представления. Такой подход предпринят в статье Хариша-Чандры {{harv|Harish-Chandra|1947}}.</ref>.

==== Шаг 1 ====
Подходящий базис и метки задаются как

:<math>\left |j_0\, j_1;j\, m\right\rangle.</math>

Если бы это было ''конечномерным'' представлением, то {{math|''j''<sub>0</sub>}} соответствовало бы наименьшему собственному значению {{math|''j''(''j'' + 1)}} матрицы {{math|''J''<sup>2</sup>}} в представлении, равному <math>|m - n|</math>, а {{math|''j''<sub>1</sub>}} соответствовало бы наибольшему собственному значению, равному {{math|''m'' + ''n''}}. В бесконечномерном случае <math>j_0 \geqslant 0</math> сохраняет этот смысл, но {{math|''j''<sub>1</sub>}} не сохраняет{{sfn|Tung|1985}}. Для простоты считается, что заданное {{mvar|j}} встречается лишь один раз в данном представлении (это случай конечномерных представлений), и можно показать{{sfn|Harish-Chandra|1947|с=Footnote p. 374}}, что это предположение можно откинуть (с некоторым усложнением вычислений) с сохранением результатов.

==== Шаг 2 ====
Следующий шаг — вычисление матричных элементов операторов {{math|''J''<sub>1</sub>, ''J''<sub>2</sub>, ''J''<sub>3</sub>}} и {{math|''K''<sub>1</sub>, ''K''<sub>2</sub>, ''K''<sub>3</sub>}}, образующих базис алгебры Ли <math>\mathfrak{so}(3; 1).</math> Элементы матрицы <math>J_\pm = J_1 \pm iJ_2</math> и <math>J_3</math> известны из теории представления групп вращения и задаются формулами{{sfn|Tung|1985|с=Equations 7.3–13, 7.3–14}}{{sfn|Harish-Chandra|1947|с=Equation 8}}.

:<math>\begin{align}
\left \langle j\, m\right|J_+ \left |j\, m-1\right\rangle &= \left \langle j\, m-1\right|J_- \left |j\, m\right\rangle = \sqrt{(j+m)(j-m+1)}, \\
\left \langle j, m\right|J_3 \left |j\, m\right\rangle &= m,
\end{align}</math>

где метки {{math|''j''<sub>0</sub>}} и {{math|''j''<sub>1</sub>}} опущены, поскольку они те же самые для всех базисных векторов в представлении.

Согласно соотношению коммутирования

:<math>[J_i,K_j] = i\epsilon_{ijk}K_k,</math>

тройка {{math|(''K''<sub>''i''</sub>, ''K''<sub>''i''</sub>, ''K''<sub>''i''</sub>) ≡ '''''K'''''}} является {{не переведено 5|Тензорный оператор|векторным оператором||Tensor operator}}{{sfn|Hall|2015|с=Proposition C.7}} и [[теорема Вигнера — Эккарта]]{{sfn|Hall|2015|с=Appendix C.2}} применима для коммутирования матричных элементов между состояниями, представленными выбором базиса{{sfn|Tung|1985|с=Step II section 10.2}}. Матричные элементы матрицы

:<math>\begin{align} K^{(1)}_0 &= K_3,\\
K^{(1)}_{\pm 1} &= \mp\frac{1}{\sqrt 2}(K_1 \pm iK_2),\end{align}</math>

где верхний индекс {{math|(1)}} означает, что величина является компонентой {{не переведено 5|Сферический базис|оператора сферического тензора||spherical tensor operator}} ранга <math>k = 1</math> (что также объясняет присутствие множителя {{math|{{sqrt|2}}}}), а нижние индексы {{math|0, ±1}} относятся в величине {{mvar|q}} в формулах ниже<ref>{{harvnb|Tung|1985|loc=Equations 10.3}}; Обозначения Танга коэффициентов Клебша – Гордана отличаются от используемых здесь.</ref>

:<math>\begin{align}
\left\langle j' m'\left|K^{(1)}_0     \right|j\,m\right\rangle &= \left \langle j' \, m' \,k = 1 \,q = 0 |j \, m \right \rangle \left \langle j \left \|K^{(1)} \right \|j' \right \rangle,\\
\left\langle j' m'\left|K^{(1)}_{\pm 1}\right |j\,m\right\rangle &= \left \langle j' \, m' \, k= 1 \,q = \pm 1 |j \, m \right \rangle \left \langle j \left \|K^{(1)} \right \|j' \right \rangle.
\end{align}</math>

Здесь первые множители справа являются [[Коэффициенты Клебша — Гордана|коэффициентами Клебша — Гордана]] для связки {{math|''j''&prime;}} с {{mvar|k}} для получения {{mvar|j}}. Вторые множители являются ''приведёнными матричными элементами''. Они не зависят от {{math|''m'', ''m&prime;''}} или {{mvar|q}}, но зависят от {{math|''j'', ''j&prime;''}} и, конечно, от {{math|'''''K'''''}}. Для полного списка ненулевых уравнений см. статью Хариша-Чандры{{sfn|Harish-Chandra|1947|с=375}}.

==== Шаг 3 ====
Следующий шаг — потребовать, чтобы выполнялись отношения алгебры Ли, т.е. что

:<math>[K_\pm, K_3] = \pm J_\pm, \quad [K_+, K_-] = -2J_3.</math>

Это приводит к набору уравнений{{sfn|Tung|1985|с=Equation VII-3}}, для которых решениями являются{{sfn|Tung|1985|с=Equations 10.3–5, 7, 8}}
:<math>\begin{align}
\left \langle j   \left \|K^{(1)} \right \|j   \right \rangle &= i\frac{j_1j_0}{\sqrt{j(j+1)}},\\
\left \langle j   \left \|K^{(1)} \right \|j-1 \right \rangle &= -B_j\xi_j\sqrt{j(2j-1)},\\
\left \langle j-1 \left \|K^{(1)} \right \|j   \right \rangle &= B_j\xi_j^{-1}\sqrt{j(2j+1)},
\end{align}</math>

где

:<math>B_j = \sqrt{\frac{(j^2 - j_0^2)(j^2 - j_1^2)}{j^2(4j^2 - 1)}}, \quad j_0=0, \tfrac{1}{2}, 1, \ldots \quad, \quad j_1, \xi_j \in \Complex.</math>

==== Шаг 4 ====
Наложение требования унитарности соответствующего представления ''группы'' ограничивает возможные значения для комплексных чисел <math>j_0</math> и <math>\xi_j</math>. Унитарность представления группы переходит в требование к представлениям алгебры Ли быть эрмитовыми, что означает

:<math>K_\pm^\dagger = K_\mp,\quad  K_3^\dagger = K_3.</math>

Это переходит в{{sfn|Tung|1985|с=Equation VII-9.}}

:<math>\begin{align}
  \left \langle j \left \|K^{(1)} \right \|j     \right \rangle &=  \overline{\left \langle j     \left \|K^{(1)} \right \|j \right \rangle},\\
  \left \langle j \left \|K^{(1)} \right \|j - 1 \right \rangle &= -\overline{\left \langle j - 1 \left \|K^{(1)} \right \|j \right \rangle},
\end{align}</math>

и ведёт к{{sfn|Tung|1985|с=Equations VII-10, 11}}

:<math>\begin{align}
                                j_0 \left(j_1 + \overline{j_1}\right) &= 0, \\
  \left|B_j\right|\left(\left|\xi_j\right|^2 - e^{-2i\beta_j}\right) &= 0,
\end{align}</math>

где {{math|''β''<sub>''j''</sub>}} является углом {{math|''B''<sub>''j''</sub>}} в полярной форме. Из <math>|B_j|\ne</math> следует, что <math>\left|\xi_j\right|^2 = 1</math> и <math>\xi_j = 1</math> выбирается по договорённости. Есть два возможных случая:

* <math>\underline{j_1 + \overline{j_1} = 0.}</math> В этом случае <math>j_1 = -i\nu</math>, {{mvar|ν}} {{sfn|Tung|1985|с=Equations VII-12}}
*: <math>\left \langle j \left \|K^{(1)} \right \|j \right \rangle = \frac{\nu j_0}{j(j + 1)} \quad</math> и <math>\quad  B_j = \sqrt{\frac{(j^2 - j_0^2)(j^2 + \nu^2)}{4j^2 - 1}}</math>
: Это ''главная серия''. Её элементы обозначаются <math>(j_0, \nu), 2j_0 \in \N, \nu \in \R.</math>

* <math>\underline{j_0=0.}</math> Отсюда следует{{sfn|Tung|1985|с=Equations VII-13.}}:
*: <math>\left \langle j \left \|K^{(1)} \right \|j \right \rangle = 0  \quad</math> и <math>\quad B_j = \sqrt{\frac{j^2 - \nu^2}{4j^2 - 1}}</math>
: Поскольку <math>B_0 = B_{j_0}</math>, <math>B^2_j</math> является вещественной и положительной для <math>j = 1, 2, \dots</math>, что приводит к <math>-1 \leqslant \nu \leqslant 1</math>. Это ''дополнительная серия''. Её элементы обозначаются <math>(0, \nu), -1 \leqslant \nu \leqslant 1</math>.

Это показывает, что представления выше являются ''всеми'' бесконечномерными неприводимыми унитарными представлениями.

== Явные формулы ==

=== Соглашения и базисы алгебры Ли ===
Метрика задаётся матрицей <math>\eta = \mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1)</math> и используются физические соглашения для алгебр Ли и экспоненциальное отображение. Этот выбор произволен, но будучи выбранным, не меняется. Один из возможных [[базис]]ов алгебры Ли в 4-векторном представлении задаётся формулами:

:<math>\begin{align}
  J_1 = J^{23} = -J^{32} &= i\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix},&
    J_2 = J^{31} = -J^{13} &= i\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix},&
    J_3 = J^{12} = -J^{21} &= i\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix},\\[8pt]
  K_1 = J^{01} = J^{10} &= i\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix},&
    K_2 = J^{02} = J^{20} &= i\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix},&
    K_3 = J^{03} = J^{30} &= i\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}.
\end{align}</math>

Соотношения коммутирования алгебры Ли <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>{{sfn|Weinberg|2002|с=Equation 2.4.12}}:

:<math>\left[J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma}\right] = i\left( \eta^{\sigma\mu}J^{\rho\nu} + \eta^{\nu\sigma}J^{\mu\rho} - \eta^{\rho\mu}J^{\sigma\nu} - \eta^{\nu\rho} J^{\mu\sigma} \right).</math>

В обозначениях трёхмерного пространства это будет{{sfn|Weinberg|2002|с=Equations 2.4.18–2.4.20}}

:<math>
  \left[J_i, J_j\right] =  i\epsilon_{ijk}J_k,\quad
  \left[J_i, K_j\right] =  i\epsilon_{ijk}K_k,\quad
  \left[K_i, K_j\right] = -i\epsilon_{ijk}J_k.
</math>

Выбор базиса выше удовлетворяет вращениям, но возможен и другой выбор. Следует отметить кратное использование символа {{mvar|J}} выше и ниже.

=== Спиноры Вейля и биспиноры ===
[[Файл:Paul Dirac, 1933.jpg|upright|thumb|right|Решения [[Уравнение Дирака|уравнения Дирака]] преобразуются при <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math>-представлениях. Дирак открыл [[Матрицы Дирака|гамма-матрицы]] в процессе поиска релятивистски-инвариантных уравнений, которые уже были известны математикам{{sfn|Weinberg|2002|с=Section 5.4}}]]
Принимая, в свою очередь, <math>m = \tfrac{1}{2}, n = 0</math> и <math>m = 0, n = \tfrac{1}{2}</math>, полагая

:<math>J_i^{\left( \frac{1}{2} \right)} = \frac{1}{2}\sigma_i</math>

в общей формуле {{Eqref|G1|(G1)}} и, используя тривиальные отношения <math>1_1 = 1</math> и <math>J^{(0)} = 0</math>, получаем

{{EF
 |:
 |<math>\begin{align}
  \pi_{\left( \frac{1}{2}, 0 \right)}(J_i) &= \frac{1}{2} \left( \sigma_i \otimes 1_{(1)} + 1_{(2)} \otimes J^{(0)}_i \right) = \frac{1}{2}\sigma_i \\
  \pi_{\left( \frac{1}{2}, 0 \right)}(K_i) &= \frac{i}{2} \left( 1_{(2)} \otimes J^{(0)}_i - \sigma_i \otimes 1_{(1)} \right) = -\frac{i}{2}\sigma_i \\[6pt]
  \pi_{\left (0, \frac{1}{2} \right)}(J_i) &= \frac{1}{2} \left( J^{(0)}_i \otimes 1_{(2)} + 1_{(1)} \otimes \sigma_i \right) = \frac{1}{2}\sigma_i \\
  \pi_{\left( 0, \frac{1}{2} \right)}(K_i) &= \frac{i}{2} \left( 1_{(1)} \otimes \sigma_i - J^{(0)}_i \otimes 1_{(2)} \right) = \frac{i}{2}\sigma_i
\end{align}
</math>
 |ref=W1}}

Это левые и правые представления [[Уравнение Вейля|спиноров Вейля]]. Они действуют путём умножения на матрицу в 2-мерных комплексных векторных пространствах (с выбором базиса) <math>V_L</math> и <math>V_R</math>, элементы которых <math>\Psi_L</math> и <math>\Psi_R</math> называются левыми и правыми спинорами Вейля соответственно. Если дано

:<math>\left( \pi_{\left(\frac{1}{2}, 0 \right)}, V_\text{L} \right) \quad, \quad \left( \pi_{\left( 0, \frac{1}{2} \right)}, V_\text{R} \right)</math>

Их прямая сумма как представлений образуется{{sfn|Weinberg|2002|с=Равенства 5.4.19, 5.4.20}} формулами,

{{EF
 |:
 |<math>\begin{align}
  \pi_{\left( \frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2} \right)}\left(J_i\right) &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sigma_i&0\\ 0&\sigma_i \end{pmatrix} \\[8pt]
  \pi_{\left( \frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2} \right)}\left(K_i\right) &= \frac{i}{2} \begin{pmatrix} \sigma_i&0\\ 0&-\sigma_i \end{pmatrix}
\end{align}</math>
 |ref=D1}}

Это есть, с точностью до преобразования подобия, <math>(\tfrac{1}{2},0) \oplus (0,\tfrac{1}{2})</math> представление {{не переведено 5|Спинор Дирака|спинора Дирака||Dirac spinor}} алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1)</math>. Оно действует на 4-компонентные элементы <math>(\Psi_L, \Psi_R)</math> пространств <math>(V_L \oplus V_R)</math>, называемые [[биспинор]]ами, умножением на матрицу. Представление может быть получено более общим и независимым от базиса способом с помощью [[Алгебра Клиффорда|алгебры Клиффорда]]. Эти выражения для биспиноров и спиноров Вейля продолжаются по линейности алгебры Ли и представлениями на все алгебры <math>\mathfrak{so}(3; 1).</math> Выражения для представлений групп получаются путём возведения в степень.

== См. также ==
{{кол}}
* {{нп5|Центр масс (теория относительности)|Центр масс||Center of mass (relativistic)}}
* {{нп5|Алгебра Дирака|||Dirac algebra}}
* [[Матрицы Дирака|Гамма-матрицы]]
* [[Группа Лоренца]]
* [[Преобразование Мёбиуса]]
* [[Группа Пуанкаре]]
* [[Симметрия в квантовой механике]]
* [[Классификация Вигнера]]
{{кол|конец}}

== Бесплатные онлайн-ресурсы ==
* {{статья
|ref=Bekaert, Boulanger
|автор=Bekaert X., Boulanger N.
|год=2006
|заглавие= The unitary представления of the Poincare group in any spacetime dimension
|eprint = hep-th/0611263
}} Расширенная версия лекций представлена на второй летней школе в Модаве по математической физике (Belgium, August 2006).
* {{статья
|автор=Curtright T. L., Fairlie D. B., Zachos C. K.
|год = 2014
|заглавие= A compact formula for rotations as spin matrix polynomials
|издание =SIGMA
|том=10
|страницы=084
|doi=10.3842/SIGMA.2014.084
|arxiv = 1402.3541
|bibcode = 2014SIGMA..10..084C }} Элементы группы SU(2) выражаются в замкнутой форме как конечные многочлены генераторов алгебры Ли, для всех определены спинарные представления группы вращения.

== Примечания ==
=== Комментарии ===
{{примечания|group=nb}}
=== Источники ===
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
;На русском языке
* {{статья
|автор= Гельфанд И. М., Граев М. И.
|заглавие=Об общем методе разложения регулярного представления группы Ли на неприводимые представления
|издание=[[Доклады Академии наук|Доклады Академии наук СССР]]
|том= 92
|год=1953
|страницы=221—224
|ref= Гельфанд, Граев
}}
* {{книга
|автор=Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я.
|заглавие=Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений
|выпуск=5
|серия=Обобщённые функции
|часть=Глава IV Гармонический анализ на группе комплексных унимодулярных матриц второго порядка
|страницы=276—288
|издательство=Гос. Изд-во физико-мат. Лит-ры.
|год=1962
|место=М.
|ref= Гельфанд, Граев, Виленкин
}}
* {{книга
|автор=[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М]], [[Граев, Марк Иосифович|Граев М. И.]], [[Пятецкий-Шапиро, Илья Иосифович|Пятецкий-Шапиро И. И.]]
|заглавие=Теория представлений и автоморфные функции
|издательство= «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
|год=1966
|серия=Обобщённые функции
|выпуск= 6
|ref=Гельфанд, Граев, Пятецкий-Шапиро
}}
* {{книга
|автор=[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М]], [[Минлос, Роберт Адольфович|Минлос Р. А.]], Шапиро З. Я.
|заглавие=Представления групп вращений и группы Лоренца, их применения
|издательство=Наука
|место=М.
|год=1958
|ref= Гельфанд, Минлос, Шапиро
}}
* {{книга
|автор=[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М]], [[Наймарк, Марк Аронович|Наймарк М. А.]]
|заглавие=Унитарные представления группы Лоренца
|издание=Изв. АН СССР Сер. матем.
|том= 11
|выпуск=5
|год=1947
|страницы=411—504
|ссылка=http://www.mathnet.ru/links/716f895de8c01ce39ce0a83666f73303/im3007.pdf
|access-date=2014-12-15
|ref= Гельфанд, Наймарк
}}
* {{книга
|заглавие=Гравитация
|том=1
|автор=Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.
|Ответственный=Перевод с английского М. М. Баско, под редакцией В. Б. Брагинского и И. Д. Новикова
|издательство=Мир
|место=М.
|год=1977
|ref=Мизнер, Торн и Уилер, том 1
}}
* {{книга
|заглавие=Гравитация
|том=2
|автор=Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.
|Ответственный=Перевод с английского А. П. Полнарёва, под редакцией В. Б. Брагинского и И. Д. Новикова
|издательство=Мир
|место=М.
|год=1977
|ref=Мизнер, Торн и Уилер, том 2
}}
* {{книга
|заглавие=Гравитация
|том=3
|автор=Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.
|Ответственный=Перевод с английского М. М. Баско, под редакцией В. Б. Брагинского и И. Д. Новикова
|издательство=Мир
|место=М.
|год=1977
|ref=Мизнер, Торн и Уилер, том 3
}}
* {{книга
|автор=[[Наймарк, Марк Аронович|Наймарк М. А.]]
|заглавие=Линейные представления группы Лоренца
|издательство=Гос. из-во физико-матем лит-ры
|год= 1958
|место=М.
|ref=Наймарк
}}
* {{статья
|автор=Ускова Н. Б.
|заглавие=К аппроксимации полупростого собственного значения
|издание=Весник ВГУ
|серия: Физика. Математика
|год=2006
|выпуск=1
|ref=Ускова
}}
* {{книга
|автор=Ломсадзе Ю. М.
|заглавие=Теоретико-групповое введение в теорию элементарных частиц
|издательство=Высшая школа
|место=М.
|страниц = 186
|тираж = 13000
|год=1962
|ref=Ломсадзе
}}
;На других языках
* {{книга
|ref= Abramowitz, Stegun
|автор=Abramowitz M., Stegun I. A.
|заглавие=Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
|год=1965
|isbn=978-0486612720
|издательство=[[Dover Publications]]
|место=New York
|серия=Dover Books on Mathematics
|ссылка=https://books.google.com/books?id=MtU8uP7XMvoC&pg=PR9
}}
* {{статья
|doi=10.2307/1969129
|автор=[[Баргман, Валентин|Bargmann V.]]
|ref=Bargmann
|заглавие=Irreducible unitary representations of the Lorenz group
|издание=Ann. of Math.
|том= 48
|выпуск=3
|год=1947
|страницы=568—640
|jstor=1969129
}} (теория представлений групп SO(2,1) и SL(2, '''R'''); вторая часть касается SO(3; 1) и SL(2, '''C'''), как написано во введении, но часть опубликована не была).
* {{книга
|автор=Bargmann V., Wigner E. P.
|ref=Bargmann, Wigner
|заглавие=Group theoretical discussion of relativistic wave equations
|год=1948
|издание=Proc. Natl. Acad. Sci. USA
|том=34
|страницы=211—223
|ссылка=http://www.pnas.org/cgi/content/citation/34/5/211
|выпуск=5
|doi=10.1073/pnas.34.5.211
|bibcode=1948PNAS...34..211B
|pmid=16578292
|pmc=1079095
}}
* {{книга
|ref= Bourbaki
|автор=[[Никола Бурбаки|Bourbaki N.]]
|заглавие=Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3
|год=1998
|isbn=978-3-540-64242-8
|издательство=Springer
|ссылка=https://books.google.com/books?id=brSYF_rB2ZcC
}}
* {{статья
|ref= Brauer, Weyl
|автор=[[Брауэр, Ричард|Brauer R.]], [[Вейль, Герман|Weyl H.]]
|заглавие=Spinors in n dimensions
|ссылка= https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1935-04_57_2/page/425
|издание=Amer. J. Math.
|том=57
|выпуск=2
|год=1935
|страницы=425—449
|doi=10.2307/2371218
}}
* {{книга
|ref=Bäuerle, de Kerf
|автор=Bäuerle G.G.A, de Kerf E.A.
|заглавие=Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics
|год=1990
|серия=Studies in mathematical physics
|том=1
|ответственный=A. van Groesen, E.M. de Jager
|издательство=North-Holland
|isbn=0-444-88776-8
}}
* {{книга
|ref=Bäuerle, de Kerf, ten Kroode
|автор=Bäuerle G.G.A, de Kerf E.A., ten Kroode A.P.E
|заглавие=Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics
|год=1997
|серия=Studies in mathematical physics
|том=7
|ответственный=A. van Groesen, E.M. de Jager
|издательство=North-Holland
|isbn=978-0-444-82836-1
|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582
|via=[[ScienceDirect]]
|subscription=yes
}}
* {{статья
|last=[[Картан, Эли Жозеф|Élie Cartan]]
|ref=Cartan
|год=1913
|заглавие=Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane
|издание=Bull. Soc. Math.
|том=41
|страницы=53—96
|language=Fr
}}
* {{книга
|ref=Churchill, Brown
|автор=Churchill R. V., Brown J. W.
|заглавие=Complex Variables and Applications
|издание=9th
|orig-year=1948
|год=2014
|isbn=978-0073-383-170
|издательство=McGraw–Hill
|место=New York
}}
* {{статья
|ref=Coleman
|автор=Coleman A. J.
|заглавие=The Greatest Mathematical Paper of All Time
|год=1989
|издание=[[The Mathematical Intelligencer]]
|том=11
|выпуск=3
|страницы=29—38
|doi=10.1007/BF03025189
|ссылка=https://link.springer.com/article/10.1007/BF03025189
|subscription=yes
|издательство=Springer-Verlag
|issn=0343-6993
|язык=en
}}
* {{статья
|ref= Dalitz, Peierls
|автор=Dalitz R. H., Rudolf Peierls
|издание=Biogr. Mem. Fellows R. Soc.
|год=1986
|том=32
|страницы=138—185
|заглавие=Paul Adrien Maurice Dirac. 8 August 1902–20 October 1984
|doi=10.1098/rsbm.1986.0006
}}
* {{статья
|ref=Delbourgo, Salam, Strathdee
|автор=Delbourgo R., Salam A., Strathdee J.
|заглавие=Harmonic analysis in terms of the homogeneous Lorentz group
|издание=Physics Letters B
|том=25
|выпуск=3
|год=1967
|doi=10.1016/0370-2693(67)90050-0
|страницы=230—232
|via=ScienceDirect
|subscription=yes
|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370269367900500
|bibcode=1967PhLB...25..230D
}}
* {{статья
|doi=10.1098/rspa.1928.0023
|заглавие=The Quantum Theory of the Electron
|год=1928
|автор=[[Дирак, Поль Адриен Морис|Dirac P. A. M.]]
|ref= Dirac
|издание=[[Proceedings of the Royal Society#Proceedings of the Royal Society A|Proc. Roy. Soc. A]]
|том=117
|выпуск=778
|страницы=610—624
|bibcode = 1928RSPSA.117..610D
}}
* {{статья
|автор=[[Дирак, Поль Адриен Морис|Dirac P. A. M.]]
|ref= Dirac
|заглавие=Relativistic wave equations
|год=1936
|издание=[[Proceedings of the Royal Society#Proceedings of the Royal Society A|Proc. Roy. Soc. A]]
|том=155
|страницы=447—459
|doi=10.1098/rspa.1936.0111
|выпуск=886
|bibcode=1936RSPSA.155..447D
}}
* {{статья
|автор=[[Дирак, Поль Адриен Морис|Dirac P. A. M.]]
|ref= Dirac
|заглавие=Unitary representations of the Lorentz group
|год=1945
|издание=[[Proceedings of the Royal Society#Proceedings of the Royal Society A|Proc. Roy. Soc. A]]
|том=183
|страницы=284—295
|doi=10.1098/rspa.1945.0003
|выпуск=994
|bibcode=1945RSPSA.183..284D
}}
* {{статья
|ref=Dixmier, Malliavin
|автор=Dixmier J., Malliavin P.
|заглавие=Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables
|издание= Bull. Sc. Math.
|том=102
|год=1978
|страницы= 305—330
|language=Fr
}}
* {{статья
|автор=Fierz M.
|ref=Fierz
|год=1939
|издание=Helv. Phys. Acta
|том=12
|выпуск=1
|страницы=3—37
|language=German
|заглавие=Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin
|doi=10.5169/seals-110930
}}
* {{статья
|автор=Fierz M., [[Паули, Вольфганг|Pauli W.]]
|ref=Fierz, Pauli
|год=1939
|издание=[[Proceedings of the Royal Society#Proceedings of the Royal Society A|Proc. Roy. Soc. A]]
|том=173
|выпуск=953
|страницы=211—232
|bibcode=1939RSPSA.173..211F
|заглавие=On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field
|doi=10.1098/rspa.1939.0140
}}
* {{книга
|ref=Folland
|автор=Folland G.
|заглавие=A Course in Abstract Harmonic Analysis
|издание=2nd
|год=2015
|издательство=[[CRC Press]]
|isbn=978-1498727136
}}
* {{книга
|ref= Fulton, Harris
|автор=[[Фултон, Уильям|Fulton W.]], Harris J.
|год=1991
|заглавие=Representation theory. A first course
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|том=129
|место=New York
|издательство=Springer-Verlag
|isbn=978-0-387-97495-8
|mr=1153249
}}
* {{статья
|ref= Gonzalez, Vasquez
|автор=Gonzalez P. A., Vasquez Y.
|заглавие=Dirac Quasinormal Modes of New Type Black Holes in New Massive Gravity
|год=2014
|издание= Eur. Phys. J. C
|издательство=Springer
|место=Berlin·Heidelberg
|issn=1434-6044
|том=74:2969
|arxiv=1404.5371v2
|doi=10.1140/epjc/s10052-014-2969-1
|ссылка=https://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjc%2Fs10052-014-2969-1
|страницы=3
|bibcode=2014EPJC...74.2969G
}}
* {{книга
|ref= Green
|заглавие=Biographical Memoirs
|издательство=National Academy Press
|isbn=978-0309062954
|страницы=70—95
|серия=Biographical Memoirs
|том=75
|год=1998
|часть=Richard Dagobert Brauer
|ссылка=http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/brauer-richard-d.pdf
|last=Green J. A.
}}
* {{книга
|ref=Greiner, Müller
|автор=[[Грайнер, Вальтер|Greiner W.]], Müller B.
|заглавие=Quantum Mechanics: Symmetries
|год=1994
|edition=2nd
|isbn=978-3540580805
|издательство=Springer
}}
* {{книга
|автор=[[Грайнер, Вальтер|Greiner W.]], Reinhardt J.
|ref=Greiner, Reinhardt
|год=1996
|заглавие=Field Quantization
|ссылка=https://archive.org/details/fieldquantizatio0000grei
|издательство=Springer
|isbn=3-540-59179-6
}}
* {{статья
|doi=10.1098/rspa.1947.0047
|ref=Harish-Chandra
|автор=Harish-Chandra
|заглавие=Infinite irreducible representations of the Lorentz group
|издание=[[Proceedings of the Royal Society#Proceedings of the Royal Society A|Proc. Roy. Soc. A]]
|том= 189
|год=1947
|выпуск=1018
|страницы=372—401
|bibcode = 1947RSPSA.189..372H
}}
* {{статья
|doi=10.1073/pnas.37.12.813
|ref=Harish-Chandra
|автор=Harish-Chandra
|заглавие=Plancherel formula for complex semi-simple Lie groups
|издание=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
|том= 37
|год=1951
|выпуск=12
|страницы=813—818
|bibcode = 1951PNAS...37..813H
}}
* {{книга
|год=2003
|ref=Hall
|автор=Brian C. Hall
|заглавие=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
|издательство=Springer
|isbn= 0-387-40122-9
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|том=222
|издание=1st
}}
* {{книга
|ref=Hall
|автор=Brian C. Hall
|заглавие=Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Entroduction
|издание=2nd
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|том=222
|издательство=Springer
|год=2015
|isbn=978-3319134666
|doi=10.1007/978-3-319-13467-3
|issn=0072-5285
}}
* {{книга
|ref=Helgason
|автор=Helgason S.
|заглавие=Lie groups and symmetric spaces
|серия=Battelle Rencontres
|год=1968
|страницы= 1—71
|издательство= Benjamin
}} (Общее введение для физиков)
* {{книга
|автор=Helgason S.
|ref=Helgason
|заглавие=Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions (corrected reprint of the 1984 original)
|серия=Mathematical Surveys and Monographs
|том=83
|издательство= American Mathematical Society
|год= 2000
|isbn= 0-8218-2673-5
}}
* {{книга
|ref=Jorgenson, Lang
|автор=Jorgenson J., [[Ленг, Серж|Lang S]]
|заглавие=The heat kernel and theta inversion on SL(2,'''C''')
|серия=Springer Monographs in Mathematics
|издательство= Springer
|год=2008
|isbn=978-0-387-38031-5
}}
* {{статья
|автор= [[Киллинг, Вильгельм|Wilhelm Killing]]
|год=1888
|заглавие=Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen
|издание=Mathematische Annalen
|том=31
|выпуск=2 (June)
|страницы=252—290
|ref=Killing
|doi=10.1007/bf01211904
|language=German
}}
* {{книга

|last=Kirillov A.
|заглавие=An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras
|год=2008
|isbn=978-0521889698
|издательство=Cambridge University Press
|серия=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|том=113
|ссылка=https://books.google.com/books?id=-Z3cDQAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Introduction+to+Lie+groups+and+Lie+algebras&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwj_ipDrq_TTAhWE6CwKHUU_CUEQ6AEIJjAA#v=onepage&q=Introduction%20to%20Lie%20groups%20and%20Lie%20algebras&f=false
}}

* {{книга
|ref= Klauder
|год=1999
|автор=Klauder J. R.
|ссылка=http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/bargmann-valentine.pdf
|chapter=Valentine Bargmann
|заглавие=Biographical Memoirs
|том=76
|страницы=37—50
|издательство=National Academy Press
|isbn=0-309-06434-1
|серия=Biographical Memoirs
}}
* {{книга
|автор=Anthony W. Knapp
|ref=Knapp
|заглавие=Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples
|серия=Princeton Landmarks in Mathematics
|издательство=Princeton University Press
|год=2001
|isbn=0-691-09089-0
}} (Элементарное введение в группу SL(2,'''C'''))
* {{статья
|ref=Langlands
|автор=[[Ленглендс, Роберт|Langlands R. P.]]
|заглавие=Harish-Chandra
|издание=Biogr. Mems Fell.
|издательство=R. Soc.
|год=1985
|том=31
|страницы=198—225
|doi=10.1098/rsbm.1985.0008
|ссылка=http://rsbm.royalsocietypublishing.org/content/31/198
}}
* {{книга
|автор=[[Ли, Софус|Sophus Lie]]
|ref=Lie
|заглавие=Introduction to Smooth manifolds
|год=2003
|серия=Springer Graduate Texts in Mathematics
|isbn=0-387-95448-1
|том=218
}}
* {{книга
|автор=[[Ли, Софус|Sophus Lie]]
|ref=Lie
|заглавие=Theorie der Transformationsgruppen I(1888), II(1890), III(1893)
|год=1888
}}
* {{книга
|автор=[[Ли, Софус|Sophus Lie]]
|ref=Lie
|заглавие=Theorie der Transformationsgruppen II(1890)
|год=1890
}}
* {{книга
|автор=[[Ли, Софус|Sophus Lie]]
|ref=Lie
|заглавие=Theorie der Transformationsgruppen III(1893)
|год=1893
}}
* {{книга
|автор=[[Мизнер, Чарльз|Charles W. Misner]], [[Торн, Кип|Kip. S. Thorne]], [[Уилер, Джон Арчибальд|John A. Wheeler]]
|ref=Misner, Thorne, Wheeler
|заглавие=[[Гравитация (книга)|Gravitation]]
|издательство= W. H. Freeman
|год=1973
|isbn=0-7167-0344-0
}}
* {{книга
|автор=Wulf Rossmann
|ref=Rossmann
|заглавие=Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups
|издательство=Oxford Science Publications
|год=2002
|серия=Oxford Graduate Texts in Mathematics
|isbn=0 19 859683 9
}}
* {{книга
|автор= Rühl W.
|ref=Rühl
|заглавие=The Lorentz group and harmonic analysis
|издательство=Benjamin
|год= 1970
}} (Детальное изложение для физиков)
* {{книга
|автор= Simmons G. F.
|ref=Simmons
|заглавие=Differential Equations with Applications and historical Notes
|год=1972
|издание=T M H
|isbn=0-07-099572-9
|издательство=[[Tata McGraw-Hill|Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd]]
|место=New Dheli
}}
* {{статья
|автор= Elias M. Stein
|ref=Stein
|заглавие=Analytic continuation of group representations
|издание=Advances in Math.
|том=4
|год= 1970
|страницы=172—207
|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870870900228
|doi=10.1016/0001-8708(70)90022-8
}} (Лекция Джеймса Уитемора, прочитанная в Йельском университете в 1967 году)

* {{статья
|ref=Takahashi
|автор=Takahashi R.
|заглавие=Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés
|издание=Bull. Soc. Math. France
|том= 91
|год=1963
|страницы=289—433
|язык=Fr
}}
* {{книга
|ref=Taylor
|автор=Taylor M. E.
|заглавие=Noncommutative harmonic analysis
|серия=Mathematical Surveys and Monographs
|том= 22
|издательство= American Mathematical Society
|год=1986
|isbn=0-8218-1523-7
|часть=Chapter 9, SL(2, '''C''') and more general Lorentz groups
}}
* {{книга
|заглавие=Group Theory in Physics
|ссылка=https://archive.org/details/grouptheoryinphy0000tung
|edition=1st
|место=New Jersey·London·Singapore·Hong Kong
|год=1985
|isbn=978-9971966577
|издательство=[[World Scientific Publishing|World Scientific]]
|ref=Tung
|автор=Wu-Ki Tung
}}
* {{книга
|автор=Varadarajan V. S.
|ref=Varadarajan
|заглавие=An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups
|год=1989
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|isbn=978-0521663625
}}
* {{книга
|ref=Weinberg
|автор=[[Вайнберг, Стивен|Weinberg S.]]
|год=2002
|orig-year=1995
|заглавие=Foundations
|серия=The Quantum Theory of Fields
|том=1
|isbn=0-521-55001-7
|authorlink=Steven Weinberg
|место=Cambridge
|издательство=[[Cambridge University Press]]
}}
* {{книга
|ref=Weinberg
|автор=Weinberg S.
|заглавие=Supersymmetry
|год=2000
|издание=1st
|серия=The Quantum Theory of Fields
|том=3
|издательство=Cambridge University Press
|место=Cambridge
|isbn=978-0521670555
}}
* {{книга
|автор=[[Вейль, Герман|Weyl H.]]
|ref=Weyl
|заглавие=The Classical Groups. Their Invariants and Representations
|ссылка=https://books.google.com/books?isbn=0691057567
|издательство=[[Princeton University Press]]
|isbn=978-0-691-05756-9
|год=1939
|mr=0000255
}}
* {{книга
|автор=[[Вейль, Герман|Weyl H.]]
|ref=Weyl
|год=1931
|заглавие=The Theory of Groups and Quantum Mechanics
|издательство=Dover
|isbn=0-486-60269-9
}}
* {{статья
|автор=[[Вигнер, Юджин|Wigner E. P.]]
|ref=Wigner
|заглавие=On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group
|издание=[[Annals of Mathematics]]
|выпуск=1
|том=40
|страницы=149 204
|год=1939
|doi=10.2307/1968551
|mr=1503456
|bibcode=1939AnMat..40..922E
}}.
* {{книга
|автор=Zwiebach B.
|ref=Zwiebach
|заглавие=A First Course in String Theory
|ссылка=https://archive.org/details/firstcourseinstr0000zwie
|год=2004
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|isbn=0 521 83143 1
}}

{{refend}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Теория представлений групп Ли]]
[[Категория:Специальная теория относительности]]
[[Категория:Квантовая механика]]