Просмотр кода страницы Теория функционала плотности

<!-- {{Electronic structure methods}} -->
'''Теория функционала плотности''' ({{lang-en|density functional theory, DFT}}) — метод расчёта электронной структуры систем многих частиц в [[квантовая физика|квантовой физике]] и [[квантовая химия|квантовой химии]]. В частности, применяется для расчёта электронной структуры молекул и конденсированного вещества. Является одним из наиболее широко используемых и универсальных методов в [[вычислительная физика|вычислительной физике]] и [[вычислительная химия|вычислительной химии]]. [[Твёрдое тело]] рассматривается как система, состоящая из большого числа одинаково взаимодействующих между собой электронов, удерживаемых вместе решёткой из [[Атомное ядро|атомных ядер]]. Основная идея метода заключается в использовании понятия электронной плотности в [[Основное состояние|основном состоянии]], её распределение описывается одночастичным уравнением Шрёдингера.<ref>''Шлютер М., Шэм Л.'' Теория функционала плотности // Физика за рубежом. Сборник статей. 1983 / М., Мир, 1983. - c. 179-203</ref>

== Введение ==

=== Модель Томаса — Ферми ===
{{main|Теория Томаса — Ферми}}
Методу теории функционала плотности предшествовала '''модель Томаса — Ферми''', развитая [[Люэлин Томас|Л. Томасом]] и [[Энрико Ферми]] в [[1927|1927 г]]. Они рассчитали [[энергия|энергию]] атома как сумму его [[кинетическая энергия|кинетической энергии]], представленной в виде [[функционал]]а электронной плотности, и [[Потенциальная энергия|потенциальной энергии]] взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; энергия взаимодействия также была выражена через электронную плотность.

Несмотря на заметную роль, которую модель Томаса — Ферми сыграла в развитии квантовой механики, её точность была недостаточной, поскольку не учитывалось [[обменное взаимодействие]], в отличие, например, от [[метод Хартри — Фока|метода Хартри — Фока]]. В [[1928|1928 г.]] [[Поль Дирак]] уточнил функционал энергии в модели Томаса — Ферми, добавив к нему слагаемое, описывающее обменное взаимодействие (это слагаемое также имело вид функционала электронной плотности).

Несмотря на это, для ряда применений модель Томаса — Ферми — Дирака не давала удовлетворительного результата. Основным источником погрешности являлось выражение кинетической энергии, приводящее к погрешности в вычислении обменной энергии. Кроме того, не учитывалась энергия электронной [[Корреляция|корреляции]].

=== Теоремы Хоэнберга — Кона ===
Хотя теория функционала плотности и базируется на ставшей классической модели Томаса — Ферми, надёжное теоретическое обоснование под неё было подведено только с формулировкой '''теорем Хоэнберга — Кона''' (названных так в честь [[Хоэнберг, Пьер|Пьера Хоэнберга]] и [[Кон, Вальтер|Уолтера Кона]]).

В первой теореме доказано, что свойства основного состояния многоэлектронной системы определяются только электронной плотностью, зависящей от трех координат. Данная теорема сводит задачу об описании много-электронной системы из N электронов с 3N пространственными координатами к описанию функционала электронной плотности с тремя координатами.

Вторая теорема представляет собой вариационный принцип квантовой механики, сформулированный для функционала плотности, и утверждает, что энергия электронной подсистемы, записанная как функционал электронной плотности, имеет минимум, равный энергии основного состояния.

Первоначально теоремы Хоэнберга — Кона были сформулированы только для основного состояния электронной подсистемы в отсутствие магнитного поля. Они могут быть обобщены путём введения зависимости от времени, что позволяет использовать этот формализм для расчета состояний возбуждённых электронов<ref>''Burke K., Werschnik J., Gross E. K. U.'' Time-dependent density functional theory: Past, present, and future. — [https://dx.doi.org/10.1063/1.1904586 J. Chem. Phys. ''123'', 062206] (2005). OAI: [http://arxiv.org/abs/cond-mat/0410362 arXiv.org: cond-mat/0410362] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/cond-mat/0410362 |date=20170115075803 }}.</ref>.

== Описание метода ==
Традиционные методы определения электронной структуры, в частности, [[метод Хартри — Фока]] и производные от него, описывают систему с помощью [[многоэлектронная волновая функция|многоэлектронной волновой функции]]. Основная цель теории функционала плотности — при описании электронной подсистемы заменить многоэлектронную волновую функцию [[электронная плотность|электронной плотностью]]. Это ведет к существенному упрощению задачи, поскольку многоэлектронная [[волновая функция]] зависит от <math>3N</math> переменных — по 3 пространственных координаты на каждый из <math>N</math> электронов, в то время как плотность — функция лишь трёх пространственных координат.

Как правило, метод теории функционала плотности используется совместно с [[метод Кона — Шэма|формализмом Кона — Шэма]], в рамках которого трудноразрешимая задача об описании нескольких взаимодействующих электронов в статическом внешнем поле (атомных ядер) сводится к более простой задаче о независимых электронах, которые движутся в некотором эффективном [[потенциал]]е. Этот эффективный потенциал включает в себя статический потенциал атомных ядер, а также учитывает кулоновские эффекты, в частности, обменное взаимодействие и электронную корреляцию.

Описание двух последних взаимодействий и представляет собой основную сложность метода теории функционала плотности в формулировке Кона — Шэма. Простейшим приближением здесь является [[приближение локальной плотности]], основанное на точном расчёте обменной энергии для пространственно однородного электронного газа, который может быть выполнен в рамках модели Томаса — Ферми, и из которого можно получить также и корреляционную энергию электронного газа.

Метод теории функционала плотности широко применяется для расчётов в [[физика твёрдого тела|физике твёрдого тела]] с 1970-х годов. В ряде случаев даже использование простого приближения локальной плотности дает удовлетворительные результаты, соответствующие экспериментальным данным, причём [[вычислительная сложность]] метода невысока относительно других подходов к проблеме многих частиц в квантовой механике. Тем не менее, долгое время метод был недостаточно точен для расчётов в области [[квантовая химия|квантовой химии]], пока в 1990-х годах не произошёл заметный сдвиг в описании обменного и корреляционного взаимодействий. В настоящее время метод теории функционала плотности является главным подходом в обеих областях. Впрочем, несмотря на прогресс в теории, все ещё имеются проблемы в приложении метода к описанию [[Межмолекулярное взаимодействие|межмолекулярных сил]], в особенности [[Силы Ван-дер-Ваальса|Ван-дер-Ваальсовых сил]] и дисперсионного взаимодействия, а также в расчётах ширины [[запрещённая зона|запрещённой зоны]] в [[полупроводники|полупроводниках]].

Сложности с расчётом дисперсионного взаимодействия в рамках теории функционала плотности (которые возникают, как минимум, в том случае, когда этот метод не дополняется другими) делают метод теории функционала плотности малопригодным для систем, в которых [[дисперсионные силы]] являются преобладающими (например, при рассмотрении взаимодействия между атомами [[Инертные газы|благородных газов]]) или систем, в которых дисперсионные силы имеют тот же порядок, что и другие взаимодействия (например, в [[органические соединения|органических молекулах]]).
Решение этой проблемы является предметом современных исследований.

== Формальное обоснование метода ==
Согласно [[приближение Борна — Оппенгеймера|приближению Борна — Оппенгеймера]], которое применяется в большинстве расчётов электронной структуры, ядра, входящие в состав рассматриваемой системы, считаются неподвижными. Электростатический потенциал <math>V</math>, создаваемый этими «неподвижными» ядрами, является внешним для электронов. [[Стационарное состояние (квантовая физика)|Стационарное состояние]] электронов описывается волновой функцией <math>\Psi(\vec r_1,\;\ldots,\;\vec r_N)</math>, которая является решением [[уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]]
: <math>H\Psi=[T+V+U]\Psi=\left[\sum_i^N-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_i^2+\sum_i^N V(\vec r_i)+\sum_{i<j}U(\vec r_i,\;\vec r_j)\right]\Psi=E\Psi,</math>
где <math>H</math> — гамильтониан электронной подсистемы, <math>N</math> — количество электронов, <math>U</math> описывает электрон-электронное взаимодействие. Операторы <math>T</math> и <math>U</math> одинаковы для всех систем, в то время как вид <math>V</math> зависит от конкретной системы. Как видно, основное отличие одночастичной задачи от задачи многих тел состоит в наличии слагаемого, описывающего электрон-электронное взаимодействие, <math>U</math>. Существует большое количество методов решения многочастичного уравнения Шрёдингера, основанных на разложении волновой функции с использованием [[Слэтеровский детерминант|определителя Слэтера]]. Простейший из них — метод Хартри — Фока, на основе которого развит ряд современных методов. Общей проблемой для них является значительная вычислительная трудоёмкость, из-за которой область применения метода Хартри — Фока и производных от него ограничена не слишком большими системами.

Метод теории функционала плотности в значительной степени решает проблему расчёта систем, включающих большое число частиц, путём сведения задачи о системе многих тел с потенциалом электрон-электронного взаимодействия <math>U</math> к одночастичной задаче, в которой слагаемое <math>U</math> отсутствует.

Плотность частиц, <math>n(\vec r)</math>, с помощью которой и строится формализм теории функционала плотности, задается выражением:
: <math>n(\vec r)=N\int d^3r_2\int d^3r_3\ldots\int d^3r_N\Psi^*(\vec r,\;\vec r_2,\;\ldots,\;\vec r_N)\Psi(\vec r,\;\vec r_2,\;\ldots,\;\vec r_N).</math>
Хоэнберг и [[Кон, Вальтер|Кон]] в 1964 показали<ref>''Hohenberg P., Kohn W.'' [http://prola.aps.org/abstract/PR/v136/i3B/pB864_1 Phys. Rev. ''136'' (1964) B864] {{Wayback|url=http://prola.aps.org/abstract/PR/v136/i3B/pB864_1 |date=20110927005627 }}.</ref>, что это выражение может быть обращено: по заданной плотности частиц в основном состоянии, <math>n_0(\vec r)</math>, можно найти соответствующую волновую функцию основного состояния <math>\Psi_0(\vec r_1,\;\ldots,\;\vec r_N)</math>. Иными словами, <math>\Psi_0</math> — единственный [[функционал]] от <math>n_0</math>, то есть
: <math>\Psi_0=\Psi_0[n_0],</math>
а, следовательно, все остальные наблюдаемые физические величины <math>O</math> также являются функционалами <math>n_0</math>:
: <math>\langle O\rangle[n_0]=\langle\Psi_0[n_0]\mid O\mid\Psi_0[n_0]\rangle.</math>
В частности, для энергии основного состояния можно записать
: <math>E_0=E[n_0]=\langle\Psi_0[n_0]\mid T+V+U\mid\Psi_0[n_0]\rangle,</math>
где вклад внешнего потенциала <math>\langle\Psi_0[n_0]\mid V\mid\Psi_0[n_0]\rangle</math> может быть переписан через плотность частиц:
: <math>V[n]=\int V(\vec r)n(\vec r)\,d^3r.</math>
Функционалы <math>T[n]</math> и <math>U[n]</math> одинаковы для всех систем, а <math>V[n]</math>, очевидно, зависит от вида рассматриваемой системы. Для заданной системы вид <math>V</math> известен, и можно минимизировать функционал
: <math>E[n]=T[n]+U[n]+\int V(\vec r)n(\vec r)\,d^3r</math>
относительно распределения плотности частиц <math>n(\vec r)</math>, если, конечно, имеются выражения для <math>T[n]</math> и <math>U[n]</math>. В результате минимизации получается плотность частиц в основном состоянии <math>n_0</math>, а вместе с ней и все наблюдаемые в основном состоянии величины.

Вариационная задача отыскания минимума функционала энергии <math>E[n]</math> может быть решена с помощью [[Метод множителей Лагранжа|метода множителей Лагранжа]], как это и было сделано Коном и Шэмом в [[1965|1965 г]]<ref>''Kohn W., Sham L. J.'' [http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4A/pA1133_1 Phys. Rev. ''140'' (1965) A1133] {{Wayback|url=http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4A/pA1133_1 |date=20110927005643 }}.</ref>. Таким образом, функционал энергии в приведённом выше выражении может быть записан как эффективный функционал плотности частиц в одночастичной системе:
: <math>E_s[n]=\langle\Psi_s[n]\mid T_s+V_s\mid\Psi_s[n]\rangle,</math>
где <math>T_s</math> означает кинетическую энергию свободной частицы, а <math>V_s</math> — эффективный внешний потенциал для электронной подсистемы. Ясно, что <math>n_s(\vec r)\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\,n(\vec r)</math> если <math>V_s</math> взят в виде
: <math>V_s=V+U+(T-T_s).</math>
Решение так называемых [[Уравнение Кона — Шэма|уравнений Кона — Шэма]] для вспомогательной системы, из которой исключено электрон-электронное взаимодействие,
: <math>\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V_s(\vec r)\right]\varphi_i(\vec r)=\varepsilon_i\varphi_i(\vec r),</math>
даёт [[молекулярная орбиталь|орбитали]] <math>\varphi_i</math>, по которым восстанавливается электронная плотность <math>n(\vec r)</math> исходной многочастичной системы:
: <math>n(\vec r )\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\,n_s(\vec r)=\sum_i^N|\varphi_i(\vec r)|^2.</math>
Эффективный одночастичный потенциал <math>V_s</math> записывается как
: <math>V_s=V+\int\frac{e^2n_s(\vec r\,')}{|\vec r-\vec r\,'|}\,d^3r'+V_\mathrm{XC}[n_s(\vec r)],</math>
где второе слагаемое — слагаемое Хартри — описывает электрон-электронное кулоновское отталкивание, а последнее слагаемое <math>V_{\rm XC}</math> называется обменно-корреляционным потенциалом. Здесь <math>V_\mathrm{XC}</math> включает все многочастичные взаимодействия.

Поскольку слагаемое Хартри и член <math>V_\mathrm{XC}</math> зависят от плотности <math>n(\vec r)</math>, которая зависит от <math>\varphi_i</math>, которая, в свою очередь, зависит от <math>V_s</math>, решение самосогласованных уравнений Кона — Шэма может быть произведено с помощью итеративной процедуры последовательных приближений. Как правило, отталкиваясь от начального приближения для <math>n(\vec r)</math>, рассчитывается соответствующее слагаемое <math>V_s</math>, для которого затем решаются уравнения Кона — Шэма, из которых получается <math>\varphi_i</math>. Отсюда можно получить следующее приближение для плотности и т. д.

== Приближения ==
Основная проблема, связанная с методом теории функционала плотности, заключается в том, что точные аналитические выражения для функционалов обменной и корреляционной энергии известны только для частного случая газа свободных электронов. Тем не менее, существующие приближения позволяют рассчитать ряд физических величин с достаточной точностью. В физических приложениях наиболее распространено [[приближение локальной плотности]] (LDA), в котором принято, что функционал, вычисляемый для некоторой точки пространства, зависит только от плотности в этой точке:
: <math>E_\mathrm{XC}[n]=\int\varepsilon_\mathrm{XC}(n)n(r)\,d^3r.</math>
Приближение локальной спиновой плотности (LSDA) является непосредственным обобщением приближения локальной плотности, учитывающим [[спин (физика)|спин]] электрона:
: <math>E_\mathrm{XC}[n_\uparrow,\;n_\downarrow]=\int\varepsilon_\mathrm{XC}(n_\uparrow,\;n_\downarrow)n(r)\,d^3r.</math>
Достаточно точное выражение для плотности обменно-корреляционной энергии <math>\varepsilon_\mathrm{XC}(n_\uparrow,\;n_\downarrow)</math> было получено с помощью [[квантовый метод Монте-Карло|квантового метода Монте-Карло]] при расчётах газа свободных электронов.

Метод обобщённого градиентного приближения (GGA) также является локальным, но, в отличие от метода локальной плотности, учитывает [[градиент]] плотности в точке рассмотрения:
: <math>E_\mathrm{XC}[n_\uparrow,\;n_\downarrow]=\int\varepsilon_\mathrm{XC}(n_\uparrow,\;n_\downarrow,\;\vec{\nabla}n_\uparrow,\;\vec{\nabla}n_\downarrow)n(r)\,d^3r.</math>
Использование этого приближения дает хорошие результаты при расчете геометрии и энергии основного состояния молекул.

Существуют и более точные приближения, которые в значительной степени позволяют решить проблему вычисления функционала обменно-корреляционной энергии.

== Обобщение на случай магнитного поля ==
Формализм метода теории функционала плотности нарушается в условиях наличия векторного потенциала, в частности, в присутствии [[магнитное поле|магнитного поля]]. В этом случае не существует взаимно однозначного соответствия между электронной плотностью и внешним потенциалом (атомных ядер). Попытки обобщения формализма для учёта эффектов, связанных с магнитным полем, вылились в две разных теории: в теорию функционала плотности с учётом вектора плотности тока, и в теорию функционала плотности с учётом магнитного поля. В обоих случаях функционал обменно-корреляционной энергии обобщается и становится зависящим не только от электронной плотности. В первом подходе, развитом Vignale и Rasolt, помимо электронной плотности, аргументом является ещё и плотность тока. Во втором подходе (Salsbury, Grayce, Harris) дополнительным аргументом функционала служит магнитное поле, и вид функционала зависит от вида магнитного поля. Для обоих методов вычисление обменно-корреляционной энергии за рамками приближения локальной плотности (вернее, его обобщения на случай магнитного поля) оказалось весьма сложным.

== Применения ==
На практике, метод Кона — Шэма может быть применён несколькими различными способами, в зависимости от цели исследования. В расчётах для физики твёрдого тела до сих пор широко используется приближение локальной плотности, вкупе с базисом [[плоские волны|плоских волн]]. Для расчётов электронной структуры молекул требуются более сложные выражения для функционалов. Так, большое число приближенных функционалов для расчёта обменно-корреляционного взаимодействия было развито для задач химии. Некоторые из них противоречат приближению пространственно однородного электронного газа, но, тем не менее, в пределе при переходе к электронному газу должны сводиться к приближению локальной плотности.

Для расчётов физических задач наиболее часто применяется, по-видимому, уточнённая обменная модель Perdew — Burke — Ernzerhof, однако известно, что она приводит к ошибкам в калориметрических параметрах, будучи приложенной к расчётам молекул в газовой фазе.

В расчётах квантовой химии одним из распространённых является вид обменно-корреляционного функционала, называемый BLYP (Becke, Lee, Yang, Parr). Еще более широко распространено приближение B3LYP<ref>''Becke A. D.'' [https://dx.doi.org/10.1063/1.464913 J. Chem. Phys. ''98'' (1993) 5648].</ref><ref>''Lee C., Yang W., Parr R. G.'' [http://prola.aps.org/abstract/PRB/v37/i2/p785_1 Phys. Rev. B ''37'' (1988) 785].</ref><ref>''Stephens P. J., Devlin F. J., Chabalowski C. F., Frisch M. J.'' [https://dx.doi.org/10.1021/j100096a001 J. Phys. Chem. ''98'' (1994) 11623].</ref>, которое основано на гибридном функционале, в котором обменная энергия рассчитывается с привлечением точного результата, полученного методом Хартри — Фока.

В целом, текущее состояние метода теории функционала плотности таково, что невозможно оценить погрешность расчёта, не сравнивая его результаты с другими подходами или с результатами экспериментов.

== Программное обеспечение, которое реализует метод теории функционала плотности ==
{|-
|
* [[Abinit]] — использует метод псевдопотенциала
* [[Amsterdam Density Functional|ADF]]
* [[AIMPRO]]
* [[Atomistix Toolkit]]
* [[CADPAC]]
* [[CASTEP]]
* {{iw|CP2K|CP2K|en|CP2K}}
* [[CPMD]]
* [http://www.crystal.unito.it/ CRYSTAL06]
* [[DACAPO]]
* [[DALTON]]
* [http://www.demon-software.com/public_html deMon2K]
* [http://dft.physics.cornell.edu/ DFT++]
* [https://web.archive.org/web/20070513062543/http://www.accelrys.com/products/mstudio/modeling/quantumandcatalysis/dmol3.html DMol3]
* [http://exciting.sourceforge.net/ EXCITING]: полный потенциал, [[метод линеаризованных присоединённых плоских волн]] (LAPW)
* [https://web.archive.org/web/20190512175327/http://fireball.phys.wvu.edu/ Fireball]
* [[GAMESS (UK)]]
* [[GAMESS (US)]]
* [[GAUSSIAN]]
* [http://www.hyper.com HyperChem]
* [[JAGUAR]]
* [http://www.fkf.mpg.de/andersen/LMTODOC/LMTODOC.html TB-LMTO-47] — [[метод линеаризованных маффин-тин орбиталей]]
|
* [[MOLCAS]]
* [[MOLPRO]]
* [[MPQC]]
* [[NRLMOL]]
* [[NWChem]]
* [[The Octopus Project (software)|OCTOPUS]]
* [http://www.openmx-square.org OpenMX]
* [https://web.archive.org/web/20070405062400/http://ewww.mpi-muelheim.mpg.de/bac/logins/downloads_en.php ORCA]
* [[ParaGauss]] [http://www.theochem.tu-muenchen.de/welcome/index.php?option=com_content&task=view&id=61&lang=en] {{Wayback|url=http://www.theochem.tu-muenchen.de/welcome/index.php?option=com_content&task=view&id=61&lang=en |date=20070929083400 }}
* [http://classic.chem.msu.su/gran/gamess/index.html PC GAMESS] начиная с версии 6.4
* [[PLATO (Package for Linear Combination of Atomic Orbitals)|PLATO]] — метод линейной комбинации атомных орбиталей
* [https://web.archive.org/web/20120622193122/http://wt.knc.ru/wiki/index.php/Priroda_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%81%D0%B0%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D1%85 ПРИРОДА]
* [[PWscf]] ([http://www.quantum-espresso.org/ Quantum-ESPRESSO]) — использует метод псевдопотенциала
* [[Q-Chem]]
* [[:en:SIESTA (computer program)|SIESTA]][http://www.icmab.es/siesta/] — линейно-масштабируемый метод теории функционала плотности, использует метод псевдопотенциала
* [[Spartan (software)|Spartan]]
* [http://www.sphinxlib.de S/PHI/nX]
* [[TURBOMOLE]]
* [http://cms.mpi.univie.ac.at/vasp VASP] — использует метод псевдопотенциала
* [http://www.wien2k.at WIEN2k] — полный потенциал, [[метод линеаризованных присоединённых плоских волн]] (LAPW)
|}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Марч Н., Кон В., Вашишта П. и др.'' Теория неоднородного электронного газа. — {{М}}: Мир, 1987.
* ''Dreizler R., Gross E.'' Density Functional Theory. — Plenum Press, New York, 1995.
* ''Koch W., Holthausen M. C.'' A Chemist’s Guide to Density Functional Theory. — ed. 2. — Weinheim: Wiley-VCH, 2002.
* ''Parr R. G., Yang W.'' Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. — New York: Oxford University Press, 1989.
* {{статья
| автор         = R. O. Jones, O. Gunnarsson
| заглавие      = The density functional formalism, its applications and prospects
| ссылка        = http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.61.689
| язык          = en
| издание       = [[Rev. Mod. Phys.]]
| год           = 1989
| выпуск        = 3
| том           = 61
| страницы      = 689–746
}}
* {{статья
| автор         = G. Kotliar, S. Y. Savrasov, K. Haule, V. S. Oudovenko, O. Parcollet, C. A. Marianetti 
| заглавие      = Electronic structure calculations with dynamical mean-field theory
| ссылка        = http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.78.865
| язык          = en
| издание       = [[Rev. Mod. Phys.]]
| год           = 2006
| выпуск        = 3
| том           = 78
| страницы      = 865–951
}}

== Ссылки ==
* ''Walter Kohn'' ([[Нобелевская премия|Нобелевский лауреат]]) [http://www.vega.org.uk/video/programme/23 Видеозапись интервью с Вальтером о его работе по разработке теории функционала плотности, Vega Science Trust.] {{ref-en}}
* ''Klaus Capelle'' [http://arxiv.org/abs/cond-mat/0211443 A bird’s-eye view of density-functional theory] {{ref-en}}
* ''Walter Kohn'' [http://nobelprize.org/chemistry/laureates/1998/kohn-lecture.pdf Nobel Lecture] {{ref-en}}
* ''Кон В.'' [http://ufn.ru/ufn02/ufn02_3/Russian/r023c.pdf Нобелевская лекция].
{{Численные методы в зонной теории}}

[[Категория:Теория функционала плотности]]
[[Категория:Вычислительная химия]]
[[Категория:Квантовая химия]]
[[Категория:Химические теории]]
[[Категория:Зонная теория]]