Просмотр кода страницы Теория хаоса

{{значения|Теория хаоса (значения)}}
[[Файл:LogisticMap BifurcationDiagram.png|thumb|400px|Бифуркационная диаграмма для логистического отображения ''x'' → ''rx''(1 — ''x''). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор при соответствующем значении ''r''. На диаграмме видно серию удвоений периода при увеличении ''r''. После некоторого значения ''r'' аттрактор становится хаотическим]]

'''Тео́рия ха́оса''' — математический аппарат, описывающий поведение некоторых [[нелинейная система|нелинейных динамических систем]], подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как [[Динамический хаос|хаос]] (''динамический хаос'', ''детерминированный хаос''). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является [[детерминированность|детерминированной]]. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название '''[[Динамический хаос|теория динамического хаоса]]'''.

Примерами подобных систем являются [[Атмосфера Земли|атмосфера]], [[турбулентность|турбулентные потоки]], некоторые виды [[Биофизика сердца|аритмий сердца]], [[популяция|биологические популяции]], [[общество]] как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интеркультуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается [[Математическая модель|математическим моделированием]].

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику.

== Основные сведения ==
Теория хаоса подразумевает, что сложные детерминированные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий: небольшие изменения в окружающей среде могут привести к существенно различным последствиям, что делает предсказания их поведения крайне затруднительными.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются строгим законам, и обладают определённым порядком. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения (см. хаос в мифологии). Отдельная область физики — теория квантового хаоса — изучает квантовые системы, которые демонстрируют хаотическое поведение, схожее с классическими аналогами.

Основоположниками теории хаоса считаются французский математик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, а также немецкий математик Ю. К. Мозер, создавшие теорию устойчивости КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера). КАМ-теория изучает инвариантные торы в интегрируемых системах при малых возмущениях.

Теория хаоса вводит понятия аттракторов, включая странные аттракторы, обладающие самоподобной структурой и демонстрирующие сложную динамику.

== Понятие хаоса ==
{{main|Динамический хаос}}
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
[[Файл:Chaos Sensitive Dependence.svg|thumb|Пример чувствительности системы к первоначальным условиям, где ''x'' → 4''x''(1 — ''x'') и y → ''x'' + ''y'', если ''x'' + ''y'' < 1 (иначе ''x'' + ''y'' — 1). Здесь чётко видно, что ряды значений ''x'' и ''y'' через какое-то время заметно отклоняются друг от друга, хотя в первоначальных состояниях отличия микроскопические]]
В бытовом контексте слово «[[хаос]]» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное ''хаотический'' определено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:
# Она должна быть чувствительна к начальным условиям.
# Она должна иметь свойство топологического смешивания.
# Её периодические [[Орбита|орбиты]] должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом [[фрактальная размерность]] системы должна быть не менее 1,5.

[[Линейная система|Линейные системы]] никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По [[Теорема Пуанкаре — Бендиксона|теореме Пуанкаре — Бендиксона]], непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх [[Измерение|измерений]] или [[неевклидова геометрия]]). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном [[Пространство (математика)|пространстве]].

=== Чувствительность к начальным условиям ===
Чувствительность к начальным условиям в такой [[Система|системе]] означает, что существует <math>\delta>0</math> такое, что для любой точки <math>x</math> и любой ее окрестности <math>U_x </math> найдутся точка <math>y \in U_x</math> и число <math>n \in \mathbb{N}</math> такие, что <math>||f^n(x)-f^n(y)||>\delta</math>. Чувствительность к начальным условиям отличается от [[Экспансивность|экспансивности]].

Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «[[эффект бабочки]]». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую [[Лоренц, Эдвард Нортон|Эдвард Лоренц]] в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в [[Вашингтон (округ Колумбия)|Вашингтоне]]. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям.

=== Топологическое смешивание ===
Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание» как пример хаотической системы соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкостей.

=== Тонкости определения ===
[[Файл:Chaos Topological Mixing.png|thumb|Пример топологического смешивания, где ''x'' → 4''x''(1 — ''x'') и y → ''x'' + ''y'', если ''x'' + ''y'' < 1 (иначе ''x'' + ''y'' — 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперёк пространства]]
В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей [[Измерение (квантовая механика)|измерения]] и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую [[Динамическая система|динамическую систему]], которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к [[Бесконечность|бесконечности]], и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим [[Тор (поверхность)|тор]], заданный парой [[Угол|углов]] (''x'', ''y'') со значениями от 0 до [[Пи (число)|2π]]. Отображение любой [[Точка (геометрия)|точки]] (''x'', ''y'') определяется как (2''x'', ''y'' + ''a''), где значение ''a''/2π является [[Иррациональное число|иррациональным]]. Удвоение первой [[координаты]] в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких [[Периодичность|периодических]] [[Орбита|орбит]] — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

Примером системы, не чувствительной к начальным условиям, но обладающей свойством топологического смешивания, является [[поворот единичной окружности на иррациональный угол]].

== Аттракторы ==
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
[[Файл:Lorenz attractor yb.svg|thumb| График [[Аттрактор Лоренца|аттрактора Лоренца]] для значений ''r'' = 28, σ = 10, ''b'' = 8/3]]
'''[[Аттрактор|Аттра́ктор]]''' (от {{lang-en|attract}} — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек [[Фазовое пространство|фазового пространства]]) [[Теория динамических систем|динамической системы]], к которым она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о [[маятник]]е с трением) и периодическая [[траектория]] (пример — самовозбуждающиеся [[колебания]] в [[Колебательный контур|контуре]] с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда [[параметр]]ы динамической системы принадлежат к некоторому специальному [[Подпространство|подпространству]].

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на [[орбита]]х аттрактора.
Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить [[График функции|график]] его последующей орбиты. Из-за состояния топологической [[Транзитивность|транзитивности]] это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора.

Например, в системе, описывающей [[маятник]], [[Пространство (математика)|пространство]] двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один [[период колебаний]] будет выглядеть на графике как простая замкнутая [[кривая]]. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. [[Маятник]] имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных [[эллипс]]ов.

== Странные аттракторы ==
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
[[Файл:TwoLorenzOrbits.jpg|thumb|Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона]]
Большинство типов [[Механическое движение|движения]] описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много [[параметр]]ов. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известным [[Аттрактор Лоренца|аттрактором Лоренца]] — одной из самых известных [[Диаграмма|диаграмм]] хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является [[аттрактор Рёсслера]], которая имеет двойной [[Период колебаний|период]], подобно [[Логистическое отображение|логистическому отображению]].

В отличие от аттракторов с неподвижной точкой и предельных циклов, аттракторы, возникающие из хаотических систем, известных как странные аттракторы, имеют значительную детализацию и сложность. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (таких как [[отображение Эно]]). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемую [[множество Жюлиа|множеством Жюлиа]], которая образуется на границе между бассейнами притяжения неподвижных точек. Множества Жюлиа можно рассматривать как странные репеллеры. И странные аттракторы, и множества Жюлиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше [[Измерение|измерений]]. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. [[Гравитационная задача N тел|Движение трёх или большего количества тел]], испытывающих [[Гравитация|гравитационное притяжение]] при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

== Простые хаотические системы ==
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
Хаотическими могут быть и простые [[Система|системы]] без [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]]. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является [[Многочлен|полиномиальным]] отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых [[Линейное уравнение|нелинейных]] динамических [[Уравнение|уравнений]]. Ещё один пример — это [[модель Рикера]], которая также описывает динамику населения.

[[Клеточный автомат]] — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решётку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. [[Эволюция]] даже простых [[Теория функциональных систем (дискретная математика)|дискретных систем]], таких как клеточные автоматы, может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работах [[Вольфрам, Стивен|Стивена Вольфрама]].

Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «[[кот Арнольда]]». В математике отображение «кот Арнольда» является [[модель]]ю [[Тор (поверхность)|тора]], которую В. И. Арнольд продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.

Показать хаос для соответствующих значений [[параметр]]а может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше [[Измерение|измерений]]. [[Теорема Пуанкаре — Бендиксона]] утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Трёхмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение<ref>{{статья |заглавие=Non-chaotic behaviour in three-dimensional quadratic systems |издание=Nonlinearity |том=10 |номер=5 |страницы=1289—1303 |doi=10.1088/0951-7715/10/5/014 |bibcode=1997Nonli..10.1289F |язык=en |тип=journal |автор=Zhang Fu; Jack Heidel |год=1997}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Nonchaotic behaviour in three-dimensional quadratic systems II. The conservative case |издание=Nonlinearity |том=12 |номер=3 |страницы=617—633 |doi=10.1088/0951-7715/12/3/012 |bibcode=1999Nonli..12..617H |язык=en |тип=journal |автор=Jack Heidel; Zhang Fu |год=1999}}</ref>. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям и поэтому представляют собой стабильные решения.

[[Цепь Чуа]] является одной из простейших электрических цепей, генерирующих хаотические колебания.

== Математическая теория ==
[[Теорема Шарковского]] — это основа доказательства Ли и Йорке<!--(Li and Yorke)--> (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройным [[Период колебаний|периодом]] цикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотических [[Орбита|орбит]].
Математики изобрели много дополнительных способов описать хаотические системы количественными показателями. Сюда входят: рекурсивное [[измерение]] [[аттрактор]]а, [[Экспонента|экспоненты]] [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунова]], графики [[Рекурсия|рекуррентного]] соотношения, [[отображение Пуанкаре]], диаграммы удвоения и [[Оператор (физика)|оператор]] сдвига.

== Хронология ==
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
[[Файл:Fractal fern1.png|thumb|Фрактальный папоротник, созданный благодаря игре хаоса. Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы через систему повторяющихся функций]]
Первым исследователем хаоса был [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]]. В 1880-х годах, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут существовать непериодические [[Орбита|орбиты]], которые постоянно и не удаляются, и не приближаются к конкретной точке. В 1898 году [[Адамар, Жак|Жак Адамар]] издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без [[Трение|трения]] по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все [[Траектория|траектории]] непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунова]].

Почти вся более ранняя теория, под названием [[Эргодичность|эргодическая]] теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали [[Биркхоф, Джордж Дэвид|Биргхоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|A. Колмогоров]], M. Каретник, [[Литлвуд, Джон Идензор|Дж. Литлвуд]] и Стивен Смэйл. Кроме Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: [[Задача трёх тел|поведение трёх тел]] в случае с Биргхофом, [[турбулентность]] и астрономические исследования в случае с Колмогоровым, [[радиотехника]] в случае с Каретником и Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью течения жидкости и непериодическими [[колебания]]ми в радиосхемах, не имея достаточной теории, чтобы это объяснить.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине 20 века, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении, простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы.

Основным [[катализатор]]ом для развития теории хаоса стала [[Компьютер|электронно-вычислительная машина]]. Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную [[Итерация (математика)|итерацию]] простых математических формул, которые делать вручную весьма трудоёмко. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.

Одним из пионеров в теории хаоса был [[Лоренц, Эдвард Нортон|Эдвард Лоренц]], интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное [[моделирование]] Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, то, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса, введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз.
К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0,506127 было напечатано как 0,506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что [[метеорология]] не может точно предсказать погоду на период более недели.

Годом ранее, [[Мандельброт, Бенуа|Бенуа Мандельброт]] нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что структура помех подобна {{термин|набору Регента}}: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была [[Постоянная|постоянной]] — значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя», который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект [[Иосиф Прекрасный|Иосифа]]» в котором значения постоянны некоторое время, но всё же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 году он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях», доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечёвки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.

Объект, изображения которого являются постоянными в различных [[масштаб]]ах («самоподобие») является [[фрактал]]ом (например [[кривая Коха]], или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

[[Файл:Airplane vortex edit.jpg|thumb|Турбулентные потоки воздуха от крыла самолёта, образующиеся во время его посадки. Изучение критической точки, после которой система создает турбулентность, были важны для развития теории хаоса. Например, советский физик Лев Ландау разработал {{iw|Теория турбулентности Ландау — Хопфа|теорию турбулентности Ландау — Хопфа|en|Landau–Hopf theory of turbulence}}. Позже Дэвид Руелл и Флорис Тейкнс предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность в жидкости могла развиться через странный аттрактор, то есть основную концепцию теории хаоса]]
Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году [[Ван дер Пол, Балтазар|Ван дер Поль]], а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 года Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее, его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года.

В декабре 1977 года [[Нью-Йоркская академия наук]] организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, [[Мэй, Роберт|Роберт Мей]], Джеймс А. Иорк, [[Шоу, Роберт|Роберт Шоу]], Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог [[Лоренц, Эдвард Нортон|Эдвард Лоренц]].

В следующем году [[Фейгенбаум, Митчелл|Митчелл Фейгенбаум]] издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Фейгенбаум применил рекурсивную [[Геометрия|геометрию]] к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведёт к хаосу. Его наградили [[Премия Вольфа|премией Вольфа]] в физике совместно с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 году «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в [[Динамическая система|динамических системах]]».

Тогда же в 1986 году Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди [[Шизофрения|шизофреников]]. Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х годах, например, в изучении патологии [[Сердечный цикл|сердечных циклов]].

В 1987 году Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую [[эволюция|эволюцию]].

Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, не странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.

В том же году Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепцию [[Кун, Томас Сэмюэл|Томаса Куна]] о [[Смена парадигм|смене парадигм]], много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.

Доступность более дешёвых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, [[топология]], физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т. д.).

== Применение ==
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.

В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например, [[Электрическая схема|электрические схемы]], [[лазер]]ы, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении [[Спутник (космос)|спутников]] [[Солнечная система|солнечной системы]], эволюции [[Магнитное поле|магнитного поля]] астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в [[нейрон]]ах и [[Молекула|молекулярных]] [[колебания]]х. Есть существенные основания полагать о существовании динамики хаоса в [[Тектоника плит|тектонике плит]] и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы, похожие на модель Рикера, использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности.

В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении [[Эпилепсия|эпилепсии]] для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма.

Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и [[Квантовая механика|квантовой механикой]]. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам [[Общая теория относительности|общей теории относительности]].

== Различия между случайными и хаотическими данными ==
{{нет источников в разделе|дата=2018-03-21}}
{{стиль раздела|дата=2018-03-21}}
Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого «сигнала» отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.

Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на [[детерминизм]] необходимо:
# Выбрать тестируемое состояние.
# Найти несколько подобных или почти подобных состояний.
# Сравнить их развитие во времени.

[[Погрешность измерения|Погрешность]] определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат), или она будет увеличиваться по [[Экспонента|экспоненте]] со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределённую погрешность.

По существу, все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к тестируемому (то есть, измерению [[Корреляция|корреляции]], экспоненты Ляпунова, и т. д.). Чтобы определить состояние системы, обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность.

Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений, чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.

Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, её [[траектория]] постоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности, и система показывает полностью новые динамические свойства. [[Статистика|Статистические]] испытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами появляется [[Динамика (физика)|динамика]], которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.

== См. также ==
{{Кол|2}}
* [[Фрактал]]
* [[Хаос]]
* [[Динамический хаос]]
* [[Квантовый хаос]]
* [[Брок, Уильям|Уильям Брок]] (автор работы «Теория Хаоса», 2001 г.)
* [[Эффект бабочки]]
* [[Синергетика]]
* [[Нелинейная динамика]]
* [[Лавинный эффект]]
* [[И грянул гром]]
* [[Фрактальный анализ рынка]]
* [[Аттрактор Лоренца]]
* [[Аттрактор Рёсслера]]
* [[Аттрактор Плыкина]]
{{конец кол}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., [[Малинецкий, Георгий Геннадиевич|Малинецкий Г. Г.]], Самарский А. А.'' Нестационарные структуры и диффузионный хаос.— М.: Наука.— 1992.
* ''[[Малинецкий, Георгий Геннадиевич|Малинецкий Г. Г.]]'' Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд.— М.: УРСС.— 2001.
* ''[[Малинецкий, Георгий Геннадиевич|Малинецкий Г. Г.]], Потапов А. Б., Подлазов А. В.'' [http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&page=Book&id=30226&lang=Ru&blang=ru&list=Found Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды].— М.: УРСС.— 2006.

== Ссылки ==
* [http://scintific.narod.ru/nlib/ Электронная библиотека по нелинейной динамике] — книги по теории хаоса
* [http://cih.ru/ee.html Проект Энтропия] — статьи по теории хаоса, фракталам, аттракторам
* [http://ej.kubagro.ru/2009/03/pdf/08.pdf Хаос и порядок дискретных систем в свете синергетической теории информации]

{{внешние ссылки}}
{{Геометрические закономерности в природе}}
{{Фракталы}}
{{rq
|topic=math
|style
|check
|wikify
|sources
}}

[[Категория:Научные теории|Научные теории]]
[[Категория:Теория хаоса| ]]
[[Категория:Классическая механика]]
[[Категория:Теория сложных систем]]