Просмотр кода страницы Топологическая K-теория

В [[Математика|математике]], '''топологическая K-теория''' является подразделом [[Алгебраическая топология|алгебраической топологии]]. В начале своего существования она применялась для изучения [[Векторное расслоение|векторных расслоений]] на [[Топологическое пространство|топологических пространствах]] с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) [[K-теория|K-теории,]] введенной [[Гротендик, Александр|Александром Гротендиком]] . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат [[Атья, Майкл Фрэнсис|Майклу Атья]] и [[Хирцебрух, Фридрих|Фридриху Хирцебруху]]. 

== Определения ==
Пусть {{Mvar|X}} — [[Компактное пространство|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] и <math>k= \R</math> или <math>\Complex</math>. Тогда <math>K_k(X)</math> определяется как [[группа Гротендика]] [[Моноид|коммутативного моноида]] конечномерных <math>k</math>-векторных расслоений над {{Mvar|X}} с [[Векторное расслоение|суммой Уитни]]. [[Векторное расслоение|Тензорное произведение]] расслоений задаёт на K-теории структуру [[Коммутативное кольцо|коммутативного кольца]]. Без индекса, <math>K(X)</math> обычно обозначает комплексную {{Mvar|K}}-теорию, тогда как вещественная {{Mvar|K}}-теория иногда обозначается как <math>KO(X)</math>. Далее мы рассматриваем комплексную {{Mvar|K}}-теорию. 

В качестве начального примера заметим, что {{Mvar|K}}-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа. 

Существует редуцированная версия {{Mvar|K}} теории, <math>\widetilde{K}(X)</math>,которая определяется для {{Mvar|X}} — компактных пространств с выделенной точкой (ср. [[Приведённые гомологии|приведенные гомологии]] ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как {{Math|''K''(''X'')}} по модулю [[Локально тривиальное расслоение|тривиальных расслоений]]. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения {{Mvar|E}} и {{Mvar|F}} называются '''стабильно изоморфными,''' если существуют тривиальные расслоения <math>\varepsilon_1</math>и <math>\varepsilon_2</math>, такие что <math>E \oplus \varepsilon_1 \cong F\oplus \varepsilon_2</math> , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , <math>\widetilde{K}(X)</math> можно определить как [[Ядро (алгебра)|ядро]] отображения <math>K(X)\to K(x_0) \cong \Z</math> индуцируемого вложением базовой точки {{Math|''x''<sub>0</sub>}} в {{Mvar|X}}. 

{{Mvar|K}}-теория является мультипликативной (обобщенной) [[Когомологии|когомологической]] теорией. [[Короткая точная последовательность]] пространств с выделенной точкой {{Math|(''X'', ''A'')}}

: <math>\widetilde{K}(X/A)\to\widetilde{K}(X)\to\widetilde{K}(A)</math>

Продолжается до [[Точная последовательность|длинной точной последовательности]] 

: <math>\cdots \to \widetilde{K}(SX) \to \widetilde{K}(SA) \to \widetilde{K}(X/A) \to \widetilde{K}(X) \to \widetilde{K}(A).</math>

Пусть {{Math|''S<sup>n</sup>''}} будет {{Mvar|n}}-ой [[Надстройка (топология)|приведенной надстройкой]] пространства. Тогда определим: 

: <math>\widetilde{K}^{-n}(X):=\widetilde{K}(S^nX), \qquad n\geq 0.</math>

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы  [[Цепной комплекс|кограничное]] отображение увеличивало размерность. 

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как: 

: <math>K^{-n}(X)=\widetilde{K}^{-n}(X_+).</math>

Где <math>X_+</math> это <math>X</math> с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+». <ref>{{книга|ссылка=https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf|заглавие=Источник|archive-date=2018-04-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20180417120942/https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf}}</ref> 

Наконец, [[теорема периодичности Ботта|теорема Ботта о периодичности,]] сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами. 

== Свойства ==

* {{Math|''K<sup>n</sup>''}} и, соответственно <math>\widetilde{K}^n</math> являются [[Контравариантный функтор|контравариантными функторами]] из  [[Гомотопическая категория|гомотопической категории]] пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например,  {{Mvar|K}}-теория над [[Стягиваемое пространство|стягиваемыми пространствами]] это <math>\Z.</math>

* [[спектр|Спектром]] {{Mvar|K}}-теории является <math>BU\times\Z</math> (с дискретной топологией на <math>\Z</math> ), т.е. <math>K(X) \cong \left [ X^+, \Z \times BU \right ],</math> где {{Math|[, ]}} обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а {{Math|''BU''}} - [[Предел (теория категорий)|копредел]] классифицирующих пространств [[Унитарная группа|унитарных групп]]: <math>BU(n) \cong \operatorname{Gr} \left (n, \Complex^{\infty} \right ).</math> Аналогично, 

:: <math>\widetilde{K}(X) \cong [X, \Z \times BU].</math> 
: Для вещественной {{Mvar|K}} теории используется пространство {{Math|''BO''}} . 

* 

* Аналогом [[Алгебра Стинрода|операций Стинрода]] в {{Mvar|K}}-теории являются [[ Операция Адамса |операции Адамса]] . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической {{Mvar|K}}-теории. 

* Принцип расщепления в топологической {{Mvar|K}}-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений. 

* [[Изоморфизм Тома]] в топологической {{Mvar|K}} теории это: 

:: <math>K(X)\cong\widetilde{K}(T(E)),</math> 
: где {{Math|''T''(''E'')}} - [[ Том космос |пространство Тома]] векторного расслоения {{Mvar|E}} над {{Mvar|X}}. Это выполняется когда {{Mvar|E}} является спинарным расслоением. 

* [[ Спектральная последовательность Атия-Хирцебруха |Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха]] позволяет вычислять {{Mvar|K}}-группы из обычных групп когомологий. 

* Топологическую {{Mvar|K}}-теория можно обобщить до функтора на [[C*-алгебра|C*-алгебрах]]. 

== Периодичность Ботта ==
[[Частота|Периодичность]], названную в честь [[Ботт, Рауль|Рауля Ботта]], можно сформулировать так: 

* <math>K(X \times \mathbb{S}^2) = K(X) \otimes K(\mathbb{S}^2),</math> и <math>K(\mathbb{S}^2) = \Z[H]/(H-1)^2</math>, где ''H'' - класс тавтологического расслоения на <math>\mathbb{S}^2 = \mathbb{P}^1(\Complex),</math> то есть на [[Сфера Римана|сфере Римана]].

* <math>\widetilde{K}^{n+2}(X)=\widetilde{K}^n(X).</math>

* <math>\Omega^2 BU \cong BU \times \Z.</math>

В вещественной {{Mvar|K}} теории существует похожая периодичность, только по модулю 8. 

== Приложения ==
Два самых известных применения топологической {{Mvar|K}}-теории принадлежат [[Адамс, Джон Фрэнк|Фрэнку Адамсу]] . Сначала он решил задачу о единичном [[Расслоение Хопфа|инварианте Хопфа]], сделав вычисления с помощью [[ Операция Адамса |операций Адамса]] . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых [[Векторное поле|векторных полей]] на сферах. 

== Характер Чженя ==
[[Атья, Майкл Фрэнсис|Майкл Атья]] и [[Хирцебрух, Фридрих|Фридрих Хирцебрух]] доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса <math>X</math> с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм 

: <math>ch:K^*_{\text{top}}(X)\otimes\Q \to H^*(X;\Q)</math>

такой, что 

: <math>\begin{align}
K^0_{\text{top}}(X)\otimes \Q & \cong \bigoplus_k H^{2k}(X;\Q) \\
K^1_{\text{top}}(X)\otimes \Q & \cong \bigoplus_k H^{2k+1}(X;\Q) 
\end{align}</math>

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика [[Когерентный пучок|когерентных пучков]] и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия <math>X</math>. 

== См. также ==

*[[Теорема Атьи — Зингера об индексе|Теорема Атьи-Зингера об индексе]]

== Ссылки ==
{{Примечания}}

== Литература ==

* {{книга|год=1989|заглавие=K-theory|серия=Advanced Book Classics|издание=2nd|издательство=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-201-09394-0|автор=Atiyah, Michael Francis}}
* {{книга|год=2005|заглавие=Handbook of K-Theory|издательство=[[Springer Science+Business Media#History|Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-30436-4}}
* {{книга|год=1978|заглавие=K-theory: an introduction|издательство=[[Springer Science+Business Media#History|Springer-Verlag]]|isbn=0-387-08090-2|автор=Karoubi, Max}}
* {{Cite web|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html|title=Vector Bundles & K-Theory|author=Hatcher|first=Allen|authorlink=Allen Hatcher}}
* {{Cite web|url=https://www.researchgate.net/profile/Maxim_Stykow/publication/330505308_Connections_of_K-Theory_to_Geometry_and_Topology/links/5c43cddd299bf12be3d55217/Connections-of-K-Theory-to-Geometry-and-Topology.pdf|title=Connections of K-Theory to Geometry and Topology|author=Stykow|first=Maxim|authorlink=Maxim Stykow}}
* {{cite arXiv|last1=Karoubi|first1=Max|author1-link=Max Karoubi|year=2006|title=K-theory. An elementary introduction|arxiv=math/0602082}}

[[Категория:К-теория]]