Просмотр кода страницы Точка (геометрия)

{{другие значения|Точка}}
[[Файл:ACP 3.svg|thumb|right|300px|Точки в двумерном евклидовом пространстве (обозначены красным цветом)]]
[[Файл:Coord planes color.svg|right|thumb|300px|Точка P и её координаты в трёхмерной системе координат (с осью Х, направленной к читателю)]]
'''То́чка''' — один из фундаментальных ([[Неопределяемое понятие|неопределяемых]]) [[Математический объект|математических объектов]], свойства которого задаются [[Формальная система|системой аксиом]]. Нестрого можно представлять точку как неделимый элемент соответствующего [[Пространство (математика)|математического пространства]], определяемого в [[Геометрия|геометрии]], [[Математический анализ|математическом анализе]] и других разделах математики<ref name=ME>{{книга |часть=Точка |страницы=[https://archive.org/details/libgen_00858224/page/n584 585] |заглавие=Математический энциклопедический словарь |ссылка=https://archive.org/details/libgen_00858224 |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1988 |страниц=847}}</ref>. В  [[Евклидова геометрия|классической геометрии]] и в большинстве её обобщений все [[Геометрическая фигура|геометрические фигуры]] (прямые, кривые, тела {{итд}}) считаются состоящими из точек{{sfn|Mathworld}}.

При этом в разных разделах математики понятия точки могут отличаться. В пространствах с [[Система координат|системой координат]] точка задаётся набором своих координат и обычно отождествляется с ним. Однако понятие точки используется и в пространствах без системы координат (например, в [[Топология|топологии]] или в [[Теория графов|теории графов]])<ref name=ME/>.

Геометрические точки, вообще говоря, не имеют никаких измеримых характеристик ([[Длина|длины]], [[Площадь|площади]], [[объём]]а {{итд}}), кроме координат. В конкретных областях математики отдельные виды могут иметь специальные свойства и названия — например, [[Особая точка кривой|особые точки]],
[[Предельная точка|предельные точки]], [[Критическая точка (математика)|критические точки]] {{итп}}<ref name=ME/> В физике вводится понятие [[Материальная точка|материальной точки]], которой приписывается определённое значение [[Масса|массы]] и динамических характеристик (скорость, ускорение {{итд}}).

== Точка в евклидовой геометрии ==
[[Евклид]] первой аксиомой в своих «[[Начала (Евклид)|Началах]]» определил точку как «объект, не имеющий частей». В [[Аксиоматика Гильберта|современной аксиоматике]] [[Геометрия Евклида|евклидовой геометрии]] точка является [[Неопределяемое понятие|первичным понятием]], задаваемым лишь перечнем его свойств — [[аксиома]]ми.

В выбранной [[система координат|системе координат]] любую точку двумерного [[евклидово пространство|евклидова пространства]] можно представить как [[упорядоченная пара|упорядоченную пару]] {{math|(''x''; ''y'')}} [[действительное число|действительных чисел]]. Аналогично, точку [[Размерность пространства|''n''-мерного]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] (а также [[векторное пространство|векторного]] или [[аффинное пространство|аффинного]] пространства) можно представить как [[Кортеж (математика)|кортеж]] {{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub>)}} из ''n'' чисел.

Многие объекты в евклидовой геометрии состоят из [[Бесконечность|бесконечного]] набора точек, которые соответствуют определённым аксиомам. Например, [[прямая]] — это бесконечное множество точек вида <math>\scriptstyle {L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace}</math>, где {{math|''c''<sub>1</sub>}} … {{math|''c<sub>n</sub>''}} и {{mvar|d}} — константы, а n — размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют [[плоскость]], [[отрезок]] и другие связанные понятия. Сегмент прямой, состоящий только из одной точки, называется [[Вырождение (математика)|вырожденным]] отрезком.

В дополнение к определению точек и объектов, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это позволило построить почти все геометрические понятия, известные в то время. Однако постулат Евклида о точках не был ни полным, ни окончательным, и содержал также положения, которые не следовали непосредственно из его аксиом, такие как упорядочение точек на прямой или существование определённых точек. Современные расширения системы Евклида устраняют эти недостатки.

== Размерность точки ==
Во всех общих определениях [[Размерность пространства|размерности]] точка является нуль-мерным объектом, но при этом описывается по-разному в различных концепциях размерности.

=== Векторное пространство ===
{{main|Конечномерное пространство}}

Размерность [[Векторное пространство|векторного пространства]] — это максимальный размер [[Линейная независимость|линейно независимого]] подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0), линейно независимое подмножество отсутствует. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: <math>1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}</math>.

=== Топологическая размерность ===
{{main|Размерность Лебега}}

[[Размерность Лебега|Топологическая размерность]] топологического пространства X определяется как минимальное значение n, так что каждое [[Покрытие множества|конечное открытое покрытие]] <math>\mathcal{A}</math> из X допускает конечное открытое покрытие <math>\mathcal{B}</math> из X, которое уточняет <math>\mathcal{A}</math>, в котором ни одна точка не включена в более чем n + 1 элементов. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную размерность покрытия.

Точка является [[Нульмерное пространство|нульмерной]] по отношению к размерности покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

=== Хаусдорфова размерность ===
{{main|Хаусдорфова размерность}}
Пусть X [[метрическое пространство]]. Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), то множество Хаусдорфа в d-мерном пространстве ''S'' является [[Точная верхняя и нижняя границы|инфимумом]] множества чисел δ ≥ 0, для которого существует некоторый (проиндексированный) набор метрик <math>\{B(x_i,r_i):i\in I\}</math>, покрывающий ''S'' с ''r<sub>i</sub>'' > 0 для каждого i ∈ I, удовлетворяющего <math>\sum_{i\in I} r_i^d<\delta </math>.

Хаусдорфова размерность метрического пространства X определяется как
: <math>\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.</math>.

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что она может быть покрыта одной сферой произвольно малого радиуса.

== Геометрия без точек ==
Понятие точки является фундаментальным в большинстве направлений геометрии и топологии, но существуют математические концепции, в принципе отказывающиеся от понятия точки, например, [[некоммутативная геометрия]] и {{iw|бесточечная топология||en|Pointless topology}}. В этих подходах «пространство без точек» определяется не как [[множество]], а через некоторую структуру (соответственно алгебраическую или логическую), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра [[Непрерывное отображение|непрерывных отображений]] или [[алгебра множеств]] соответственно. Точнее, такие структуры обобщают известные [[Пространство непрерывных функций|пространства функций]] таким образом, что операция «принять значение в этой точке» может быть не определена. Исследования таких структур содержатся в некоторых трудах [[Уайтхед, Альфред Норт|Альфреда Уайтхеда]].

== Точечная масса и дельта-функция Дирака ==
{{main|Дельта-функция}}
Для ряда теорий в физике и математике полезно использование такого абстрактного объекта, как точка, которая имеет ненулевую [[Масса|массу]] или [[Электрический заряд|заряд]] (это особенно распространено в классической [[Электродинамика|электродинамике]], где [[электрон]]ы представляются как точки с ненулевым зарядом). [[Дельта-функция|Дельта-функция Дирака]], или δ-функция, не является функцией вещественной переменной, а определяется как [[обобщённая функция]]: непрерывный [[Линейная форма|линейный функционал]] на пространстве дифференцируемых функций. Она не равна нулю только в точке <math>x=0</math>, где она обращается в бесконечность таким образом<ref>{{MathWorld|title=Delta Function|urlname=DeltaFunction}}</ref>, чтобы её [[интеграл]] по любой окрестности <math>x=0</math> был равен 1. Физическая интерпретация дельта-функции представляет собой идеализированную [[Точечная масса|точечную массу]] или [[Точечный электрический заряд|точечный заряд]]<ref>{{harvnb|Arfken|Weber|2000|p=84}}</ref>. Эта функция введена английским физиком-теоретиком [[Дирак, Поль Адриен Морис|Полем Дираком]]. В процессе [[Обработка сигналов|обработки сигналов]] её часто называют единичным импульсным символом (или функцией)<ref   name="Bracewell 1986 loc=Chapter 5">{{harvnb|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}}</ref>. Дискретным аналогом δ-функции Дирака является [[символ Кронекера]], который обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

== См. также ==
* [[Аффинное пространство]]
* [[Граница (топология)|Граница]]
* [[Касп]]
* [[Основания геометрии]]
* [[Поточечная операция]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation | last1=Arfken | first1=G. B. | author-link1=George B. Arfken | last2=Weber | first2=H. J. | title=Mathematical Methods for Physicists | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, Massachusetts | edition=5th | isbn=978-0-12-059825-0 | year=2000}}.
* {{citation | last=Bracewell |first= R. N. |title=The Fourier Transform and Its Applications| edition=2nd | publisher=McGraw-Hill | year=1986}}.
* ''Clarke, Bowman'', 1985, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.ndjfl/1093870761 Individuals and Points,] ''Notre Dame Journal of Formal Logic 26'': 61-75.
* ''Gerla, G.'', 1995, [https://web.archive.org/web/20110717210751/http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf Pointless Geometries] in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., ''Handbook of incidence geometry: buildings and foundations''. North-Holland: 1015-31.
* ''Whitehead, A. N.'', 1920. ''[http://www.gutenberg.org/files/18835/18835-h/18835-h.htm The Concept of Nature]''. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at [[Trinity College, Cambridge|Trinity College]].

== Ссылки ==
* {{PlanetMath|title=Point |urlname=point}}
* {{h|Mathworld|3={{MathWorld |title=Point |urlname=Point}}}}
* [https://web.archive.org/web/20100801071614/http://www.mathopenref.com/point.html Definition of Point]
* [https://web.archive.org/web/20101124214901/http://mathopenref.com/tocs/pointstoc.html Points definition pages]

{{ВС}}

[[Категория:Классическая геометрия]]
[[Категория:Аксиоматические термины]]
[[Категория:Конические сечения]]