Просмотр кода страницы Трансцендентное число

'''Трансценде́нтное число́''' (от {{lang-la|transcens}} — переходить за предел, превосходить<ref>{{cite web|author=Круглов А. Н.|title=ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ|url=https://iphlib.ru/library/collection/newphilenc/document/HASHec844f299e43810ce4f8ec|website=Новая философская энциклопедия|access-date=2023-08-27|archive-date=2022-12-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20221209120303/https://iphlib.ru/library/collection/newphilenc/document/HASHec844f299e43810ce4f8ec|url-status=live}}</ref>) — это [[Вещественное число|вещественное]] или [[комплексное число]], не являющееся [[алгебраическое число|алгебраическим]] — иными словами, число, которое не может быть корнем [[многочлен]]а с [[Целое число|целочисленными]] коэффициентами (не равного тождественно нулю){{sfn |Математическая энциклопедия|1985}}. Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с [[Рациональное число|рациональными]] коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

== Свойства ==
Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: [[множество]] трансцендентных чисел [[Континуум (теория множеств)|континуально]], а множество алгебраических [[Счётное множество|счётно]].

Каждое трансцендентное [[вещественное число]] является [[иррациональное число|иррациональным]], но обратное неверно. Например, число <math>\sqrt 2</math> — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения <math>x^2-2=0</math> (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является [[Поле (алгебра)|полем]], трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.
# Если <math>t</math> — трансцендентное число, то <math>-t</math> и <math>1/t</math> также трансцендентны.
# Если <math>a</math> — ненулевое алгебраическое число, а <math>t</math> — трансцендентное число, то <math>a \pm t,\ at,\ a/t,\ t/a</math> трансцендентны.
# Если <math>t</math> — трансцендентное число, а <math>n</math> — [[натуральное число]], то <math>t^{\pm n}</math> и <math>\sqrt[n]t</math> трансцендентны.

[[Мера иррациональности]] почти всякого (в смысле [[мера Лебега|меры Лебега]]) трансцендентного числа равна 2.

== Примеры трансцендентных чисел ==
* [[Пи (число)|Число <math>\pi</math>]] ([[Линдеман, Фердинанд фон|Ф. фон Линдеман]], 1882).
* [[E (математическая константа)|Число <math>e</math>]] ([[Эрмит, Шарль|Ш. Эрмит]], 1873).
* [[Постоянная Гельфонда]] <math>e^\pi</math> ([[Гельфонд, Александр Осипович|А. О. Гельфонд]], 1934).
* <math>\pi+e^\pi</math>, <math>\pi e^\pi</math> ([[Нестеренко, Юрий Валентинович|Ю. В. Нестеренко]], 1996).
* [[Десятичный логарифм]] любого натурального числа<ref>''Гельфонд А. О.'', Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.</ref>, кроме чисел вида <math>10^n</math>.
* <math>\sin a, \cos a</math> и <math>\mathrm{tg}\,a</math>, для любого ненулевого [[Алгебраическое число|алгебраического числа]] <math>a</math> (по [[Теорема Линдемана — Вейерштрасса|теореме Линдемана — Вейерштрасса]]).

== История ==
{{see also|Теория трансцендентных чисел}}
Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл [[Леонард Эйлер]] в труде «''De relation inter tres pluresve quantitates instituenda''» (1775 год)<ref>{{cite web |author=Жуков А. |url=http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498kaleid.pdf |title=Алгебраические и трансцендентные числа |accessdate=2017-08-09 |description= |archive-date=2018-07-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180713001634/http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498kaleid.pdf |url-status=live }}</ref>. Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы<ref>{{книга |автор=[[Гельфонд, Александр Осипович|Гельфонд А. О.]] |заглавие=Трансцендентные и алгебраические числа |место=М. |издательство=ГИТТЛ |год=1952 |страницы=8 |страниц=224}}</ref>; он заявил, что значение [[логарифм]]а <math>\log_a{b}</math> для [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>a, b</math> не является алгебраическим («''радикальным''», как тогда говорили)<ref>{{книга |заглавие=Introductio in analysin infinitorum |ссылка=https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ |место=Lausanne |год=1748 |язык=la |автор=Euler, L.}}</ref>, за исключением случая, когда <math>b=a^c</math> для некоторого рационального <math>c.</math> Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.

Существование трансцендентных чисел доказал [[Жозеф Лиувилль]] в [[1844 год в науке|1844 году]], когда опубликовал [[Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел|теорему]] о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («[[Диофантовы и лиувиллевы числа|числа Лиувилля]]»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.

В [[1873 год в науке|1873 году]] [[Эрмит, Шарль|Шарль Эрмит]] доказал трансцендентность числа ''[[e (математическая константа)|e]]'', основания натуральных логарифмов. В [[1882 год в науке|1882 году]] [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеман]] доказал [[Теорема Линдемана — Вейерштрасса|теорему]] о трансцендентности степени числа ''[[e (математическая константа)|e]]'' с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа [[Пи (число)|<math>\pi</math>]] и неразрешимость задачи [[квадратура круга|квадратуры круга]].

В 1900 году на [[Международный конгресс математиков|II Международном конгрессе математиков]] [[Гильберт, Давид|Гильберт]] в числе сформулированных им [[проблемы Гильберта|проблем]] сформулировал [[Седьмая проблема Гильберта|седьмую проблему]]: «Если <math>a \neq 0, 1</math>, <math>a</math> — алгебраическое число, и <math>b</math> — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что <math>a^b</math> — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число <math>2^\sqrt 2</math>. Эта проблема была решена в [[1934 год в науке|1934 году]] [[Гельфонд, Александр Осипович|Гельфондом]], который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

== Вариации и обобщения ==
В [[Теория Галуа|теории Галуа]] рассматривается более общее определение: элемент [[расширение поля|расширения поля]] ''P'' трансцендентный, если он не является корнем [[многочлен]]а над ''P''.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле [[P-адическое число|p-адических чисел]]{{sfn |Математическая энциклопедия|1985}}.

== Некоторые открытые проблемы ==
* Неизвестно, является ли число <math>\ln \pi</math> [[Рациональное число|рациональным]] или [[Иррациональное число|иррациональным]], [[Алгебраическое число|алгебраическим]] или трансцендентным<ref>{{MathWorld|Pi|Число π}}</ref>.
* Неизвестна [[мера иррациональности]] для чисел <math>\ln 2, \ln 3</math><ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера иррациональности}}</ref>.

== См. также ==
* [[Кольцо периодов]]
* [[Степень трансцендентности]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{wikisource|de:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 1|Über die Transzendenz der Zahlen e und π.}}
* {{Книга:Математическая энциклопедия | 5 |статья=Трансцендентное число|автор=[[Спринджук, Владимир Геннадиевич|Спринджук В. Г.]]
  |страницы=426—427 |ref=Математическая энциклопедия }}
* {{статья |автор=Фельдман Н. |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm |заглавие=Алгебраические и трансцендентные числа |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=7 |год=1983 |страницы=2—7}}

{{вс}}
{{Числа}}
{{Иррациональные числа}}

[[Категория:Числа]]