Просмотр кода страницы Треугольник Рёло

[[Файл:ReuleauxTriangle only.svg|мини|159x159пкс|Треугольник Рёло]]
[[Файл:Construction of Reuleaux triangle.svg|мини|159x159пкс|right|Построение треугольника Рёло]]
'''Треугольник Рёло́'''<ref group="*">Встречаются и другие варианты транскрипции фамилии Reuleaux. Например, [[Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглом]] и [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]] в книге «Выпуклые фигуры» называют его «треугольником Релло».</ref> представляет собой [[Пересечение множеств|область пересечения]] трёх равных кругов с центрами в вершинах [[Правильный треугольник|правильного треугольника]] и [[радиус]]ами, равными его стороне<ref name="vinogradov"/>{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=91}}. [[Гладкая функция|Негладкая]] [[Кривая#Типы кривых|замкнутая кривая]], ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после [[круг]]а [[Кривая постоянной ширины|фигурой постоянной ширины]]<ref name="vinogradov">{{книга
 |автор         = [[Соколов, Дмитрий Дмитриевич|Соколов Д. Д.]]
 |часть         = Постоянной ширины кривая
 |заглавие      = [[Математическая энциклопедия]]
 |издательство  = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
 |ответственный = Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]]
 |место         = {{М.}}
 |год           = 1984
 |страниц       = 608
 |страницы      = 519
 |том           = 4
 |тираж         = 150000
}}</ref>.
То есть если к треугольнику Рёло провести пару [[Параллельность|параллельных]] [[Опорная гиперплоскость|опорных прямых]]<ref group="*">Опорная прямая проходит через одну точку границы фигуры, не разделяя при этом фигуру на части.</ref>, то расстояние между ними не будет зависеть от выбранного направления{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=90}}. Это расстояние называется ''шириной'' треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью<ref name="vinogradov"/>, наименьшим возможным углом при вершине{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=206—207|name="radtpl206207"}}, наименьшей симметричностью относительно центра<ref name="finch">{{книга
 |автор         = Finch S. R.
 |часть         = Reuleaux Triangle Constants
 |ссылка часть  = http://algo.inria.fr/csolve/rx.pdf
 |заглавие      = Mathematical Constants
 |ссылка       = https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc
 |место         = [[Кембридж|Cambridge]]
 |издательство  = Cambridge University Press
 |год           = 2003
 |pages         = [https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513 513]—515
 |allpages      = 624
 |серия         = Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94
 |isbn          = 0-5218-1805-2
}}{{ref-en}}</ref>. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы [[Кулачковый механизм|кулачковые]] и [[Грейферный механизм|грейферные]] механизмы, [[Роторно-поршневой двигатель|роторно-поршневой двигатель Ванкеля]] и даже дрели, позволяющие сверлить ([[Фрезерование|фрезеровать]]) квадратные отверстия<ref name="etude1">{{cite web
 |url         = http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001
 |title       = Круглый треугольник Рело
 |author      = [[Андреев, Николай Николаевич (математик)|Андреев Н. Н.]]
 |work        = [[Математические этюды]]
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgWfbWa?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/mazda/
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика [[Рёло, Франц|Франца Рёло]]. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого так называемого криволинейного треугольника; также он использовал его в своих [[механизм]]ах<ref>{{книга
 |автор         = {{iw|Пиковер, Клиффорд|Pickover C. A.|en|Clifford A. Pickover}}
 |часть         = Reuleaux Triangle
 |заглавие      = The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics
 |ссылка       = https://archive.org/details/mathbookfrompyth00pick
 |издательство  = Sterling
 |место         = [[Нью-Йорк|New York]]; [[Лондон|London]]
 |год           = 2009
 |allpages      = 528
 |pages         = [https://archive.org/details/mathbookfrompyth00pick/page/n270 266]—267
 |isbn          = 1-4027-5796-4
}}{{ref-en}}</ref>.

== История ==
[[Файл:Lunate drawing of Leonardo da Vinci (manuscript A, folio 15v, part).jpg|thumb|left|[[Леонардо да Винчи]], манускрипт A, фрагмент листа 15v]]
[[Рёло, Франц|Рёло]] не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в [[Кинематическая пара|кинематических парах]]) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в [[квадрат]], показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась{{sfn|Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux|2007|p=240}}.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных [[Дуга окружности|дуг окружности]] [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] в XVIII веке<ref name="kmoddl">{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = [[Тайминя, Дайна Яновна|Taimina D.]], Henderson D. W.
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67YnnaBuG?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |archivedate = 2012-05-10
 |deadlink    = no
}}</ref>. Тем не менее подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях [[Леонардо да Винчи]]. Треугольник Рёло есть в его [[Рукопись|манускриптах]] A и B, хранящихся в [[Институт Франции|Институте Франции]]{{sfn|Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux|2007|p=241|name="moon"}}, а также в [[Мадридский кодекс (Леонардо да Винчи)|Мадридском кодексе]]<ref name="kmoddl"/>.

[[Файл:Leonardo da Vinci’s Mappamundi.jpg|thumb|[[Mappa mundi|Mappamundi]]. [[Леонардо да Винчи]], примерно 1514 год]]
Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде [[Карта мира|карт мира]]. Поверхность [[Земля|земного шара]] на ней была разделена [[экватор]]ом и двумя [[меридиан]]ами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь [[Сферический треугольник|сферических треугольников]], которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг [[Географический полюс|полюсов]]<ref>{{книга
 |автор         = {{iw|Снайдер, Джон Парр|Snyder J. P.|en|John P. Snyder}}
 |часть         = Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance
 |заглавие      = Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections
 |место         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |издательство  = University Of Chicago Press
 |год           = 1997
 |pages         = 40
 |allpages      = 384
 |isbn          = 0-2267-6747-7
}}{{ref-en}}</ref>.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели [[Церковь Богоматери (Брюгге)|церкви Богоматери]] в [[Брюгге]] использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон<ref name="kmoddl"/>.

== Свойства ==
Треугольник Рёло является [[Плоская фигура|плоской]] [[Выпуклое множество|выпуклой]] [[Фигура (геометрия)|геометрической фигурой]]<ref>{{книга
 |часть         = Постоянной ширины кривая
 |заглавие      = [[Математический энциклопедический словарь]]
 |издательство  = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
 |ответственный = Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]
 |место         = {{М.}}
 |год           = 1988
 |страниц       = 847
 |страницы      = [https://archive.org/details/libgen_00858224/page/n477 478]
 |тираж         = 150000
}}</ref>.

=== Основные геометрические характеристики ===
[[Файл:Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg|250px|right]]
Если ширина треугольника Рёло равна <math>a</math>, то его [[Площадь фигуры|площадь]] равна<ref>{{cite web
 |url        = http://www.wolframalpha.com/entities/lamina/reuleaux_triangle/ph/xf/b8/
 |title      = WolframAlpha: Reuleaux Triangle
 |work       = [[WolframAlpha]]
 |publisher  = Wolfram Research
 |accessdate = 2011-11-18
 |lang       = en
}}{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>
: <math>S = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2,</math>
[[периметр]]
: <math>p = \pi a,</math>
радиус [[Вписанная окружность|вписанной окружности]]
: <math>r = \left(1 - {{1}\over{\sqrt{3}}}\right) \cdot a,</math>
а радиус [[Описанная окружность|описанной окружности]]
: <math>R = {{a}\over{\sqrt{3}}}</math>.

==== Симметрия ====
Треугольник Рёло обладает [[Осевая симметрия|осевой симметрией]]. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, [[Перпендикулярность|перпендикулярную]] плоскости треугольника и проходящую через его центр<ref group="*" name="center">Центр треугольника Рёло — это точка пересечения всех [[Медиана треугольника|медиан]], [[Биссектриса|биссектрис]] и [[Высота треугольника|высот]] его правильного треугольника.</ref>. Таким образом, [[группа симметрий]] треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая [[Тождественное отображение|тождественное]]) и совпадает с группой <math>D_3</math> симметрий [[Правильный треугольник|правильного треугольника]].

==== Построение циркулем ====
Треугольник Рёло можно [[Построение с помощью циркуля и линейки|построить]] с помощью одного только [[Циркуль|циркуля]], не прибегая к [[Линейка|линейке]]. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных [[Окружность|окружностей]]. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

=== Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины ===
Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,
* с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=201}};
* расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины <math>a</math> не может превышать <math>a</math>{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=201—202}};
* отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=202—203}};
* через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=203}};
* через каждую точку <math>P</math> границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса <math>a</math><ref group="*">Для треугольника Рёло эта окружность совпадает с одной из трёх окружностей, которые образуют его границу.</ref>, причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку <math>P</math>, является касательной к этой окружности{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=203—204}};
* радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины <math>a</math>, не превышает <math>a</math>{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|с=204—206}};
* по теореме {{iw|Ленц, Ханфрид|Ханфрида Ленца|de|Hanfried Lenz}} о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, [[диаметр]] которых был бы меньше ширины самого треугольника<ref>{{статья
 |автор         = Lenz H.
 |заглавие      = Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers
 |издание       = Archiv der Mathematik
 |язык          = de
 |год           = 1955
 |издательство  = Birkhäuser Verlag
 |место         = [[Базель|Basel]]
 |номер         = 5
 |том= 6
 |страницы= 413—416
 |doi           = 10.1007/BF01900515
 |issn          = 0003-889X
}}</ref><ref>{{статья
 |автор               = [[Райгородский, Андрей Михайлович|Райгородский А. М.]]
 |заглавие         = Проблема Борсука. Универсальные покрышки
 |ссылка             = http://www.mccme.ru/free-books/matprosd.html
 |издание           = [[Математическое просвещение]]
 |место               = {{М.}}
 |издательство = [[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]
 |год                   = 2008
 |выпуск             = 12
 |страницы         = 216
 |isbn                     = 978-5-94057-354-8
 |archivedate              = 2011-09-16
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20110916234253/http://www.mccme.ru/free-books/matprosd.html
}}</ref>;
* треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=92|name="yagbol92"}}, а также в [[правильный шестиугольник]]{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=127—128}};
* по [[Теорема Барбье|теореме Барбье]] формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины<ref>{{статья
 |автор               = Barbier E.
 |заглавие         = Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert
 |ссылка             = http://mathdoc.emath.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf
 |язык                 = fr
 |издание           = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
 |издательство = Imprimerie de Mallet-Hachelier
 |место               = [[Париж|Paris]]
 |год                   = 1860
 |том= 5
 |страницы= 273—286
 |issn                     = 0021-7824
}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref name="ctk-barbier">{{cite web
 |url         = http://www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml
 |title       = The Theorem of Barbier
 |author      = Bogomolny A.
 |work        = Cut the Knot
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgYJnQf?url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=127}}.

=== Экстремальные свойства ===

==== Наименьшая площадь ====
Среди всех фигур постоянной ширины <math>a</math> у треугольника Рёло наименьшая [[Площадь фигуры|площадь]]<ref name="vinogradov"/>. Это утверждение носит название [[Теорема Бляшке — Лебега|теоремы Бляшке — Лебега]]{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=128—129}}<ref name="berger">{{книга
 |автор         = [[Берже, Марсель|Берже М.]]
 |заглавие      = Геометрия
 |оригинал      = Géométrie
 |ответственный = Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А. В. Пажитнова, С. В. Чмутова
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год           = 1984
 |том           = 1
 |страницы      = 529—531
 |страниц       = 560
}}</ref> (по фамилиям немецкого геометра [[Бляшке, Вильгельм|Вильгельма Бляшке]], опубликовавшего теорему в 1915 году<ref>{{статья
 |автор         = [[Бляшке, Вильгельм|Blaschke W.]]
 |заглавие      = Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts
 |язык          = de
 |издание       = [[Mathematische Annalen]]
 |издательство  = Druck und Verlag von B. G. Teubner
 |место         = [[Лейпциг|Leipzig]]
 |год           = 1915
 |том= 76
 |номер         = 4
 |страницы= 504—513
 |doi           = 10.1007/BF01458221
 |issn          = 0025-5831
}}</ref>, и французского математика [[Лебег, Анри Леон|Анри Лебега]], который сформулировал её в 1914 году<ref>{{статья
 |автор       = [[Лебег, Анри Леон|Lebesgue H.]]
 |заглавие = Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant
 |ссылка     = http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1914__42__v1_0
 |язык         = fr
 |издание   = Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances
 |том           = 42
 |год           = 1914
 |страницы = 72—76
 |archivedate      = 2016-11-28
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20161128195652/http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1914__42__v1_0
}}</ref>). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год)<ref>{{статья
 |автор         = Fujiwara M.
 |заглавие      = Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area
 |язык          = en
 |издание       = Proceedings of the Imperial Academy
 |издательство  = Japan Academy
 |место         = [[Токио|Tokyo]]
 |год           = 1927
 |том= 3
 |номер         = 6
 |страницы= 307—309
 |issn          = 0369-9846
 |doi           = 10.2183/pjab1912.3.307
}}</ref><ref>{{статья
 |автор         = Fujiwara M.
 |заглавие      = Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II
 |язык          = en
 |издание       = Proceedings of the Imperial Academy
 |издательство  = Japan Academy
 |место         = [[Токио|Tokyo]]
 |год           = 1931
 |том= 7
 |номер         = 8
 |страницы= 300—302
 |issn          = 0369-9846
 |doi           = 10.2183/pjab1912.7.300
}}</ref>, Антон Майер (1935 год)<ref>{{статья
 |автор         = Mayer A. E.
 |заглавие      = Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke
 |язык          = de
 |издание       = [[Mathematische Annalen]]
 |издательство  = Verlag von Julius Springer
 |место         = [[Берлин|Berlin]]
 |год           = 1935
 |том= 110
 |номер         = 1
 |страницы= 97—127
 |doi           = 10.1007/BF01448020
 |issn          = 0025-5831
}}</ref>, Гарольд Эгглстон (1952 год)<ref>{{статья
 |автор         = Eggleston H. G.
 |заглавие      = A Proof of Blaschke’s Theorem on the Reuleaux Triangle
 |язык          = en
 |издание       = Quarterly Journal of Mathematics
 |издательство  = [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]]
 |место         = [[Лондон|London]]
 |год           = 1952
 |том= 3
 |номер         = 1
 |страницы= 296—297
 |doi           = 10.1093/qmath/3.1.296
 |issn          = 0033-5606
}}</ref>, [[Безикович, Абрам Самойлович|Абрам Безикович]] (1963 год)<ref>{{статья
 |автор         = [[Безикович, Абрам Самойлович|Besicovitch A. S.]]
 |заглавие      = Minimum Area of a Set of Constant Width
 |язык          = en
 |издание       = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 |место         = [[Провиденс|Providence]]
 |издательство  = [[Американское математическое общество|American Mathematical Society]]
 |год           = 1963
 |том= 7 (Convexity)
 |страницы= 13—14
 |isbn          = 0-8218-1407-9
 |issn          = 0082-0717
}}</ref>, Дональд Чакериан (1966 год)<ref name="chakerian">{{статья
 |автор               = Chakerian G. D.
 |заглавие         = Sets of Constant Width
 |ссылка             = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102993951
 |язык                 = en
 |издание           = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 |издательство = Pacific Journal of Mathematics Corporation
 |место               = [[Беркли (Калифорния)|Berkeley]]
 |год                   = 1966
 |том                   = 19
 |номер               = 1
 |страницы         = 13—21
 |issn                     = 0030-8730
 |archivedate              = 2016-03-04
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20160304060519/http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102993951
}}</ref>, Эванс Харрелл (2002 год)<ref>{{статья
 |автор         = Harrell E. M.
 |заглавие      = A Direct Proof of a Theorem of Blaschke and Lebesgue
 |язык          = en
 |издание       = Journal of Geometric Analysis
 |издательство  = Mathematica Josephina
 |место         = [[Сент-Луис|St. Louis]]
 |год           = 2002
 |том= 12
 |номер         = 1
 |страницы= 81—88
 |doi           = 10.1007/BF02930861
 |issn          = 1050-6926
}} {{arXiv|math.MG|0009137}}</ref> и другие математики<ref name="finch"/>.

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего [[Правильный треугольник|равностороннего треугольника]]
: <math>S_\triangle = {{\sqrt{3}}\over{4}} \cdot a^2</math>
и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых [[Сегмент (геометрия)|сегментов]], опирающихся на угол в 60°
: <math>S_{seg} = {{a^2}\over{2}} \left({{\pi}\over{3}} - \sin{{\pi}\over{3}}\right) = {\left({{\pi}\over{6}} - {{\sqrt{3}}\over{4}}\right) \cdot a^2},</math>
то есть
: <math>S_{rt} = S_\triangle + 3S_{seg} = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2 = a^2 \cdot 0{,}70477\ldots</math><ref name="wolfram">{{cite web
 |url          = http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html
 |title        = Reuleaux Triangle
 |author       = [[Вайсштайн, Эрик|Weisstein E. W.]]
 |work         = Wolfram [[MathWorld]]
 |lang         = en
 |accessdate   = 2011-11-06
 |archive-date = 2019-04-02
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20190402194525/http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html
 |deadlink     = no
}}</ref>

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — [[круг]]. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь
: <math>S_\bigcirc = a^2 \cdot {{\pi}\over{4}} = a^2 \cdot 0{,}78539\ldots</math>
максимальна<ref>{{статья
 |автор               = [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]]
 |заглавие         = О вращении отрезка
 |ссылка             = http://kvant.mccme.ru/1973/04/p29.htm
 |издание           = [[Квант (журнал)|Квант]]
 |место               = {{М.}}
 |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год                   = 1973
 |номер               = 4
 |страницы         = 29
 |issn                     = 0130-2221
 |archivedate              = 2007-11-26
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20071126034136/http://kvant.mccme.ru/1973/04/p29.htm
}}</ref><ref group="*">Это утверждение следует из совокупности двух теорем — классической изопериметрической [[Задача Дидоны|задачи Дидоны]] и [[Теорема Барбье|теоремы Барбье]].</ref>. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

==== Наименьший угол ====
Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна [[опорная прямая]], а [[бесконечное множество]] опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется ''углом при вершине''. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло<ref name="radtpl206207"/>.

==== Наименьшая центральная симметрия ====
[[Файл:Symmetry measure of Reuleaux triangle.svg|thumb|Треугольник Рёло (бежевый) и его образ при [[Центральная симметрия|центральной симметрии]] относительно своего центра (заштрихован). Наибольшая центрально-симметричная фигура, в нём содержащаяся (криволинейный шестиугольник), и наименьшая центрально-симметричная выпуклая, его содержащая ([[правильный шестиугольник]]) выделены жирной линией]]
Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает [[Центральная симметрия|центральной симметрией]] в наименьшей степени<ref name="finch"/><ref name="besicovitch">{{статья
 |автор         = [[Безикович, Абрам Самойлович|Besicovitch A. S.]]
 |заглавие      = Measure of Asymmetry of Convex Curves (II): Curves of Constant Width
 |язык          = en
 |издание       = Journal of the London Mathematical Society
 |издательство  = [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]]
 |место         = [[Оксфорд|Oxford]]
 |год           = 1951
 |том= 26
 |номер         = 2
 |страницы= 81—93
 |doi           = 10.1112/jlms/s1-26.2.81
 |issn          = 0024-6107
}}</ref><ref>{{статья
 |автор         = Eggleston H. G.
 |заглавие      = Measure of Asymmetry of Convex Curves of Constant Width and Restricted Radii of Curvature
 |язык          = en
 |издание       = Quarterly Journal of Mathematics
 |издательство  = [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]]
 |место         = [[Лондон|London]]
 |год           = 1952
 |том= 3
 |номер         = 1
 |страницы= 63—72
 |doi           = 10.1093/qmath/3.1.63
 |issn          = 0033-5606
}}</ref><ref>{{статья
 |автор         = [[Грюнбаум, Бранко|Grünbaum B.]]
 |заглавие      = Measures of Symmetry for Convex Sets
 |язык          = en
 |место         = [[Провиденс|Providence]]
 |издательство  = [[Американское математическое общество|American Mathematical Society]]
 |издание       = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 |год           = 1963
 |том= 7 (Convexity)
 |страницы= 233—270
 |isbn          = 0-8218-1407-9
 |issn          = 0082-0717
}}</ref><ref>{{статья
 |автор               = Groemer H., Wallen L. J.
 |заглавие         = A Measure of Asymmetry for Domains of Constant Width
 |ссылка             = http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/19.html
 |язык                 = en
 |издание           = Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry
 |издательство = Heldermann Verlag
 |место               = [[Лемго|Lemgo]]
 |год                   = 2001
 |том                   = 42
 |номер               = 2
 |страницы         = 517—521
 |issn                     = 0138-4821
 |archivedate              = 2015-09-21
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20150921202727/http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/19.html
}}</ref>. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для [[Выпуклое множество|выпуклой фигуры]] <math>C</math> она равна
: <math>\sigma(C) = {{\mu(A)}\over{\mu(C)}},</math>
где <math>\mu</math> — площадь фигуры, <math>A</math> — содержащаяся в <math>C</math> центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является [[шестиугольник]] с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра<ref group="*" name="center"/>. Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна
: <math>\sigma = {{6\arccos{\left({{5 + \sqrt{33}}\over{12}}\right)} + \sqrt{3} - \sqrt{11}}\over{\pi - \sqrt{3}}} = 0{,}84034\ldots</math><ref name="finch"/><ref name="besicovitch"/>

Другой способ — это мера Эстерманна
: <math>\tau(C) = {{\mu(C)}\over{\mu(B)}},</math>
где <math>B</math> — содержащая <math>C</math> центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло <math>B</math> — это [[правильный шестиугольник]], поэтому мера Эстерманна равна
: <math>\tau = {{\pi - \sqrt{3}}\over{\sqrt{3}}} = 0{,}81379\ldots</math><ref name="finch"/><ref name="chakerian"/>

Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только [[круг]]<ref name="ctk-barbier"/>, который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.

=== Качение по квадрату ===
[[Файл:Rotation of Reuleaux triangle.gif|thumb|Качение треугольника Рёло по [[квадрат]]у]]
Любая [[Кривая постоянной ширины|фигура постоянной ширины]] вписана в [[квадрат]] со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно<ref name="yagbol92"/><ref group="*">Это свойство ''вполне характеризует'' фигуры постоянной ширины. Иначе говоря, любая фигура, вокруг которой можно «вращать» описанный квадрат, будет фигурой постоянной ширины.</ref>. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно [[Касание|касаясь]] всех четырёх сторон<ref name="etude42">{{cite web
 |url         = http://www.etudes.ru/ru/mov/mov042/
 |title       = Изобретая колесо
 |author      = [[Андреев, Николай Николаевич (математик)|Андреев Н. Н.]]
 |work        = [[Математические этюды]]
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgYxf9e?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>.

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь [[периметр]] квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу [[эллипс]]а. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его [[Большая полуось|больша́я]] и [[Эллипс|малая]] оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны
: <math>a\cdot\left(\sqrt{3}\pm1\right),</math>
где <math>a</math> — ширина треугольника<ref name="etude17">{{cite web
 |url         = http://www.etudes.ru/ru/mov/mov017/
 |title       = Сверление квадратных отверстий
 |author      = [[Андреев, Николай Николаевич (математик)|Андреев Н. Н.]]
 |work        = [[Математические этюды]]
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgZw0sV?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/drill/
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии
: <math>a \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}}\right) = a \cdot 0{,}13397\ldots</math>
от угла<ref name="wolfram"/>.

<div class="center"><div class="thumb tnone"><div class="thumbinner" style="width:600px">
{|-valign="top"
 |align="center" width="300px" |[[Файл:Reuleaux triangle rotation corners.svg|230px]]
 |align="center" width="300px" |[[Файл:Reuleaux shape corner.svg|230px]]
 |-
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">[[Эллипс]] (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в [[квадрат]]е</div>
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки [[Касание|касания]] сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата</div>
 |}
</div></div></div>

Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны
: <math>a\cdot\left(1\pm{{1}\over\sqrt{3}}\right)</math><ref name="etude17"/>.
Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх дуг эллипсов, а близкую к ней окружность<ref>{{статья
 |автор         = Белильцев В.
 |заглавие      = Плюс геометрия!
 |издание       = Техника и наука
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = Профиздат
 |год           = 1982
 |номер         = 7
 |страницы      = 14
 |issn          = 0321-3269
}}</ref>.

<div class="center"><div class="thumb tnone"><div class="thumbinner" style="width:600px">
{|-valign="top"
 |align="center" width="300px" |[[Файл:Reuleaux triangle rotation center.svg|230px]]
 |align="center" width="300px" |[[Файл:Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg|230px]]
 |-
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">[[Эллипс]] (выделен красным цветом), очерчивающий одну четвёртую кривой, по которой движется центр треугольника Рёло при вращении в квадрате</div>
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">[[Траектория]] центра треугольника Рёло при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов. Для сравнения показана [[окружность]] (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки</div>
 |}
</div></div></div>

[[Площадь фигуры|Площадь]] каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна
: <math>\beta = a^2 \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}} - {{\pi}\over{24}}\right)</math><ref name="klee">{{книга
 |автор         = [[Кли, Виктор|Klee V.]], Wagon S.
 |заглавие      = Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory
 |издательство  = [[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]]
 |место         = [[Вашингтон (округ Колумбия)|Washington D.C.]]
 |год           = 1996
 |pages         = 22
 |allpages      = 356
 |серия         = Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11
 |isbn          = 0-8838-5315-9
}}{{ref-en}}</ref>

и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём
: <math>a^2 - 4\beta = a^2 \cdot \left(2\sqrt{3} + {{\pi}\over{6}} - 3\right) = a^2 \cdot 0{,}98770\ldots</math><ref name="wolfram"/><ref name="klee"/><ref>{{cite web
 |url         = http://oeis.org/A066666
 |title       = A066666: Decimal Expansion of Area Cut Out by a Rotating Reuleaux Triangle
 |author      = Wilson R. G.
 |work        = [[Энциклопедия целочисленных последовательностей|OEIS]]
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgaz8kf?url=http://oeis.org/A066666
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>

Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают [[Сверло|свёрла]], позволяющие получать почти квадратные отверстия<ref name="etude17"/>.

== Применение ==

=== Сверление квадратных в сечении к оси фрезы отверстий ===
{{Врезка
 | Содержание   = «Мы все слыхали о [[Гаечный ключ|гаечных ключах]], приспособленных для [[Гайка|гаек]] с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна. Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»
 | Подпись         = рекламная листовка фирмы<br>Watts Brothers Tool Works<ref>Цитата по книге {{книга
 |автор         = [[Гарднер, Мартин|Гарднер М.]]
 |заглавие      = Математические досуги
 |ответственный = Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинского
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год           = 1972
 |страницы      = 292
 |страниц       = 496
}}</ref><ref group="*">В оригинале — ''«We have all heard about left-handed monkey wrenches, fur-lined bathtubs, cast-iron bananas. We have all classed these things with the ridiculous and refused to believe that anything like that could ever happen, and right then along comes a tool that drills square holes!»''</ref>
 | Выравнивание    = right
 | Ширина          = 340px
 | Размер шрифта   = 85%
 | Фон             = #f9f9f9
}}
[[Фреза]] с сечением в виде треугольника Рёло и режущими лезвиями, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата в сечении состоит лишь в немного скруглённых углах<ref name="nkj">{{статья
 |автор         = Егупова М.
 |заглавие      = Можно ли просверлить квадратное отверстие?
 |издание       = [[Наука и жизнь]]
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[Автономная некоммерческая организация|АНО]] «Редакция журнала „Наука и жизнь“»
 |год           = 2010
 |номер         = 5
 |страницы      = 84—85
 |issn          = 0028-1263
 |язык= ru
 }}</ref>. Другая особенность подобной фрезы заключается в том, что его ось при вращении не должна оставаться на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает в плоскости сечения кривую, состоящую из четырёх дуг [[эллипс]]ов. Поэтому [[Зажимной патрон|патрон]], в котором зажата фреза, и крепление инструмента не должно препятствовать этому движению<ref name="etude17"/>.

Впервые реализовать подобную конструкцию крепления инструмента удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в [[Соединённые Штаты Америки|США]]. Для этого он использовал направляющую пластину с отверстием в виде квадрата, в котором могло радиально перемещаться сверло, зажатое в «плавающем патроне»<ref name="nkj"/>. [[Патент]]ы на патрон<ref>{{cite web
 |url          = http://www.google.com/patents/US1241175
 |title        = U.S. patent 1,241,175 (Floating Tool-Chuck)
 |author       = Watts H. J.
 |lang         = en
 |accessdate   = 2011-10-11
 |archive-date = 2015-11-29
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20151129025557/http://www.google.com/patents/US1241175
 |deadlink     = no
}}</ref> и сверло<ref>{{cite web
 |url          = http://www.google.com/patents/US1241176
 |title        = U.S. patent 1,241,176 (Drill or Boring Member)
 |author       = Watts H. J.
 |lang         = en
 |accessdate   = 2011-10-11
 |archive-date = 2011-12-29
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20111229071215/http://www.google.com/patents/US1241176
 |deadlink     = no
}}</ref> были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма {{iw|Watts Brothers Tool Works||en|Watts Brothers Tool Works}}{{sfn|Smith. Drilling Square Holes|1993}}<ref>{{книга
 |автор         = Darling D. J.
 |часть         = Reuleaux Triangle
 |заглавие      = The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes
 |ссылка       = https://archive.org/details/universalbookofm0000darl
 |место         = [[Хобокен (Нью-Джерси)|Hoboken]]
 |издательство  = Wiley
 |год           = 2004
 |pages         = [https://archive.org/details/universalbookofm0000darl/page/272 272]
 |allpages      = 400
 |isbn          = 0-4712-7047-4
}}{{ref-en}}</ref>. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году<ref>{{cite web
 |url          = http://www.google.com/patents/US4074778
 |title        = U.S. patent 4,074,778 (Square Hole Drill)
 |author       = Morrell R. J., Gunn J. A., Gore G. D.
 |lang         = en
 |accessdate   = 2011-10-11
 |archive-date = 2011-12-28
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20111228193015/http://www.google.com/patents/US4074778
 |deadlink     = no
}}</ref>.

=== Двигатель Ванкеля ===
[[Файл:Wankel Cycle anim.gif|thumb|left|150px|Схема работы двигателя Ванкеля]]
Другой пример использования можно найти в [[Роторно-поршневой двигатель|двигателе Ванкеля]]: [[ротор (техника)|ротор]] этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло<ref name="etude1"/>. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по [[Эпитрохоида|эпитрохоиде]]<ref name="polytech">{{книга
 |часть         = Ванкеля двигатель
 |заглавие      = Политехнический словарь
 |ответственный = Редкол.: [[Ишлинский, Александр Юльевич|А. Ю. Ишлинский]] (гл. ред.) и др.
 |издание       = 3-е изд., перераб. и доп
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
 |год           = 1989
 |страницы      = 72
 |страниц       = 656
 |isbn          = 5-8527-0003-7
}}</ref>. Вал ротора жёстко соединён с [[Зубчатое колесо|зубчатым колесом]], которое сцеплено с неподвижной [[Зубчатое колесо|шестернёй]]. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного [[объём]]а, каждая из которых по очереди является [[Камера сгорания|камерой сгорания]]<ref name="etude1"/>. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный [[Термодинамические циклы|термодинамический цикл]] без применения [[Газораспределительный механизм|механизма газораспределения]]. Смесеобразование, [[Система зажигания|зажигание]], смазка, [[Система охлаждения двигателя внутреннего сгорания|охлаждение]] и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных [[Поршневой двигатель внутреннего сгорания|поршневых двигателей внутреннего сгорания]]<ref name="polytech"/>.

=== Грейферный механизм ===
[[Файл:Luch2 greifer.gif|right|thumb|Рамочно-кулачковый грейферный механизм кинопроектора «Луч-2»]]
Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это [[грейферный механизм]], осуществляющий покадровое перемещение [[Киноплёнка|плёнки]] в [[кинопроектор]]ах. Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат, закреплённую на двойном [[параллелограмм]]е. Вращаясь вокруг [[Вал (деталь машин)|вала]] [[Электрический привод|привода]], треугольник двигает рамку с расположенным на ней [[Зуб (техника)|зубом]]. Зуб входит в [[Перфорация|перфорацию]] киноплёнки, протаскивает её на один [[кадр]] вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла)<ref name="etude1"/>{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=93—94}}<ref>{{книга
 |автор         = Кулагин С. В.
 |часть         = Грейферный механизм
 |заглавие      = Фотокинотехника
 |ответственный = Гл. ред. [[Иофис, Евсей Абрамович|Е. А. Иофис]]
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
 |год           = 1981
 |страницы      = 71
 |страниц       = 447
 |тираж         = 100000
}}</ref>.

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два [[Кулак (техника)|кулачка]], работа которых синхронизирована с помощью [[Зубчатая передача|зубчатой передачи]]<ref name="berger"/>.

=== Крышки для люков ===
В форме треугольника Рёло можно изготавливать [[Крышка канализационного люка|крышки для люков]] — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк<ref>{{статья
 |автор         = White H. S.
 |заглавие      = The Geometry of Leonhard Euler
 |язык          = en
 |ответственный = Eds. R. E. Bradley, C. E. Sandifer
 |издание       = Leonhard Euler: Life, Work and Legacy
 |место         = [[Амстердам|Amsterdam]]
 |издательство  = [[Elsevier]]
 |год           = 2007
 |страницы= 309
 |isbn          = 0-4445-2728-1
}}</ref>.

В [[Сан-Франциско]], для системы {{iw|Рекуперированная вода|рекуперирования воды|en|Reclaimed water}} корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.

=== Кулачковый механизм ===
{{External media
 |align     = right
 |font-size = 105
 |width     = 235px
 |topic     = Кулачковые механизмы на основе треугольника Рёло
 |image1    = Модели [http://kmoddl.library.cornell.edu/stillImages/large/L01.jpg L01]<ref>{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model_metadata.php?m=60
 |title       = Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle (Model Metadata)
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |accessdate  = 2011-11-18
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgd3NYI?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model_metadata.php?m=60
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>, [http://kmoddl.library.cornell.edu/stillImages/large/L02.jpg L02]<ref>{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model_metadata.php?m=238
 |title       = Model: L02 Positive Return Cam (Model Metadata)
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |accessdate  = 2011-11-18
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgdWd7G?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model_metadata.php?m=238
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref> и [http://kmoddl.library.cornell.edu/stillImages/large/L06.jpg L06]<ref>{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model_metadata.php?m=262
 |title       = Model: L06 Positive Return Cam  (Model Metadata)
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |accessdate  = 2011-11-18
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgdx4rP?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model_metadata.php?m=262
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref> из коллекции механизмов Франца Рёло
}}
Треугольник Рёло использовался в [[Кулачковый механизм|кулачковых механизмах]] некоторых [[Паровая машина|паровых двигателей]] начала [[XIX век]]а. В этих механизмах [[вращательное движение]] [[кривошип]]а поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение<ref name="l01">{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=60
 |title       = Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgeNRvI?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=60
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>. По терминологии [[Рёло, Франц|Рёло]], это соединение образует «высшую» [[Кинематическая пара|кинематическую пару]], поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности<ref>{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=262
 |title       = Model: L06 Positive Return Cam
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sgeqJwK?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=262
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref>. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен<ref name="l01"/><ref name="moon"/>.

Треугольник Рёло ранее широко применялся в кулачковых механизмах [[швейная машина|швейных машин]] зигзагообразной строчки. Некоторые типы [[Грейферный механизм|грейферного механизма]] в [[Кинотехника|кинотехнике]] также основаны на кулачке в форме треугольника Рёло.

В качестве [[Кулак (техника)|кулачка]] треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме [[Наручные часы|наручных часов]] [[A. Lange & Söhne]] «Lange 31»<ref>{{статья
 |автор               = Гопей И.
 |заглавие         = A. Lange & Söhne Lange 31
 |ссылка             = http://www.mywatch.ru/watch-art/art_1295.html
 |издание           = Мои часы
 |издательство = Часовая литература
 |место               = {{М.}}
 |год                   = 2010
 |номер               = 1
 |страницы         = 39
 |issn                     = 1681-5998
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20110213013711/http://mywatch.ru/watch-art/art_1295.html
 |archivedate              = 2011-02-13
}}</ref>.

=== Каток ===
[[Файл:Reuleaux triangle 54.JPG|thumb|230px|Катки с сечением в виде круга и треугольника Рёло. [[Немецкий технический музей]]]]
Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, [[цилиндр]]ические катки{{sfn|Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions|1991|p=212|name="gardner212"}}. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди<ref name="planim">{{книга
 |автор        = Бутузов В. Ф. и др.
 |часть        = Окружность
 |заглавие     = Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики
 |ссылка       = http://lib.mexmat.ru/books/46694
 |место        = {{М.}}
 |издательство = [[Физматлит]]
 |год          = 2005
 |страницы     = 265
 |страниц      = 488
 |isbn         = 5-9221-0635-X
 |archive-date = 2012-09-18
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20120918063031/http://lib.mexmat.ru/books/46694
}}</ref><ref name="gardner212"/>. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения [[Колесо|колеса]].

При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего<ref name="planim"/>. Для того, чтобы движение по каткам было [[Прямолинейное движение|прямолинейным]], их сечение должно представлять собой [[Кривая постоянной ширины|фигуру постоянной ширины]]<ref name="planim"/><ref>{{статья
 |автор               = Коган Б. Ю.
 |заглавие         = Удивительные катки
 |ссылка             = http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/03/udivitelnye_katki.htm
 |издание           = [[Квант (журнал)|Квант]]
 |место               = {{М.}}
 |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год                   = 1971
 |номер               = 3
 |страницы         = 21—24
 |issn                     = 0130-2221
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20120328055333/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/03/udivitelnye_katki.htm
 |archivedate              = 2012-03-28
}}</ref>. Чаще всего сечением был [[круг]], ведь катками служили обыкновенные [[Бревно|брёвна]]. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет {{прояснить2|ничуть не хуже|комментарий=давление же будет огромным при опоре на вершину (с бесконечной кривизной)}} и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно<ref name="etude1"/><ref name="planim"/>.

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной [[Вращательное движение|оси вращения]]{{sfn|Peterson. Mathematical Treks|2002|p=143}}.

=== Плектр ===
[[Файл:Johnny ramone palheta.jpg|thumb|230px|Плектр [[Рамон, Джонни|Джонни Рамона]]|альт=]]
Треугольник Рёло — распространённая форма [[плектр]]а (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на [[Струнные щипковые музыкальные инструменты|струнных щипковых музыкальных инструментах]].

=== В дизайне ===
Треугольник Рёло используется как элемент логотипов компаний и организаций, например: FINA ({{Нп5|Petrofina}})<ref>{{Cite web|url=http://www.total.com/en/about-total/group-presentation/group-history/fina-logo-history-922651.html|title=Fina Logo History: from Petrofina to Fina|publisher=total.com|archiveurl=https://web.archive.org/web/20121226182719/http://www.total.com/en/about-total/group-presentation/group-history/fina-logo-history-922651.html|archivedate=2012-12-26}}</ref>, [[Bavaria]]<ref>{{Cite web|url=http://www.bavaria.com/ru-ru/site|title=Bavaria|lang=ru|accessdate=2019-05-07}}</ref>, {{Нп5|Колорадская горная школа|4=Colorado School of Mines}}<ref>{{Cite web|url=http://magazine.mines.edu/BackIssues/PDF_Archives/vol_92_num_2.pdf|title=M-Blems: Explaining the logo|author=Roland B. Fischer|date=весна 2002|format=PDF|pages=29|publisher=Mines: The Magazine of Colorado School of Mines. Volume 92 Number 2|access-date=2019-05-07|archive-date=2010-07-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20100710165916/http://magazine.mines.edu/BackIssues/PDF_Archives/vol_92_num_2.pdf|deadlink=no}}</ref>.

В США [[Система национальных троп США|система национальных троп]] и [[Система велосипедных маршрутов США|система велосипедных маршрутов]] оформлены с помощью треугольников Рёло<ref>{{Cite web|url=https://mutcd.fhwa.dot.gov/resources/interim_approval/ia15/|title=Interim Approval for the Optional Use of an Alternative Design for the U.S. Bicycle Route (M1-9) Sign (IA-15) - Interim Approvals Issued by FHWA - FHWA MUTCD|publisher=mutcd.fhwa.dot.gov|accessdate=2019-05-07|archive-date=2020-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20200305140408/https://mutcd.fhwa.dot.gov/resources/interim_approval/ia15/|deadlink=no}}</ref>.

Форма центральной кнопки смартфона [[Samsung Corby]] представляет собой треугольник Рёло, вложенный в серебристое обрамление такой же формы. Центральная кнопка, по мнению экспертов, является главным элементом дизайна лицевой стороны Corby<ref name="nomobile">{{cite web|url=http://www.nomobile.ru/reviews/49605.html|title=Налетай, подешевело: Samsung S3650 Corby|author=Алексей Гончаров|date=2009-09-28|publisher=Nomobile|accessdate=2019-05-07|archive-date=2019-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20190214183118/http://www.nomobile.ru/reviews/49605.html|deadlink=yes}}</ref><ref name="gagadget">{{cite web|url=https://gagadget.com/cellphones/2790-obzor-mobilnogo-telefona-samsung-s3650-corby/|title=Обзор мобильного телефона Samsung S3650 Corby|author=Павел Урусов|date=2010-01-18|publisher=GaGadget|accessdate=2019-03-02|archive-date=2019-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20190214174419/https://gagadget.com/cellphones/2790-obzor-mobilnogo-telefona-samsung-s3650-corby/|deadlink=no}}</ref>.
<gallery>
Файл:Bavaria Oud Bruin.jpg|[[Bavaria]]
Файл:Natl Hist Trail route signs.JPG
Файл:2017-06-26 14 22 35 View south along Virginia State Route 4 (Buggs Island Road) at U.S. Route 58 in Mecklenburg County, Virginia.jpg
Файл:2017-07-07 16 54 13 View east along Virginia State Route 5 (John Tyler Memorial Highway) at Virginia State Route 155 (Courthouse Road) in Charles City, Charles City County, Virginia.jpg
Файл:Samsung-corby.jpg|[[Samsung Corby]]
Файл:Off white triangular tablet marked.jpg|Таблетка [[экстази]]
</gallery>

== Треугольник Рёло в искусстве ==

=== Архитектура ===
Форма треугольника Рёло используется и в [[Архитектура|архитектурных]] целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для [[Готика|готического стиля]] стрельчатую [[Арка|арку]], однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко<ref name="hauterive">{{cite web
 |url         = http://web.me.com/paulscott.info/place/pm13/pm13.html
 |title       = Fancy Gothic of Hauterive
 |author      = Brinkworth  P., Scott P.
 |work        = The Place Of Mathematics
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |deadlink    = no
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20130405133324/http://web.me.com/paulscott.info/place/pm13/pm13.html
 |archivedate = 2013-04-05
}}</ref><ref name="adelaide">{{cite web
 |url         = http://web.me.com/paulscott.info/maths-gallery/1/6.reuleaux-window.html
 |title       = Reuleaux Triangle Window
 |author      = Scott P.
 |work        = Mathematical Photo Gallery
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |deadlink    = no
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20130501134221/http://web.me.com/paulscott.info/maths-gallery/1/6.reuleaux-window.html
 |archivedate = 2013-05-01
}}</ref>. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в [[Церковь Богоматери (Брюгге)|церкви Богоматери]] в [[Брюгге]]<ref name="kmoddl"/>, а также в шотландской церкви в [[Аделаида|Аделаиде]]<ref name="adelaide"/>. Как элемент [[орнамент]]а он встречается на оконных решётках [[Цистерцианцы|цистерцианского]] аббатства в [[Общины Швейцарии|швейцарской коммуне]] {{iw|Отрив (Фрибур)|Отрив|fr|Hauterive (Fribourg)}}<ref name="hauterive"/>.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в [[Кёльн]]е 103-метровая башня под названием «{{iw|Кёльнский треугольник||de|KölnTriangle}}» в сечении представляет собой именно эту фигуру<ref>{{cite web
 |url         = http://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/index_eng.html
 |title       = KölnTriangle: Architecture
 |work        = Официальный сайт KölnTriangle
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZExSNds?url=http://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/index_eng.html
 |archivedate = 2013-06-22
 |deadlink    = yes
}}</ref>.

{|class="graytable" align="center" style="text-align:center; width:785px"
|+Некоторые примеры использования
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges 2.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangle shaped window of Sint-Salvatorskathedraal, Bruges.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Notre-Dame, Paris.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:KölnTriangle (Flight over Cologne).jpg|125px]]
|-
|Окно [[Церковь Богоматери (Брюгге)|церкви Богоматери]] в [[Брюгге]]
|Окно собора Святого Сальватора в [[Брюгге]]
|Окно [[Собор Парижской Богоматери|собора Парижской Богоматери]]
|«{{iw|Кёльнский треугольник||de|KölnTriangle}}»
|-
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Saint Michael church, Luxembourg.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangle shaped window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of St. Michael and St. Gudula Cathedral, Brussels.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Sint-Baafskathedraal, Ghent 2.jpg|125px]]
|-
|Окно [[Церковь Святого Михаила (Люксембург)|церкви Святого Михаила]] в [[Люксембург (город)|Люксембурге]]
|Окно [[Церковь Богоматери (Брюгге)|церкви Богоматери]] в [[Брюгге]]
|Окно [[Брюссельский собор|собора Святых Михаила и Гудулы]] в [[Брюссель|Брюсселе]]
|Окно собора Святого Бавона в Генте
|}

<div align="center">''См. также категорию «[[:commons:category:reuleaux triangles in architecture|Reuleaux triangles in architecture]]» на [[Викисклад]]е''</div>

=== Форма и цвет ===
[[Файл:Mod Itten Reuleaux Triangle LSSA 256col.gif|thumb|150px|Треугольник Рёло в соответствиях И. Иттена]]
Согласно форкурсу [[Иттен, Иоганнес|Иоганнеса Иттена]], в «идеальной» [[Иттен, Иоганнес#Форма и цвет|модели соответствий]] часть спектра каждого цвета пребывает в таковом — с формой (геометрической фигурой). Зелёный цвет является «производным»: результатом смешения прозрачно-синего и светло-жёлтого (без включения [[Цвет#Ахроматические цвета|ахроматических]]), а поскольку в этой модели им соответствуют круг и правильный треугольник, именно фигура, называемая И. Иттеном сферическим треугольником, — треугольник Рёло, и соответствует зелёному.

=== Литература ===
В [[Научная фантастика|научно-фантастическом]] рассказе [[Андерсон, Пол Уильям|Пола Андерсона]] «Треугольное колесо»<ref>{{статья
 |автор         = [[Андерсон, Пол Уильям|Anderson P.]]
 |заглавие      = The Three-Cornered Wheel
 |язык          = en
 |издание       = [[Astounding Science Fiction|Analog Science Fact — Science Fiction]]
 |место         = [[Нью-Йорк|New York]]
 |издательство  = Condé Nast Publications
 |год           = 1963/10
 |том= LXXII
 |номер         = 2
 |страницы= 50—69
}}</ref> экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало [[Колесо|колёса]], так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

== Вариации и обобщения ==

=== Многоугольник Рёло ===
{{main|Многоугольник Рёло}}
[[Файл:Reuleaux polygon construction.svg|thumb|Семиугольник Рёло, построенный на неправильном звёздчатом семиугольнике|160px]]

Лежащую в основе треугольника Рёло идею построения можно обобщить, используя для создания [[Кривая постоянной ширины|кривой постоянной ширины]] не [[Правильный треугольник|равносторонний треугольник]], а [[звёздчатый многоугольник]], образованный [[Отрезок|отрезками]] прямых равной длины{{sfn|Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions|1991|p=215—216|name="gardner215216"}}. Если из каждой вершины звёздчатого многоугольника провести [[Дуга окружности|дугу окружности]], которая соединит две [[Глоссарий теории графов#смежность|смежные]] ей вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же [[радиус]]а<ref name="gardner215216"/>. Такие кривые (а также ограничиваемые ими фигуры) называются ''[[Многоугольник Рёло|многоугольниками Рёло]]''<ref name="bezdek">{{статья
 |автор       = Bezdek M.
 |заглавие = On a Generalization of the Blaschke-Lebesgue Theorem for Disk-Polygons
 |ссылка     = http://cdm.ucalgary.ca/index.php/cdm/article/view/190
 |язык         = en
 |издание   = Contributions to Discrete Mathematics
 |год           = 2011
 |том= 6
 |номер       = 1
 |страницы= 77—85
 |issn             = 1715-0868
}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=128|name="eggleston128"}}.

[[Файл:Reuleaux polygons.svg|thumb|left|180px|Правильные многоугольники Рёло]]
Семейство многоугольников Рёло определённой ширины <math>a</math> образует [[Плотное множество|всюду плотное подмножество]] во множестве всех кривых постоянной ширины <math>a</math> (с [[метрика Хаусдорфа|метрикой Хаусдорфа]])<ref name="bezdek"/>. Иными словами, с их помощью можно сколь угодно точно [[Аппроксимация|приблизить]] любую кривую постоянной ширины{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=98—102}}<ref name="eggleston128"/>.

Среди многоугольников Рёло выделяют класс кривых, построенных на основе правильных звёздчатых многоугольников. Этот класс носит название ''правильных многоугольников Рёло''. Все дуги, из которых составлен подобный многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую [[Длина кривой|длину]]<ref name="firey">{{статья
 |автор               = Firey W. J.
 |заглавие         = Isoperimetric Ratios of Reuleaux Polygons
 |ссылка             = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038230
 |язык                 = en
 |издание           = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 |издательство = Pacific Journal of Mathematics Corporation
 |место               = [[Беркли (Калифорния)|Berkeley]]
 |том                   = 10
 |номер               = 3
 |год                   = 1960
 |страницы         = 823—829
 |issn                     = 0030-8730
 |archivedate              = 2016-08-13
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20160813094232/http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038230
}}</ref><ref group="*">Иначе говоря, равны [[Окружность#Связанные определения|центральные углы]] этих дуг.</ref>. Треугольник Рёло, например, является правильным. Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь<ref name="firey"/><ref>{{статья
 |автор               = Sallee G. T.
 |заглавие         = Maximal Areas of Reuleaux Polygons
 |язык                 = en
 |ссылка             = http://math.ca/10.4153/CMB-1970-037-1
 |издание           = Canadian Mathematical Bulletin
 |издательство = Canadian Mathematical Society
 |место               = [[Оттава|Ottawa]]
 |том= 13
 |номер               = 2
 |год                   = 1970
 |страницы= 175—179
 |doi                      = 10.4153/CMB-1970-037-1
 |issn                     = 0008-4395
}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>.

Форма таких многоугольников используется в [[Монетное дело|монетном деле]]: монеты ряда стран (в частности, [[Двадцать пенсов (Великобритания)|20]]<ref>{{cite web
 |url         = http://www.royalmint.com/Corporate/facts/coins/20pCoin.aspx
 |title       = United Kingdom 20p Coin
 |work        = Официальный сайт [[Королевский монетный двор Великобритании|королевского монетного двора Великобритании]]
 |accessdate  = 2011-11-06
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20120212205252/http://www.royalmint.com/Corporate/facts/coins/20pCoin.aspx
 |archivedate = 2012-02-12
 |deadlink    = yes
}}</ref> и [[Пятьдесят пенсов (Великобритания)|50 пенсов]]<ref>{{cite web
 |url         = http://www.royalmint.com/Corporate/facts/coins/50pCoin.aspx
 |title       = United Kingdom 50p Coin
 |work        = Официальный сайт [[Королевский монетный двор Великобритании|королевского монетного двора Великобритании]]
 |accessdate  = 2011-11-06
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67sggdvW3?url=http://www.royalmint.com/discover/uk-coins/coin-design-and-specifications/fifty-pence-coin
 |archivedate = 2012-05-23
 |deadlink    = no
}}</ref> [[Великобритания|Великобритании]]) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло. Существует изготовленный китайским офицером [[велосипед]], колёса которого имеют форму правильных треугольника и пятиугольника Рёло<ref>{{cite web
 | url        = http://www.popmech.ru/article/5480-kolesa-s-uglami/
 | title        = Колёса с углами: изобретаем велосипед
 | date        = 2009-05-29
 | work        = Сайт «[[Популярная механика]]»
 | accessdate        = 2011-11-06
 | archiveurl        = https://web.archive.org/web/20101018220331/http://www.popmech.ru/article/5480-kolesa-s-uglami/
 | archivedate        = 2010-10-18
 | deadlink        = no
 }}</ref>.

=== Трёхмерные аналоги ===
[[Файл:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|thumb|Тетраэдр Рёло]]
[[Трёхмерное пространство|Трёхмерным]] аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов является ''[[тетраэдр Рёло]]'' — пересечение четырёх одинаковых [[шар]]ов, центры которых расположены в вершинах [[правильный тетраэдр|правильного тетраэдра]], а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Однако тетраэдр Рёло не является [[Тело постоянной ширины|телом постоянной ширины]]: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в
: <math>\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2} = 1{,}02494\ldots</math>
раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра<ref name="wolfram-tetra">{{cite web
 |url          = http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTetrahedron.html
 |title        = Reuleaux Tetrahedron
 |author       = [[Вайсштайн, Эрик|Weisstein E. W.]]
 |work         = Wolfram [[MathWorld]]
 |lang         = en
 |accessdate   = 2011-11-06
 |archive-date = 2011-09-03
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20110903170415/http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTetrahedron.html
 |deadlink     = no
}}</ref><ref name="Kawohl-Weber">{{статья
 |автор               = Kawohl B., Weber C.
 |заглавие         = Meissner’s Mysterious Bodies
 |ссылка             = http://www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/pub100.pdf
 |язык                 = en
 |издание           = Mathematical Intelligencer
 |издательство = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |место               = [[Нью-Йорк|New York]]
 |год                   = 2011
 |том                   = 33
 |номер               = 3
 |страницы         = 94—101
 |doi                      = 10.1007/s00283-011-9239-y
 |issn                     = 0343-6993
 |archivedate              = 2012-07-13
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20120713211727/http://www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/pub100.pdf
}}</ref>.

Тем не менее, тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается»<ref name="Kawohl-Weber"/>{{sfn|Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions|1991|p=218|name="gardner218"}}. Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник<ref name="gardner218"/>) называются [[Тетраэдр Рёло|телами Мейсснера]], или [[Тетраэдр Рёло|тетраэдрами Мейсснера]]<ref name="wolfram-tetra"/>. Сформулированная {{iw|Боннесен, Томми|Томми Боннесеном|de|Tommy Bonnesen}} и [[Фенхель, Вернер|Вернером Фенхелем]] в 1934 году<ref>{{книга
 |автор         = Bonnesen T., [[Фенхель, Вернер|Fenchel W.]]
 |заглавие      = Theorie der konvexen Körper
 |место         = [[Берлин|Berlin]]
 |издательство  = Verlag von Julius Springer
 |год           = 1934
 |серия         = Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1
 |seite         = 127—139
}}{{ref-de}}</ref> гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют [[объём]] среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2011 год) эта гипотеза не доказана<ref>{{статья
 |автор               = Kawohl B.
 |заглавие         = Convex Sets of Constant Width
 |ссылка             = http://www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/OWR-Kawohl-0907a.pdf
 |язык                 = en
 |издательство = European Mathematical Society Publishing House
 |место               = [[Цюрих|Zurich]]
 |издание           = Oberwolfach Reports
 |год                   = 2009
 |том                   = 6
 |номер               = 1
 |страницы         = 390—393
 |archivedate              = 2013-06-02
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20130602211839/http://www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/OWR-Kawohl-0907a.pdf
}}</ref><ref>{{статья
 |автор         = Anciaux H., Guilfoyle B.
 |заглавие      = On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem
 |язык          = en
 |издание       = Proceedings of the American Mathematical Society
 |место         = [[Провиденс|Providence]]
 |издательство  = [[Американское математическое общество|American Mathematical Society]]
 |год           = 2011
 |том= 139
 |номер         = 5
 |страницы= 1831—1839
 |issn          = 0002-9939
 |doi           = 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9
}} {{arXiv|0906.3217}}</ref>.

Наконец, [[Тела вращения|тело вращения]], получаемое при вращении треугольника Рёло вокруг одной из его осей симметрии второго порядка, — тело постоянной ширины. Оно имеет наименьший объём среди всех тел вращения постоянной ширины<ref name="Kawohl-Weber"/><ref>{{статья
 |автор         = Campi S., Colesanti A., Gronchi P.
 |заглавие      = Minimum Problems for Volumes of Convex Bodies
 |ответственный = Eds. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin
 |язык          = en
 |издание       = Partial Differential Equations and Applications
 |место         = [[Нью-Йорк|New York]]
 |издательство  = Marcel Dekker
 |год           = 1996
 |страницы= 43—55
 |isbn          = 0-8247-9698-5
}}</ref><ref>{{статья
 |автор         = Anciaux H., Georgiou N.
 |заглавие      = The Blaschke-Lebesgue Problem for Constant Width Bodies of Revolution
 |язык          = en
}} {{arXiv|0903.4284}}</ref>.

== Комментарии ==
{{примечания|2|group="*"}}

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=30em}}

== Литература ==

=== На русском языке ===
* {{книга
 |автор         = Радемахер Г., [[Тёплиц, Отто|Тёплиц О.]]
 |часть         = Кривые постоянной ширины
 |заглавие      = Числа и фигуры. Опыты математического мышления
 |ссылка        = http://math.ru/lib/bib-mat-kr/10
 |ответственный = Пер. с нем. В. И. Контовта
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[Физматлит|Физматгиз]]
 |год           = 1962
 |страниц       = 263
 |страницы      = 195—211
 |серия         = «Библиотека математического кружка», выпуск 10
 |тираж         = 40000
 |ref           = Радемахер, Тёплиц
}}
* {{книга
 |автор         = [[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]]
 |часть         = Фигуры постоянной ширины
 |заглавие      = Выпуклые фигуры
 |ссылка        = http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/4-figures.htm
 |место         = {{М.}}—{{Л.}}
 |издательство  = [[Физматлит|ГТТИ]]
 |год           = 1951
 |страниц       = 343
 |страницы      = 90—105
 |серия         = «Библиотека математического кружка», выпуск 4
 |тираж         = 25000
 |ref           = Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры
}}

=== На английском языке ===
* {{книга
 |автор         = Eggleston H. G.
 |часть         = Sets of Constant Width
 |заглавие      = Convexity
 |место         = [[Лондон|London]]
 |издательство  = Cambridge University Press
 |год           = 1958
 |allpages      = 136
 |pages         = 122—131
 |серия         = Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47
 |isbn          = 0-5210-7734-6
 |ref           = Eggleston. Convexity
}}
* {{книга
 |автор         = [[Гарднер, Мартин|Gardner M.]]
 |часть         = Curves of Constant Width
 |заглавие      = The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
 |место         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |издательство  = University of Chicago Press
 |год           = 1991
 |allpages      = 264
 |pages         = 212—221
 |isbn          = 978-0-2262-8256-5
 |ref           = Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
}}
* {{статья
 |автор       = Gleißner W., Zeitler H.
 |заглавие = The Reuleaux Triangle and Its Center of Mass
 |ссылка     = http://people.fh-landshut.de/~gleiss/forum99/reul.eps
 |издание   = Results in Mathematics
 |год           = 2000
 |volume           = 37
 |номер       = 3—4
 |pages            = 335—344
 |issn             = 1422-6383
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20071204160158/http://people.fh-landshut.de/~gleiss/forum99/reul.eps
 |archivedate      = 2007-12-04
}}
* {{книга
 |автор         = Moon F. C.
 |часть         = Curves of Constant Breadth
 |заглавие      = The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century
 |место         = [[Дордрехт|Dordrecht]]
 |издательство  = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |год           = 2007
 |allpages      = 451
 |pages         = 239—241
 |серия         = History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2
 |isbn          = 978-1-4020-5598-0
 |ref           = Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux
}}
* {{книга
 |автор         = Peterson I.
 |часть         = Rolling with Reuleaux
 |заглавие      = Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles
 |ссылка       = https://archive.org/details/mathematicaltrek0000pete/page/141
 |место         = [[Вашингтон (округ Колумбия)|Washington D.C.]]
 |издательство  = [[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]]
 |год           = 2002
 |allpages      = 180
 |pages         = 141—144
 |серия         = Spectrum Series
 |isbn          = 0-8838-5537-2
 |ref           = Peterson. Mathematical Treks
}}
* {{книга
 |автор         = [[Рёло, Франц|Reuleaux F.]]
 |часть         = Pairs of Elements
 |заглавие      = The Kinematics of Machinery. Outlines of a Theory of Machines
 |ссылка        = http://ebooks.library.cornell.edu/k/kmoddl/toc_reuleaux2.html
 |ответственный = Tr. and ed. by {{iw|Кеннеди, Александр|Alexander B. W. Kennedy|en|Alexander Kennedy}}
 |место         = [[Лондон|London]]
 |издательство  = Macmillan and Co
 |год           = 1876
 |allpages      = 622
 |pages         = 86—168
}}
* {{статья
 |автор               = Smith S.
 |заглавие         = Drilling Square Holes
 |ссылка             = http://upper.us.edu/faculty/smith/reuleaux.htm
 |издание           = Mathematics Teacher
 |издательство = National Council of Teachers of Mathematics
 |место               = [[Рестон (Виргиния)|Reston]]
 |год                   = 1993
 |volume                   = 86
 |номер               = 7
 |pages                    = 579—583
 |issn                     = 0025-5769
 |ref                      = Smith. Drilling Square Holes
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20050404213308/http://upper.us.edu/faculty/smith/reuleaux.htm
 |archivedate              = 2005-04-04
}}

== Ссылки ==
* Ролики серии «[[Математические этюды]]», посвящённые треугольнику Рёло:
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001/ Круглый треугольник Рело]»
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov017/ Сверление квадратных отверстий]»
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov042/ Изобретая колесо] {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/6HZEp3NAA?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/ |date=2013-06-22 }}»
* {{cite web
 |url         = http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml
 |title       = Shapes of Constant Width
 |author      = Bogomolny A.
 |work        = Cut the Knot
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67YibSAna?url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml
 |archivedate = 2012-05-10
 |deadlink    = no
}}
* {{cite web
 |url         = http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html
 |title       = Reuleaux Triangles
 |author      = Eppstein D.
 |work        = Geometry Junkyard
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67YnCK3Av?url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html
 |archivedate = 2012-05-10
 |deadlink    = no
}}
* {{cite web
 |url         = http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = Kunkel P.
 |work        = Whistler Alley Mathematics
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67YnmYMdT?url=http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm
 |archivedate = 2012-05-10
 |deadlink    = no
}}
* {{cite web
 |url         = http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html
 |title       = Rolling with Reuleaux
 |work        = Ivars Peterson’s MathLand
 |author      = Peterson I.
 |publisher   = [[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]]
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZF0gLh8?url=http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html
 |archivedate = 2013-06-22
 |deadlink    = yes
}}
* {{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = [[Тайминя, Дайна|Taimina D.]], Henderson D. W.
 |publisher   = [[Корнелльский университет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |lang        = en
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67YnnaBuG?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |archivedate = 2012-05-10
 |deadlink    = no
}}


{{Родственные проекты
}}

{{^}}{{Кривые}}

{{Избранная статья|Математика}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Геометрические фигуры]]
[[Категория:Виды треугольников]]