Просмотр кода страницы Тригонометрические функции

{{перенаправления|sin|синус|ver=1}}
{{перенаправление|sec|SEC}}
{{о|функциях, выражающихся через экспоненту|гиперболические функции}}
[[Файл:Trigonometric functions no legend.svg|thumb|320px|Рис. 1. Графики тригонометрических функций: {{легенда|#B20000|синуса|inline}}, {{легенда|#00B233|косинуса|inline}}, {{легенда|#0000B2|тангенса|inline}}, {{легенда|#79B200|котангенса|inline}}, {{легенда|#B29200|секанса|inline}}, {{легенда|#8400B2|косеканса|inline}}]]

'''Тригонометри́ческие фу́нкции''' — [[элементарные функции]]<ref>Справочник: {{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu |заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |страниц=720 |издательство=Наука |место=М. |год=1973 |ref=Корн Г., Корн Т. Справочник по математике |archive-date=2015-01-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150119094643/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu }} относит их к [[Специальные функции|специальным функциям]].</ref>, которые исторически возникли при рассмотрении [[Прямоугольный треугольник|прямоугольных треугольников]] и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от [[Угол|острых углов]] при [[Гипотенуза|гипотенузе]] (или, что равнозначно, зависимость [[Хорда (геометрия)|хорд]] и высот от [[Центральный угол|центрального угла]] [[Дуга окружности|дуги]] в [[круг]]е). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное [[Вещественное число|вещественное]] или [[комплексное число]].

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется [[Тригонометрия|тригонометрией]].

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
; прямые тригонометрические функции<nowiki>:</nowiki>
* синус (<math>\sin x</math>);
* косинус (<math>\cos x</math>);
; производные тригонометрические функции<nowiki>:</nowiki>
* тангенс <math>\left(\mathrm{tg}\, x=\frac{\sin x}{\cos x}\right)</math>;
* котангенс <math>\left(\mathrm{ctg}\, x = \frac{\cos x}{\sin x}\right)</math>;

* секанс <math>\left(\sec x=\frac{1}{\cos x}\right)</math>;
* косеканс <math>\left(\mathrm{cosec}\, x=\frac{1}{\sin x}\right)</math>;
; [[обратные тригонометрические функции]]<nowiki>:</nowiki>
* арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые [[редко используемые тригонометрические функции]] ([[Синус-верзус|версинус]] и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, [[#Непрерывность|непрерывные]] и бесконечно [[Дифференцируемая функция|дифференцируемые]] вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением [[счётное множество|счётного]] числа [[Разрыв второго рода|разрывов второго рода]]: у тангенса и секанса в точках <math>\pm \pi n + \frac{\pi}{2}</math>, а у котангенса и косеканса — в точках <math>\pm \pi n</math>.

Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

== Способы определения ==

=== Определение для любых углов ===
[[Файл:TrigonFunctionsDefinition.gif|альт=|мини|250x250пкс|Рис. 2. Определение тригонометрических функций]]

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=282—284}}. В [[декартова система координат|декартовой системе координат]] на плоскости построим [[Единичная окружность|окружность единичного радиуса]] (<math>R=1</math>) с центром в начале координат <math>O</math>. Всякий [[угол]] станем рассматривать как [[поворот]] от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча <math>OB</math> (точку <math>B</math> выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. [[Абсцисса|Абсциссу]] точки <math>B</math> обозначим <math>x_B</math>, а [[Ордината|ординату]] — <math>y_B</math> (рис. 2).

[[Файл:Trigonometric function.svg|300px|thumb|Рис. 3. Численные значения тригонометрических функций угла <math>\alpha</math> в [[Тригонометрическая окружность|тригонометрической окружности]] с радиусом, равным единице]]

Синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината точки <math>M_{\alpha}</math> единичной окружности, где <math>{\left(\cdot\right)}M_{\alpha}</math> получается поворотом <math>{\left(\cdot\right)}M_{0}</math> на угол <math>\alpha</math> в положительном направлении (против часовой стрелки), если <math>\alpha >0</math>, и в отрицательном (по часовой стрелке), если <math>\alpha <0</math>.

Косинусом угла <math>\alpha</math> называется абсцисса точки <math>M_{\alpha}</math> единичной окружности, где <math>{\left(\cdot\right)}M_{\alpha}</math> получается поворотом <math>{\left(\cdot\right)}M_{0}</math> на угол <math>\alpha</math> в положительном направлении (против часовой стрелки), если <math>\alpha >0</math>, и в отрицательном (по часовой стрелке), если <math>\alpha <0</math>.

Тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>M_{\alpha}</math> единичной окружности к её абсциссе, причём точка <math>M_{\alpha}</math> не принадлежит оси ординат.

Котангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>M_{\alpha}</math> единичной окружности к её ординате, причём точка <math>M_{\alpha}</math> не принадлежит оси абсцисс<ref>{{Публикация|Книга|заглавие=Тригонометрия|год=2013|автор=Шахмейстер А. Х.|ref=Шахмейстер|язык=ru|вид=книга|часть=Определение основных тригонометрических функций|ответственный=А. Х. Шахмейстер; под ред. Б. Г. Зива|издание=3-е изд., стереотипное|место=М.|издательство=Издательство МЦНМО|место2=СПб.|издательство2=«Петроглиф» : «Виктория плюс»|страницы=11, 14, 18, 20|страниц=752|иллюстрации=илл.|размеры=21 см|серия=Математика. Элективные курсы|тираж=1500|ббк=22.141я71.6|удк=373.167.1:512|isbn=978-5-4439-0050-6|isbn2=978-5-98712-042-2|isbn3=978-5-91673-097-5}}</ref>.

Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:

* <math>\sin\alpha = y_B</math>, <math>\cos\alpha = x_B</math>;
* <math>\operatorname{tg} \alpha=\frac{y_B}{x_B}</math>, <math>\operatorname{ctg} \alpha=\frac{x_B}{y_B}</math>;
* <math>\sec \alpha=\frac{1}{x_B}</math>, <math>\operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{y_B}</math>.

Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (<math>\pm 1</math>). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса <math>R</math>, однако формулы придётся нормировать. На рис. 3 показаны величины тригонометрических функций для [[Единичная окружность|единичной окружности]].

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в [[радиан]]ной. Так, угол в <math>360^\circ</math> запишется длиной единичной окружности <math>2\pi</math>. Угол в <math>180^\circ</math> равен, соответственно <math>\pi</math> и так далее. Заметим, что угол на <math>2\pi</math> отличающийся от <math>\alpha</math> по рисунку эквивалентен <math>\alpha</math>, вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции [[вещественное число|вещественного числа]] <math>x</math> тригонометрическими функциями угла, [[радиан]]ная мера которого равна <math>x</math>.

=== Определение для острых углов ===
[[Файл:Direct trg.svg|200px|thumb|Рис. 4. Тригонометрические функции острого угла]]
[[Файл:The Soviet Union 1961 CPA 2627 stamp (Publicizing Communist labor teams in their efforts for labor. education and relaxation. Workers studying mathematics).jpg|200px|thumb|Определение тангенса. Марка СССР 1961 года]]

В геометрии тригонометрические функции [[Острый угол|острого угла]] определяются отношениями сторон [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=271—272}}. Пусть <math>\triangle AOB</math> — прямоугольный (угол <math>\angle A </math> прямой), с острым углом <math>\angle AOB = \alpha</math> и гипотенузой <math>OB</math>. Тогда:

* <math>\sin\alpha=\frac{AB}{OB}</math> (синусом угла <math>\alpha</math> называется отношение противолежащего [[катет]]а к [[Гипотенуза|гипотенузе]]). Синус можно рассматривать как «коэффициент сжатия» длины отрезка при наблюдении за ним под углом, то есть насколько укорачивается проекция отрезка при его наклоне на определённый угол<ref>{{cite web|title=Латинско-русский словарь|url=https://classes.ru/all-latin/dictionary-latin-russian1-term-20812.htm|accessdate=2023-04-09|archive-date=2023-04-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20230409130242/https://classes.ru/all-latin/dictionary-latin-russian1-term-20812.htm|url-status=live}}</ref>.
* <math>\cos\alpha=\frac{OA}{OB}</math> (косинусом угла <math>\alpha</math> называется отношение прилежащего [[катет]]а к [[Гипотенуза|гипотенузе]]);
* <math>\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{AB}{OA}</math> (тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение противолежащего [[катет]]а к прилежащему). Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько противолежащий катет больше прилежащего. Если тангенс равен 1, то катеты равны. Данное свойство используется в математическом анализе в определении производной: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны. В геометрии тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной тангенс может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, то есть м ∕ с.
* <math>\mathrm{ctg}\,\alpha=\frac{OA}{AB}</math> (котангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение прилежащего [[катет]]а к противолежащему);
* <math>\mathrm{sec}\,\alpha=\frac{OB}{OA}</math> (секансом угла <math>\alpha</math> называется отношение [[Гипотенуза|гипотенузы]] к прилежащему [[катет]]у) .
* <math>\mathrm{cosec}\,\alpha=\frac{OB}{AB}
</math> (косекансом угла <math>\alpha</math> называется отношение [[Гипотенуза|гипотенузы]] к противолежащему [[катет]]у).

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: [[теорема синусов]], [[теорема косинусов]]).

=== Определение как решений дифференциальных уравнений ===
Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые [[Производная функции|производные]] которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:
: <math>\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,</math>
: <math>\ \left(\sin  x\right)'' = - \sin x.</math>
То есть задать их как [[чётная функция|чётное]] (косинус) и [[нечётная функция|нечётное]] (синус) решения [[обыкновенное дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]]
: <math>\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),</math>
с дополнительными условиями:
<math>R(0) = 1</math> для косинуса и <math>R'(0) = 1</math> для синуса.

Из приведённых решений следует важный вывод для теории радиотехнических цепей: синусоидальный сигнал не искажает свою форму при прохождении по RCL-цепям, искажаются только амплитуда и фаза. Подобным свойством обладает экспонента, но она не является периодической функцией.{{значимость факта}}

=== Определение как решений функциональных уравнений ===
Функции косинус и синус можно определить как решения (<math>f</math> и <math>g</math> соответственно) системы [[Функциональное уравнение|функциональных уравнений]]<ref>{{книга
| заглавие = Основы математического анализа. Ч. 1
| автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|Ильин В. А.]], [[Позняк, Эдуард Генрихович|Позняк Э. Г.]]
| издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
| место = М.
| год = 1998
| isbn = 5-02-015231-5
}}</ref>:

<math>\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)
\end{array}
\right.
</math>

при дополнительных условиях:

<math> f(x)^2 + g(x)^2 = 1,</math> <math> g(\pi/2) = 1, </math> и <math> 0 < g(x) < 1 </math> при <math> 0<x<\pi/2 </math>.

=== Определение через ряды ===
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией [[Ряд Тейлора|рядов Тейлора]] и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:
: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},</math>
: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.</math>

Пользуясь этими формулами, а также равенствами <math>\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},</math> <math>\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},</math> <math>\sec x=\frac{1}{\cos x}</math> и <math>\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},</math> можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:
: <math>{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}</math>
: <math>{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}</math>
: <math>{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}</math>
: <math>\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),</math>
где
: <math>B_n</math> — [[числа Бернулли]],
: <math>E_n</math> — [[числа Эйлера]].

== Значения тригонометрических функций для некоторых углов ==
{{основная статья|Тригонометрические константы}}
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («<math>\infty</math>» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности [[Бесконечность|стремится к бесконечности]]).

[[Файл:Unit circle angles.svg|300px|thumb|right|Значения косинуса и синуса на окружности]]

{| class="wikitable"
|-
! Радианы
!<math>0</math>
!<math>\frac{\pi}{6} </math>
!<math>\frac{\pi}{4} </math>
!<math>\frac{\pi}{3} </math>
!<math>\frac{\pi}{2} </math>
!<math>\pi </math>
!<math>\frac{3\pi}{2} </math>
!<math>2\pi </math>
|-align="center"
! Градусы
!<math> 0^\circ</math>
!<math> 30^\circ</math>
!<math> 45^\circ</math>
!<math> 60^\circ</math>
!<math> 90^\circ</math>
!<math> 180^\circ</math>
!<math> 270^\circ</math>
!<math> 360^\circ</math>
|-align="center"
|<math>\sin \alpha</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>-1</math>
|<math>0</math>
|-align="center"
|<math>\cos \alpha</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>0</math>
|<math>-1</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>\infty</math>
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|<math>0</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-align="center"
|<math>\sec \alpha</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2</math>
|<math>\infty</math>
|<math>-1</math>
|<math>\infty</math>
|<math>1</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{cosec}\,\alpha</math>
|<math>\infty</math>
|<math>2</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\infty</math>
|<math>-1</math>
|<math>\infty</math>
|}

=== Значения тригонометрических функций нестандартных углов ===
{| class="wikitable"
|-
! Радианы
!<math>\frac{2\pi}{3} </math>
!<math>\frac{3\pi}{4} </math>
!<math>\frac{5\pi}{6} </math>
!<math>\frac{7\pi}{6} </math>
!<math>\frac{5\pi}{4} </math>
!<math>\frac{4\pi}{3} </math>
!<math>\frac{5\pi}{3} </math>
!<math>\frac{7\pi}{4} </math>
!<math>\frac{11\pi}{6} </math>
|-align="center"
! Градусы
!<math> 120^\circ</math>
!<math> 135^\circ</math>
!<math> 150^\circ</math>
!<math> 210^\circ</math>
!<math> 225^\circ</math>
!<math> 240^\circ</math>
!<math> 300^\circ</math>
!<math> 315^\circ</math>
!<math> 330^\circ</math>
|-align="center"
|<math>\sin \alpha</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|-align="center"
|<math>\cos \alpha</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|-align="center"
|<math>\sec \alpha</math>
|<math>-2</math>
|<math>-\sqrt{2}</math>
|<math>-\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-\sqrt{2}</math>
|<math>-2</math>
|<math>2</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{cosec}\,\alpha</math>
|<math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2</math>
|<math>-2</math>
|<math>-\sqrt{2}</math>
|<math>-\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-\sqrt{2}</math>
|<math>-2</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! Радианы
!<math>\frac{\pi}{12} </math>
!<math>\frac{\pi}{10} </math>
!<math>\frac{\pi}{8} </math>
!<math>\frac{\pi}{5} </math>
!<math>\frac{3\pi}{10} </math>
!<math>\frac{3\pi}{8} </math>
!<math>\frac{2\pi}{5} </math>
!<math>\frac{5\pi}{12} </math>
|-align="center"
! Градусы
!<math> 15^\circ</math>
!<math> 18^\circ</math>
!<math> 22{,}5^\circ</math>
!<math> 36^\circ</math>
!<math> 54^\circ</math>
!<math> 67{,}5^\circ</math>
!<math> 72^\circ</math>
!<math> 75^\circ</math>
|-align="center"
|<math>\sin \alpha</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}</math>
|-align="center"
|<math>\cos \alpha</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math>
|<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>\sqrt{2}-1</math>
|<math>\sqrt{5-2\sqrt{5}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>\sqrt{2}+1</math>
|<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>
|<math>2+\sqrt{3}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>2+\sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{2}+1</math>
|<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>\sqrt{5-2\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{2}-1</math>
|<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math>
|-align="center"
|<math>\sec \alpha</math>
|<math>2\sqrt{2-\sqrt{3}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math>
|<math>\sqrt{5}-1</math>
|<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>\sqrt{4+2\sqrt{2}}</math>
|<math>\sqrt{5}+1</math>
|<math>2\sqrt{2+\sqrt{3}}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{cosec}\,\alpha</math>
|<math>2\sqrt{2+\sqrt{3}}</math>
|<math>\sqrt{5}+1</math>
|<math>\sqrt{4+2\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>\sqrt{5}-1</math>
|<math>\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}</math>
|<math>2\sqrt{2-\sqrt{3}}</math>
|}

{{Hider|
  title = Значения тригонометрических функций для некоторых других углов |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^\circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},</math>

<math>\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>

<math>\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg} 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg} 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>

<math>\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg} 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg} 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1.5^\circ = \operatorname{ctg} 88.5^\circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{
2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}
}},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{240} = \sin \frac{119\,\pi}{240} = \cos 0.75^\circ = \sin 89.25^\circ = \frac{1}{16} 
\left(
\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}) \right) + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) 
\right),</math>

<math>\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.</math>

<math>\sin{\pi\over2^{n+1}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}, n\in\mathbb N</math>

<math>\cos{\pi\over2^{n+1}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}, n\in\mathbb N</math>

<math>\sin{\pi\over3\cdot2^{n}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{3}}}}_{n}, n\geq 2</math>

<math>\cos{\pi\over3\cdot2^{n}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{3}}}}_{n}, n\geq 2</math>
}}

== Свойства тригонометрических функций ==<!--Надо перенести ещё информации из английской версии статьи и с MathWorld-->

=== Простейшие тождества ===
{{Основная статья|Тригонометрические тождества}}

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу {{math|α}}, то согласно уравнению единичной окружности (<math>x^2+y^2=1</math>) или [[Теорема Пифагора|теореме Пифагора]] имеем для любого <math>\alpha</math>:
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.</math>
Это соотношение называется ''[[Основное тригонометрическое тождество|основным тригонометрическим тождеством]]''.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:
: <math> 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \mathop{\mathrm{sec}}\,^2 \alpha,</math>

: <math> 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \mathop{\mathrm{cosec}}\,^2 \alpha.</math>

Из определения тангенса и котангенса следует, что
: <math> \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha  \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.</math>

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для <math>0<x<\pi/2</math>:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="shadow"
!
! sin
! cos
! tg
! ctg
! sec
! cosec
|-
!class="shadow"| <math> \,\sin x = </math>
| <math> \,\sin x </math>
| <math> \sqrt{1-\cos^2 x } </math>
| <math> \frac{\operatorname{tg} x }{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x }} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x  + 1}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{\sec^2 x -1}} {\sec x } </math>
| <math> \frac{1}{\operatorname{cosec} x } </math>
|-
!class="shadow"| <math> \, \cos x = </math>
| <math> \, \sqrt{1-\sin^2 x } </math>
| <math> \, \cos x  </math>
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x }} </math>
| <math> \, \frac{\operatorname{ctg} x } {\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x + 1}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\sec x } </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 x -1}}{\operatorname{cosec} x } </math>
|-
!class="shadow"| <math> \, \operatorname{tg} x = </math>
| <math> \, \frac{\sin x }{\sqrt{1-\sin^2 x }} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1-\cos^2 x }}{\cos x } </math>
| <math> \, \operatorname{tg} x  </math>
| <math> \, \frac{1}{\operatorname{ctg} x } </math>
| <math> \, \sqrt{\sec^2 x - 1} </math>
| <math> \, \frac{1}{ \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x -1}} </math>
|-
!class="shadow"| <math> \, \operatorname{ctg}x = </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1-\sin^2 x }}{\sin x } </math>
| <math> \, \frac{\cos x }{\sqrt{1-\cos^2 x }} </math>
| <math> \, \frac{1}{\operatorname{tg} x } </math>
| <math> \, \operatorname{ctg}x </math>
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{\sec^2 x - 1}} </math>
| <math> \, \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - 1} </math>
|-
!class="shadow"| <math> \, \sec x = </math>
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x }} </math>
| <math> \, \frac{1}{\cos x } </math>
| <math> \, \sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x } </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x  + 1}}{\operatorname{ctg} x } </math>
| <math> \, \sec x  </math>
| <math> \, \frac{\operatorname{cosec} x }{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - 1}} </math>
|-
!class="shadow"| <math> \, \operatorname{cosec} x = </math>
| <math> \, \frac{1}{\sin x } </math>
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 x }} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2  x }} {\operatorname{tg} x } </math>
| <math> \, \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x  + 1} </math>
| <math> \, \frac{\sec x }{\sqrt{\sec^2 x  - 1}} </math>
| <math> \, \operatorname{cosec} x  </math>
|}

=== Непрерывность ===
* Синус и косинус — [[Непрерывная функция|непрерывные функции]].
* Тангенс и секанс имеют [[точки разрыва]] <math>\pi/2+\pi k</math>, где <math>k</math> — любое [[Целое число|целое]].
* Котангенс и косеканс имеют точки разрыва <math>\pi k</math>, где <math>k</math> — любое [[Целое число|целое]].

=== Чётность ===
Косинус и секанс — [[чётная функция|чётные]]. Остальные четыре функции — [[нечётная функция|нечётные]], то есть:

: <math> \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,,</math>
: <math> \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,</math>
: <math> \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,</math>
: <math> \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,</math>
: <math> \sec \left( - \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,</math>
: <math> \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.</math>

=== Периодичность ===
Функции <math> \sin x,\; \cos x,\; \sec x,\; \mathrm{cosec}\, x</math> — [[периодическая функция|периодические]] с периодом <math>2\pi</math>, функции <math> \mathrm{tg}\, x</math> и <math> \mathrm{ctg}\, x</math> — c периодом <math>\pi</math>.

=== Формулы приведения ===
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
: <math> f ( n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha),</math>
: <math> f ( n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha),</math>
: <math> f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha),</math>
: <math> f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha).</math>

Здесь <math>f</math> — любая тригонометрическая функция, <math>g</math> — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), <math>n</math> — [[целое число]]. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол <math>\alpha</math> острый, например:
: <math> \cos \left(  \frac{ \pi}{2} - \alpha \right)  =   \sin \alpha\,,</math> или что то же самое: <math> \cos \left( 90^\circ - \alpha \right)  =   \sin \alpha\,.</math>

Некоторые формулы приведения:
{| class="wikitable"
|-
|<math>\alpha</math>
|<math>\frac{\pi}{2} - \alpha</math>
|<math>\frac{\pi}{2} + \alpha</math>
|<math>\pi - \alpha</math>
|<math>\pi + \alpha</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{2} - \alpha</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{2} + \alpha</math>
|<math>2\,\pi - \alpha</math>
|-align="center"
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>\cos\alpha</math>
|<math>\cos\alpha</math>
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|-align="center"
|<math>\cos\alpha</math>
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>\cos\alpha</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|}
Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.

=== Формулы сложения и вычитания ===
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
: <math> \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,</math>
: <math> \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,</math>
: <math> \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},</math>
: <math> \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.</math>

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
: <math>\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,</math>
: <math>\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.</math>

=== Формулы для кратных углов ===
Формулы двойного угла:
: <math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},</math>
: <math>\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.</math>

Формулы тройного угла:
: <math>\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,</math>
: <math>\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.</math>

Прочие формулы для кратных углов:
: <math>\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),</math>
: <math>\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1=8\sin^4\alpha - 8\sin^2\alpha + 1,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},</math>

: <math>\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha, </math>
: <math>\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha, </math>
: <math>\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1}, </math>
: <math>\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1}, </math>
: <math> \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) </math> следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для [[Гамма-функция|гамма-функции]].
Из [[Формула Муавра|формулы Муавра]] можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
: <math>\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,</math>
: <math>\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,</math>
: <math>\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},</math>
: <math>\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},</math>
где <math>[n]</math> — [[целая часть]] числа <math>n</math>, <math>\binom{n}{k}</math> — [[биномиальный коэффициент]].

Формулы половинного угла:
: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,</math>
: <math>\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.</math>

=== Произведения ===
Формулы для произведений функций двух углов:
: <math>\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.</math>

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
: <math>\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.</math>
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

=== Степени ===
: <math>\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{tg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\,\alpha},
</math>
: <math>\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{ctg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{sin}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{sin}^2\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{cos}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{cos}^2\,\alpha},</math>
: <math>\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},</math>
: <math>\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},</math>
: <math>\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},</math>
: <math>\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>
: <math>\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>
: <math>\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},</math>
: <math>\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.</math>

[[Файл:sin-cos.gif|thumb|right|Иллюстрация равенства <math>\sin x-\cos x=\sqrt{2}\cdot\sin\left(x-{\pi\over4}\right)</math>]]

=== Суммы ===
: <math> \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}, </math>
: <math> \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}, </math>
: <math> \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}, </math>
: <math> \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}, </math>
: <math> \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}, </math>
: <math> 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2, </math>
: <math>\sin \alpha\pm\cos \alpha=\sqrt{2}\cdot\sin\left(\alpha\pm{\pi\over4}\right) .</math>

Существует представление:
: <math>A \sin \alpha + B \cos \alpha = \sqrt{A^2 + B^2}\;\sin( \alpha + \phi ),</math>
где угол <math>\phi</math> находится из соотношений:
: <math>\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}},</math>
: <math> \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.</math>

=== Универсальная тригонометрическая подстановка ===
{{Основная статья|Универсальная тригонометрическая подстановка}}

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

<math>\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

<math>\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

<math>\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

<math>\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}},</math>

<math>\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

<math>\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}.</math>


== Исследование функций в математическом анализе ==

=== Разложение в бесконечные произведения ===
Тригонометрические функции могут [[Теорема Вейерштрасса о целых функциях|быть представлены]] в виде [[бесконечное произведение|бесконечного произведения]] многочленов:
: <math>\sin x=x\,\prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{\pi ^2n^2} \right),</math>
: <math>\cos x = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{\pi^2(2n+1)^2} \right). </math>
Эти соотношения выполняются при любом значении <math>x</math>.

=== Непрерывные дроби ===
Разложение тангенса в [[Непрерывная дробь|непрерывную дробь]]:
: <math>\mathop{\rm tg} x=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\frac{x^2}{\ddots}}}}}</math>

=== Производные и первообразные ===
Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

<math>( \sin x )' = \cos x \,,</math>

<math>( \cos x )' = -\sin x \,,</math>

<math>( \operatorname{tg} x )' = \frac{1}{\cos ^2 x}= 1+\operatorname{tg}^2 x=\sec^2 x,</math>

<math>( \operatorname{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}=-\operatorname{cosec}^2 x,</math>

<math>( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x}=\sec x \operatorname{tg} x, </math>

<math>( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}. </math>

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом<ref>В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования <math>\scriptstyle C</math>, вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.</ref>:

<math>\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,</math>

<math>\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,</math>

<math>\int\operatorname{tg} x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,</math>

<math>\int\operatorname{ctg} x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,</math>

<math>\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,</math>

<math>\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.</math>

{{seealso|Список интегралов от тригонометрических функций}}
{{seealso|Интегральные тригонометрические функции}}


== Тригонометрические функции комплексного аргумента ==

=== Определение ===
[[Формула Эйлера]]:
: <math> e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta.</math>

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|комплексных аргументов]] через [[Экспонента|экспоненту]] по аналогии с [[Гиперболические функции|гиперболическими функциями]], или (с помощью [[Ряд (математика)|рядов]]) как [[аналитическое продолжение]] их вещественных аналогов:
: <math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh}  i z }{i}; </math>

: <math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z; </math>

: <math>\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})}; </math>

: <math>\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}}; </math>

: <math>\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}}; </math>

: <math>\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},</math> где <math>i^2=-1.</math>

<!--Программная реализация нахождения тригонометрических функций от комплексного числа может выглядеть следующим образом (на примере [[C++]]):
<source lang="cpp">
//синус комплексного числа
complex sinus (complex z, double eps)
{
    complex prev = z;
    complex S = z;
    complex check;
    int iterations_limit = 10000;
    /* можно указать максимальное количество итераций
     * на случай, если точность не будет достигнута */

    for (int i = 0; i < iterations_limit; ++i)
    {
        S += prev*(-1)*z*z / ((2*i + 3)*(2*i + 2));
        check = prev;
        prev = prev*(-1)*z*z / ((2*i + 3)*(2*i + 2));
        if (check.abs() - prev.abs() < eps) break;
    }

    return S;
}
</source>
Здесь, тип возвращаемого значения — это объект класса комплексных чисел. z — аргумент, для которого считается синус, а eps — желаемая точность. В алгоритме используется отношение членов n+1 и n.

Этот алгоритм на практике всё равно не используют из-за медленной сходимости для z c большим модулем, поэтому нет смысла его тут приводить. -->

Соответственно, для вещественного ''x'':

: <math>\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}),</math>
: <math>\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}).</math>

Комплексные синус и косинус тесно связаны с [[гиперболические функции|гиперболическими функциями]]:
: <math>\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,</math>
: <math>\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.</math>

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:
* комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
* все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

=== Комплексные графики ===
На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно [[:Файл:Complex coloring.jpg|карте]].

{| class="wikitable"
|+ Тригонометрические функции в комплексной плоскости
|[[Файл:Complex sin.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex cos.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex tan.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex Cot.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex Sec.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex Csc.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>
\sin\, z</math>
|<math>
\cos\, z</math>
|<math>
\operatorname{tg}\, z</math>
|<math>
\operatorname{ctg}\, z</math>
|<math>
\sec\, z</math>
|<math>
\operatorname{cosec}\, z</math>
|}

== История названий ==
{{Основная статья|История тригонометрии}}

'''''Линия синуса''''' (отрезок <math>Oy_B = x_BB</math> на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина [[хорда (геометрия)|хорды]] данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с [[Тетива|тетивой]]). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с [[санскрит]]а, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим [[тетива|тетиву]] и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» ({{lang-ar2|جيب}}). Так как в [[арабский язык|арабском языке]] краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на [[латынь]] европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом {{lang-la2|sinus}} — «синус», имеющим то же значение (именно в этом значении оно применяется как анатомический термин ''[[Синус (значения)#В биологии и анатомии|синус]]''). Термин «косинус» ({{lang-la|cosinus}}) — это сокращение от {{lang-la|complementi sinus}} — [[Комплементарные углы|дополнительный]] синус. '''''Линия косинуса''''' — это отрезок <math>Ox_B = y_BB</math> на рис. 2.

Современные краткие обозначения <math>\sin</math>, <math>\cos</math> введены [[Отред, Уильям|Уильямом Отредом]] и [[Кавальери, Бонавентура|Бонавентурой Кавальери]] и закреплены в трудах [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]].

Термины «тангенс» ({{lang-la|tangens}} — касающийся) и «секанс» ({{lang-la|secans}} — секущий) были введены датским математиком [[Финке, Томас|Томасом Финке]] в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583). Сам термин тригонометрические функции введён [[Клюгель, Георг Симон|Клюгелем]] в 1770 году. В XVIII веке [[Лагранж, Жозеф Луи|Ж. Лагранжем]] и другими математиками были введены и термины для [[Обратные тригонометрические функции|обратных тригонометрических функций]] — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от {{lang-lat|arcus}} — дуга).

== Обозначения ==
В [[Типографика|типографике]] литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\csc x</math>. До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах<ref>Знак математический. // [[Большая советская энциклопедия]]. 1-е изд. Т. 27. — М., 1933.</ref>, но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.

Международный стандарт ISO 80000-2 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology» предписывает использовать только обозначения <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\csc x</math>.

Российский ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах» также рекомендует использовать <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\csc x</math> вместо <math>\mathrm{tg} x</math>, <math>\mathrm{ctg} x</math>, <math>\mathrm{cosec} x</math>.

== См. также ==
* [[Гиперболические функции]]
* [[Интегральный синус]]
* [[Интегральный косинус]]
* [[Интегральный секанс]]
* [[Обратные тригонометрические функции]]
* [[Редко используемые тригонометрические функции]]
* [[Решение треугольников]]
* [[Синус-верзус]]
* [[Сферическая тригонометрия]]
* [[Тригонометрические тождества]]
* [[Тригонометрические функции от матрицы]]
* [[Тригонометрический ряд Фурье]]
* [[Функция Гудермана]]
* [[Четырёхзначные математические таблицы]] ([[Таблицы Брадиса]])
* [[Эллиптические функции]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Бермант А. Ф., Люстерник Л. А.'' Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
* {{из БСЭ|http://bse.sci-lib.com/article112122.html}}. Т. 26. — М.: [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]], 1977. — С. 204—206.
* {{книга|автор=[[Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев К. А.]] |часть=Прямолинейная тригонометрия|заглавие=[[Справочник по математике (Бронштейн, Семендяев)|Справочник по математике]]|место=М.|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1967|издание=Изд. 7-е, стереотипное|страницы=179—184}}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |место=М. |издательство=Наука |год=1978}}
** Переиздание: М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
* {{книга|автор=Двайт Г. Б.|часть=Тригонометрические функции|заглавие=Таблицы интегралов и другие математические формулы|издание=4-е изд|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страницы=70—102}}
* ''Кожеуров П. А''. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
* ''Маркушевич А. И''. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
* Тригонометрические функции // [[Математическая энциклопедия]]. — М.: Советская энциклопедия, 1984.
* Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика. — М.: [[Педагогика (издательство)|Педагогика]], 1985. — С. 299—301—305. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7/
* Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab] — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
* {{MathWorld|TrigonometricFunctions|Trigonometric Functions}}
* [http://planetcalc.ru/307/ Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)]
* [http://live.mephist.ru/show/unit-circle/ Интерактивная карта значений тригонометрических функций]
* [http://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_table/ Тригонометрические таблицы (0° — 360°)]
* [http://ru.yasno.tv/article/math/43-sinus-i-cosinus-eto-procenty «Синус и косинус — это проценты»] — перевод статьи [http://betterexplained.com/articles/intuitive-trigonometry/ How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained]{{ref-en}}

{{Внешние ссылки}}
{{Тригонометрия}}

[[Категория:Тригонометрия]]
[[Категория:Элементарные функции]]