Просмотр кода страницы Умножение

{{универсальная карточка}}
[[Файл:Aples.svg|мини|Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок|317x317пкс]]
'''Умноже́ние''' — одна из основных [[Операция (математика)|математических операций]] [[Бинарная операция|над двумя аргументами]], которые называются '''множителями''' или '''сомножителями''' (иногда первый аргумент называют ''множимым'', а второй ''множителем''). Результат умножения называется их '''произведением'''{{sfn|Математическая энциклопедия|1985|name=ME}}.

Для [[Натуральное число|натуральных чисел]] умножение определяется как многократное [[сложение]]<ref name=ME/> — чтобы умножить число <math>a</math> на число <math>b</math>, надо сложить <math>b</math> чисел <math>a</math> (умножение далее обозначено приподнятой точкой между сомножителями):
: <math>a \cdot b = \underbrace{ a+a+\cdots+a }_{b}</math>.
Умножение для других типов чисел — [[Целое число|целых]], [[Рациональные числа|рациональных]], [[Вещественные числа|вещественных]], [[Комплексные числа|комплексных]] — определяется не через многократное сложение, а путём систематического обобщения{{Переход|#Умножение чисел}}.

Умножение чисел является [[Коммутативная операция|коммутативной операцией]], то есть порядок записи чисел-множителей не влияет на результат их умножения.
Например, умножение чисел <math>3</math> и <math>5</math> может быть записано как <math>3 \cdot 5</math>, так и <math>5 \cdot 3</math> (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число <math>15</math>. Проверка через сложение:
: <math>\underbrace{ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 }_{5} = 15</math>,
: <math>\underbrace{ 5 + 5 + 5 }_{3} = 15</math>.

Умножение определяется не только для чисел, но и для различных нечисловых математических объектов<ref name="БСЭ3">{{БСЭ3|статья=Умножение}}</ref> (например, [[Матрица (математика)|матриц]], [[Вектор (математика)|векторов]], [[множество|множеств]], [[кватернион]]ов и т. д.), для каждого из которых имеет различный смысл, различные определения и свойства. Например, операция умножения для нечисловых объектов не всегда является коммутативной операцией.

При умножении физических величин важную роль играет их размерность, которая равноправно участвует в умножении{{Переход|#Умножение физических величин}}.

Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи [[Общая алгебра|общей алгебры]], в частности [[Теория групп|теории групп]] и [[Кольцо (математика)|колец]]<ref name="БСЭ3"/>.

== Формы записи и терминология ==
Умножение записывается с использованием [[Знак умножения|знака умножения]] (⋅, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется [[Инфиксная нотация|инфиксной нотацией]]. В данном контексте знак умножения является бинарным [[Оператор (математика)|оператором]]. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик [[Отред, Уильям|Уильям Отред]] в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
[[Ран, Иоганн|Йоханн Ран]] ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (⋅). Звёздочка (∗) используется, как правило, в [[Исходный код|текстах компьютерных программ]].

Результат записывается с использованием [[Знак равенства|знака равенства]] «<math>=</math>», например:
: <math>a \cdot b = c </math>
: <math>6 \cdot 3 = 18 </math> («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).
Часто в [[Математическая формула|математических выражениях]] знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо <math>y = 6 \cdot x + 3 \cdot z </math> пишется <math>y = 6x + 3z </math>. Как правило, знак умножения опускают, если одним из множителей является однобуквенная [[Переменная величина|переменная]], функция или выражение в скобках: <math>b^{2} - 4ac</math>, <math>n\sin x</math>, <math>a (b+c)</math>. В случае, когда в выражении есть деление на произведение, в котором опущен знак умножения, обычно также опускаются и скобки вокруг произведения<ref>{{Книга|ссылка=https://www.mathedu.ru/text/repjev_metodika_prepodavaniya_algebry_1967/p80/|автор={{nobr|Репьев В. В.}}|заглавие=Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. Пособие для учителей|год=1967|язык=ru|место=М.|издательство=Просвещение|страницы=80—81|страниц=276}}</ref>: <math>a : (b \cdot c)</math> записывается как <math>a : bc</math>. В таком выражении простая подстановка знака умножения на место, где он пропущен, приведёт к путанице<ref>{{статья|jstor=2972726|автор=N. J. Lennes|заглавие=Discussions: Relating to the Order of Operations in Algebra|год=1917|издание=The American Mathematical Monthly|том=24|выпуск=2|страницы=93–95|issn=0002-9890|doi=10.2307/2972726|archivedate=2024-09-08|archiveurl=https://web.archive.org/web/20240908191355/https://www.jstor.org/stable/2972726?origin=crossref}}</ref>, поэтому нужно восстанавливать и опущенные скобки (либо считать, что у опущенного умножения [[Приоритет операции|приоритет]] выше, чем у деления<ref>{{cite web|url=https://publish.aps.org/files/styleguide-pr.pdf|title=Physical Review Style and Notation Guide|lang=en|author=Waldron A., Judd P., Miller V.|date=2011-06|pages=|publisher=American Physical Society|year=|access-date=2024-09-08|archive-date=2013-04-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20130420125316/https://publish.aps.org/files/styleguide-pr.pdf|url-status=live}}</ref>).

Традиционно при записи произведения нескольких множителей числа записывают перед переменными, а переменные — перед функциями. Так, выражение <math>n \cdot \sin x \cdot 5 \cdot m</math> будет записано как <math>5nm\sin x</math>. Выражения в скобках традиционно записывают последними, то есть выражение <math>x \cdot (a+b) \cdot 2</math> будет записано как <math>2x (a+b)</math>.

== Свойства ==

Далее описаны основные свойства операции умножения на числовых множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>.

* Умножение коммутативно, то есть от перемены мест множителей произведение не меняется. Свойство также известно как ''переместительный закон умножения''<ref name="ref1"/>:
:[[Коммутативная операция|Коммутативность]]: <math>a \cdot b=b \cdot a;</math>
* Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как ''сочетательный закон умножения''<ref name="ref1"/>:
:[[Ассоциативная операция|Ассоциативность]]: <math>(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c);</math>
* Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как ''распределительный закон''<ref name="ref1">Так это свойство обычно называется в школьных учебниках</ref>:
:[[Дистрибутивность]]: <math>x\cdot (a+b)=(x \cdot a)+(x \cdot b),\quad\forall a, b \in\ A;</math>
* Относительно умножения в множестве <math>A</math> существует единственный нейтральный элемент — [[1 (число)|<math>1</math>]] ([[число]] «один»). Умножение любого числа на [[1 (число)|<math>1</math>]] (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:
:[[Нейтральный элемент]]: <math>x \cdot 1=1 \cdot x=x, \quad\exists !1\in A;</math>
* Умножение на <math>1</math> идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
:[[Идемпотентность]]: <math>x = x \cdot 1 = (x \cdot 1) \cdot 1 = ((x \cdot 1) \cdot 1) \cdot ... \cdot 1,\quad\forall x\in A, \quad\exists !1 \in A;</math>
* Умножение на <math>0</math> (нулевой элемент) даёт <math>0</math> (нуль):
: Нулевой элемент: <math>x \cdot 0=0 \cdot x=0, \quad\exists !0\in A.</math>

Операция умножения чисел, определённых на множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math>, даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к [[Замыкание (алгебра)|замкнутым операциям]], то есть множества чисел <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> образуют [[кольцо (алгебра)|кольца]] относительно операции умножения.

На языке [[Общая алгебра|общей алгебры]] вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что <math>\mathbb{Z}_{-0}, \mathbb{Q}_{-0}, \mathbb{R}_{-0}</math> являются [[Абелева группа|абелевыми группами]] относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий [[Приоритет операции|приоритет]] по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними, но менее высокий приоритет, чем операция [[Возведение в степень|возведения в степень]].

На множестве [[Вещественное число|вещественных чисел]] [[Область значений функции|область значений]] [[Функция (математика)|функции]] умножения [[График функции|графически]] имеет вид [[Поверхность|поверхности]] проходящей через начало [[Прямоугольная система координат|координат]] и изогнутой с двух сторон в виде [[Парабола|параболы]].

== Выполнение умножения ==
При практическом решении задачи умножения двух [[Число|чисел]] необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, [[Соотношение|сравнение]] и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве [[Натуральное число|натуральных чисел]] в настоящее время используется [[алгоритм]] [[Числовой разряд|поразрядного]] умножения. При этом следует рассматривать умножение как [[Математическая процедура|процедуру]] (в отличие от операции).

{{начало скрытого блока |заголовок= Примерный алгоритм процедуры поразрядного умножения двух чисел }}
[[Файл:Алгоритм умножения.svg|без|мини|800x800пкс]]
{{конец скрытого блока}}

Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.
[[Файл:Диаграмма12.svg|мини|319x319пкс|Пример пошагового умножения 3 ∙ 3 = 9 на числовой прямой.]]
«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к [[Сложение (математика)|сложению]]. Является [[гипероператор]]ом сложения:

<math>a \cdot b = \operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b.</math>

<math>a {^{(2)}} b = a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b}.</math>

где <math>a + a + \dots + a</math> — последовательное сложение <math>b</math> элементов.

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой [[Таблица умножения|таблицы]]{{sfn|Истомина|2005|с=165}}:

{{начало скрытого блока |заголовок= Таблица для умножения в десятичной системе счисления }}
{| class="wikitable standard" style="text-align:center" width="75%"
|-
!*||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
!0
|0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
!1
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
!2
|0||2||4||6||8||10||12||14||16||18
|-
!3
|0||3||6||9||12||15||18||21||24||27
|-
!4
|0||4||8||12||16||20||24||28||32||36
|-
!5
|0||5||10||15||20||25||30||35||40||45
|-
!6
|0||6||12||18||24||30||36||42||48||54
|-
!7
|0||7||14||21||28||35||42||49||56||63
|-
!8
|0||8||16||24||32||40||48||56||64||72
|-
!9
|0||9||18||27||36||45||54||63||72||81
|-
|}
 
{{конец скрытого блока}}

Данная процедура применима к умножению [[Натуральное число|натуральных]] и [[Целое число|целых]] (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

== Умножение чисел ==

=== Натуральные числа ===
; Первый вариант определения
Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел <math>a</math> и <math>b</math> сопоставляет одно и только одно натуральное число <math>a \cdot b</math>, обладающее следующими свойствами<ref name="enc-e1-1"/>:
:1) <math>a \cdot 1=a</math>
:2) <math>a \cdot (b+1)=a \cdot b + a</math>.

; Второй вариант определения
Воспользуемся определением [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>\mathbb{N}</math> как [[Отношение эквивалентности|классов эквивалентности]] конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <math>C, A, B</math> порождённых [[биекция]]ми, с помощью скобок: <math>[C], [A], [B]</math>. Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:
<center><math>[C]=[A] \cdot [B] = [A \times B];</math></center>
где: <math>A \times B=\{(a,b) \mid a \in A , b \in B \}</math> [[Прямое произведение|прямое произведение множеств]] — множество  <math>C</math>, элементами которого являются упорядоченные пары  <math>(a,b)</math> для всевозможных  <math>a \in A , b \in B</math>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества <math> A </math> на отрезок <math> N_a </math> можно понимать как нумерацию элементов множества <math> A: \quad A \sim N_a </math>.

Для умножения натуральных чисел в [[Позиционная система счисления|позиционной системе]] обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что:
<center><math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \}, \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0, \quad\exists 0\in \N;</math></center>
где <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>;

:<math>n</math> — количество цифр в числе <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math>;

:<math>k</math> — порядковый номером разряда (позиции), <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>;

:<math>P</math> — основание системы счисления;

:<math> \{P \}</math> множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

::<math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>,

::<math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>,

::<math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F \}</math>; тогда:
<center><math>c=a \sdot b; \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0 \sdot b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0;</math></center>
умножая поразрядно, получаем <math>n</math> промежуточных результатов:

* <math>t_{n-1,~0} = mod(a_{n-1} \cdot b_0 + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_0 + r_{n-1},P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;</math>
* <math>t_{n-1,~1} = mod(a_{n-1} \cdot b_1 + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_1 + r_{n-1},P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;</math>
* <math>... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...</math>
*<math>t_{n-1,~k} = mod(a_{n-1} \cdot b_{k} + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_{k} + r_{n-1},P)~,~~ t_{k} \sdot~ P^k;</math>

где: <math>r</math> — значение переноса, <math>mod()</math> — функция нахождения [[Деление с остатком|остатка от деления]], <math>div()</math> — функция нахождения [[Деление с остатком|неполного частного]].

Затем полученные <math>n</math> промежуточных результатов складываем: <math>c=t_0+t_1+...+t_{k}.</math>

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел <math>a_{k}\sdot b_{k}</math>, с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной [[Система счисления|системе счисления]] производятся по тем же правилам, что и в [[Десятичная система счисления|десятичной системе]], так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими [[многочлен]]ами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию <math>P</math> системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в [[Двоичная система счисления|двоичной]], десятичной и [[Шестнадцатеричная система счисления|шестнадцатеричной]] системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

<center><math>\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & & & & & & \\
& & & &1&1&0&1&1&0 \\
& & &*& & &1&1&0&1 \\
\hline
& & & &1&1&0&1&1&0 \\
& & &0&0&0&0&0&0&{\color{Gray}0} \\
& &1&1&0&1&1&0&{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} \\
+&1&1&0&1&1&0&{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} \\
\hline
1&0&1&0&1&1&1&1&1&0
\end{array}; \quad \quad
\begin{array}{cccccccccc}
& & & &_2&_2&_3&_3& \\
& & & &_1&_2&_2&_2& \\
& & & &8&4&5&6&7 \\
& & &*& & &5&4&1 \\
\hline
& & &0&8&4&5&6&7 \\
& &3&3&8&2&6&8&{\color{Gray}0} \\
+&4&2&2&8&3&5&{\color{Gray}0}&{\color{Gray}0} \\
\hline
&4&5&7&5&0&7&4&7
\end{array}; \quad \quad

\begin{array}{ccccccccc}
&&&&_8&_8&_2 \\
&&&&_D&_D&_3 \\
&&&&6&D&E&4 \\
&&&{*}&&A&1&F \\
\hline
&&&6&7&0&5&C \\
&&0&6&D&E&4&{\color{Gray}0} \\
+&4&4&A&E&8&{\color{Gray}0}&{\color{Gray}0} \\
\hline
&4&5&8&3&6&9&C
\end{array}~~.</math></center>

=== Целые числа ===
Множество [[Целое число|целых чисел]] — расширение множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, получаемое добавлением [[Отрицательное число|отрицательных чисел]] {{sfn|Выгодский|2003|страницы=116—117}} вида <math>-n</math>. Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}.</math> Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.
[[Файл:Диаграмма4.svg|мини|252x252px|Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.]]
Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на [[Числовая ось|числовой прямой]] направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:
* Если оба аргумента положительные, тогда: <math>c = a \sdot b;</math>
* Если один из аргументов отрицателен, тогда: <math>c= -a \sdot b = -(a \sdot b),</math> либо <math>c= a \sdot (-b) = -(a \sdot b);</math>
* Если оба аргумента отрицательны, тогда: <math>c = (-a) \sdot (-b) = a \sdot b.</math>

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: <math>-6 \sdot 4=-24</math>; так как у чисел <math>-6</math> и <math>4</math> разные знаки, то выносим минус за скобки: <math>-6 \sdot 4=-(6 \sdot 4)</math>, вычисляя далее получим ответ: <math>-24</math>.

=== Рациональные числа ===
Множество [[Рациональное число|рациональных чисел]] обозначается <math>\mathbb{Q}</math> (от {{lang-en|quotient}} «частное») и может быть записано в таком виде:
:<math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math>

Для умножения рациональных чисел в виде [[Дробь (математика)|обыкновенных (или простых) дробей]] вида: <math>\pm \frac{m}{n}</math>, следует [[Числитель дроби|числители]] и [[Знаменатель дроби|знаменатели]] дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что: <math display="inline">a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (дроби не сокращаемые), тогда{{sfn|Гусев|1988|с=20}}:
:<math> c=a \cdot b = \frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}.</math>

Пример умножения:
:<math> \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}; \quad \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}.</math>
Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

=== Вещественные числа ===

Арифметические операции над [[Вещественное число|вещественными числами]] представимых бесконечными десятичными дробями определяются как ''непрерывное продолжение''<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref> соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными [[Десятичная дробь|десятичными дробями]]:
:<math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},</math>
:<math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},</math>
определённые соответственно [[Фундаментальная последовательность|фундаментальными последовательностями]] рациональных чисел (удовлетворяющие [[условие Коши|условию Коши]]), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их произведением называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое произведением последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
:<math>\gamma = \alpha \cdot \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] \cdot [b_n] = [a_n \times b_n];</math>
вещественное число <math>\gamma = \alpha \cdot \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:
:<math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \alpha \times \beta \leqslant a'' \cdot b'') \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \gamma \leqslant a'' \cdot b'').
</math>
Таким образом произведением двух вещественных чисел  <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми произведениями вида <math>a' \cdot b'</math> с одной стороны и всеми произведениями вида <math>a'' \cdot b''</math> с другой стороны{{sfn|Ильин|1985|с=46|quote=}}.

На практике для того, чтобы умножить два числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение произведения чисел <math>\alpha \cdot \beta</math> берут произведение указанных рациональных чисел <math>a \cdot b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

[[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|Абсолютная погрешность]] произведения приближённых чисел: <math>\Delta (a \cdot b)=|b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b + \Delta a \cdot \Delta b \approx |b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b</math>, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. [[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|Относительная погрешность]] произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: <math>\delta (a \cdot b)=\delta a+\delta b</math>. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения <math>\gamma=\pi \cdot e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:
* [[Округление|Округляем]] данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
* Получаем: <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>;
* Поразрядно умножаем: <math>\gamma = \pi \cdot e \approx 3.1416 \cdot 2.7183 \approx 8.5398</math>;
* Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 8.540</math>.

=== График ===
На множестве пар [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}^2</math> [[график функции]] умножения  является проходящим через начало [[Прямоугольная система координат|координат]] [[Гиперболический параболоид|гиперболическим параболоидом]].
[[Файл:Add11.jpg|центр|мини|284x284пкс|График функции с(a,b)=a*b]]

=== Комплексные числа ===
[[Файл:Диаграмма14.svg|мини|238x238px|Комплексное число]]
Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является [[Поле (алгебра)|полем]] и обычно обозначается символом <math>\mathbb{C}</math>.

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:
: <math>c+fi=(a+di) \cdot (b+ei) = (a \cdot b - d \cdot e)+(a \cdot e + b \cdot d)i, </math>
где: <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — [[мнимая единица]].

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

<math>c=a \cdot b=r_1 (\cos \varphi _1+ i\sin \varphi _1) \cdot r_2 (\cos \varphi _2+ i\sin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (\cos (\varphi _1+\varphi _2)+ i\sin(\varphi _1+\varphi _2)),</math>
[[Файл:Диаграмма15.svg|мини|236x236пкс|Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости.]]
где: <math display="inline">r=|z|=|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2};~~~\varphi = \arg(z)=\operatorname{arctg} \left( \frac{b}{a} \right),</math> модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа <math>a = r_1 e^ {i\varphi _1}</math> в показательной форме, на комплексное число <math>b = r_2 e^ {i\varphi _2}</math> сводится к повороту вектора, соответствующего числу <math>a</math>, на угол  <math>\arg(b)</math> и изменению его длины в <math>|b|</math> раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

<math>c=re^ {i\varphi}=a \cdot b = r_1 e^ {i\varphi _1} \cdot r_2 e^ {i\varphi _2}= r_1\cdot r_2\cdot e^ {i(\varphi _1+\varphi _2)},</math>

где: <math>e=2{,}718281828\dots</math> — [[E (число)|число e]].

=== Экспоненциальная запись ===

В [[Экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] числа записываются в виде <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, где <math>x</math> — [[Экспоненциальная запись|мантисса]], <math>P^{n}</math> — [[Характеристика логарифма|характеристика числа]], <math>P</math> — основание системы счисления, <math>n \in \Z</math>. Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики: <math> (a \cdot P^{n}) \cdot (b \cdot P^{k}) = (a \cdot b) \cdot P^{n} \cdot P^{k}= ab \cdot P^{n+k}.</math>

Например:
: <math>2{,}34 \cdot 10^{-5} \cdot 5{,}67 \cdot 10^{6} = 2{,}34 \cdot 5{,}67 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{6} \approx 13{,}27 \cdot 10^{(-5+6)} \approx 13{,}27 \cdot 10^{1} \approx 1{,}33 \cdot 10^{2}.</math>

=== Умножение произвольных чисел ===

При умножении чисел, принадлежащих разным множествам, например <math>1{,}5 (\in\Q)\cdot 5 (\in\N)</math>, необходимо произвести преобразование (приведение) одного из множителей к типу второго (если существует такая возможность). Для этого число из множества с меньшей [[Мощность множества|мощностью]] «расширяется» в сторону числа из множества с большей мощностью: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math>. В данном примере следует воспользоваться тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных и трактовать натуральное число <math>5</math> как рациональное число <math>5{,}0</math>. Исходное выражение превращается в умножение двух рациональных чисел: <math>1{,}5 (\in\Q) \cdot 5{,}0 (\in\Q)= 7{,}5 (\in\Q)</math>.

== Умножение физических величин ==
{{seealso|Единицы физических величин}}
Единица измерения [[Физическая величина|физической величины]] имеет определенное наименование ([[Размерность физической величины|размерность]]), например, для [[Длина|длины]] — [[метр]] (м), для [[Время|времени]] — [[секунда]] (с), для [[Масса|массы]] — [[грамм]] (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью<ref>{{Cite web|url=http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|title=Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста|author=Волинская Н. И.|publisher=brestschool7.iatp.by|accessdate=2016-04-18|archive-date=2016-08-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20160807101705/http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|deadlink=yes}}</ref>, например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, [[прямоугольник]] со сторонами 5 м и 3 м обладает [[площадь]]ю, получаемой умножением длин сторон:
:5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².

Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, [[Скорость|скорости]] или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый [[термин]]), например: [[плотность]], [[ускорение]], [[мощность]] и прочее<ref>{{Cite web|url=http://lithology.ru/node/943|title=О «размерности» физических величин|author=Макаров Владимир Петрович|publisher=lithology.ru, Литология.РФ|accessdate=2016-04-18|archive-date=2016-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160506143359/http://lithology.ru/node/943|deadlink=no}}</ref>.

Например, если умножить [[скорость]] [[Равномерное движение|равномерно]] и [[Прямолинейное движение|прямолинейно]] движущегося [[Физическое тело|тела]], равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «[[расстояние]]» и измеряется в метрах:

:5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.

Помимо размерных физических величин существуют [[Безразмерная величина|безразмерные]] величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое ''количество'' (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, [[относительная плотность]] является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении ''величины с размерностью'' на ''безразмерную величину'' результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:

:5 м · 3 = 15 м.

Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в [[фут]]ах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:

:16,4 фута · 3 = 49,2 фута.

== Умножение последовательностей ==
Произведение элементов [[Последовательность|последовательности]] может быть компактно записано с помощью специального символа умножения, восходящего к заглавной букве [[Пи (буква)|Π (пи)]] греческого алфавита, как показано в примере:

:<math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 24.</math>

Снизу записывается символ свободной переменной (в данном случае <math>i</math>), называемой «индексом умножения», вместе с начальным значением (в данном случае 1). Сверху записывается конечное значение (в данном случае 4) в виде числа или переменной, либо символ бесконечности <math>\infty</math>, если предполагается [[бесконечное произведение]]. Такую запись можно «развернуть» в выражение, в котором последовательно подставляются значения индекса умножения от начального до конечного значения:
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
где ''m'' и ''n'' есть целые числа или выражения, которые вычисляются в целочисленные значения.

Такая запись обладает следующим свойством<ref name="enc-e1-1">[https://math.ru/lib/57 Энциклопедия элементарной математики. Книга 1 (арифметика)] {{Wayback|url=https://math.ru/lib/57 |date=20211217123637 }} / Под ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. — М.-Л., ГТТИ, 1951. 448 с.</ref>{{rp|104}}:
:<math>\prod_{i=1}^{n+1} a_i = \left(\prod_{i=1}^n a_i\right) a_{n+1}.</math>

Если значения индекса заданы некоторым множеством, то многократное произведение может быть записано с его помощью, например
:<math>\prod_{i\in A} x_i</math>.

Такая запись означает, что переменная <math>i</math> «пробегает» все значения, принадлежащие множеству <math>A</math>.

== См. также ==
* [[Бруски Женая — Люка]]
* [[Деление (математика)|Деление]]
* [[Возведение в степень]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор = Барсуков А. Н.
 |заглавие = Алгебра. Учебник для 6-8 классов.
 |оригинал =
 |год = 1966
 |страниц = 296
 |том =
 |ссылка = http://edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14
 |язык = ru
 |тип = книга
 |издательство = Просвещение
 |arxiv =
 |isbn =
 |ref = Барсуков
}}
* {{книга
 |автор = [[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
 |заглавие = Справочник по элементарной математике
 |место = М.
 |язык = ru
 |издательство = АСТ
 |тип = книга
 |год = 2003
 |isbn = 5-17-009554-6
 |страниц =
 |ref = Выгодский
}}
* {{книга
 |автор = Гусев В. А., Мордкович А. Г.
 |заглавие = Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.
 |оригинал =
 |год = 1988
 |страниц = 416
 |том =
 |ссылка = http://edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12
 |язык = ru
 |тип = книга
 |издательство = Просвещение
 |arxiv =
 |isbn =
 |ref = Гусев
}}
* {{книга  |автор = Ильин В. А. и др.  |заглавие = Математический анализ. Начальный курс.
  |год = 1985  |страниц = 662 |ссылка = http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11
  |язык = ru |тип = книга |издательство = МГУ |ref = Ильин}}
* {{книга
 |автор = Эндертон Г.
 |заглавие = Элементы теории множеств
 |ссылка = https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende
 |оригинал = Elements of Set Theory
 |издательство = Gulf Professional Publishing
 |год = 1977
 |страниц = 279
 |isbn = 0-12-238440-7
 |ref = Эндертон
}}
* {{книга |часть=Умножение чисел |автор=Иванова О. А. |страницы=495—496 |ref=Математическая энциклопедия
  |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |страниц=1248 |том=5 |год=1985
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}
* {{книга
 |автор = Истомина Н. Б.
 |заглавие = Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.
 |оригинал =
 |год = 2005
 |страниц = 272
 |том =
 |ссылка = http://www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf
 |язык = ru
 |тип = книга
 |издательство = Ассоциация XXI век
 |arxiv =
 |isbn = 5-89308-193-5
 |ref = Истомина
}}

== Ссылки ==
[[Файл:6.Умножение и деление.ogv|right|290px]]
* [http://www.bbc.com/russian/features-42640615 Умножение: по-японски, по-итальянски и методом майя]
{{ВС}}

[[Категория:Бинарные операции]]
[[Категория:Элементарная математика]]
[[Категория:Арифметические действия]]