Просмотр кода страницы Универсум фон Неймана

'''Универсум фон Неймана ''' (''иерархия множеств по фон Нейману'') — [[Класс (теория множеств)|класс]], образованный [[Наследственное множество|наследственными]] [[Фундированное множество|фундированными множествами]]; такая совокупность, формализуемая [[ZFC|теорией множеств Цермело — Френкеля]] (ZFC), часто используется в качестве интерпретации или обоснования ZFC-аксиом. Стандартное обозначение — <math>V</math>.

''Ранг'' фундированного множества индуктивно определяется как наименьшее [[порядковое число]], превосходящее ранг любого элемента в этом множестве<ref>Mirimanoff 1917; Moore 1982, pp. 261—262; Rubin 1967, p. 214</ref>. В частности, ранг [[Пустое множество|пустого множества]] равен нулю, а ранг любого порядкового числа равен ему самому. Множества, входящие в класс <math>V</math>, в силу деления на ранги, образуют трансфинитную иерархию, которая также называется ''кумулятивной иерархией множеств''.

== История ==
В 1982 году Грегори Мур заявил, что кумулятивная иерархия типов, также известная как универсум фон Неймана, была приписана фон Нейману по ошибке<ref name="Moore">Gregory H. Moore, «Zermelo’s axiom of choice: Its origins, development & influence», 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7. (На странице 279 автор утверждает, что отсылка к имени фон Неймана ошибочна. Вклад Цермело упоминается на страницах 280 и 281.)</ref>, поскольку впервые упоминается в публикации [[Эрнст Цермело|Эрнста Цермело]] 1930 года<ref name=Zermelo>''Ernst Zermelo'', Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, [[Fundamenta Mathematicae]], 16 (1930) 29-47 (Обратите внимание на стр. 36-40.)</ref>.

Существование и единственность трансфинитно рекурсивного определения множеств были доказаны фон Нейманом в 1928 году для случая [[ZFC|теории множеств Цермело — Френкеля]]<ref>{{citation|last = von Neumann | first = John | year=1928 | title=Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre | journal=Mathematische Annalen | volume = 99 | pages=373–391}}</ref>, а также его собственной теории множеств (которая впоследствии стала основой [[Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя|NBG]]-теории).<ref>{{Citation | last = von Neumann | first = John | title = Die Axiomatisierung der Mengenlehre | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042 | journal = {{iw|Mathematische Zeitschrift||en}} | volume = 27 | pages = 669–752 | year = 1928}} (См. стр. 745—752.)</ref> Однако ни в одной из этих статей он не использовал свой трансфинитно рекурсивный метод для построения универсальной совокупности всех множеств. Описания фоннеймановского универсума, сделанные Бернайсом<ref name=Bernays>{{книга |заглавие=Axiomatic Set Theory |издательство=[[Dover Publications]] |год=1991 |isbn=0-486-66637-9 |язык=und |автор=Bernays, Paul}} (См. стр. 203—209.)</ref> и Мендельсоном<ref name=Mendelson>{{книга |заглавие=Introduction to Mathematical Logic |ссылка=https://archive.org/details/introductiontoma0000mend |год=1964 |издательство=[[John Wiley & Sons|Van Nostrand Reinhold]] |ref=Mendelson |язык=und |автор=Mendelson, Elliott}} (См. стр. 202.)</ref> приписывают фон Нейману метод построения на основе [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]], но не его применение к задаче построения универсума обычных множеств.

Символ <math>V</math> — это не отсылка к имени фон Неймана, ещё в 1889 году Пеано использовал его для обозначения универсума множеств, подразумевая слово «Verum», которое он применял не только в качестве логического символа, но и для обозначения класса всех элементов.<ref>{{книга |год=1889 |заглавие=Arithmetices principia, nova methodo exposita |ссылка=https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog |язык=pt |автор=Peano, Giuseppe}} (See pages VIII and XI.)</ref> В 1910 году Уайтхед и Рассел переняли нотацию Пеано для обозначения класса всех множеств.<ref name=Whitehead>{{книга |год=2009 |заглавие=Principia Mathematica |том=Volume One |издательство=Merchant Books |isbn=978-1-60386-182-3 |язык=und |автор=[[Уайтхед, Альфред Норт|Alfred North Whitehead]]; [[Рассел, Бертран|Bertrand Russell]]}} (См. стр. 229.)</ref> В статьях фон Неймана о порядковых числах и трансфинитной индукции (1920-е гг.) обозначение V (в смысле класса всех множеств) не используется. Пол Коэн<ref name="Cohen">{{книга |заглавие=Set theory and the continuum hypothesis |год=1966 |издательство=[[Addison-Wesley|Addison–Wesley]] |isbn=0-8053-2327-9 |язык=und |автор=Cohen, Paul Joseph}} (См. стр. 88)</ref> явным образом приписывает используемый им символ V (класс всех множеств) статье, написанной Гёделем в 1940 году<ref name="goedel1940">{{книга |заглавие=The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory |серия=Annals of Mathematics Studies |том=3 |издательство=[[Princeton University Press]] |место=Princeton, N. J. |год=1940 |ref=Gödel |язык=en |автор=Gödel, Kurt}}</ref>, хотя Гедель, скорее всего, позаимствовал это обозначение из более ранних публикаций, таких, как работы Уайтхеда и Рассела.<ref name=Whitehead />

Формула <math>\bigcup_{\alpha} V_\alpha</math> часто рассматривается в качестве теоремы, а не определения.<ref name=Bernays /><ref name=Mendelson /> По утверждению [[Юдифь Ройтман|Ройтман]]<ref name=Roitman>{{книга |заглавие=Introduction to Modern Set Theory |год=2011 |издательство=[[Университет Содружества Виргинии|Virginia Commonwealth University]] |isbn=978-0-9824062-4-3 |ref=Roitman |язык=und |автор=Roitman, Judith}} (См. стр. 79.)</ref> (без ссылок на какие-либо источники), эквивалентность [[Аксиома регулярности|аксиомы регулярности]] и равенства кумулятивной иерархии универсуму ZF-множеств была впервые продемонстрирована фон Нейманом.

== Определение ==
Кумулятивная иерархия представляет собой семейство множеств <math>V_\alpha</math>, где индекс <math>\alpha</math> пробегает класс всех [[Порядковое число|порядковых чисел]]. Более конкретно, множество <math>V_\alpha</math> состоит из всех множеств, имеющих ранг меньше <math>\alpha</math>. Таким образом, каждому порядковому числу <math>\alpha</math> соответствует единственное множество <math>V_\alpha</math>. Формально множество <math>V_\alpha</math> можно определить с помощью [[Трансфинитная рекурсия|трансфинитной рекурсии]]:
* В качестве <math>V_0</math> выберем пустое множество:
*: <math> V_0 := \{\} .</math>
* Пусть <math>\beta</math> — произвольное порядковое число, тогда <math>V_{\beta + 1}</math> определяется как [[булеан]] множества <math>V_\beta</math>:
*: <math> V_{\beta+1} := \mathcal{P} (V_\beta) .</math>
* Пусть <math>\lambda</math> — [[Предельный ординал|предельное порядковое число]], тогда <math>V_\lambda</math> определяется как [[Объединение (теория множеств)|объединение]] всех <math>V</math>-множеств, построенных на предыдущих шагах:
*: <math> V_\lambda := \bigcup_{\beta < \lambda} V_\beta .</math>
Ключевая особенность данного определения состоит в том, что на языке теории ZFC утверждение о том, что «множество <math>x</math> принадлежит <math>V_\alpha</math>», выражается единственной формулой вида <math>\varphi(\alpha, x)</math>.

Классом <math>V</math> называется объединение всех множеств вида <math>V_\alpha</math>:
:: <math>V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha</math>.

Эквивалентное определение использует обозначения вида
: <math>V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta)</math>,
где <math>\alpha</math> — произвольное порядковое число, а <math>\mathcal{P} (X)</math> [[булеан]] множества <math>X</math>.

Рангом множества <math>S</math> называется наименьшее <math>\alpha</math>, при котором <math>S \subseteq V_\alpha \,.</math>

На следующем рисунке показано схематичное отображение первых пяти уровней иерархии фон Неймана (от <math>V_0</math> до <math>V_4</math>). (Пустой блок соответствует пустому множеству. Блок, внутри которого находится только пустой блок, соответствует множеству, единственным элементом которого является пустое множество, и так далее.)

[[Файл:Von Neumann universe 4.png|750px|frameless|center|First 5 von Neumann stages]]

Множество <math>V_5</math> состоит из 65536 элементов. Размер множества <math>V_6</math> составляет <math>2^{65536}</math> и существенно превосходит число атомов в [[Наблюдаемая вселенная|наблюдаемой вселенной]]. Таким образом, конечные уровни кумулятивной иерархии, имеющие индекс выше 5, нельзя выписать явным образом. Множество <math>V_\omega</math> имеет ту же мощность, что и <math>\omega</math>. Мощность <math>V_{\omega+1}</math> совпадает с мощностью множества [[Вещественное число|вещественных чисел]].

== Связь с теорией множеств ==
Если <math>\omega</math> — множество [[Натуральное число|натуральных чисел]], то множество <math>V_\omega</math> состоит из [[Наследственно конечное множество|наследственно конечных множеств]] и представляет собой модель теории множеств без [[Аксиома бесконечности|аксиомы бесконечности]].
<math>V_{\omega + \omega}</math> есть [[Универсальное множество|универсум]] «обычной математики» и модель [[Теория множеств Цермело|теории множеств Цермело]]. Если <math>\kappa</math> — [[недостижимое кардинальное число]], то <math>V_\kappa</math> — модель самой [[ZFC|теории ZFC]], в то время как <math>V_{\kappa + 1}</math> — это модель [[Теория множеств Морса — Келли|теории множеств Морса — Келли]].

<math>V</math> не является «[[Универсальное множество|множеством всех множеств]]» по двум причинам. Во-первых, V не является множеством; несмотря на то, что каждая из совокупностей <math>V_\alpha</math> представляет собой множество, их объединение <math>V</math> — [[собственный класс]]. Во-вторых, только фундированные множества входят в класс <math>V</math> в качестве элементов. В соответствии с [[Аксиома регулярности|аксиомой фундирования]] (или регулярности) каждое множество является фундированным и, следовательно, входит в класс <math>V</math>. Таким образом, в теории ZFC каждое множество является элементом класса <math>V</math>. Однако в других [[аксиома]]тических системах аксиома фундирования может быть заменена своим сильным отрицанием (например, [[Аксиома антифундирования Акзеля|аксиомой антифундирования Акзеля]]), либо просто отсутствовать. Подобные теории нефундированных множеств обычно не применяются на практике, но вполне могут быть объектом исследования.

Третье возражение против интерпретации <math>V</math> как «множества всех множеств» заключается в том, что не каждое множество является «чистым», то есть может быть выражено через пустое множество, булеан и объединение. В 1908 году Цермело предложил добавить в теорию множеств [[урэлемент]]ы, и в 1930 году построил на их основе трансфинитную рекурсивную иерархию.<ref name=Zermelo /> Подобные урэлементы широко используются в [[Теория моделей|теории моделей]] — в частности, моделях Френкеля — Мостовского<ref name=Howard>{{книга |заглавие=Consequences of the axiom of choice |ссылка=https://archive.org/details/consequencesofax0000howa |год=1998 |издательство=American Mathematical Society |место=Providence, Rhode Island |isbn=9780821809778 |страницы=[https://archive.org/details/consequencesofax0000howa/page/175 175]—221 |язык=und |автор=Howard, Paul; Rubin, Jean}}</ref>.

== Взгляд с позиции философии ==
Существуют два основных подхода (без учёта различных вариантов и промежуточных градаций) к пониманию взаимосвязи между универсумом фон Неймана <math>V</math> и [[ZFC|теорией ZFC]]. В общих чертах: [[Формализм (математика)|формалисты]] склонны воспринимать <math>V</math> как некое следствие ZFC-аксиом (например, в теории ZFC можно доказать, что каждое множество является элементом <math>V</math>), в то время как [[Реализм (философия)|реалисты]] чаще всего видят в универсуме фон Неймана объект, непосредственно доступный интуиции, а в аксиомах ZFC — утверждения, истинность которых в контексте <math>V</math> можно подтвердить с помощью прямых доводов, выраженных на естественном языке. Одна из возможных промежуточных точек зрения состоит в том, что мысленный образ фоннеймановской иерархии служит обоснованием ZFC-аксиом (тем самым придавая им объективность), хотя и не обязательно соответствует каким-либо реально существующим объектам.

== См. также ==
* [[Универсум (математика)|Универсум]]
* [[Универсум Гротендика]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор={{nobr|Jech, Thomas}}|заглавие=Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded|ссылка=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4|издательство=Springer|год=2003|isbn=3-540-44085-2}}
* {{книга|автор={{nobr|Kunen, Kenneth}}|заглавие=Set Theory: An Introduction to Independence Proofs|издательство=Elsevier|год=1980|isbn=0-444-86839-9}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Теория множеств]]