Просмотр кода страницы Уравнение Эйлера

{{Другие значения|Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Уравнения}}
{{Механика сплошных сред}}
'''Уравнение Эйлера''' — одно из основных уравнений [[гидродинамика|гидродинамики]] [[идеальная жидкость|идеальной жидкости]]. Названо в честь [[Эйлер, Леонард|Л. Эйлера]], получившего это уравнение в [[1752 год]]у (опубликовано в [[1757 год]]у). По своей сути является [[Уравнение движения сплошной среды|уравнением движения]] жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.{{sfn|Стюарт|2015|с=315}}

== Классическое уравнение Эйлера ==
Рассмотрим движение [[идеальная жидкость|идеальной жидкости]]. Выделим внутри неё некоторый объём ''V''. Согласно [[Законы Ньютона|второму закону Ньютона]], ускорение [[Центр масс|центра масс]] этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних [[Силовое поле (физика)|силовых полей]]. Предположим, что это поле представляет собой [[Сила инерции|силы инерции]] или [[Сила тяжести|гравитации]], так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
: <math>\int\limits_V \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dm = \int\limits_V \mathbf{g} \,dm - \oint\limits_S p \,d\mathbf{S},</math>

где <math>\mathbf{S}</math> — поверхность выделенного объёма, <math>\mathbf{g}</math> — напряжённость поля. Переходя, согласно [[формула Остроградского|формуле Гаусса — Остроградского]], от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что <math>dm = \rho \, dV</math>, где <math>\rho</math> — плотность жидкости в данной точке, получим:
: <math>\int\limits_V \rho\,\frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dV = \int\limits_V \rho\,\mathbf{g} \,dV - \int\limits_V \nabla p \,dV. </math>

В силу произвольности объёма <math>V</math> подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
: <math>\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \rho \mathbf{g} - \nabla p.</math>

Выражая полную производную через [[конвективная производная|конвективную производную]] и [[частная производная|частную производную]]:
: <math>\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v},</math>

получаем '''уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести''':
{{рамка}}
<math> \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} = \mathbf{g} - \frac{1}{\rho}\nabla p,</math>
{{конец рамки}}
где
: <math>\rho\left(x,y,z,t\right)</math> — плотность жидкости,
: <math>p\left(x,y,z,t\right)</math> — давление в жидкости,
: <math>\mathbf{v}\left(x,y,z,t\right)</math> — вектор скорости жидкости,
: <math>\mathbf{g}\left(x,y,z,t\right)</math> — вектор напряжённости силового поля,
: <math>\nabla</math> — [[оператор набла]] для [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]].

== Частные случаи ==

=== Стационарный одномерный поток ===
Для случая ''стационарного'' ''одномерного'' потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид
: <math>v \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\rho} \cdot \frac{dp}{dx}.</math>
В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и [[Газодинамика|газодинамики]]. В частности, интегрированием этого уравнения по <math>x</math> при постоянной плотности жидкости <math>\rho</math> получается известное [[закон Бернулли|уравнение Бернулли]] для несжимаемой жидкости:
: <math>\frac{\rho v^2}{2} + p = \text{const}.</math>

=== Несжимаемая жидкость ===
Пусть <math>\rho = \text{const}</math>. Используя известную формулу
: <math>\frac{1}{2} \operatorname{grad} v^2 = [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}] + (\mathbf{v\nabla})\mathbf{v},</math>

перепишем соотношение в форме
: <math>\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \frac{1}{2} \operatorname{grad} v^2 =
[\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}] - \operatorname{grad}\frac{p}{\rho}.</math>

Беря [[Ротор (математика)|ротор]] и учитывая, что
: <math>\operatorname{rot} \operatorname{grad} \phi = 0,</math>

а частные производные [[Коммутативная операция|коммутируют]], получаем, что
{{рамка}}
<math>\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} \mathbf{v} = \operatorname{rot} [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}].</math>
{{конец рамки}}

=== Адиабатическое течение ===
В случае, если происходит [[Адиабатический процесс|адиабатическое]] движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием [[тепловая функция|тепловой функции]] <math>w</math> следующим образом:
: <math>dw = V\,dp + T\,ds = V\,dp</math> в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия <math>s</math> постоянна.
Следовательно:
: <math>\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v} = -\operatorname{grad}w.</math>
Используя известное соотношение
: <math>\frac{1}{2} \operatorname{grad} v^2 = [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}] + (\mathbf{v\nabla})\mathbf{v}</math>
и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде
: <math>\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} \mathbf{v} = \operatorname{rot} [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}].</math>

== См. также ==
* [[Уравнения Лагранжа (гидромеханика)|Уравнения Лагранжа]]
* [[Уравнение Громеки — Лэмба|Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба]]
* [[Уравнения Навье — Стокса|Уравнения движения вязкой жидкости]]
* [[Конформные преобразования]] — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
* [[Уравнение вихря]]
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика|1986}}
* [http://www.weizmann.ac.il/complex/falkovich/fluid-mechanics ''Falkovich G.''] [http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item6173728/?site_locale=en_GB  Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011]
* {{книга
 | автор           = Стюарт, Иэн
 | заглавие      = Величайшие математические задачи
 | место          = М.
 | издательство  = Альпина нон-фикшн
 | год           = 2015
 | страниц       = 460
 | isbn = 978-5-91671-318-3 
 | ref             = Стюарт
 }}

== Ссылки ==
[http://www.gidropraktikum.narod.ru/equations-of-hydrodynamics.htm Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости]

{{Математическая физика}}

[[Категория:Гидродинамика]]
[[Категория:Физические законы и уравнения|Эйлера]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных|Эйлера]]
[[Категория:Нелинейные уравнения|Эйлера]]
[[Категория:Именные законы и правила|Эйлера]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]