Просмотр кода страницы Усечённая квадратная мозаика

{|class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Усечённая квадратная мозаика
|-
|bgcolor=#ffffff align=center colspan=2|[[Файл:1-uniform n2.svg|280px]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Тип||[[Полуправильная мозаика]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Конфигурация вершины]]||[[ Файл:Truncated square tiling vertfig.png|50px]] 4.8.8]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефли]]|| t{4,4}<BR>tr{4,4} или <math>t\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Витхоффа]]|| 2 &#124; 4 4<BR>4 4 2 &#124;
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Список плоских групп симметрии|Симметрии]]|| p4m, [4,4], (*442) 
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Симметрии<BR>вращения|| p4, [4,4]<sup>+</sup>, (442)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина]]|| {{CDD|node_1|4|node_1|4|node}}<BR>{{CDD|node_1|4|node_1|4|node_1}} bили {{CDD|node_1|split1-44|nodes_11}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Группа Коксетера]]||{{overline|H}}<sub>4</sub>, [5,3,3,3]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Двойственный многогранник|Двойственные соты]]|| [[Разделённая квадратная мозаика]] 
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Свойства||Изогональные соты
|}

'''Усечённая квадратная мозаика''' — [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики|полуправильная мозаика]] из правильных многоугольников на [[Двумерное пространство|евклидовой плоскости]] с одним [[квадрат]]ом и двумя [[восьмиугольник]]ами в каждой [[Вершина (геометрия)|вершине]]. Это единственная мозаика из [[Правильный многоугольник|правильных]] [[Выпуклый многоугольник|выпуклых многоугольников]], содержащая соприкасающиеся сторонами восьмиугольники. [[Символ Шлефли]] мозаики равен ''t{4,4}''.

[[Конвей, Джон Хортон|Конвей]] называл эти мозаики «'''truncated quadrille'''» (усечённая кадриль), поскольку она строится на основе операции [[Усечение (геометрия)|усечения]] на [[Квадратный паркет|квадратном паркете]] (кадрили).

Другие названия для этой схемы — '''средиземноморская мозаика''' и '''восьмиугольная мозаика''', которые часто используют меньшие квадраты, а восьмиугольники  имеют перемежающиеся длинные и короткие стороны.

На плоскости существует 3 [[Список правильных многомерных многогранников и соединений|правильных]] и 8 {{не переведено 5|Список однородных мозаик|полуправильных мозаик||List of uniform tilings}}.

== Однородные раскраски ==

Существует две различные [[Однородная мозаика|однородные раскраски]] усечённой квадратной мозаики. (Названия раскрасок по индексам цветов вокруг вершины (4.8.8): 122, 123.)
{| class="wikitable"
|[[Файл:Uniform tiling 44-t12.png|150px]]<BR>2 цвета: 122<BR>{{CDD|node_1|4|node_1|4|node}}
|[[Файл:Uniform tiling 44-t012.png|150px]]<BR>3 цвета: 123<BR>{{CDD|node_1|4|node_1|4|node_1}}
|}

== Упаковка кругов ==
Мозаика из усечённых квадратов может быть использована для [[Упаковка кругов|упаковки кругов]], если разместить круги одинакового диаметра с центрами в вершинах мозаики. Каждый круг касается 3 других кругов в упаковке ([[контактное число]]){{sfn|Critchlow|1987|с=74-75}}. Поскольку все многоугольники имеют чётное число сторон, круги можно раскрасить альтернативным образом, как показано на втором рисунке.

[[Файл:Truncated square tiling circle packing.png|280px]]
[[Файл:Truncated square tiling circle packing2.png|280px]]

== Варианты ==
Вариант мозаики, часто называемой ''средиземноморской мозаикой'', состоит из более мелких квадратных плиток, расположенных диагонально относительно границ. Другие варианты содержат растянутые квадраты или восьмиугольники.

[[Пифагорова мозаика]] перемежает большие и маленькие квадраты и топологически эквивалентна усечённой квадратной мозаике. В ней квадраты повёрнуты на 45 градусов, а восьмиугольники преобразованы в квадраты с вершинами в середине сторон.

[[Ткачество|Плетёная]] мозаика тоже имеет ту же топологию, что и усечённая квадратная мозаика со сплющенными в [[прямоугольник]]и [[восьмиугольник]]ами.

{| class=wikitable width=600px
!p4m, (*442)
!colspan=2|pmm (*2222)
!colspan=3|p4g, (4*2)
!cmm, (2*22)
|-
|[[Файл:Mediterranean tiling.svg|120px]]
|[[Файл:Octagon rectangle tiling.png|120px]]
|[[Файл:Octagon rhombus tiling.png|120px]]
|[[Файл:Distorted truncated square tiling 4.svg|120px]]
|[[Файл:Distorted truncated square tiling.png|120px]]
|[[Файл:Weaved truncated square tiling0.svg|120px]]
|[[Файл:Weaved truncated square tiling.png|120px]]
|-
!p4m, (*442)
!colspan=2|pmm (*2222)
!colspan=2|p4, (442)
!p4g, (4*2)
!cmm, (2*22)
|-
|[[Файл:Mediterranean tiling2.png|120px]]
|[[Файл:Truncated rhombic tiling.png|120px]]
|[[Файл:Truncated rectangular tiling.png|120px]]
|[[Файл:Distorted truncated square tiling 3.svg|120px]]
|[[Файл:Distorted truncated square tiling2.png|120px]]
|[[Файл:Weaved truncated square tiling0b.svg|120px]]
|[[Файл:Weaved truncated square tiling2.png|120px]]
|-
!Средиземноморская мозаика
!colspan=2|Вытянутая мозаика
!colspan=2|[[Пифагорова мозаика]]
!colspan=2|[[Ткачество|Плетения]]
|}

Голландская кладка имеет ту же топологическую структуру со сплющенными в прямоугольники восьмиугольниками:
:[[Файл:Brickwork_in_flemish_bond.svg|240px]]

== Связанные многогранники и мозаики ==

Усечённая квадратная мозаика (топологически) является частью последовательности однородных многогранников и мозаик с [[вершинная фигура|вершинными фигурами]] 4.2n.2n:

{{Усечённые тела - Таблица 3|state=collapsed }}

3-мерные {{не переведено 5|биусечённые кубические соты|||bitruncated cubic honeycomb}}, спроектированные в плоскость дают две копии усечённой мозаики. На плоскости соты могут быть представлена как  составная мозаика, а комбинацию можно рассматривать как {{не переведено 5|Снятие фаски (геометрия)|квадратную мозаику со снятой фаской||Chamfer (geometry)}}.
{| class="wikitable" width=450
|- align=center
|[[Файл:Uniform tiling 44-t01.png|200px]]<BR>{{CDD|node_1|4|node_1|4|node}}
|[[Файл:Uniform tiling 44-t12.png|200px]]<BR>{{CDD|node|4|node_1|4|node_1}}
|[[Файл:Chamfered square tiling.svg|200px]]<BR>{{CDD|node_1|4|node_1|4|node}} + {{CDD|node|4|node_1|4|node_1}}
|}

=== Построение Витхоффа из квадратной мозаики ===
Если раскрасить исходные грани квадратной мозаики красным цветом, жёлтым цветом плитки на месте вершин и синим цветом плитки на месте исходных сторон, все 8 форм будут различными. Однако, если рассматривать грани одинаково (как раскрашенные одним цветом), существует только три уникальные топологические формы: [[Квадратный паркет|квадратная мозаика]], усечённая квадратная мозаика, [[плосконосая квадратная мозаика]].

{{Таблица мозаик порядка 4-4|state=collapsed }}

=== Связанные мозаики в других симметриях===
{{Таблица-4 полностью усечённых мозаик|state=collapsed}}
{{Таблица симметричных всеусечённых мозаик|state=collapsed }}

=== Разделённая квадратная мозаика ===
[[Файл:1-uniform 2 dual.svg|thumb|[[Разделённая квадратная мозаика]]]]
:{{main|Разделённая квадратная мозаика}}
'''Разделённая квадратная мозаика''' — мозаика евклидовой плоскости, двойственная усечённой квадратной мозаике. Она может быть построена, исходя из [[Квадратный паркет|квадратной мозаики]] путём деления каждого квадрата на четыре [[Равнобедренный треугольник|равнобедренных]] [[Прямоугольный треугольник|прямоугольных треугольника]], образуя бесконечную [[Конфигурация прямых|конфигурацию прямых]]. Эту же мозаику можно получить из квадратной мозаики путём деления каждого квадрата на два треугольника по диагонали, меняя попеременно направление диагоналей. Можно получить мозаику наложением двух квадратных решёток, одна из которых повёрнута на 45 градусов относительно другой и увеличена на множитель {{sqrt|2}}.

[[Конвей, Джон Хортон|Конвей]] называл эту мозаику «'''kisquadrille'''» = «'''kis''' + '''quadrille'''»{{sfn|Conway, Burgiel, Goodman-Strass|2008|с=288 table}}, где [[Нотация Конвея для многогранников|'''kis''']] — операция, которая добавляет центральную точку и треугольники и заменяет тем самым грани [[Квадратный паркет|квадратной мозаики]] («quadrille»). Мозаика также иногда называется решёткой '''Union Jack''' ввиду сходства с [[Флаг Великобритании|флагом Великобритании]]{{sfn|Stephenson|1970|с=4405–4409}}.

== См. также ==
* [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости]]
* {{не переведено 5|Список однородных мозаик|||List of uniform tilings}}
* {{не переведено 5|Порог просачивания|||Percolation threshold}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература == 
*{{книга
|заглавие=Order in Space: A design source book
|автор=Keith Critchlow
|ref=Critchlow
|часть=circle pattern H
|isbn=0-500-34033-1
|издательство=Thames & Hudson Inc.
|место=New York
|год=1987
}}
* {{книга
 |автор               = [[Конвей, Джон Хортон|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass
 |ref                      = Conway, Burgiel, Goodman-Strass
 |заглавие         = The Symmetries of Things
 |год                   = 2008
 |ISBN                     = 978-1-56881-220-5
 |url                      = http://www.akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205
 |издательство = A K Peters, Ltd.
 |место               = Wellesley, MA
 |ссылка= https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205
 }}
*{{статья
|заглавие=Ising Model with Antiferromagnetic Next-Nearest-Neighbor Coupling: Spin Correlations and Disorder Points
|издание=Phys. Rev. B
|том=1
|выпуск=11
|doi=10.1103/PhysRevB.1.4405
|автор=John Stephenson
|ref=Stephenson
|год=1970
}}
* {{книга
|автор=[[Грюнбаум, Бранко|Branko Grünbaum]], G. C. Shephard
|ref=Grünbaum, Shephard
|заглавие=Tilings and Patterns
|ссылка=https://archive.org/details/isbn_0716711931
|место=New York
|издательство=W. H. Freeman
|год=1987
|часть=Chapter 2.1: ''Regular and uniform tilings''
|страницы=[https://archive.org/details/isbn_0716711931/page/58 58]—65
|isbn=0-7167-1193-1
}} 
* {{книга
|автор=Robert Williams
|ref=Williams
|заглавие=The Geometrical Foundation of Natural Structure
|ссылка=https://archive.org/details/geometricalfound00will
|page=[https://archive.org/details/geometricalfound00will/page/40 40]
|год=1979
|издательство=Dover Publications
|место=New York
|ISBN=048623729X
}}
* {{книга
|автор=Dale Seymour, Jill Britton
|ref=Seymour, Britton
|заглавие=Introduction to Tessellations
|ссылка=https://archive.org/details/introductiontote0000seym
|год=1989
|ISBN=978-0866514613
|страницы=[https://archive.org/details/introductiontote0000seym/page/50 50]—56
|место=Palo Alto
|издательство=Dale Seymour Publications
}}
== Ссылки ==
* http://www.decrete.com/stencils/octagontile
* {{MathWorld | urlname=SemiregularTessellation | title=Semiregular tessellation}}
* Klitzing, Richard. [http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/flat.htm#2D 2D Euclidean tilings o4x4x — tosquat — O6]

{{Геометрические мозаики}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Евклидовы мозаики]]
[[Категория:Изогональные мозаики]]
[[Категория:Полуправильные мозаики]]
[[Категория:Усечённые мозаики]]