Просмотр кода страницы Фильтр Чебышёва

{{Линейные электронные фильтры}}
'''Фильтр Чебышёва'''{{ref+|Вопреки распространённому произношению старинной дворянской фамилии учёного — [[Чебышёвы|Чебышёв]]<ref>{{БСЭ3|Чебышев Пафнутий Львович|автор=Б. В. Гнеденко|29}}. — В заголовке статьи: «'''Чебышев''' (произносится '''Чебышёв''') Пафнутий Львович…»</ref><ref name=unbegaun>{{публикация|книга|автор=Унбегаун, Б. О.|заглавие=Русские фамилии|ответственный=пер. с англ. {{nobr|Л. В. Куркиной}}, {{nobr|В. П. Нерознака}}, {{nobr|Е. Р. Сквайрс}}; ред. {{nobr|Н. Н. Попов}}|место=М.|издательство=Прогресс|год=1989|страницы=349|isbn=5-01-001045-3}}</ref><ref>{{публикация|книга|автор=Калиткин, Н. Н.|заглавие=Численные методы|вид=учебное пособие|издание=2-е изд., испр|место=СПб.|издательство=БХВ-Петербург|год=2011|страницы=33 ['''''чебышёвская''' система функций''], 465 ['''''чебышёвский''' набор шагов''], 552 [''критерий '''Чебышёва'''''], 574 [''многочлены '''Чебышёва''''']|серия=Учебная литература для вузов|isbn=978-5-9775-0500-0}}</ref> — с ударением на первый слог (''Че́бышев''), обусловленному характерной для XX века тенденцией к обособлению фамилий на ''-ов/-ёв'' от исходных притяжательных прилагательных<ref name=unbegaun/> и традиционным [[Ё#Последствия необязательного употребления буквы «ё»|неразличением ''е''/''ё'' на письме]], 4-е издание академического «Русского орфографического словаря» (2013), словарь ударений «Собственные имена в русском языке» (2001) и профильные академические издания, последовательно использующие ''ё'' при передаче имён и названий, фиксируют в качестве орфографической и орфоэпической нормы написание и произношение '''Чебышёв'''<ref>{{публикация|книга|часть='''Чебышёв''' [''многочлены '''Чебышёва''''', ''формула '''Чебышёва''''']|часть2='''чебышёвский'''|заглавие=Русский орфографический словарь|ответственный=Российская академия наук. Институт русского языка {{nobr|им. В. В. Виноградова}}; под ред. {{nobr|[[Лопатин, Владимир Владимирович|В. В. Лопатина]]}}, {{nobr|О. Е. Ивановой}}|издание=Изд. 4-е, испр. и доп|место=М.|издательство=АСТ-ПРЕСС КНИГА|год=2013|страницы=819|серия=Фундаментальные словари русского языка|isbn=978-5-462-01272-3}}</ref><ref>{{публикация|книга|автор=[[Агеенко, Флоренция Леонидовна|Агеенко, Ф. Л.]]|часть='''Чебышёв''' Пафну́тий|заглавие=Собственные имена в русском языке|вид=словарь ударений|место=М.|издательство=Издательство НЦ ЭНАС|год=2001|страницы=349|isbn=5-93196-107-0}}</ref><ref>{{публикация|книга|заглавие=Журнал вычислительной математики и математической физики|место=М.|издательство=Издательство АН СССР|год=1982|том=22|номер=1|страницы=142 ['''''чебышёвский''' центр множества'']}}</ref><ref>{{публикация|книга|заглавие=Математический сборник|место=М.|издательство=Наука|год=2004|том=195|страницы=29 ['''''чебышёвский''' альтернанс''], 56—57 ['''''чебышёвский''' метод'']}}</ref>.|К}} — один из типов [[Линейный фильтр|линейных]] [[Аналоговый фильтр|аналоговых]] или [[Цифровой фильтр|цифровых фильтров]], отличительной особенностью которого является более крутой спад [[Амплитудно-частотная характеристика|амплитудно-частотной характеристики]] (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и [[Полоса подавления|подавления]] (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Пафнутия Львовича Чебышёва]], так как характеристики этого фильтра основываются на [[Многочлены Чебышёва|многочленах Чебышёва]].

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

== Фильтр Чебышёва I рода ==
[[Файл:Chebyshev response rus.PNG|thumb|250px|ЛАЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с <math>\omega_0=1</math> и <math>\varepsilon=1</math>]]
[[Файл:Mplwp chebyshev1-filter-gain-ru.svg|thumb|250px|Сравнение АЧХ [[Фильтр нижних частот|фильтров низких частот]](ФНЧ) Чебышёва I рода порядков от 2 до 5. При увеличении порядка крутизна спада АЧХ увеличивается по 20 дБ/декаду на каждый порядок.]]

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Характеризуется колебаниями АЧХ в полосе пропускания. Аналитически АЧХ такого фильтра <math>n</math>-го порядка задаётся следующим выражением:

: <math>G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | =</math>
: <math>= \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}},</math>

: где <math>\varepsilon</math> — показатель пульсаций,
: <math>\omega_0</math> — [[частота среза]],
: <math>T_n(x)</math> — [[Многочлены Чебышёва|многочлен Чебышёва]] <math>n</math>-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра существуют пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации ({{lang-en|ripple factor}}) <math>\varepsilon</math>. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального <math>G=1</math> до минимального <math>G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}.</math> На частоте среза <math>\omega_0</math> коэффициент усиления имеет значение <math>1/\sqrt{1+\varepsilon^2},</math> а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (''Примечание'': обычное определение частоты среза как частоты на которой модуль коэффициента передачи снижается на 3 [[децибел|дБ]] в случае фильтра Чебышёва не применяется).

Для аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, [[индуктивность|индуктивностей]] и/или [[Электрический конденсатор|конденсаторов]]), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в [[децибел]]ах:

: Пульсации в дБ = <math>20 \log_{10}\sqrt{1+\varepsilon^2}.</math>

Например, пульсации с амплитудой в 3 дБ соответствуют <math>\varepsilon = 1.</math>

Более крутой спад АЧХ может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в [[передаточная функция|передаточную функцию]] фильтра нули на мнимой оси <math>j\omega</math> в [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Это, однако, приведёт к менее эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный таким образом фильтр является [[эллиптический фильтр|эллиптическим фильтром]], также известным как [[фильтр Кауэра]].

=== Полюса и нули ===
[[Файл:Chebyshev8 gain.png|left|thumb|250px|Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты (<math>s=\sigma+j\omega</math>) при <math>\varepsilon=0,\!1</math> и <math>\omega_0=1.</math> Белые пятна соответствуют полюсам фильтра. Полюса ложатся на [[эллипс]] с полуосью равной ≈0,3836 по действительной оси и равной ≈1,071 по мнимой оси. Полюса передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует на рисунке соответствует коэффициенту передачи менее 0,05, белый — соответствует коэффициенту передачи более 20.]]

Для упрощения формул примем частоту среза фильтра равной единице. [[Полюс (комплексный анализ)|Полюса]] <math>(\omega_{pm})</math> фильтра Чебышёва являются нулями выражения в его знаменателе. Используя комплексную частоту <math>s</math> получим:

: <math>1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0.</math>

Представив <math>-js=\cos(\theta)</math> и используя тригонометрическое представление многочленов Чебышёва, получим:

: <math>1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=</math>
: <math>=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0.</math>

После разрешения последнго выражения относительно <math>\theta:</math>

: <math>\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}.</math>

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

: <math>s_{pm}=j\cos(\theta)=</math>
: <math>=j\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right).</math>

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в [[Комплексный анализ|комплексной]] форме:

: <math>s_{pm}^\pm=
\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+</math>
: <math>+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)
,</math>

: где <math>m=1,\;2,\;\ldots,\;n,</math>
: <math>\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}.</math>

Это выражение можно рассматривать как [[Параметрическое представление|параметрическое уравнение]] с параметром <math>\theta_n.</math> Оно показывает, что полюса лежат на [[эллипс]]е в <math>s</math>-плоскости, причём центр эллипса находится в точке <math>s=0,</math> полуось действительной оси имеет длину <math>\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n),</math> а полуось мнимой оси имеет длину <math>\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n).</math>

=== Передаточная функция ===
Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра <math>G.</math> Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый с ним полюс, а для каждой комплексно-сопряжённой пары полюсов есть два полюса, отличающихся от них только знаком действительной части. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:

: <math>H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)},</math>

: где <math>s_{pm}^-</math> — это только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

=== Групповая задержка ===
[[Файл:Chebyshev5 GainDelay-ru.svg|250px|left|thumb|АЧХ и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с <math>\varepsilon=0,\!5.</math> Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет.]]
[[Групповая задержка]] определяется как минус [[Производная функции|производная]] по частоте [[Сдвиг фаз|сдвига фазы]] фильтра и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах:

: <math>\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega)).</math>

=== Фазовые характеристики ===
[[Файл:Chebyshev10 Phase rus.png|thumb|250px| Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка]]
Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — [[фазо-частотная характеристика]] (ФЧХ) и [[фазовая задержка]] — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазы фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временно́го смещения выходного сигнала относительно входного:

: <math>\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}.</math>

=== Временны́е характеристики ===
[[Файл:Chebyshev10 Time Domain rus.png|thumb|left|250px|Типовые временны́е характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка]]
Временны́е характеристики фильтра Чебышёва I рода — [[импульсная переходная функция]] и [[переходная функция]] представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой отклик фильтра на входной сигнал в виде [[Дельта-функция|дельта-функции]] [[Дирак, Поль Адриен Морис|Дирака]], а переходная функция — отклик фильтра на входное воздействие в виде [[функция Хевисайда|единичной функции Хевисайда]].
{{-}}

== Фильтр Чебышёва II рода ==
[[Файл:ChebyshevII response-ru.svg|thumb|250px|АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с <math>\omega_0=1</math> и <math>\varepsilon=0,\!01</math>]]
[[Файл:Mplwp chebyshev2-filter-gain-ru.svg|thumb|250px|Сравнение АЧХ фильтров низких частот Чебышёва II рода порядков от 2 до 5. При увеличении порядка крутизна спада АЧХ увеличивается по 20 дБ/декаду на каждый порядок.]]
Фильтр Чебышёва II рода (или ''инверсный фильтр Чебышёва'') используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа электронных компонентов для реализации аналогового электронного фильтра с заданной крутизной спада. У него нет пульсаций в полосе пропускания, однако пульсации присутствуют в полосе подавления. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра задаётся выражением:

: <math>G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}.</math>

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения в диапазоне от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до <math>\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\varepsilon^2}}}.</math>

Минимальной частотой, при которой достигается максимум АЧХ является частота среза <math>\omega_0.</math> Параметр <math>\varepsilon</math> связан с затуханием в полосе подавления <math>\gamma</math> в [[децибел]]ах следующим выражением:

: <math>\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}.</math>

: Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: <math>\varepsilon=0,\!6801;</math>
: для затухания в 10 дБ: <math>\varepsilon=0,\!3333.</math>

Частота <math>f_C=\omega_C/(2\pi)</math> является частотой среза.

Частота затухания на 3 дБ <math>f_H</math> связана с <math>f_C</math> следующим выражением:

: <math>f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right).</math>

=== Полюса и нули ===
[[Файл:ChebyshevII8 gain.png|left|thumb|250px|Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости <math>(s=\sigma+j\omega)</math> с <math>\varepsilon=0,\!1</math> и <math>\omega_0=1.</math> Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные — нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) также показаны, 2 из них находятся за пределами картинки (один лежит на положительной мнимой оси, другой — на отрицательной мнимой оси). Полюса передаточной функции фильтра — это полюса, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции — это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01; белый — коэффициенту усиления более 3.]]

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов <math>(\omega_{pm})</math> фильтра Чебышёва:

: <math>1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0.</math>

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

: <math>\frac{1}{s_{pm}^\pm}=
\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+</math>
: <math>+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)
,</math>

: где <math>m=1,\;2,\;\ldots,\;n.</math>

Нули <math>(\omega_{zm})</math> фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения:

: <math>\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0.</math>

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

: <math>1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right),</math>

: где <math>m=1,\;2,\;\ldots,\;n.</math>

=== Передаточная функция ===
Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комплексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

=== Групповая задержка ===
[[Файл:ChebyshevII5 GainDelay-ru.svg|250px|left|thumb|Амплитудно-частотная характеристика (зелёная кривая) и групповая задержка (красная  кривая) фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с <math>\varepsilon=0{,}1</math>]]

Амплитудно-частотная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды лежат в полосе подавления, а не в полосе пропускания.

=== Фазовые характеристики ===
[[Файл:ChebyshevII10 Phase rus.png|thumb|250px| Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка]]
Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает зависимость от частоты фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазового сдвига на частоту и характеризует частотную зависимость временно́го запаздывания выходного сигнала относительно входного.

== Цифровые фильтры Чебышёва ==
Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над передаточной функцией каждого каскада записанной для аналогового фильтра осуществить [[билинейное преобразование]]. Результирующий фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка{{Нет АИ|21|12|2016}}:

[[Z-преобразование|''Z''-преобразование]] каждого каскада:

: <math>S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}.</math>

Во временно́й области преобразование записывается как:

: <math>y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2].</math>

Коэффициенты <math>\alpha_i</math> и <math>\beta_i</math> вычисляются по коэффициентам <math>a_i</math> и <math>b_i</math>{{Нет АИ|21|12|2016}}:

: <math> K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right),</math>
: <math> \mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n},</math>
: <math> b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2} ,</math>
: <math> a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i,</math>
: <math> \alpha_0 = K \cdot K,</math>
: <math> \alpha_1 = 2 \cdot K^2,</math>
: <math> \alpha_2 = K \cdot K,</math>
: <math> \beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i),</math>
: <math> \beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2),</math>
: <math> \beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i),</math>
: <math> \beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime,</math>
: <math> \beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime.</math>

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

== Сравнение с другими линейными фильтрами ==
[[Файл:Filters order5-ru.svg|250px|thumb|Сравнение амплитудно-частотных характеристик фильтров 5-го порядка: Баттерворта, Чебышёва I и II родов и эллиптического фильтра]]
На рисунке представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов с пульсациями в полосе пропускания или полосе подавления равными 0,1 в сравнении с некоторыми другими часто используемыми фильтрами 5-го порядка.

По графикам видно, что амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышёва имеют более крутой спад, чем спад у [[фильтр Баттерворта|фильтров Баттерворта]], но не такой крутой спад, как у [[эллиптический фильтр|эллиптического фильтра]].

== См. также ==
* [[Гребенчатый фильтр]]
* [[Фильтр (электроника)]]
* [[Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой]]
* [[Обработка изображений|Цифровая обработка изображений]]
* [[Цифровая обработка сигналов]]

== Комментарии ==
{{примечания|group=К}}

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=30em}}

== Библиография ==
* {{публикация|книга|автор=Кривицкий Б. Х.|заглавие=Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники|место=М.|издательство=Энергия|год=1977}}
* {{публикация|книга|автор=Лукас В. А.|заглавие=Теория автоматического управления|место=M.|издательство=Недра|год=1990}}
* {{публикация|книга|автор=Daniels Richard W.|заглавие=Approximation Methods for Electronic Filter Design|место=New York|год=1974|издательство=McGraw-Hill|isbn=0-07-015308-6 }}
* {{публикация|книга|автор=Higgins Richard J.|заглавие=Digital Signal Processing in VLSI|место=[[Парамес|Paramus]], NJ|издательство=Prentice-Hall|год=1990|isbn=0-13-212887-X}}
* {{публикация|книга|автор=Haykin S.|заглавие=Adaptive Filter Theory|издание=4th ed|место=Paramus, NJ|издательство=Prentice-Hall|год=2001|isbn=0-13-090126-1}}
* {{публикация|книга|автор=Honig Michael L.; Messerschmitt David G.|заглавие=Adaptive Filters – Structures, Algorithms, and Applications|место=Hingham, MA|издательство=Kluwer Academic Publishers|год=1984|isbn=0-89838-163-0}}
* {{публикация|книга|автор=Markel J. D.; Gray Jr. A. H.|заглавие=Linear Prediction of Speech|место=New York|издательство=Springer-Verlag|год=1982|isbn=0-387-07563-1}}
* {{публикация|книга|автор=Oppenheim A. V.; Schafer R. W.|заглавие=Digital Signal Processing|место=Paramus, NJ|издательство=Prentice-Hall|год=1975|isbn=0-13-214635-5}}
* {{публикация|книга|автор=Proakis John G.; Manolakis Dimitris G.|заглавие=Introduction to Digital Signal Processing|место=Paramus, NJ|издательство=Prentice-Hall|год=1988|isbn=0-02-396815-X}}
* {{публикация|книга|автор=[[Рабинер, Лоренс|Rabiner L. R.]]; Schafer R. W.|заглавие=Digital Processing of Speech Signals|место=Paramus, NJ|издательство=Prentice-Hall|год=1978|isbn=0-13-213603-1}}
* {{публикация|книга|автор=Rabiner L. R.; Gold B.|заглавие=Theory and Application of Digital Signal Processing|место=Paramus, NJ|издательство=Prentice-Hall|год=1986|isbn=0-13-914101-4}}
* {{публикация|книга|автор=Rorabaugh Britton C.|заглавие=Approximation Methods for Electronic Filter Design|место=New York|издательство=McGraw-Hill|год=1999|isbn=0-07-054004-7}}
* {{публикация|книга|автор=Smith Steven W.|заглавие=The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing|ссылка=http://dspguide.com|издание=2nd ed|место=San-Diego|издательство=California Technical Publishing|год=1999|isbn=0-9660176-4-1}}
* {{публикация|книга|автор=Widrow B.; Stearns S. D.|заглавие=Adaptive Signal Processing|место=Paramus, NJ|издательство=Prentice-Hall|год=1985|isbn=0-13-004029-0}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{cite web|url=http://www.nsu.ru/education/cmet/node53.html|title=Как рассчитывать рекурсивные фильтры?|publisher=[[Новосибирский государственный университет|НГУ]]|accessdate=2014-02-14|deadlink=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131130183051/http://www.nsu.ru/education/cmet/node53.html|archivedate=2013-11-30}}
* {{cite web|url=http://analogiu.ru/6/6-5-1.html|title=Классификация фильтров|publisher=Аналоговые измерительные устройства|accessdate=2014-02-14}}
* {{cite web|url=http://www.dsp.sut.ru/rus/training/book/lections/l3/l3_2.htm|title=Лекция по цифровой фильтрации|publisher=DSP.sut.ru|accessdate=2014-02-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070312233719/http://www.dsp.sut.ru/rus/training/book/lections/l3/l3_2.htm|archivedate=2007-03-12}}
* {{cite web|url=http://www.dsplib.ru/content/filters/ch4/ch4.html|title=Расчёт фильтра Чебышёва первого рода с примерами|publisher=Dsplib.ru|accessdate=2014-02-14}}
* {{cite web|url=http://www.dsplib.ru/content/filters/ch5/ch5.html|title=Расчёт фильтра Чебышёва второго рода с примерами|publisher=Dsplib.ru|accessdate=2014-02-14}}
* {{cite web|url=http://www.gaw.ru/html.cgi/txt/doc/op/funop_11_2.htm|title=Фильтры нижних частот|publisher=Gaw.ru (Рынок Микроэлектроники)|accessdate=2014-02-14}}
* {{cite web|url=http://www-k.ext.ti.com/SRVS/Data/ti/KnowledgeBases/analog/document/faqs/ch.htm|title=Chebyshev Filters|publisher=Texas Instruments|accessdate=2014-02-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120805205639/http://www-k.ext.ti.com/SRVS/Data/ti/KnowledgeBases/analog/document/faqs/ch.htm|archivedate=2012-08-05}}{{ref-en}}

{{ВП-порталы|Математика}}

[[Категория:Фильтрация|Чебышёва]]