Просмотр кода страницы Фонон

{{Квазичастица
 |цвет_фона               = 
 |имя                     = Фонон
 |изображение             = [[Файл:1D normal modes (280 kB).gif|thumb|275px]]
 |заголовок               = Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле она существенно меньше межатомного расстояния.
 |num_types               = 
 |состав                  = [[квазичастицы|квазичастица]]
 |классификация           = акустические фононы, оптические фононы
 |теоретически_обоснована = [[Тамм, Игорь Евгеньевич|И. Е. Тамм]] в [[1930 год]]у  
 |семья                   = [[бозон]]<ref name="femto">{{Cite web |url=http://femto.com.ua/articles/part_2/4346.html |title=Энциклопедия физики и техники: Фонон |access-date=2016-06-17 |archive-date=2016-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160516092452/http://femto.com.ua/articles/part_2/4346.html |deadlink=no }}</ref>
 |группа                  = [[квант]] (колебательного движения [[атом]]ов [[кристалл]]а)
 |спин                    = 
}}

'''Фоно́н''' — [[квазичастица]], квант энергии согласованного колебательного движения 
[[атом]]ов твёрдого тела, образующих идеальную кристаллическую решётку<ref>Фонон [https://old.bigenc.ru/physics/text/4717250 Большая российская энциклопедия] {{Wayback|url=https://old.bigenc.ru/physics/text/4717250 |date=20230221175134 }}.</ref>. 

Характеризуется волновым вектором <math>\vec{k}</math> и энергией <math>\hbar\omega</math> (<math>\omega</math> — частота колебаний, <math>\hbar</math> — редуцированная [[постоянная Планка]]). Каждый кристаллический материал обладает своим набором возможных в нём зависимостей <math>\hbar\omega(\vec{k})</math>. 

Модельное представление колебаний решётки как совокупности фононов оказывается удобным при анализе взаимодействия [[электрон]]ов, [[фотон|световых квантов]] и других частиц, доля импульса которых может быть передана решётке.

Понятие «акустических квантов» было введено в теорию твёрдого тела советским учёным [[Тамм, Игорь Евгеньевич|И. Е. Таммом]]<ref>{{статья |автор=Tamm Ig. |заглавие=Über die Quantentheorie der molekularen Lichtzerstreuung in festen Körpern |ссылка=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01339935 |язык=de |издание=Zeitschrift für Physik |тип= |год=1930 |месяц= |число= |том=60 |выпуск=5—6 |страницы=345—363 |doi= |issn= |archivedate=2023-11-24 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20231124214953/https://link.springer.com/article/10.1007/BF01339935 }}<br>{{книга |автор=Тамм И. Е. |часть=О квантовой теории молекулярного рассеяния света в твердых телах |заглавие=Собрание научных трудов: в 2 т |nodot= |язык=ru |ответственный= |ссылка= |место=М |издательство=Наука |год=1975 |том=1 |страниц=443 |страницы=168—185 |isbn= |ref= }}</ref><ref>{{Книга:Физическая энциклопедия|5|автор=[[Каганов, Моисей Исаакович|Кайганов М. И.]]|статья=Фонон|ссылка=|страницы=338−340}}</ref>. Современное название было предложено [[Френкель, Яков Ильич|Я. И. Френкелем]]<ref>{{книга |автор=Тамм И. Е |заглавие=Собрание научных трудов: в 2 т |часть= |nodot= |язык=ru |ответственный= |ссылка= |место=М |издательство=Наука |год=1975 |том=1 |страниц=443 |страницы=185 |isbn= |ref= }}</ref>.

== Модель фононного газа для упругих волн ==
Согласно концепции [[Корпускулярно-волновой дуализм|корпускулярно-волнового дуализма]], любой материальный микроскопический объект может восприниматься и как волна, и как частица (квазичастица). Например, [[свет]] может трактоваться как совокупность [[Электромагнитная волна|электромагнитных волн]] или как поток [[фотон]]ов, движущихся (в случае вакуума) со [[Скорость света|скоростью <math>c</math>]]. Амплитуда волн и плотность потока соответствуют друг другу таким образом, чтобы обеспечилась одинаковость [[Спектральная плотность мощности|спектральной плотности мощности]] в обеих трактовках. В квантовой механике, концепция дуализма [[Волна де Бройля|используется]] для элементарных частиц, включая [[электрон]]ы.

Аналогичным образом [[Упругая волна|упругие волны]] (в узком смысле слова — [[звук]]) могут восприниматься как поток квазичастиц, носящих название фононов. Соответственно, состояние кристаллической решётки может рассматриваться как газ фононных квазичастиц (подобно более привычным электронному или фотонному газам).

== Некоторые характеристики и свойства фононов ==

=== Основные параметры фонона ===
Фонон представляет собой [[квант]] энергии согласованного колебательного движения атомов твёрдого тела. 

На уровне «одной штуки» в идеальной кристаллической решётке он характеризуется 
[[Волновой вектор|волновым вектором]] <math>\vec{k}</math> (в одномерном случае <math>k</math>), частотой <math>\omega</math> и поляризацией (направлением смещения атомов). Вместо <math>k</math> и <math>\omega</math> нередко используются квазиимпульс <math>\hbar k</math> и энергия кванта <math>\hbar\omega</math>, где <math>\hbar</math> — редуцированная [[постоянная Планка]]. Типичные энергии фонона составляют от нуля до десятков [[Электрон-вольт|мэВ]].

При наличии неидеальностей решётки, вводится ещё «длина свободного пробега» (средняя длина движения фонона до акта рассеяния).

=== Дисперсионные соотношения ===
Важнейшей характеристикой конкретного материала является соотношение между частотой фонона и волновым вектором фонона в этом материале: 
: <math>\omega = \omega (k)</math>. 
Оно носит название дисперсионного соотношения, причём для одного материала может существовать несколько «ветвей» таких соотношений. Иногда используется вид <math>[\hbar\omega] = [\hbar\omega](k)</math>.

Располагая дисперсионным соотношением, можно вычислить [[Фазовая скорость|фазовую]] и [[Групповая скорость|групповую]] скорости соответствующих элементарных возбуждений как <math>V_p = \omega/k</math> и <math>V_g = d\omega/dk</math> для каждой ветви.

=== Описание фононного газа ===
На уровне совокупности фононов дополнительными характеристиками выступают плотность состояний фононов <math>d\nu/d[\hbar\omega]dV</math> [ [[Джоуль (единица)|Дж]]<sup>-1</sup>м<sup>-3</sup>] и числа заполнения <math>f([\hbar\omega])</math> в зависимости от энергии фонона. Фонон является квазичастицей [[Бозон|бозевского]] типа, и при тепловом равновесии c температурой <math>T</math> числа заполнения диктуются [[Статистика Бозе — Эйнштейна|статистикой Бозе—Эйнштейна]] с нулевым химическим потенциалом:
: <math>f([\hbar\omega]) = \left[\exp\frac{[\hbar\omega]}{k_BT}-1\right]^{-1}</math>
(<math>k_B</math> — постоянная Больцмана). При высоких температурах она превращается в статистику Больцмана<ref>{{Cite web|url=http://dssp.petrsu.ru/p/tutorial/ftt/Part6/part6_2.htm|title=Энергия тепловых колебаний решётки|author=|website=Сайт кафедры физики твёрдого тела Петрозаводского государственного университета|date=|publisher=|accessdate=2016-10-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161006152814/http://dssp.petrsu.ru/p/tutorial/ftt/Part6/part6_2.htm|archivedate=2016-10-06|deadlink=yes}}</ref>. Интеграл <math>\int d\nu/d[\hbar\omega]dV\cdot f([\hbar\omega]) d[\hbar\omega]</math> задаёт общее число фононов [штук/м<sup>3</sup>]. 

Характеристики фонона во многом аналогичны характеристикам фотонов и электронов (но последние являются [[фермион]]ами, и <math>f([\hbar\omega])</math> для них подчиняется [[Статистика Ферми — Дирака|статистике Ферми—Дирака]]).

== Нахождение законов дисперсии для фононов ==
Для получения законов дисперсии фононов в конкретной упругой среде она моделируется как набор [[Гармонические колебания|гармонически]] взаимодействующих [[Гармонический осциллятор|осцилляторов]]. Считается, что конкретный атом взаимодействует только со своими соседями. В качестве простейших примеров обычно рассматриваются колебания прямолинейных цепочек и принимается, что атомы колеблются параллельно цепочке. 

При анализе поведения '''цепочки одинаковых атомов''' массой <math>m</math> с равновесными расстояниями между соседними атомами <math>a</math> получается
{{начало скрытого блока|колебания в цепочке одинаковых атомов: подробности}}
В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы <math>m</math>, равновесные положения которых определяются вектором решётки:
: <math>\mathbf{n}=n\mathbf{a},</math>
где <math>n=1,2,...,N</math>. Пусть <math>\xi_n</math> — одно из таких смещений атома, занимающего узел <math>n</math>.
В потенциальной энергии <math>U</math> смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия:
: <math>U=\frac{1}{2}\beta \sum_{n=1}^N (\xi_n-\xi_{n-1})^2.</math>
Кинетическая энергия выражается через скорости смещений <math>\dot{\xi}_n</math> с помощью функции:
: <math>K=\frac{1}{2}m\sum_{n=1}^N \dot{\xi}_n^2</math>.
Введём циклические условия:
: <math>\xi_n=\xi_{n+Na}</math>.
Одномерной решётке соответствует [[зона Бриллюэна]] в <math>\mathbf{k}</math>-пространстве с границами:
: <math>-\pi \le \mathbf{k}\mathbf{a}<\pi</math>.
Внутри этой зоны располагаются <math>N</math> неэквивалентных волновых векторов:
: <math>\mathbf{k}=\frac{2\pi \mu}{Na^2} \mathbf{a},</math>
где <math>\mu=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm\frac{N}{2}</math>.
От смещений отдельных атомов <math>\xi_n</math> удобно перейти к новым обобщённым координатам <math>A_k</math>, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям <math>\mathbf{k}</math>. Для этого введём преобразование:
: <math>\xi_n=N^{-1/2}\sum_{k=1} A_k \exp (i\mathbf{k}\mathbf{n}).</math>
Новые переменные должны удовлетворять условию:
: <math>A_k=A_{-k}^*</math>.
Таким образом, потенциальная
: <math>U=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \omega^2(\mathbf{k})A_kA_{-k}</math>
и кинетическая энергия
: <math>K=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \dot{A}_k\dot{A}_{-k}</math>,
где
: <math>m\omega^2(\mathbf{k})=m\omega^2(\mathbf{-k})=4\beta \sin^2\frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}</math>
выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Опуская векторные обозначения, имеем
: <math>\omega(k)=\omega(-k)=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\left|\sin \frac{ka}{2}\right|</math>.
{{конец скрытого блока}}
следующее соотношение между частотой и волновым вектором:
: <math> \omega (k) = 2 \sqrt{\frac{\beta}{m}} \left| \sin \left( \frac{k a}{2}\right) \right| </math>,
где <math>\beta</math> (кг/с<sup>2</sup>) —- жёсткость условной «пружины», соединяющей атомы.

Аналогичный анализ '''цепочки атомов двух чередующихся типов''' массами <math>m_1</math> и <math>m_2</math> приводит к результату:
: <math>\omega (k) = \left[\frac{\beta(m_1+m_2)}{m_1\cdot m_2}\left( 1 \pm \sqrt{1- \frac{4m_1\cdot m_2}{(m_1+m_2)^2}\cdot \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)} \, \right)\right]^{1/2}</math>.
В отличие от случая одинаковых атомов, здесь наличествуют две ветви, определяемые выбором знака.

Максимальное возможное абсолютное значение волнового вектора диктуется обращением синуса в единицу, то есть математическим условием <math>|k|_{max} = \pi/a</math>. Диапазон волновых векторов <math>-\pi/a < k < \pi/a</math> носит название «[[зона Бриллюэна]]».

== Акустические и оптические фононные ветви ==
=== Акустические фононы ===
[[Файл:Optical & acoustic vibrations-ru.svg|thumb|Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепочке атомов]]
Акустический фонон характеризуется при малых [[волновой вектор|волновых векторах]] линейным дисперсионным соотношением и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решётки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трёхмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну.
В центре [[Зона Бриллюэна|зоны Бриллюэна]] (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов:

: <math> \omega_i = v_i k\quad</math> (acoustic, <math>|k|\ll |k|_{max}</math>), 

где <math>\omega_i</math> — частота колебаний, а коэффициенты <math>v_i</math> суть скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука.
[[Файл:Diatomic phonons-ru.svg|thumb|Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки]]

=== Оптические фононы ===
Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов (пример — упоминавшаяся в предыдущем разделе цепочка чередующихся двух разнотипных атомов). Эти фононы характеризуются при малых [[волновой вектор|волновых векторах]] такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остаётся неподвижным. 

Энергия оптических фононов зависит от волнового вектора слабо:
 
: <math>\omega_i \approx {\rm const}(k)\quad </math> (optical);

она заметно выше энергии акустических фононов.

=== Общее число ветвей ===
В трёхмерном твёрдом кристаллическом материале, содержащем <math>S</math> атомов в элементарной ячейке, реализуется <math>3S</math> различных законов дисперсии для колебаний решётки. Соответственно этому говорят о <math>3S</math> фононных ветвях («модах»). 

Из них имеется одна ветвь [[Продольная волна|продольных]] (то есть таких, в которых направление колебаний атомов параллельно направлению <math>\vec{k}</math>) акустических фононов и две ветви [[Поперечная волна|поперечных]] акустических фононов (когда смещение атомов происходит в плоскости перпендикулярной <math>\vec{k}</math>), а также <math>S-1</math> ветвей продольных оптических фононов и <math>2(S-1)</math> ветвей поперечных оптических фононов. При изотропии в упомянутой плоскости, поперечных мод будет вдвое меньше, но каждая окажется двукратно вырожденной.

В упрощённом случае одномерных цепочек имеют место только продольные колебания (иначе нет одномерности) и наличествует <math>S</math> мод: одна акустическая и <math>S-1</math> оптических (пример для <math>S = 2</math> дан выше).

== Преимущества использования концепции фонона ==
{{нет ссылок в разделе|дата=2023-06-30}}
Концепция фонона очень полезна в [[физика твёрдого тела|физике твёрдого тела]]. 

В кристаллических материалах рассмотрение колебаний отдельных атомов затруднительно — получились бы огромные системы связанных между собой дифференциальных уравнений, решение которых неосуществимо на практике. Поэтому анализ колебаний атомов заменяется изучением распространения в веществе [[звук]]овых [[Волна|волн]], квантами которых и являются фононы. 

Фононы и их [[Электрон-фононное взаимодействие|взаимодействие с электронами]] играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике [[сверхпроводник]]ов, процессах [[теплопроводность|теплопроводности]], [[Фононное рассеяние|процессах рассеяния]] в твёрдых телах. Совместно с электронами фононы дают вклад в [[теплоёмкость]] кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно [[Модель Дебая|модели Дебая]], кубически зависит от температуры <math>T</math>: при абсолютном нуле число фононов равно нулю, а при повышении температуры оно возрастает пропорционально <math>T^3</math>. Взаимодействие фононов друг с другом и с другими (квази)частицами твёрдого тела определяет процессы рождения и уничтожения фононов. Такие явления ответственны за кинетику движения электронов в твердотельных приборах. 

Концепция фонона успешно используется при анализе переходов электронов в твёрдых телах, в частности в полупроводниках. Для частиц каждого из типов — электронов, фотонов, фононов — существует набор законов дисперсии в конкретном веществе. При любых переходах должны выполняться законы [[Закон сохранения энергии|сохранения энергии]] и [[Закон сохранения импульса|квазиимпульса]], что позволяет ответить на вопрос, какие переходы возможны, а какие нет. Рождение фонона при переходе атомов и молекул твёрдого тела из возбуждённого в основное состояние определяет безызлучательную и излучательную электронную релаксацию, обеспечивая передачу энергии в фононную подсистему.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Соловьев В. Г.|заглавие=Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы|место=М.|издательство=Энергоатомиздат|год=1989|страниц=304|isbn=5-283-03914-5}}
* {{публикация|книга||автор=Давыдов А. С.|заглавие=Теория твёрдого тела|место=М.|Наука|год=1976|страниц=636}}
* {{публикация|книга|заглавие=Statistical Mechanics, A Set of Lectures |год=1972 |издательство=The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. |место=Reading, Massachusetts |isbn=Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3 |страницы=366 |ref=Feynman |язык=en|автор=Feynman, Richard P.}}
* {{публикация|книга|автор=[[Каганов, Моисей Исаакович|Каганов М. И.]]|заглавие=«Квазичастица». Что это такое?|издательство=М.: Знание|год=1971|страниц=75|тираж = 12500|isbn=}}
* {{публикация|книга|автор=[[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]]|заглавие=Статистическая механика|издательство=Мир|год=1975|страниц=407|тираж = |isbn=}}

{{Внешние ссылки}}
{{Квазичастицы}}

[[Категория:Коллективные явления в конденсированных средах]]
[[Категория:Физика твёрдого тела]]
[[Категория:Бозоны]]
[[Категория:Кванты]]