Просмотр кода страницы Формула Виета для приближения числа π

{{о|формуле для приближения числа π|формулах, связывающих коэффициенты многочлена и его корни|формулы Виета}}
'''Формула Виета для приближения числа π''' — [[бесконечное произведение]] [[Вложенные радикалы|вложенных радикалов]]:

: <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2 \cdots</math>.

Первое известное явное представление [[Число π|числа <math>\pi</math>]] с бесконечным числом операций{{sfn |История математики, том I|1970}}; открыто французским математиком [[Виет, Франсуа|Франсуа Виетом]] в [[1593 год в науке|1593 году]]. 

Доказать равенство можно следующим образом: применив тождество <math>\sin2 \varphi=2 \sin \varphi \cos \varphi</math> рекурсивно и перейдя к пределу:

: <math>\sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}=</math><math>4\sin\frac{\varphi}{4}
\cos\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{4}=\langle\cdots\rangle </math><math>= 2^n\sin\frac{\varphi}{2^n}
\cos\frac{\varphi}{2}\cdot\ldots\cdot\cos\frac{\varphi}{2^n}</math><math>\to\varphi\cos\frac{\varphi}{2}
\cos\frac{\varphi}{4}\cdot\ldots</math>

Получается:
: <math>\varphi \cos\dfrac\varphi2\cos \frac\varphi4\cdots = \sin \varphi .</math>
Остаётся подставить <math>\varphi=\frac\pi2</math> и воспользоваться [[Тригонометрические тождества#Формулы двойного угла и половинного угла|формулой половинного угла]]:
: <math>\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos \alpha}</math>.

Формула Виета может быть также представлена как [[Предел (математика)|предельное]] выражение:

: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi</math>

: <math>a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}</math>

: <math>a_1=\sqrt{2}</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
  |заглавие=История математики |том=I |ref=История математики, том I |место=М. |издательство=Наука |год=1970
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |страниц=352 |страницы=314—315}}

[[Категория:Ряды и последовательности]]
[[Категория:Алгоритмы вычисления числа пи]]