Просмотр кода страницы Формула Крофтона

'''Формула Крофтона''' — классический результат интегральной геометрии.
Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.

Названа в честь [[Крофтон, Морган|Моргана Крофтона]].

== Формулировка ==
Пусть <math>\gamma</math> — [[Кривая|спрямляемая плоская кривая]].
Для прямой <math>l</math>, обозначим через <math>n_\gamma(l)</math> число точек, в которых <math>\gamma</math> и <math>l</math> пересекаются.
Мы можем параметризовать [[Ориентированная прямая|ориентированные прямые]] <math>l</math> углом <math>\varphi</math> к выбранному направлению и расстоянием <math>p</math> от [[Начало координат|начала координат]], взятым со знаком.
Тогда длина кривой <math>\gamma</math> равна
: <math>L = \frac14 \int\limits_0^{2\cdot\pi}d\varphi\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} n_\gamma(\varphi, p)\cdot dp.</math>

==Замечания==
* [[Дифференциальная форма]]
*: <math>d\varphi\wedge dp</math>
:инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.

* Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: ''Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций.'' При этом длина проекции считается с учётом кратности.''

== Приложения ==
Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:
* Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину.
* [[Теорема Барбье]]: [[Кривая постоянной ширины]] <math>a</math> имеет периметр <math>\pi\cdot a</math>.
* [[Изопериметрическая задача|Изопериметрические неравенства]]: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь.
* Если сферическая кривая имеет длину меньше <math>2{\cdot}\pi</math>, то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве [[Теорема Фенхеля о повороте кривой|теоремы Фенхеля о повороте кривой]].

== Вариации и обобщения ==

*[[Задача Бюффона о бросании иглы]]

* Формула Крофтона обобщается для любой [[Риманова геометрия|римановой]] поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве [[Геодезическая|геодезических]] фиксированной длины.
** Например, длина кривой на единичной сфере равна <math>\pi\cdot n</math>, где <math>n</math> обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.

* [[Преобразование Радона]] может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры.
* [[Формула Сантало]]

== Литература ==
* {{книга |год=2005 |заглавие=Geometry and Billiards |ссылка=https://archive.org/details/geometrybilliard00taba |издательство=AMS |страницы=[https://archive.org/details/geometrybilliard00taba/page/36 36]—40 |isbn=0-8218-3919-5 |ref=Tabachnikov |язык=en |автор={{Нп3|Sergei Tabachnikov|Tabachnikov, Serge|en|Sergei Tabachnikov}}}}
* {{книга |год=1953 |заглавие=Introduction to Integral Geometry |страницы=12—13, 54 |id={{LCC|QA641.S3}} |ref=Santalo |язык=en |автор=Santalo, L. A.}}
* Лекция 19 в {{книга
 | автор         = Табачников С.Л.. Фукс Д.Б.
 | заглавие      = Математический дивертисмент
 | ссылка        = http://biblio.mccme.ru/node/2392
 | издательство  =  МЦНМО
 | год           = 2011
 | страниц       = 512 
 | тираж         = 2000
 | isbn          = 978-5-94057-731-7
}}


[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[Категория:Теория меры]]
[[Категория:Теоремы геометрии]]
[[Категория:Интегральная геометрия]]