Просмотр кода страницы Характер (теория чисел)

'''Характер''' (или '''числовой характер''', или '''характер Дирихле'''), это определённая [[арифметическая функция]], которая возникает из {{не переведено 5|Вполне мультипликативная функция|вполне мультипликативных||completely multiplicative}} [[Характер представления группы|характеров]] на обратимых элементах <math> \mathbb Z / k \mathbb Z </math>.  Характеры Дирихле используются для определения [[L-функция Дирихле|''L''-функций Дирихле]], которые являются [[Мероморфная функция|мероморфными функциями]] со множеством интересных аналитических свойств. 
Если <math>\chi</math> является характером Дирихле, его ''L''-ряд Дирихле определяется равенством 

:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}</math>

где ''s'' — [[комплексное число]] с вещественной частью > 1. Путём [[Аналитическое продолжение|аналитического продолжения]] эта функция может быть продолжена до [[Мероморфная функция|мероморфной функции]] на всей [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. ''L''-функции Дирихле являются обобщением [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] и заметно проявляются в [[Обобщённые гипотезы Римана|обобщённых гипотезах Римана]].

Характеры Дирихле названы в честь [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Петера Густава Лежёна Дирихле]].

==Аксиоматическое определение ==
Характер Дирихле — это любая  [[Функция (математика)|функция]] <math>\chi</math> на множестве [[Целое число|целых чисел]] <math>\Z</math> с [[Комплексное число|комплексными]] значениями, имеющая следующие свойства{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=117-8}}:

#Существует положительное целое число ''k'', такое что <math>\chi(n) = \chi(n + k)</math> для любых ''n''.
#Если ''n'' и ''k'' не [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то <math>\chi(n) = 0</math>; если же они взаимно просты, <math>\chi(n) \ne 0</math>.
#<math>\chi(mn) = \chi(m)\chi(n) </math> для любых целых ''m'' и ''n''.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства.  
Согласно свойству 3) <math>\chi(1) = \chi (1 \times 1)= \chi (1)\chi (1)</math>. Поскольку  [[Наибольший общий делитель|НОД]](1, ''k'') = 1,  свойство 2) гласит, что <math>\chi(1) \ne 0</math>, так что  
<ol start=4><li><math>\chi(1) = 1</math>.</ol>
Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле <math>\chi</math> является {{не переведено 5|Вполне мультипликативная функция|вполне мультипликативным||completely multiplicative}} [[Характер представления группы|характером]]. 

Свойство 1) говорит, что характер является [[Периодическая функция|периодической функцией]] с периодом ''k''. Мы говорим, что <math>\chi</math> является характером по '''модулю''' ''k''. Это эквивалентно утверждению, что 
<ol start=5><li>если <math>a \equiv b \pmod k</math>, то <math>\chi(a) = \chi(b)</math>. </ol>
Если НОД(''a'',''k'') = 1, [[Теорема Эйлера (теория чисел)|теорема Эйлера]] утверждает, что  <math>a^{\varphi(k)} \equiv 1 \pmod k</math> (где <math>\varphi(k)</math> является [[Функция Эйлера|функцией Эйлера]]).  Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), <math>\chi(a^{\varphi(k)}) = \chi(1) = 1</math>, а по свойству 3) <math>\chi(a^{\varphi(k)}) =\chi(a)^{\varphi(k)}</math>. Следовательно,  
<ol start=6><li>Для всех ''a'', взаимно простых с ''k'', <math>\chi(a)</math> является <math>\varphi(k)</math>-ым комплексным [[Корни из единицы|корнем из единицы]],</ol> то есть <math>e^{2ri\pi/\varphi(k)}</math> для некоторого целого <math>0 \leqslant r < \varphi(k)</math>.

Единственный характер с периодом 1 называется '''тривиальным характером'''. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел. 

* Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с <math>k</math>, называется '''главным''':
*: <math>\chi_0(n)=\left\{\begin{array}{ll}1,&\text{НОД}(n,\;k)=1;\\0,&\text{НОД}(n,\;k)\neq 1.\end{array}\right.</math>{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=115}}.
** В группе характеров по модулю <math>k</math> он играет роль единицы.

Характер называется '''вещественным''', если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется '''комплексным'''{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=123}}

'''Знак''' характера <math>\chi</math> зависит от его значения в точке −1. Говорят, что <math>\chi</math> '''нечётный''', если <math>\chi(-1) = -1</math>, и '''чётный''', если <math>\chi(-1) = 1</math>.

==Построение через классы вычетов ==

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах {{не переведено 5|Группа харакетеров|группы характеров||character group}} группы обратимых элементов кольца <math>\Z/k\Z</math> как ''расширенные характеры классов вычетов''{{sfn|Fröhlich, Taylor|1991|с=218}}.

=== Классы вычетов ===
Если дано целое число ''k'', можно определить '''класс вычета''' целого числа ''n'' как множество всех целых чисел, сравнимых с ''n'' по [[Сравнение по модулю|модулю]] ''k'':
<math>\hat{n}=\{m \mid m \equiv n \pmod k \}.</math> 
То есть класс вычетов <math>\hat{n}</math> является [[Класс смежности|классом смежности]] ''n'' в [[Факторкольцо|факторкольце]] <math>\Z/k\Z</math>.

Множество обратимых элементов по модулю ''k'' образует [[Абелева группа|абелеву группу]] порядка <math>\varphi(k)</math>, где умножение в группе задаётся равенством 
<math>\widehat{mn}=\hat{m}\hat{n}</math>, а <math>\varphi</math> 
снова означает [[Функция Эйлера|функцию Эйлера]].  
Единицей в этой группе служит класс вычетов <math>\hat{1}</math>, а обратным элементом для <math>\hat{m}</math> является класс вычетов <math>\hat{n}</math>, где 
<math>\hat{m} \hat{n} = \hat{1}</math>, то есть <math>m n \equiv 1 \pmod k</math>. Например, для ''k''=6 множеством обратимых элементов является <math>\{\hat{1}, \hat{5}\}</math>, поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров <math>(\Z/k)^*</math> состоит из ''характеров классов вычетов''.  Характер класса вычетов <math>\theta</math> на <math>(\Z/k)^*</math> '''примитивен''', если нет собственного делителя ''d'' для ''k'', такого что  <math>\theta</math> факторизуются как <math>(\Z/k)^* \to (\Z/d)^* \to \Complex^*</math>{{sfn|Fröhlich, Taylor|1991|с=215}}.

===Характеры Дирихле===
Определение характера Дирихле по модулю ''k'' обеспечивает, чтобы он был ограничен {{не переведено 5|Группа харакетеров|характером||character group}} группы обратимых элементов по модулю ''k''{{sfn|Apostol|1976|с=139}}: группа гомоморфизмов <math>\chi</math> из <math>(\Z/k)^*</math> в ненулевые комплексные числа

:<math> \chi : (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^* \to \mathbb{C}^* </math>,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю ''k'' образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов <math>\chi</math> на группе обратимых элементов по модулю ''k'', мы можем {{не переведено 5|Поднятие (математика)|поднять||Lift (mathematics)}} до {{не переведено 5|Вполне мультипликативная функция|вполне мультипликативной||completely multiplicative}} функции на целых числах, взаимно простых с ''k'', а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с ''k''.  Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле{{sfn|Apostol|1976|с=138}}.

'''Главный характер''' <math>\chi_1</math> по модулю ''k'' имеет свойства {{sfn|Apostol|1976|с=138}}

:<math>\chi_1(n)=1</math> при НОД(''n'', ''k'') = 1 и
:<math>\chi_1(n)=0</math> при НОД(''n'', ''k'') > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе <math>(\Z/k)^*</math> является ''главным'' характером, который всегда принимает значение 1{{sfn|Apostol|1976|с=134}}.

Когда ''k'' равен 1, главный характер по модулю ''k'' равен 1 на всех целых чисел.  Для ''k'', большего 1, главные характеры по модулю ''k'' обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с ''k'', и равно 1 на других целых числах.

Имеется <math>\varphi(n)</math> характеров Дирихле по модулю ''n''{{sfn|Apostol|1976|с=138}}.

== Примеры ==

* Для любого нечётного модуля <math>k</math> [[символ Якоби]] <math>\left(\frac{n}{k}\right)</math> является характером по модулю <math>k</math>.
* Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

==Некоторые таблицы характеров ==
Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры <math>\chi_1</math> являются главными характерами.

===По модулю 1===
Существует <math>\varphi(1)=1</math> характер по модулю 1:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 1
|-
|}

Это тривиальный характер.

===По модулю 2===
Существует <math>\varphi(2)=1</math> характер по модулю 2:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(1)</math>, поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

===По модулю 3===
Есть <math>\varphi(3)=2</math> характера по модулю 3:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi\setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| −1 
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(2)</math>, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

===По модулю 4===
Существует <math>\varphi(4)=2</math> характера по модулю 4:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math> 
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 0 
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| 0 
| −1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(3)</math>, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

''L''-ряд Дирихле для <math>\chi_1(n)</math> равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с [[Эта-функция Дирихле|эта-функцией Дирихле]])

:<math>L(\chi_1, s)= (1-2^{-s})\zeta(s)</math>,

где <math>\zeta(s)</math> является дзета-функцией Римана.  ''L''-ряд для <math>\chi_2(n)</math> является [[Бета-функция Дирихле|бета-функцией Дирихле]]

:<math>L(\chi_2, s)=\beta(s).\, </math>

===По модулю 5===
Существует <math>\varphi(5)=4</math> характеров по модулю 5. В таблицах ''i'' является квадратным корнем из <math>-1</math>.

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''4'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 1
| 1
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| ''i''
| −i
| −1
|-
| <math>\chi_3(n)</math>
| 0
| 1
| −1 
| −1
| 1
|-
| <math>\chi_4(n)</math>
| 0
| 1
| −''i'' 
| ''i''
| −1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значение <math>\chi(2)</math>, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

===По модулю 6===
Существует <math>\varphi(6)=2</math> характеров по модулю 6:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''4'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''5'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 0 
| 0
| 0
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0 
| −1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением<math>\chi(5)</math>, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

===По модулю 7===
Существует <math>\varphi(7)=6</math> характеров по модулю 7. В таблице ниже <math>\omega = \exp( \pi i /3).</math>

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''4'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''5'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''6'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| <math>\omega^2</math>
| <math>\omega</math>
| <math>-\omega</math>
| <math>-\omega^2</math>
| −1
|-
| <math>\chi_3(n)</math>
| 0
| 1
| −<math>\omega</math>
| <math>\omega^2</math>
| <math>\omega^2</math>
| <math>-\omega</math>
| 1
|-
| <math>\chi_4(n)</math>
| 0
| 1
| 1
| −1
| 1
| −1
| −1
|-
| <math>\chi_5(n)</math>
| 0
| 1
| <math>\omega^2</math>
| <math>-\omega</math>
| <math>-\omega</math>
| <math>\omega^2</math>
| 1
|-
| <math>\chi_6(n)</math>
| 0
| 1
| <math>-\omega</math>
| <math>-\omega^2</math>
| <math>\omega^2</math>
| <math>\omega</math>
| −1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(3)</math>, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

===По модулю 8===
Существует <math>\varphi(8)=4</math> характеров по модулю 8.

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''4'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''5'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''6'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''7'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| −1
|-
| <math>\chi_3(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| 1
| 0
| −1
|-
| <math>\chi_4(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| −1
| 0
| 1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значениями <math>\chi(3)</math> и <math>\chi(5)</math>, поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

===По модулю 9===
Существует <math>\varphi(9)=6</math> характеров по модулю 9. В таблице ниже <math>\omega = \exp( \pi i /3).</math>

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''4'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''5'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''6'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''7'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''8'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| <math>\omega</math>
| 0
| <math>\omega^2</math>
| <math>-\omega^2</math>
| 0
| <math>-\omega</math>
| −1
|-
| <math>\chi_3(n)</math>
| 0
| 1
| <math>\omega^2</math>
| 0
| <math>-\omega</math>
| <math>\omega</math>
| 0
| <math>\omega^2</math>
| 1
|-
| <math>\chi_4(n)</math>
| 0
| 1
| −1
| 0
| 1
| −1
| 0
| 1
| −1
|-
| <math>\chi_5(n)</math>
| 0
| 1
| <math>-\omega</math>
| 0
| <math>\omega^2</math>
| <math>\omega^2</math>
| 0
| <math>-\omega</math>
| 1
|-
| <math>\chi_6(n)</math>
| 0
| 1
| <math>-\omega^2</math>
| 0
| <math>-\omega</math>
| <math>\omega</math>
| 0
| <math>\omega^2</math>
| −1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением<math>\chi(2)</math>, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

===По модулю 10===
Существует <math>\varphi(10)=4</math> характеров по модулю 10.

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| <math>\chi \setminus n</math>
| &nbsp;&nbsp;'''0'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''1'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''2'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''3'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''4'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''5'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''6'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''7'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''8'''&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;'''9'''&nbsp;&nbsp;
|-
| <math>\chi_1(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 1
|-
| <math>\chi_2(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| ''i''
| 0
| 0
| 0
| −''i''
| 0
| −1
|-
| <math>\chi_3(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| 0
| 0
| −1
| 0
| 1
|-
| <math>\chi_4(n)</math>
| 0
| 1
| 0
| −''i''
| 0
| 0
| 0
| ''i''
| 0
| −1
|-
|}

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(3)</math>, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

==Примеры==

Если ''p'' является нечётным [[Простое число|простым числом]], то функция

:<math>\chi(n) = \left(\frac{n}{p}\right),\ </math> где <math>\left(\frac{n}{p}\right)</math> является [[Символ Лежандра|символом Лежандра]], является примитивным характером Дирихле по модулю ''p''{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=295}}.

Более обще, если ''m'' является положительным нечётным числом, функция

:<math>\chi(n) = \left(\frac{n}{m}\right),\ </math> где <math>\left(\frac{n}{m}\right)</math> является [[Символ Якоби|символом Якоби]], является характером Дирихле по модулю ''m''{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=295}}.

Это ''квадратичные характеры'' — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из [[Символ Кронекера — Якоби|cимвола Кронекера — Якоби]]{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=296}}.

==Примитивные характеры и кондуктор==
При переходе от вычетов по модулю ''N'' к вычетам по модулю ''M'' для любого множителя ''M'' числа ''N'' происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если <math>\chi*</math> является характером по модулю ''M'', он ''индуцирует'' характер <math>\chi*</math> по модулю ''N'' для любого ''N'', кратного ''M''.  Характер является '''примитивным''', если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю{{sfn|Montgomery, Vaughan|2007|с=123}}.

Если <math>\chi</math> – характер по модулю ''n'' и ''d'' делит ''n'', мы говорим, что модуль ''d'' является ''индуцированным модулем'' для <math>\chi</math>, если <math>\chi(a)=1</math> для всех ''a'', взаимно простых с ''n'' и 1 mod ''d''{{sfn|Apostol|1976|с=166}}:  характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля{{sfn|Apostol|1976|с=168}}.

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров <math>\chi_1 \mod N_1</math> и <math>\chi_2 \mod N_2</math> как '''согласованных''', если для некоторого модуля ''N'', такого что ''N''<sub>1</sub> и ''N''<sub>2</sub> оба делят ''N'', мы имеем <math>\chi_1(n) = \chi_2(n)</math> для всех ''n'' взаимно простых с ''N'', то есть существует некоторый характер <math>\chi*</math>, порождённый как <math>\chi_1</math>, так и <math>\chi_2</math>.  Это отношение эквивалентности на характерах.  Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является '''кондуктором''' характеров в классе.  

Непримитивность характеров может привести к отсутствию {{не переведено 5|Эйлерово произведение|эйлеровых множителей||Euler factor}} в их [[L-функция Дирихле|L-функциях]].

==Ортогональность характеров==
[[Ортогональность]] характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле{{sfn|Apostol|1976|с=140}}.

Если мы зафиксируем характер <math>\chi</math> по модулю ''n'', то

:<math>\sum_{a \bmod n} \chi(a) = 0 </math>,

если <math>\chi</math> не главный характер, иначе сумма равна <math>\varphi(n)</math>.  

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов ''a'' по модулю ''n'', то сумма по всем характерам даёт
:<math> \sum_{\chi} \chi(a) = 0 </math>,

кроме случая ''a''=1, когда сумма равна <math>\varphi(n)</math>.  

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом ''n'' над классом вычетов, взаимно простых с ''n'', является линейной комбинацией характеров Дирихле{{sfn|Davenport|1967|с=31–32}}.

== История ==
Характеры Дирихле вместе с их <math>L</math>-рядами были введены [[Дирихле,_Петер_Густав_Лежён|Дирихле]] в 1831 году, в рамках доказательства [[Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии|теоремы Дирихле]] о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для <math>s\in\mathbb{R}</math> и в основном когда <math>s</math> стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено [[Риман, Бернхард|Риманом]] в 1859 году.

==См. также==
* {{не переведено 5|Характер Гекке|||Hecke character}} 
* {{не переведено 5|Сумма характеров|||Character sum}}
* [[Сумма Гаусса]]
* [[Мультипликативная группа кольца вычетов|Примитивный корень по модулю ''n'']]
* {{не переведено 5|Класс Сельберга|||Selberg class}}

==Примечания==
{{примечания}}

==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга
|автор=Apostol T. M. 
|ref=Apostol
|год=1976
|заглавие=Introduction to analytic number theory
|серия=Undergraduate Texts in Mathematics
|место=New York-Heidelberg
|издательство=Springer-Verlag
|ISBN=978-0-387-90163-3
|MR=0434929
|Zbl=0335.10001
}}
* {{статья
|doi=10.2307/2317522
|автор=Apostol T. M. 
|ref=Apostol
|заглавие=Some properties of completely multiplicative arithmetical functions 
|ссылка=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1971-03_78_3/page/266
|издание=The American Mathematical Monthly
|том=78
|выпуск=3
|год=1971
|страницы=266–271
|mr=0279053
|zbl=0209.34302
|jstor=2317522
}}
* {{книга
|ref=Davenport
|автор=Harold Davenport
|заглавие=Multiplicative number theory
|издательство=Markham
|серия=Lectures in advanced mathematics
|том=1
|место=Chicago
|год=1967
|zbl=0159.06303
}}
**{{книга
|заглавие=Мультипликативная теория чисел
|автор=Дэвенпорт Г.
|год=1971
|издательство= «Наука»
|место=М.
}}
* {{книга
|автор=Helmut Hasse
|ref=Hasse
|заглавие=Vorlesungen über Zahlentheorie
|издание=2nd revised
|серия=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
|том=59
|издательство=[[Springer-Verlag]]
|year=1964
|mr=0188128
|zbl=0123.04201 
}} см. главу 13.
** {{книга
|автор=Хассе Г.
|заглавие=Лекции по теории чисел
|издательство= Иностранной литературы
|место=М.
|год=1953
}}
* {{Cite arxiv
|first1=R. J. |last1=Mathar
|eprint=1008.2547
|class=math.NT
|title=Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli |year=2010
}}
* {{книга
|автор=Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan
|ref=Montgomery, Vaughan
|заглавие=Multiplicative number theory. I. Classical theory
|серия=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|том=97
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|год=2007
|isbn=0-521-84903-9
|zbl=1142.11001
}}
** {{книга
|заглавие=Мультипликативная теория чисел
|автор= Монтгомери Г.
|издательство= «Мир»
|год=1974
|место=М.
}}
* {{статья
|автор=Robert Spira
|ref=Spira
|заглавие=Calculation of Dirichlet L-Functions
|ссылка=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1969-07_23_107/page/489
|издание=Mathematics of Computation
|том=23
|страницы=489–497
|год=1969
|doi=10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X
|mr=0247742
|zbl=0182.07001 
|выпуск=107 
}}
* {{книга
|автор=Fröhlich A., Taylor M.J.
|ref=Fröhlich, Taylor
|заглавие=Algebraic number theory
|серия=Cambridge studies in advanced mathematics
|том=27
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|год=1991
|isbn=0-521-36664-X
|zbl=0744.11001
}}
* ''Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б.'' Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
* ''Карацуба А. А.'' Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.
{{refend}}

{{Характеры}}

[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Алгебраическая теория чисел]]
[[Категория:Дзета- и L-функции]]