Просмотр кода страницы Целое число

{{Фоторяд|Latex integers.svg|ш=60|color=white|align=right|borderstyle=none}}
'''Це́лые чи́сла''' — расширение [[Множество|множества]] [[Натуральное число|натуральных чисел]]<ref>Здесь имеется в виду самое древнее понимание натуральных чисел с первым элементом единица: <math>1,2,3,4,5\dots</math></ref>, получаемое добавлением к нему [[0 (число)|нуля]] и [[Отрицательное число|отрицательных чисел]]{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=111—113|name=VYG111}}. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=37}}.
[[Файл:Number-line-2.svg|715x715px|мини|center|<center>Целые числа на [[Числовая ось|числовой прямой]]</center>]]

[[Вещественное число]] является целым, если его [[Десятичная дробь|десятичное представление]] не содержит [[Дробная часть|дробной части]] (но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:
: Числа 142857; 0; −273 являются целыми.
: Числа 5½; 9,75; −12,07 не являются целыми.
Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}</math> (от {{lang-de|Zahlen}} — «числа»<ref>{{cite web|author=Paul Pollack|title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory|url=http://jeff560.tripod.com/nth.html|accessdate=2017-10-22|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html|archivedate=2010-01-31|deadlink=yes}}</ref>). Изучением свойств целых чисел занимается раздел математики, называемый [[Теория чисел|теорией чисел]].

== Положительные и отрицательные числа ==
Согласно своему построению, множество целых чисел состоит из трёх частей:
# [[Натуральные числа]] (или, что то же самое, целые [[положительное число|положительные]]). Они возникают естественным образом при счёте (1,{{nbsp}}2, 3, 4,{{nbsp}}5…){{sfn|Элементарная математика|1976|с=18}}.
# [[0 (число)|Ноль]] — число, обозначаемое <math>0</math>. Его определяющее свойство: <math>0+n=n+0=n</math> для любого числа <math>n</math>.
# Целые [[отрицательные числа]].
[[Файл:Диаграмма4.svg|мини|240px|Противоположные числа (4 и –4)]]
Отрицательные числа при записи помечаются спереди знаком [[минус]]: <math>-1, -2, -3\dots</math> Для каждого целого числа <math>a</math> существует и единственно '''противоположное''' ему число, обозначаемое <math>-a</math> и обладающее тем свойством, что <math>a+(-a)=0.</math> Если <math>a</math> положительно, то противоположное ему отрицательно, и наоборот. Ноль противоположен самому себе<ref name=VYG111/>.

[[Абсолютная величина|Абсолютной величиной]] целого числа <math>a</math> называется это число с отброшенным знаком{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114}}. Обозначение: <math>\left| a \right|.</math>
: Примеры: <math>\left| 4 \right| = 4;\ \left| -5 \right| = 5;\ \left| 0 \right| = 0</math>

== Алгебраические свойства ==
Во множестве целых чисел определены три основные арифметические операции: [[сложение]], обратное к сложению [[вычитание]] и [[умножение]]. Имеется также важная операция, специфическая для натуральных и целых чисел: [[деление с остатком]]. Наконец, для целых чисел определён [[Отношение порядка|порядок]], позволяющий сравнивать числа друг с другом.

=== Сложение и вычитание ===
Следующая таблица иллюстрирует основные свойства сложения{{sfn|Элементарная математика|1976|с=24—28|name=ELEM}} для любых целых <math>a,b,c</math>:
{| class="wikitable"
|-
! Свойство !! Алгебраическая запись
|-
| [[Коммутативная операция|Коммутативность]] (''переместительность'') || <math>a+b = b+a</math>
|-
| [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]] (''сочетательность'') || <math>a + \left( b+c \right) = \left( a+b \right) + c</math>
|-
| Свойство нуля || <math>a+0 = a</math>
|-
| Свойство [[Противоположный элемент|противоположного элемента]] || <math>a + \left( -a \right) = 0</math>
|}

При сложении и вычитании целых чисел выполняются следующие ''правила знаков''<ref name=ELEM/>{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, которые следует учитывать при раскрытии скобок:
: <math>- \left( -a \right) = a;\ - \left( a+b \right) = -a-b; \ - \left( a-b \right) = -a+b.</math>

'''Правила сложения целых чисел'''{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114—115}}.
# При сложении целых чисел с одинаковыми знаками надо сложить их абсолютные величины и приписать ей знак слагаемых. Пример; <math>-14 + \left( -28 \right) = -42</math>.
# При сложении целых чисел с разными знаками надо сравнить их абсолютные величины, из большей вычесть меньшую и приписать результату знак того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. Примеры: <math>-4+9 = 9-4 = 5;\ -9+4 = - \left( 9-4 \right) = -5</math>.
# Вычитание <math>a-b</math> для целых чисел всегда выполнимо, и результат можно найти как <math>a + \left( -b \right).</math> Пример: <math>26 - 51 = 26 + \left( -51 \right) = -25</math>.
# Геометрически сложение можно наглядно представить как смещение числа вдоль числовой оси (см. рисунок в начале статьи), причём прибавление положительного числа вызывает смещение направо, а отрицательного — налево. Например, для числа <math>-3</math> прибавление к нему <math>4</math> означает смещение его вправо на 4 единицы; наглядно видно, что получается <math>+1</math>. Аналогично <math>-3 + \left( -4 \right)</math>, смещая <math>-3</math> влево на 4 единицы, получим в результате <math>-7</math>.
# Вычитание можно наглядно представить аналогично, но в этом случае, наоборот, вычитание положительного числа вызывает смещение влево, а отрицательного — вправо. Например, <math>5-7</math> смещает <math>5</math> на 7 единиц к числу <math>-2</math>, а <math>5 - \left( -7 \right)</math> смещает его вправо к числу <math>12</math>.

=== Умножение и возведение в степень ===
Умножение чисел <math>a,b</math> далее обозначается <math>a \times b</math> или (только в случае буквенных обозначений) просто <math>ab</math>. Следующая таблица иллюстрирует основные свойства умножения<ref name=ELEM/> для любых целых <math>a,b,c</math>:
{| class="wikitable"
|-
! Свойство !! Алгебраическая запись
|-
| [[Коммутативная операция|Коммутативность]] (''переместительность'') || <math>a \times b = b \times a</math>
|-
| [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]] (''сочетательность'') || <math>a \times \left( b \times c \right) = \left( a \times b \right) \times c</math>
|-
| Свойство единицы || <math>a \times 1 = a</math>
|-
| Свойство нуля || <math>a \times 0 = 0</math>
|-
| [[Дистрибутивность]] (распределительность) умножения относительно сложения || <math>a \times \left( b+c \right) = a \times b + a \times c</math>
|}

При умножении целых чисел выполняются ''правила знаков''<ref name=ELEM/>{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, которые следует учитывать при раскрытии скобок:
: <math>\left( -a \right) b = a \left( -b \right) = -ab; \ \left( -a \right) \left( -b \right) = ab</math>
'''Следствие''': произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.

[[Возведение в степень|Возведение в натуральную степень]] целых чисел определяется так же, как и для натуральных чисел:
: <math>a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_{n}</math>
Свойства возведения в степень целых чисел такие же, как у натуральных:
: <math>\left( ab \right)^n = a^nb^n;\quad a^ma^n = a^{m+n};\quad \left( a^m \right)^n = a^{mn}</math>

==== Нулевая степень ====
{{См. также|Ноль в нулевой степени}}
В дополнение к этому определению, принято соглашение о нулевой степени: <math>a^0 = 1</math> для любого целого <math>a</math> кроме нуля. Основанием для такого соглашения служит желание сохранить приведенные выше свойства и для нулевого показателя степени: <math>a^0a^n=a^{0+n}=a^n,</math> откуда ясно, что <math>a^0 =1.</math>

=== Упорядоченность ===
{{См. также|Неравенство}}
<math>\mathbb{Z}</math> — [[линейно упорядоченное множество]]. Порядок в нём задаётся соотношениями:
: <math>\dots  -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \dots</math>
Целое число '''положительно''', если оно больше нуля, '''отрицательно''', если меньше нуля. Положительными целыми числами являются [[Натуральное число|натуральные числа]] и только они. Отрицательные числа — это числа, противоположные положительным. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Любое отрицательное число меньше любого положительного<ref name=VYG111/>.

Для любых целых чисел <math>a,b,c,d</math> справедливы следующие соотношения{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=172—173|name=VYG172}}.
# Если <math>a<b</math>, то для любого <math>c</math> будет <math>a+c<b+c</math>.
# Если <math>a<b</math> и <math>c<d</math>, то <math>a+c<b+d</math>.
# Если <math>a<b</math> и <math>c>0</math>, то <math>ac<bc</math>.
# Если <math>a<b</math> и <math>c<0</math>, то <math>ac>bc</math>.

Для сравнения двух отрицательных чисел существует правило: больше то число, у которого [[абсолютная величина]] ''меньше''<ref name=VYG172/>. Например, <math>-6 < -5</math>.

=== Делимость ===
{{Основная статья|Делимость}}

==== Деление с остатком ====
Операция [[Деление (математика)|деления]], вообще говоря, не определена на множестве целых чисел. Например, нельзя разделить <math>3</math> на <math>2</math> — нет такого целого числа, которое, умноженное на <math>2</math>, даст <math>3</math>. Но можно определить так называемое [[деление с остатком]]<ref name=BSE>{{книга |часть=Деление |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5{{nbsp}}томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия |том=2 |год=1979 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]}}</ref>:
: Для любых целых <math>a, b</math> (где <math>b \ne 0</math>) существует единственный набор целых чисел <math>q,r</math> такой, что <math>a = bq + r</math>, где <math>0 \leqslant r < \left| b \right|.</math>
Здесь ''a'' — [[делимое]], ''b'' — [[делитель]], ''q'' — (неполное) частное, ''r'' — остаток от деления (всегда неотрицателен). Если остаток равен нулю, говорят, что деление выполняется ''нацело''<ref name=BSE/>.

'''Примеры:'''
* При делении с остатком положительного числа <math>a = 78</math> на <math>b = 33</math> получаем неполное частное <math>q = 2</math> и остаток <math>r = 12</math>. Проверка: <math>78 = 33 \times 2 + 12.</math>
* При делении с остатком отрицательного числа <math>a = -78</math> на <math>b = 33</math> получаем неполное частное <math>q = -3</math> и остаток <math>r = 21</math>. Проверка: <math>-78 = 33 \times (-3) + 21.</math>
* При делении с остатком числа <math>a = 78</math> на <math>b = 26</math> получаем [[Деление (математика)|частное]] <math>q = 3</math> и остаток <math>r = 0</math>, то есть деление выполняется нацело. Для быстрого выяснения, делится ли заданное число <math>a</math> на (небольшое) число <math>b</math>, существуют [[признаки делимости]].
На операции деления с остатком основаны [[Сравнение по модулю|теория сравнений]] и [[алгоритм Евклида]].

==== Деление нацело. Делители ====
{{also|Делимость#Свойства|l1=Свойства деления нацело}}
Как определено выше, число <math>a</math> делится (нацело) на число <math>b</math>, если существует целое число <math>q</math> такое, что <math>a=bq</math>. Символическая запись: <math>b|a</math>. Существуют несколько равносильных словесных формулировок указанной делимости<ref>{{книга|автор=Сушкевич А. К.|заглавие=Теория чисел. Элементарный курс|место=Х.|издательство=Изд-во Харьковского университета|год=1954|страницы=5}}</ref>:
* <math>a</math> делится (нацело) на <math>b</math>.
* <math>b</math> является [[делитель|делителем]] <math>a</math> (или: <math>b</math> делит <math>a</math>).
* <math>a</math> кратно <math>b</math>.

Каждое целое число <math>n</math>, не равное нулю или <math>\pm 1</math>, имеет 4 ''тривиальных'' делителя: <math>1, -1, n, -n</math>. Если других делителей нет, число называется [[Простое число|простым]]{{sfn|Элементарная математика|1976|с=20}}.

Понятие [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] двух целых чисел, разложение целого числа на [[простые множители]] и [[основная теорема арифметики]] для целых чисел практически совпадают (с возможным учётом знака) с аналогами этих понятий для натуральных чисел<ref>{{книга |ответственный=сост. С. В. Поморцева, О. В. Иванова |часть=Понятие делимости |заглавие=Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства |ссылка часть=http://test.ya-znau.ru/znaniya/zn/121 |место=Омск |издательство=Омский гос. пед. университет |год=2008 |страниц=37 |isbn=}}</ref>.

== Целые и вещественные числа ==
Существуют практические задачи, в которых необходимо [[Округление|округлить]] [[Вещественное число|вещественное значение]] до целого, то есть заменить его на ближайшее (в ту или иную сторону) целое. Поскольку выполнять округление можно разными способами, для уточнения можно использовать «[[символы Айверсона]]»<ref>{{книга |автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Кнут Д.]] |заглавие=Искусство программирования для ЭВМ. Т.{{nbsp}}1. Основные алгоритмы |место=М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=1976 |страниц=735 |страницы=68}}</ref>:
: <math>\lfloor x \rfloor</math> — ближайшее к <math>x</math> целое в меньшую сторону (функция «пол», {{lang-en|floor}}, или «[[целая часть]]»). Традиционно используются также обозначение [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] <math>[x]</math> или обозначение [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандра]] <math>E\left(x\right)</math>.
: <math>\lceil x \rceil</math> — ближайшее к <math>x</math> целое в бо́льшую сторону (функция «потолок», {{lang-en|ceiling}}).
В зависимости от особенностей постановки задачи, могут встретиться и другие методы: округлить до ближайшего целого или отсечь дробную часть (последний вариант для отрицательных <math>x</math> отличается от функции «целая часть»).

Другой класс задач, связывающих целые и вещественные числа — приближение вещественного числа отношением целых, то есть [[Рациональное число|рациональным числом]]. Доказано, что любое вещественное число можно с любой желаемой точностью приблизить рациональным, наилучшим инструментом для такого приближения служат [[Непрерывная дробь|непрерывные (цепные) дроби]]<ref>{{книга|автор=Хинчин А. Я.|заглавие=Цепные дроби|место=М.|издательство=ГИФМЛ|год=1960|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm|archive-date=2021-11-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20211102145127/http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm}}</ref>.

== История ==
{{См. также|Возникновение математики|История арифметики}}
Развитие математики началось с навыков практического счёта (один, два, три, четыре…), поэтому [[натуральные числа]] возникли ещё в доисторический период как [[идеализация]] конечного [[Множество|множества]] однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). [[Сложение]] появилось как математическая модель таких важных событий, как объединение нескольких множеств (стад, мешков {{итд}}) в одно, а [[вычитание]] отражало, наоборот, отделение части множества. [[Умножение]] для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения: 3{{nbsp}}×{{nbsp}}4 означало сумму «{{num|3|раза}} по{{nbsp}}4», то есть {{nobr|4 + 4 + 4}}. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно<ref>{{книга|автор=Мах Э.|часть=Познание и заблуждение|заглавие=Альберт Эйнштейн и теория гравитации|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страницы=74 (подстрочное примечание)|страниц=592}}: «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле ''равноценные'' объекты существуют ''множественно и неизменно''».</ref><ref>{{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Утрата определённости |ссылка=https://archive.org/details/mathematicslossc00libg |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446 |страницы=[https://archive.org/details/mathematicslossc00libg/page/n108 109]—112}}</ref>.

Начальным шагом на пути расширения натуральных чисел стало появление нуля; первыми этот символ стали применять, по-видимому, [[История математики в Индии|индийские]] математики. Вначале ноль применялся не как число, а как цифра при позиционной записи чисел, затем постепенно стал признаваться и как полноценное число, обозначающее отсутствие чего-либо (например, полное разорение торговца)<ref>{{Книга|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=115|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.

[[Отрицательные числа]] впервые стали использовать в [[Математика в Древнем Китае|древнем Китае]] и в Индии, где их рассматривали как математический образ «долга». [[Математика в Древнем Египте|Древний Египет]], [[Вавилонская математика|Вавилон]] и [[Математика в Древней Греции|Древняя Греция]] не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял [[Диофант Александрийский|Диофант]], который в III веке уже знал «правило знаков» и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик [[Брахмагупта]] (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными<ref name=GLE1964>{{книга|автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]]|заглавие=История математики в школе|издательство=Просвещение|место=М.|год=1964|страницы=132—135|страниц=376}}</ref>.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «[[Книга абака|Книге абака]]» [[Фибоначчи|Леонарда Пизанского]] (1202 год), который также трактовал отрицательные числа как долг. [[Бомбелли, Рафаэль|Бомбелли]] и [[Жирар, Альбер|Жирар]] в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Свободно использовали отрицательные числа [[Шюке, Никола|Никола Шюке]] (1484 год) и [[Штифель, Михаэль|Михаэль Штифель]] (1544)<ref name=GLE1964/>.

В XVII веке, с появлением [[Аналитическая геометрия|аналитической геометрии]], отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на [[Числовая ось|числовой оси]]. С этого момента наступает их полное равноправие. Легализация отрицательных чисел привела к многочисленным удобствам — например, перенос слагаемых уравнения в другую его часть стал возможен независимо от знака этого слагаемого (ранее, скажем, уравнения <math>x^3+ax=b</math> и <math>x^3=ax+b</math> считались принципиально различными){{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=113—114}}.

Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. [[Паскаль, Блез|Паскаль]], например, считал, что <math>0-4=0</math>, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто»<ref>''Сухотин А. К.'' Превратности научных идей. М.: Мол. гвардия. 1991, стр. 34.</ref>. Оживлённо обсуждалась странная пропорция <math>1:\left(-1\right) = \left(-1\right):1</math> — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс [[Арно, Антуан (сын)|Арно]]»). [[Валлис, Джон|Валлис]] считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность<ref>{{книга|часть=Отрицательные числа|автор=Панов В. Ф.|заглавие=Математика древняя и юная|издание=Изд. 2-е, исправленное|место=М.|издательство=[[МГТУ им. Баумана]]|год=2006|страниц=648|страницы=399|isbn=5-7038-2890-2}}</ref>. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом ([[минус]]), хотя алгебраически это совершенно разные понятия. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)<ref>''Александрова Н. В.'' Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.</ref>.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке ([[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильям Гамильтон]] и [[Грассман, Герман Гюнтер|Герман Гюнтер Грассман]])<ref>{{книга |часть=Математика XVIII столетия |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |страницы=48—49}}</ref>.

== Применение ==

=== В прикладных науках ===
[[Файл:US Navy 070317-N-3642E-379 During the warmest part of the day, a thermometer outside of the Applied Physics Laboratory Ice Station's (APLIS) mess tent still does not break out of the sub-freezing temperatures.jpg|thumb|240px|Отметки целых значений температуры на шкале [[термометр]]а]]
Целые числа широко применяются при исследовании объектов, которые по своей природе или по особенностям постановки задачи неделимы (например, люди, суда, строения, иногда дни и т. п.). Отрицательные числа также могут найти применение в таких моделях — скажем, при планировании торговых сделок можно продажи обозначать положительными числами, а покупки — отрицательными. Пример из физики — [[Квантовое число|квантовые числа]], играющие фундаментальную роль в микромире; все они — целые (или [[Полуцелое число|полуцелые]]) числа со знаком<ref>{{Сивухин|5|2005|часть=§{{nbsp}}38. Четыре квантовых числа электрона и тонкая структура спектральных термов|страницы=226}}</ref>.

Для решения возникающих при этом задач разработаны специальные математические методы, учитывающие специфику проблем. В частности, решение в целых числах алгебраических уравнений (разных степеней) рассматривает теория «[[Диофантово уравнение|диофантовых уравнений]]»<ref>{{книга|автор=[[Гельфонд А. О.]]|заглавие=Решение уравнений в целых числах|серия=[[Популярные лекции по математике]]|место=М.|издательство=Наука|год=1978|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm|archive-date=2017-07-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20170728061517/http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm}}</ref>. Вопросы целочисленной оптимизации исследует [[целочисленное программирование]]<ref>{{книга|автор=Карманов В. Г.|заглавие=Математическое программирование|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1986|страниц=288}}</ref>.

=== В информатике ===
{{Основная статья|Целое (тип данных)}}
[[Целый тип|Тип целое число]] — зачастую один из основных [[тип данных|типов данных]] в [[Язык программирования|языках программирования]]. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор [[бит]]ов, один из которых кодирует знак числа, а прочие — двоичные цифры. Современные [[компьютер]]ы имеют богатый набор команд для арифметических операций с целыми числами<ref>{{книга|автор=М. Бен-Ари.|часть=Глава{{nbsp}}4. Элементарные типы данных|заглавие=Языки программирования. Практический сравнительный анализ|ссылка=https://archive.org/details/isbn_5030033149|оригинал=Understanding Programming Language|место=М.|издательство=Мир|год=2000|страницы=[https://archive.org/details/isbn_5030033149/page/n172 53]—74|страниц=366|isbn=5-03-003314-9|ref=Бен-Ари}}</ref>.

== Место в общей алгебре ==
[[Файл:Set of real numbers (diagram).svg|мини|320px|Иерархия числовых множеств:<br><math>\mathbb{N}</math> — [[натуральные числа]]<br><math>\mathbb{Z}</math> — целые числа<br><math>\mathbb{Q}</math> — [[рациональные числа]]<br><math>\mathbb{R}</math> — [[вещественные числа]]<br><math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> — [[иррациональные числа]]]]
С точки зрения [[Общая алгебра|общей алгебры]], <math>\mathbb{Z}</math> относительно сложения и умножения является бесконечным [[Коммутативная операция|коммутативным]] [[Кольцо (математика)|кольцом]] с единицей, без [[Делитель нуля|делителей нуля]] ([[область целостности]]). Кольцо целых чисел является [[Евклидово кольцо|евклидовым]] (и, следовательно, [[Факториальное кольцо|факториальным]]) и [[Нётерово кольцо|нётеровым кольцом]], но не является [[Артиново кольцо|артиновым]]. Если расширить это кольцо, добавив к нему всевозможные [[Дробь (математика)|дроби]] (см. [[поле частных]]), получится [[Поле (алгебра)|поле]] [[Рациональное число|рациональных чисел]] (<math>\mathbb{Q}</math>); в нём уже выполнимо любое деление, кроме деления на ноль<ref name=VIN>{{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во МЦНМО|год=2013|страницы=15—16, 113—114 |страниц=590 |isbn=978-5-4439-0209-8}}</ref><ref>{{книга |автор=[[Атья, Майкл|Атья М.]], [[Макдональд, Иэн (математик)|Макдональд И.]] |заглавие=Введение в коммутативную алгебру |место=М. |издательство=Мир |год=1972 |страницы=94 |страниц=160}}</ref>.

Относительно операции сложения <math>\mathbb{Z}</math> является [[Абелева группа|абелевой группой]], и, следовательно, также [[Циклическая группа|циклической группой]], так как каждый ненулевой элемент <math>\mathbb{Z}</math> может быть записан в виде конечной суммы {{nobr|1 + 1 + … + 1}} или {{nobr|(−1) + (−1) + … + (−1)}}. Фактически, <math>\mathbb{Z}</math> является ''единственной'' бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая [[группа (математика)|группа]] [[Изоморфизм (математика)|изоморфна]] группе <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Относительно умножения <math>\mathbb{Z}</math> не образует группу, поскольку во множестве целых чисел деление, вообще говоря, невозможно<ref name=VIN/>.

Множество целых чисел с обычным [[Отношение порядка|порядком]] является [[Упорядоченное кольцо|упорядоченным кольцом]], но не является [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченным]], так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно»<ref>{{книга |автор=[[Дональд Кнут]] |место=М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=1976 |страницы=571 (15b) |заглавие=Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы |страниц=736 }}</ref>, которое обозначим <math>\preccurlyeq</math> и определим следующим образом:
: <math>a \preccurlyeq b,</math> если либо <math>a=b,</math> либо <math>|a|<|b|,</math> либо <math>|a|=|b|</math> и <math>a<0<b.</math>
Тогда порядок целых чисел будет таким: <math>0  \preccurlyeq -1 \preccurlyeq 1 \preccurlyeq -2 \preccurlyeq 2 \dots</math> В частности, <math>-1</math> будет наименьшим отрицательным числом. <math>\mathbb{Z}</math> с новым порядком будет вполне упорядоченным множеством, но уже не будет упорядоченным кольцом, так как этот порядок не согласован с операциями кольца: например, из <math>1 \preccurlyeq -2</math>, прибавив слева и справа 1, получаем неверное неравенство <math>2 \preccurlyeq -1.</math>

Любое упорядоченное кольцо с единицей и без [[Делитель нуля|делителей нуля]] содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное <math>\mathbb{Z}</math>{{sfn|Числовые системы|1975|с=100}}.

== Логические основания ==
Расширение натуральных чисел до целых, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел (например, как определить умножение отрицательных чисел), какие свойства они тогда будут иметь и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для целых чисел.

=== Аксиоматика целых чисел ===
Проще всего определить аксиоматику множества целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>, если опираться на уже построенное множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> (которое предполагается непротиворечивым, а свойства его — известными). Именно, определим <math>\mathbb{Z}</math> как минимальное [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], содержащее множество натуральных чисел. Более строго, аксиомы целых чисел следующие{{sfn|Числовые системы|1975|с=95—96}} {{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=160—162}}.

: '''Z1''': Для всяких целых чисел <math>a,b</math> определена их сумма <math>a+b</math>.
: '''Z2''': Сложение [[Коммутативная операция|коммутативно]]: <math>a+b = b+a</math>. Для краткости оговорку «для всяких <math>a,b\dots</math>» далее, как правило, опускаем.
: '''Z3''': Сложение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]]: <math>\left( a+b \right) + c = a + \left( b+c \right).</math>
: '''Z4''': Существует элемент 0 (ноль) такой, что <math>a+0 = a</math>.
: '''Z5''': Для всякого целого числа <math>a</math> существует ''противоположный ему'' элемент <math>-a</math> такой, что <math>a + \left( -a \right) = 0.</math>
: '''Z6''': Для всяких целых чисел <math>a,b</math> определено их произведение <math>ab</math>.
: '''Z7''': Умножение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]]: <math>\left( ab \right) c = a \left( bc \right).</math>
: '''Z8''': Умножение связано со сложением [[Дистрибутивность|распределительными]] (дистрибутивными) законами: <math>\left( a+b \right) c = ac + bc;\ c \left( a+b \right) = ca+cb.</math>
: '''Z9''': Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> содержит подмножество, [[Изоморфизм|изоморфное]] множеству натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>. Для простоты далее это подмножество обозначается той же буквой <math>\mathbb{N}</math>.
: '''Z10''' (''аксиома минимальности''): Пусть <math>M</math> — подмножество <math>\mathbb{Z}</math>, включающее <math>\mathbb{N}</math> и такое, что операция вычитания не выводит за пределы <math>M</math>. Тогда <math>M</math> совпадает со всем <math>\mathbb{Z}</math>.

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства целых чисел, в том числе коммутативность умножения, упорядоченность, правила [[Делимость|деления нацело]] и [[Деление с остатком|деления с остатком]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=96—98}}. Покажем, например, как вводится [[Отношение порядка|порядок]] целых чисел. Будем говорить, что <math>a<b</math>, если <math>b-a</math> есть натуральное число. Аксиомы порядка легко проверяются. Из определения сразу следует, что все натуральные числа больше нуля (''положительны''), а все противоположные им меньше нуля (''отрицательны''). Для натуральных чисел новый порядок совпадает со старым{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=170—171}}.

Приведённая аксиоматика целых чисел ''категорична'', то есть любые её [[Логика высказываний|модели]] [[Изоморфизм колец|изоморфны как кольца]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=98}}.

=== Непротиворечивость ===
Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — [[Логика высказываний|смоделировать]] (''интерпретировать'') её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе пар натуральных чисел{{sfn |Числовые системы|1975|с=100—102|name=NECH100}}.

Рассмотрим всевозможные [[Упорядоченная пара|упорядоченные пары]] натуральных чисел <math>\left(a,b\right)</math>. Чтобы смысл дальнейших определений стал понятен, сразу поясним, что мы намерены в дальнейшем каждую такую пару рассматривать как целое число <math>a-b,</math> например, пары <math>\left(3,2\right)</math> или <math>\left(6,5\right)</math> будут изображать единицу, а пары <math>\left(1,4\right)</math> или <math>\left(8,11\right)</math> будут изображать <math>-3.</math>

Далее определим{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=162—168|name=EEM162}}:
# Пары <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math> считаются равными, если <math>a+d=b+c</math>. Это связано с тем, что, как показано в примерах, любое целое число можно представить бесконечным числом пар.
# '''Сложение''': сумма пар <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math> определяется как пара <math>\left(a+c,b+d\right)</math>.
# '''Умножение''': произведение пар <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math> определяется как пара <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>.
Нетрудно проверить, что результаты сложения и умножения не меняются, если любую пару мы заменим на равную ей, то есть новая пара-результат будет равна прежней (в указанном определением{{nbsp}}1 смысле равенства). Несложно также убедиться, что описанная структура пар удовлетворяет всему приведенному перечню аксиом целых чисел. Положительные числа моделируются парами <math>\left(a,b\right)</math>, в которых <math>a>b</math>, ноль изображают пары вида <math>\left(a,a\right)</math>, а пары <math>\left(a,b\right)</math> с <math>a<b</math> соответствуют отрицательным числам<ref name=EEM162/>.

Эта модель позволяет прояснить, как из аксиом целых чисел однозначно следуют их свойства; покажем это для «правила знаков». Например, умножив два «отрицательных числа» <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math>, у которых <math>a<b,\ c<d</math>, мы по определению получим пару <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>. Разность <math>ac+bd - \left(ad+bc\right)</math> равна <math>\left(b-a\right)\left(d-c\right)</math>, это число положительно, поэтому пара-произведение изображает положительное целое число, следовательно, произведение отрицательных чисел положительно. Любое другое правило (скажем, «произведение отрицательных чисел отрицательно») сделало бы теорию целых чисел противоречивой.

Описанная модель доказывает, что приведенная аксиоматика целых чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике натуральных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой<ref name=NECH100/>.

== Мощность множества ==
Множество целых чисел бесконечно. Хотя натуральные числа составляют лишь часть множества целых чисел, целых чисел столько же, сколько натуральных, в том смысле, что [[мощность множества]] целых чисел такая же, как и множества натуральных — оба они [[Счётное множество|счётные]]<ref>{{публикация|1=книга|автор=[[Виленкин, Наум Яковлевич|Н. Я. Виленкин]]|заглавие=Рассказы о множествах|ссылка=http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf|место=М.|издательство=[[МЦНМО]]|год=2005|isbn=5-94057-036-4|издание=3-е изд.|страницы=65—66|страниц=150|архив дата=2017-12-15|архив=https://web.archive.org/web/20171215021038/http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf}}</ref>.

== Вариации и обобщения ==
Некоторые алгебраические структуры по своим свойствам похожи на кольцо целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Среди них:
* [[Гауссовы целые числа]]. Это [[комплексные числа]] <math>a+bi</math>, где <math>a,b</math> — целые числа. Для гауссовых чисел, как и для обычных целых, можно определить понятия [[делимость|делителей]], [[Простое число|простого числа]] и [[Сравнение по модулю|сравнения по модулю]]. Справедлив аналог [[Основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]<ref>{{книга|автор=Окунев Л. Я.|заглавие=Целые комплексные числа|место=М.|год=1941|издательство=Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР|страниц=56}}</ref>.
* [[Целые числа Эйзенштейна]]<ref>{{cite web|title=Eisenstein Integer|url=http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html|author=Eric W. Weisstein|accessdate=2017-08-19|archive-date=2020-12-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20201215163827/https://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html|url-status=live}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Навигация}}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu }}
** Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
* {{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей
  |том=I. Арифметика. Алгебра. Анализ |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=432
  |ref=Элементарная математика с точки зрения высшей}}
* {{книга |автор=[[Нечаев, Василий Ильич|Нечаев В. И.]] |заглавие=Числовые системы
  |место=М. |издательство=Просвещение |год=1975 |страниц=199 |ref=Числовые системы }}
* {{книга |заглавие=Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах) |страницы=160—168 |том=1 |год=1951
  |страниц=448 |место=М. |издательство=Физматгиз |ref=Энциклопедия элементарной математики }}

{{Числа}}

{{Внешние ссылки}}
{{хорошая статья|Математика}}

[[Категория:Целые числа| ]]