Просмотр кода страницы Централизатор и нормализатор

В [[Математика|математике]] '''централизатор''' [[Подмножество|подмножества]] ''S'' [[Группа (математика)|группы]] ''G'' — это множество элементов ''G'', которые [[Коммутативная операция|коммутируют]] с каждым элементом ''S'', а '''нормализатор''' ''S'' — это множество элементов ''G'', которые коммутируют с ''S'' «в целом». Централизатор и нормализатор ''S'' являются [[подгруппа]]ми ''G'' и могут пролить свет на структуру ''G''.

Определение применимо также к [[полугруппа]]м.

В [[Теория колец|теории колец]] '''централизатор подмножества [[Кольцо (математика)|кольца]]''' определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца ''R'' является подкольцом ''R''. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в [[Алгебра Ли|алгебре Ли]].

{{не переведено 5|Идеализатор|Идеализатор||idealizer}} в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.

== Определения ==
;Группы и полугруппы
'''Централизатор''' подмножества ''S'' группы (или полугруппы) ''G'' определяется как{{sfn|Jacobson|2009|p=41}}

: <math>\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs</math> для всех <math>s\in S\}</math>

Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа ''G'' полностью определяется нотацией. Если ''S''={''a''} — множество, состоящее из единственного элемента, C<sub>''G''</sub>({''a''}) можно сократить до C<sub>''G''</sub>(''a''). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(''a''), которое проводит параллель с обозначением [[Центр группы|центра группы]]. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы ''G'', Z(''G''), и ''централизатор'' ''элемента'' ''g'' в ''G'', который обозначается как Z(''g'').

'''Нормализатор''' ''S'' в группе (или полугруппе) ''G'' по определению равен

: <math>\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}</math>

Определения похожи, но не идентичны. Если ''g'' — централизатор ''S'' и ''s'' принадлежит ''S'', то должно выполняться <math>gs = sg</math>, однако, если ''g'' — нормализатор, <math>gs = tg</math> для некоторого ''t'' из ''S'', возможно, отличного от ''s''. То же соглашение об опускании ''G'' и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с [[Нормальное замыкание (теория групп)|нормальным замыканием]].

;Кольца, алгебры, кольца и алгебры Ли
Если ''R'' — кольцо или алгебра, а ''S'' — подмножество кольца, то централизатор ''S'' в точности совпадает c определением для групп, только вместо ''G'' стоит ''R''.

Если <math>\mathfrak{L}</math> — [[алгебра Ли]] (или {{не переведено 5|Кольцо Ли|кольцо Ли||Lie ring}}) с произведением Ли [''x'',''y''], то централизатор подмножества ''S'' <math>\mathfrak{L}</math> определяется как {{sfn|Jacobson|1979|стр=28}}

: <math>\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0</math> для всех <math> s\in S \}</math>
Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если ''R'' — ассоциативное кольцо, то для ''R'' можно задать [[Коммутатор(теория колец)|скобочное произведение]] [''x'',''y''] = ''xy'' − ''yx''. Естественно, ''xy'' = ''yx'' тогда и только тогда, когда [''x'',''y''] = 0. Если мы обозначим множество ''R'' со скобочным произведением как L<sub>''R''</sub>, то ясно, что ''централизатор кольца'' ''S'' в ''R'' совпадает с ''централизатором кольца Ли'' ''S'' в L<sub>''R''</sub>.

Нормализатор подмножества ''S'' алгебры Ли (или кольца Ли) <math>\mathfrak{L}</math> задаётся равенством{{sfn|Jacobson|1979|стр=p.28}}
: <math>\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S</math> для всех <math> s\in S \}</math>
В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически {{не переведено 5|Идеализатор|идеализатором||idealizer}} множества ''S'' в <math>\mathfrak{L}</math>. Если ''S'' − аддитивная подгруппа <math>\mathfrak{L}</math>, то <math>\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)</math> является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой ''S'' является [[Идеал (алгебра)|идеалом]] Ли.{{sfn|Jacobson|1979|стр=p.57}}

== Свойства ==

=== Полугруппы ===
Пусть ''S''′ — централизатор, то есть <math>S'=\{x\in A: sx=xs\ </math> для всех <math>s\in S\}.</math> Тогда:
* ''S''′ образует [[Полугруппа|подполугруппу]].
* <math>S' = S''' = S'''''</math> — коммутант является своим {{не переведено 5|Бикоммутант|бикоммутантом||bicommutant}}.
;Группы {{sfn|Isaacs|2009|стр=Chapters 1−3}}
* Централизатор и нормализатор ''S'' являются подгруппами ''G''.
* Ясно, что '''C'''<sub>''G''</sub>(S)⊆'''N'''<sub>''G''</sub>(S). На самом деле, '''C'''<sub>''G''</sub>(''S'') всегда является [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]] '''N'''<sub>''G''</sub>(''S'').
* '''C'''<sub>''G''</sub>('''C'''<sub>''G''</sub>(S)) содержит ''S'', но '''C'''<sub>''G''</sub>(S) не обязательно содержит ''S''. '''C'''<sub>''G''</sub>(S) будет совпадать с ''S'' если ''st''=''ts'' для любого ''s'' и ''t'' из ''S''. Естественно, что если ''H'' — абелева подгруппа ''G'', '''C'''<sub>''G''</sub>(H) содержит ''H''.
* Если ''S'' является подполугруппой ''G'', то '''N'''<sub>''G''</sub>(S) содержит ''S''.
* Если ''H'' является подгруппой ''G'', то наибольшая подгруппа, в которой ''H'' нормальна, является подгруппой '''N'''<sub>''G''</sub>(H).
* Центр ''G'' — это в точности '''C'''<sub>''G''</sub>(G) и ''G'' является [[абелева группа|абелевой группой]] в том и только в том случае, когда '''C'''<sub>''G''</sub>(G)=Z(''G'') = ''G''.
* Для множеств, состоящих из одного элемента, '''C'''<sub>''G''</sub>(''a'')='''N'''<sub>''G''</sub>(''a'').
* Из принципа симметрии, если ''S'' и ''T'' являются двумя подмножествами ''G'', ''T''⊆'''C'''<sub>''G''</sub>(''S'') в том и только в том случае, когда ''S''⊆'''C'''<sub>''G''</sub>(''T'').
* Для подгруппы ''H'' группы ''G'' [[факторгруппа]] '''N'''<sub>''G''</sub>(''H'')/'''C'''<sub>''G''</sub>(''H'') [[Изоморфизм групп|изоморфна]] подгруппе Aut(''H''), группе [[Автоморфизм|автоморфизмов группы]] ''H''. Поскольку '''N'''<sub>''G''</sub>(''G'') = ''G'' и '''C'''<sub>''G''</sub>(''G'') = Z(''G''), отсюда также следует, что ''G''/Z(''G'') изоморфно Inn(''G''), подгруппе Aut(''G''), состоящей из всех [[Внутренний автоморфизм|внутренних автоморфизмов]] ''G''.
* Если мы определим [[гомоморфизм групп]]ы ''T'' : ''G'' → Inn(''G''), положив ''T''(''x'')(''g'') = ''T''<sub>''x''</sub>(''g'') = ''xgx''<sup> −1</sup>, то мы можем описать '''N'''<sub>''G''</sub>(''S'') и '''C'''<sub>''G''</sub>(''S'') в терминах [[Действие группы|действия группы]] Inn(''G'') на ''G'': стабилизатор ''S'' в Inn(''G'') — это ''T''('''N'''<sub>''G''</sub>(''S'')), и подгруппа Inn(''G''), фиксирующая ''S'' — это ''T''('''C'''<sub>''G''</sub>(''S'')).

;Кольца и алгебры{{sfn|Jacobson|1979|стрloc=p.28}}
* Централизаторы в кольцах и алгебрах — это подкольца и подалгебры, соответственно, а централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли — это подкольца Ли и подалгебры Ли, соответственно.
* Нормализатор ''S'' в кольце Ли содержит централизатор ''S''.
* '''C'''<sub>''R''</sub>('''C'''<sub>''R''</sub>(''S'')) содержит ''S'', но не обязательно совпадает с ним. {{не переведено 5|Теорема о двойном централизаторе|Теорема о двойном централизаторе||double centralizer theorem}} рассматривает случаи, когда в результате получаем совпадение.
* Если ''S'' является аддитивной подгруппой кольца Ли ''A'', то '''N'''<sub>''A''</sub>(''S'') является наибольшим подкольцом Ли ''A'', в котором ''S'' — идеал Ли.
* Если ''S'' — подкольцо Ли кольца Ли ''A'', то ''S''⊆'''N'''<sub>''A''</sub>(''S'').

== См. также ==
* [[Коммутатор (алгебра)|Коммутатор]]
* [[Действие группы|Стабилизатор подгруппы]]
* [[Норма (теория групп)]]
* {{нп5|Множители и централизаторы (банаховы пространства)|Множители и централизаторы (банаховы пространства)||Multipliers and centralizers (Banach spaces)}}
* {{нп5|Теорема о двойном централизаторе|Теорема о двойном централизаторе||Double centralizer theorem}}
* {{нп5|Идеализатор|Идеализатор||Idealizer}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{книга
|автор= I. Martin Isaacs
|заглавие=Algebra: a graduate course
|серия=Graduate Studies in Mathematics
|тим=100
|издание=reprint of the 1994 original
|издательство=American Mathematical Society
|место=Providence, RI
|год=2009
|страницы=xii+516
|isbn=978-0-8218-4799-2
|ref=Isaacs
|mr=2472787}}
* {{книга
|автор=Nathan Jacobson
|год=2009
|заглавие=Basic algebra
|издание=2
|том=1
|издательство=Dover
|ref=Jacobson
|isbn=978-0-486-47189-1}}
* {{книга
|автор=Nathan Jacobson
|заглавие=Lie algebras
|издание=republication of the 1962 original
|издательство=Dover Publications Inc.
|место=New York
|год=1979
|страницы=ix+331
|isbn=0-486-63832-4
|mr=559927
|ref=Jacobson
}}

{{rq|checktranslate|style}}


[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Теория колец]]
[[Категория:Алгебры Ли]]