Просмотр кода страницы Цепь Чуа

[[Файл:Chua circuit with linear passive elements.gif|thumb|300px|Рисунок 1. Эквивалентная схема для цепи Чуа{{sfn|Бугаевский, Пономаренко|1998|с=4}} состоящая из линейных пассивных элементов: катушки индуктивности (L), проводимости (G) и двух конденсаторов (C1, C2), а g — нелинейный элемент называемый диодом Чуа. В классическом варианте предлагаются следующие значения элементов: L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф.]]

'''Цепь Чуа''' или '''схема Чуа''' — простейшая [[электрическая цепь]], демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета {{нп5|Леон Чуа|Леоном Чуа|en|Leon O. Chua}} в [[1983 год]]у{{sfn|Бугаевский, Пономаренко|1998|с=4}}. Цепь состоит из двух [[Электрический конденсатор|конденсаторов]], одной [[Катушка индуктивности|катушки индуктивности]], линейного [[резистор]]а и нелинейного резистора с отрицательным сопротивлением (обычно называемого ''диодом Чуа'')<ref name=2022-ND-Chua-hidden-attractors>{{cite journal |author1= Kuznetsov N. V. |author2= Mokaev T. N. |author3= Ponomarenko V. I. |author4= Seleznev E. P. |author5= Stankevich N. V. |author6= Chua L. |year= 2017 |title= Hidden attractors in Chua circuit: mathematical theory meets physical experiments |journal= Nonlinear Dynamics |volume=  |issue=  |pages=  |doi= 10.1007/s11071-022-08078-y |url= https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s11071-022-08078-y.pdf |bibcode=  |s2cid=  |access-date= 2022-12-21 |archive-date= 2022-12-21 |archive-url= https://web.archive.org/web/20221221170016/https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s11071-022-08078-y.pdf |url-status= live }}</ref>.

== Математическая модель ==
Систему уравнений для цепи изображённой на рисунке 1 можно получить используя [[Правила Кирхгофа|первое правило Кирхгофа]] и формулу для напряжения на катушке индуктивности:

: <math>\left\{\begin{align}
 C_1 \frac{d v_{C_1}}{dt} &= G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1}), \\
 C_2 \frac{d v_{C_2}}{dt} &= G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L, \\
 L \frac{di_L}{dt} &= -v_{C_2},
\end{align}\right.</math>

где <math>v_{C_1}</math> и <math>v_{C_2}</math> — напряжения на ёмкостях, <math>i_L</math> — ток через катушку идуктивности, <math>g(v_{C_1})</math> — кусочно-линейная функция характеризующая диод Чуа, определённая как{{sfn|Бугаевский, Пономаренко|1998|с=5}}

: <math>g(v_{C_1}) = G_b v_{C_1} + \frac{1}{2} (G_a - G_b) \big(|v_{C_1} + E| - |v_{C_1} - E|\big)\,.</math>

[[Файл:Main_html_ma6c64fb.gif|thumb|300px|Рисунок 2. Вольт-амперная характеристика диода Чуа{{sfn|Бугаевский, Пономаренко|1998|с=5}}. Также показана [[нагрузочная прямая]], от пересечения с которой образуются три точки равновесия ''d'', 0 и −''d'']]

Эта нелинейная функция представлена графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть ''G<sub>a</sub>'' и ''G<sub>b</sub>'' соответственно; при этом точки ±''Е'' соответствуют изломам на графике.

Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:

: <math>m_0 = \frac{G_a}{G},\quad m_1 = \frac{G_b}{G},\quad \alpha = \frac{C_2}{C_1},\quad \beta = \frac{C_2}{L G^2}\,,</math>
: <math>\tau = \frac{t G}{C_2},\quad x = \frac{v_{C_1}}{E},\quad y = \frac{v_{C_2}}{E},\quad z = \frac{i_L}{E G}\,.</math>

Основная система уравнений запишется в виде

: <math>\left\{\begin{align}
 \frac{dx}{d\tau} &= \alpha \big(y - x - h(x)\big), \\
 \frac{dy}{d\tau} &= x - y + z, \\
 \frac{dz}{d\tau} &= -\beta y,
\end{align}\right.</math>

где

: <math>h(x) = m_1 x + \frac{1}{2} (m_0 - m_1) \big(|x + 1| - |x - 1|\big)\,.</math>

== Режимы работы ==
Цепь Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.

[[Файл:bif_diagr.jpg|thumb|right|300px|Рисунок 3. Бифуркационная диаграмма режимов при ''m''<sub>0</sub> = −8/7, ''m''<sub>1</sub> = −5/7]]

В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме цифрой '''1''', в системе существуют два устойчивых положения равновесия ''d'' и −''d'' и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае цепь Чуа в зависимости от начальных условий будет стремиться к одному из двух устойчивых положений равновесия.
В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной цифрой '''2''', в окрестности точки равновесия ''d'' или −''d'' существует устойчивый [[предельный цикл]]. По мере приближения к границе с хаотическим режимом система претерпевает цикл удвоений периода вплоть до образования хаотического [[аттрактор Рёсслера|аттрактора Рёсслера]]. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно [[Постоянная Фейгенбаума|соотношению Фейгенбаума]]. При попадании параметров в область, помеченную цифрой '''6''', образуется [[странный аттрактор]] (рисунок 4), называемый «двойной завиток» ({{lang-en|double scroll}}). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «двойной завиток» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области [[аттрактор Рёсслера|аттрактора Рёсслера]]. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия.
Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 цифрой '''11''', в колебательной системе наблюдаются колебания неограниченно нарастающей амплитуды вне зависимости от начальных условий. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон, и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый [[предельный цикл]], охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.

На рисунках 5, 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.

<gallery mode="packed" heights="200px" caption="">
Файл:double_scroll_attractor1.png|Рисунок 4. Аттрактор типа двойной завиток. Фигура Лиссажу ''i''<sub>L</sub> от ''v''<sub>С1</sub> при L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1Ф; ''G<sub>a</sub>'' = −0,8 А/В; ''G<sub>b</sub>'' = −0,5 А/В
Файл:time_series1.png|Рисунок 5. Временная зависимость ''v''<sub>C1</sub> для случая L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9Ф; C2 = 1Ф; ''G<sub>a</sub>'' = −0,8 А/В; ''G<sub>b</sub>'' = −0,5 А/В
Файл:time_series2.png|Рисунок 6. Временная зависимость ''v''<sub>C2</sub> для случая L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф; ''G<sub>a</sub>'' = −0,8 А/В; ''G<sub>b</sub>'' = −0,5 А/В
</gallery>

== Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы в цепи Чуа ==
В стандартных физических экспериментах запуск цепи Чуа при замыкании происходит из окрестности нулевых начальных данных. Гипотеза Чуа заключалась в том, что развитие хаоса в цепи и рождение аттрактора возможны только из неустойчивого нулевого состояния равновесия. К настоящему времени в цепи Чуа открыты сотни различных таких самовозбуждающихся аттракторов<ref>{{cite book |author1=Bilotta, E. |author2=Pantano, P. |title=Gallery of Chua Attractors |url=https://archive.org/details/galleryofchuaatt0000bilo |publisher=World Scientific |year=2008 |isbn=978-981-279-062-0}}</ref>.

В 2009 году [[Кузнецов, Николай Владимирович (учёный)|Н. В. Кузнецовым]] была предложена идея построения скрытого аттрактора Чуа, который сосуществует с устойчивым состоянием равновесия и его область притяжения не касается состояний равновесия, поэтому выбор начальных данных для его визуализации не очевиден<ref name=2011-PLA-Hidden-Chua-attractor>{{cite journal |author1= Leonov G. A. |author2= Vagaitsev V. I. |author3= Kuznetsov N. V. |year= 2011 |title= Localization of hidden Chua's attractors |journal= Physics Letters A |volume= 375 |issue= 23 |pages= 2230–2233 |url= http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-PhysLetA-Hidden-Attractor-Chua.pdf |doi= 10.1016/j.physleta.2011.04.037 |bibcode= 2011PhLA..375.2230L |access-date= 2022-12-21 |archive-date= 2022-01-19 |archive-url= https://web.archive.org/web/20220119155659/http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-PhysLetA-Hidden-Attractor-Chua.pdf |url-status= live }}</ref><ref name=2011-IJBC-Hidden-attractors>{{cite journal |author1=Leonov G. A. |author2=Kuznetsov N. V. |year= 2013 |title= Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert–Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits |journal= International Journal of Bifurcation and Chaos |volume= 23 |issue= 1 |pages= 1330002–219 |doi= 10.1142/S0218127413300024|bibcode=2013IJBC...2330002L |doi-access= free }}</ref> . В дальнейшем были обнаружены различные конфигурации скрытых аттракторов в цепи Чуа и проведен бифуркационный анализ их рождения<ref name=2017-IJBC-Chua-hidden-attractors>{{cite journal |author1=Stankevich N. V.|author2=Kuznetsov N. V. |author3=Leonov G. A. |author4=Chua L. |year= 2017 |title= Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit |journal= International Journal of Bifurcation and Chaos |volume= 27 |issue= 12 |pages= 1730038–188 |doi= 10.1142/S0218127417300385|arxiv=1710.02677 |bibcode=2017IJBC...2730038S |s2cid=45604334 }}</ref><ref name=2022-ND-Chua-hidden-attractors></ref>.

== Осциллятор Чуа ==
Термин «Осциллятор Чуа» используется для рассмотрения цепи Чуа с учётом активного сопротивления катушки индуктивности L. Данная схема имеет ещё большее число разнообразных режимов и может быть реализована практически (рисунок 7).
[[Файл:Chua's circuit.svg|thumb|300px|Рисунок 7. Практическая схема осциллятора Чуа. L1 = 8,5 мГн, C1 = 4,8 нФ, C2 = 69 нФ, R = 1,3 кОм]]

Принимая R<sub>0</sub> — активное сопротивление катушки индуктивности L, получим систему уравнений{{sfn|Бугаевский, Пономаренко|1998|с=5}}

: <math>\left\{\begin{align}
 C_1 \frac{dv_{c_1}}{dt} &= G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1}), \\
 C_2 \frac{dv_{c_2}}{dt} &= G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L, \\
 L \frac{di_L}{dt} &= -v_{C_2} + R_0 i_L.
\end{align}\right.</math>

Лёгкость практической реализации, а также наличие относительно простой [[математическая модель|математической модели]] делает цепь Чуа удобной моделью для изучения [[Теория хаоса|хаоса]].

== См. также ==
[[Мемристор]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса // [[Соросовский образовательный журнал]], 2000, № 11, с. 104—110;
* {{книга | автор = Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И.| часть = | заглавие = Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие| оригинал = | ссылка = http://nonlinmod.sgu.ru/doc/chua.pdf| издание = | ответственный = | место = | издательство = Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж»| год = 1998| том = | страницы = | страниц = 29| isbn = |ref=Бугаевский, Пономаренко}}
* Matsumoto, T. [http://www.eecs.berkeley.edu/~chua/papers/Matsumoto84.pdf A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit], IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol. CAS-31, no. 12, pp. 1055—1058.
* Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. [http://www.eecs.berkeley.edu/~chua/papers/Chua86.pdf «The Double Scroll Family»], IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, no. 11, pp. 1073—1118.
* T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. [http://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B7BPmCFMmtWxM2NkY2VkNjctZTAxZS00MTgxLWI0MGItOTIyMDkyMjkyNmZi&hl=ru «Birth and death of the double scroll»], Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan/Feb 1987).
* Stankevich N. V.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Chua L. (2017). «Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit». International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038-188 [https://doi.org/10.1142/S0218127417300385 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385]
* {{статья |заглавие=Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления |издание=Известия РАН. Теория и Системы управления |том= |номер=5 |страницы=5—27 |автор=Н. В. Кузнецов |год=2020 | ссылка=http://apcyb.spbu.ru/wp-content/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Control-systems.pdf | doi=10.31857/S0002338820050091
}}

== Ссылки ==
* [http://www.chuacircuits.com Chua’s Circuit diagrams, equations, simulation and pictures] Чуа Схемы, формулы, моделирования и фотографии
* [http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chua.html Chua’s Circuit: Diagram and discussion]
* [http://nonlinear.eecs.berkeley.edu  NOEL laboratory. Leon O. Chua’s laboratory at the University of California, Berkeley]
* [http://www.eecs.berkeley.edu/~chua/circuitrefs.html References]
* [http://docs.google.com/uc?id=0B7BPmCFMmtWxODk0MTQ1OWUtNDJkZi00ZDk0LWJlNjQtNTU4YzVkMDlmNTk3&export=download&hl=ru  ТИИЭР Том 75 № 8 Август 1987]

[[Категория:Электрические цепи]]
[[Категория:Теория хаоса]]
[[Категория:Динамические системы]]
[[Категория:Хаотические отображения]]