Просмотр кода страницы Циклоида

{{Falseredirect|Таутохронность}}
[[Файл:Cycloid f.gif|thumb|240px|Точка на катящейся окружности рисует циклоиду]]
'''Цикло́ида''' (от {{lang-el|κυκλοειδής}}, «кругообразный»<ref>{{книга |часть=Циклоида |страницы=1468 |заглавие=Советский энциклопедический словарь |издание=2-е изд. |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1982 |страниц=1600}}</ref>) — [[плоская кривая|плоская трансцендентная кривая]].

Циклоида определяется [[Кинематика|кинематически]] как [[траектория]] фиксированной точки ''[[Окружность|производящей окружности]]'', катящейся без скольжения по [[прямая|прямой]]. Далее всюду <math>r</math> обозначает радиус производящей окружности.

== Уравнения ==
{{Основной источник|{{sfn|Математическая энциклопедия|1982}}}}
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса <math>r</math>. Циклоида описывается:
* [[параметрическое представление|параметрически]]
*: <math>x = rt - r \sin t</math>
*: <math>y = r - r \cos t</math>.  
*: Рассмотрим окружность с центром <math>O_1</math> и радиусом <math>r</math>, которая совершила поворот, равномерно двигаясь по плоскости. Пусть точка <math>P</math> <math>(x,y)</math> изначально находилась в начале координат  <math>O(0,0)</math> и совершила перемещение, находясь на окружности. 
*: Проведём радиусы <math>r</math> к двум точкам: к точке касания окружностью оси <math>Ox</math> <math>(O_1H=r)</math> и к точке <math>P</math> <math>(O_1P=r)</math>. Пусть угол между двумя радиусами будет <math>t</math> (он же будет углом поворота).  Проведём перпендикуляр из точки <math>P</math> к радиусу, направленному к точке касания.
*: Обозначим через <math>s</math> расстояние от центра окружности до перпендикуляра (для этого опустим перпендикуляр <math>PH_1</math> на <math>O_1H</math> ; <math>O_1H_1 = s</math> ), а через <math>m</math> — расстояние до точки к оси <math>Ox</math> <math>(H_1H=m)</math>. Из рисунка ясно, что <math>m+s=r</math>. Из прямоугольного треугольника <math>\bigtriangleup(PO_1H_1)</math> : <math display="inline">s=r\cos t</math>. Отсюда <math>m=r-r\cos t</math>, а <math>m</math> — это и есть координата <math>y</math> исходной точки. Следовательно <math>y = r - r \cos t</math>.
*: Построим проекцию точки <math>P</math> на ось <math>Ox</math> и обозначим её <math>P_x</math>.  <math>OP_x=x=OH-P_xH</math>. Заметим, что окружность катится без скольжения, поэтому точка <math>P</math> проходит расстояние, равное дуге <math>\overset{\frown}{PH}</math>; также <math>\overset{\frown}{PH}=rt</math>, но <math>\overset{\frown}{PH} =OH</math>, следовательно <math>OH=rt</math> . Из прямоугольного треугольника <math>\bigtriangleup(PO_1H_1)</math> : <math>P H_1 =  r \sin t</math>. Следовательно <math>x = rt - r \sin t</math>. Что и требовалось доказать.
*:
* уравнением в [[декартовы координаты|декартовых координатах]]
*: <math>x=r \arccos \frac {r-y}{r} - \sqrt{2ry-y^2}</math>.
* как решение [[Дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]]
*: <math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}</math>.

== Свойства ==
[[Файл:Tautochrone curve.gif|thumb|Таутохронность циклоиды]]
[[Файл:Isochronous cycloidal pendula.gif|thumb|Колебания с циклоидным регулятором.]]
Циклоида — [[периодическая функция]] по оси абсцисс, с периодом <math>2\pi r</math>. За границы периода удобно принять особые точки ([[Касп|точки возврата]]) вида <math>t=2\pi k</math>, где <math>k</math> — произвольное целое число.

У отдельной арки циклоиды есть [[ось симметрии]], но нет [[центр симметрии|центра симметрии]].

Для проведения [[Касательная|касательной]] к циклоиде в произвольной её точке <math>A</math> достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив <math>A</math> с нижней точкой производящей окружности, мы получим [[нормаль]].

Длина арки циклоиды равна <math>8r</math>. Другими словами, ''длина одной ветви циклоиды равна учетверённому диаметру производящей окружности''. Это свойство открыл [[Кристофер Рен]] в 1658 году{{sfn|Веров|1975}}

Зависимость длины дуги циклоиды (<math>s</math>) от параметра <math>t</math> следующая<ref>{{книга|автор=[[Архипов, Геннадий Иванович|Архипов Г.И.]], [[Садовничий, Виктор Антонович|Садовничий В.А.]], [[Чубариков, Владимир Николаевич|Чубариков В.Н.]]|заглавие=Лекции по математическому анализу|издание=2-е изд|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|место=М.|год=2000|isbn=5-06-003955-2 |ответственный=Под ред. В. А. Садовничего|страницы=261|страниц=695|тираж=8000}}</ref>: <math>s(t)=4r(1-\cos{t\over2})</math>.

Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. [[Торричелли, Эванджелиста|Торричелли]] сообщил, что этот факт [[Галилей, Галилео|Галилей]] открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.<ref>{{книга |автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник,  изд. 3-е |ссылка=https://archive.org/details/isbn_9785382008394 |издательство=ЛКИ |место=СПб |год=2008 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_9785382008394/page/n212 213] |страниц=248 |isbn=978-5-382-00839-4 }}</ref> Математически этот факт первым доказал [[Роберваль, Жиль|Роберваль]] около [[1634 год]]а с помощью [[Метод неделимых|метода неделимых]].

[[Радиус кривизны]] у первой арки циклоиды равен <math>4r \sin\dfrac{t}{2}</math>.

«Перевёрнутая» циклоида является [[кривая скорейшего спуска|кривой наискорейшего спуска]] (''[[Брахистохрона|брахистохроной]]''). Более того, она имеет также свойство ''таутохронности'': тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

Два нижеследующих свойства, открытые [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенсом]], были им использованы для создания точных [[механические часы|механических часов]].
* [[Период колебаний]] [[материальная точка|материальной точки]], скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от [[амплитуда|амплитуды]]. Это непосредственное следствие таутохронности.
* [[Эволюта]] циклоиды является циклоидой, [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтной]] исходной и [[параллельность|параллельно]] сдвинутой от исходной так, что [[вершина кривой|вершины]] переходят в «[[касп|острия]]».
Площадь поверхности, образованной вращением арки циклоиды вокруг её основания, равна <math>\dfrac{64}{3} \pi r^2.</math> Она 
превышает двойную площадь циклоиды (площадь осевого сечения) в <math>3\dfrac{5}{9}</math> раза{{sfn |Выгодский|2019|с=496—497}}.

== Вариации и обобщения ==
Циклоиду можно рассматривать как:
* разновидность [[Трохоида|трохоиды]] в случае, когда производящая  окружность катится по прямой;
* предельный случай {{iw|Циклогон|циклогона||Cyclogon}}, когда число сторон многоугольника увеличивается до бесконечности.

Детали машин, которые совершают одновременно [[равномерное движение|равномерное]] [[вращательное движение|вращательное]] и [[поступательное движение]], описывают [[Циклоидальная кривая|циклоидальные кривые]]: циклоида, [[эпициклоида]], [[гипоциклоида]], [[трохоида]], [[астроида]] (''ср. построение'' [[Лемниската Бернулли|лемнискаты Бернулли]]).

== Исторический очерк ==
Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду [[Николай Кузанский]] в XV веке и [[Шарль де Бовель]] в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.
 
Название ''циклоида'' придумал [[Галилей, Галилео|Галилей]] (во Франции эту кривую сначала называли ''рулеттой''). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея [[Мерсенн, Марен|Мерсенн]]. Среди [[трансцендентная кривая|трансцендентных кривых]] (то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде [[многочлен]]а от <math>x, y</math>), циклоида — первая из исследованных.

[[Паскаль, Блез|Паскаль]] писал о циклоиде<ref>{{книга|автор=Кляус Е. М., [[Погребысский, Иосиф Бенедиктович|Погребысский И. Б.]], Франкфурт&nbsp;У.&nbsp;Й. |заглавие=Паскаль|место=М.|год=1971|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|серия=[[Научно-биографическая литература]]|тираж=10000|страницы=191|}}</ref><ref>Pascal, Blaise. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626197m/f1.image Histoire de la roulette, appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l'on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne] {{Wayback|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626197m/f1.image |date=20170404051226 }}. 10 octobre 1658. P.1.</ref>:
{{начало цитаты}}
Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса...
{{oq|fr|La Roulette est une ligne si commune, qu'apres la droitte, & la circulaire, il n'y en a point de si frequente; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu'il y a lieu de s'estonner qu'elle n'ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n'en trouue rien : Car ce n'est autre chose que le chemin que fait en l'air, le clou d'une rouë...}}
{{конец цитаты}}

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали [[Декарт, Рене|Декарт]], [[Ферма, Пьер|Ферма]], [[Ньютон, Исаак|Ньютон]], [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]], братья [[Бернулли, Якоб|Якоб]] и [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]] и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы [[Математический анализ|математического анализа]].

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ [[Алгебраическая кривая|алгебраических кривых]], произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

== Применение ==
Один из самых популярных типов шестерёнок — с циклоидальными зубьями. Циклоидальные профили чаще встречаются в часовых механизмах<ref>{{Cite web |url=https://book.etudes.ru/articles/gearing/?hl=%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4 |title=Зубчатые колёса / Статьи — Математическая составляющая<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2023-04-05 |archive-date=2023-04-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230405151016/https://book.etudes.ru/articles/gearing/?hl=%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4 |url-status=live }}</ref>. Циклоидальный профиль имеют многие типы кулачков, эксцентриков и иных деталей машин.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''[[Берман, Георгий Николаевич|Берман Г. Н.]]'' [http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/cicloida.htm Циклоида.] М., Наука, 1980, 112 с.
* {{книга|автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |заглавие=Справочник по высшей математике|место=М.
  |издательство= [[АСТ (издательство)|АСТ]] |год=2019 |isbn=978-5-17-117741-6 |страниц=704 |ref=Выгодский}}
* {{книга | автор=[[Гиндикин, Семён Григорьевич|Гиндикин С. Г.]] |заглавие=Рассказы о физиках и математиках
  |издательство=[[МЦНМО]] |место=М. |год=2001 |издание=издание третье, расширенное
  |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/gindikin/index.html |isbn=5-900916-83-9
  |страницы=126-165}}
* ''[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]'' Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, М: Наука 1978, стр. 32.
* {{БРЭ |статья=Циклоида |ref=БРЭ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/4677105 |архив=https://web.archive.org/web/20230103223753/https://bigenc.ru/mathematics/text/4677105 |архив дата=2023-01-03 }}
* {{книга |часть=Циклоида |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=5 |столбцы=817
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |ref=Математическая энциклопедия}}

== Ссылки ==
* {{статья |автор=Веров С. Г. |заглавие= Тайны циклоиды |год=1975 |номер=8 |страницы=19—27
  |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1975/08/tajny_cikloidy.htm |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |ref=Веров}}

{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Трансцендентные кривые]]
[[Категория:Окружности]]