Просмотр кода страницы Цилиндр

{{другие значения}}
[[Файл:Cylinder geometry.svg|thumb|right|160px|Прямой [[круг]]овой цилиндр]]
[[Файл:TychoBrahePlanetarium-Copenhagen.jpg|thumb|right|Здание Планетария Тихо Браге, Копенгаген, его крыша является примером цилиндрического сечения]]
'''Цили́ндр''' ({{lang-grc|κύλινδρος}} — [[Вал (деталь машин)|валик]], [[каток]]) — [[геометрическое тело]], ограниченное [[Цилиндрическая поверхность|цилиндрической поверхностью]] и двумя параллельными [[Плоскость (геометрия)|плоскостями]], пересекающими её.

== Связанные определения ==
* '''[[Цилиндрическая поверхность]]''' — поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (называемых '''образующими''') и проходящими через точки некоторой кривой (называемой '''направляющей''').
* Плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр, называются '''основаниями''' этого цилиндра.
* Часть цилиндрической поверхности, находящаяся между плоскостями оснований, называется '''боковой поверхностью''' цилиндра.
* '''Высотой цилиндра''' называется отрезок, высекаемый плоскостями его оснований на прямой, перпендикулярной им, или длина этого отрезка.

== Типы цилиндров ==
* '''Прямым''' называется цилиндр, основания которого имеют [[Центр симметрии|центры симметрии]] (например, являются [[круг]]ами или [[эллипс]]ами), прямая между которыми перпендикулярна плоскостям этих оснований. Данная прямая называется '''осью цилиндра'''.
* '''Косым''' называется цилиндр, основания которого имеют [[Центр симметрии|центры симметрии]] (например, являются [[круг]]ами или [[эллипс]]ами), отрезок между которыми ''не'' перпендикулярен плоскостям этих оснований.
* '''Круговым''' называется цилиндр с окружностью в роли направляющей.
* '''Цилиндром вращения''', или '''прямым круговым цилиндром''' (часто под цилиндром подразумевают именно его) называется цилиндр, который можно получить вращением (то есть [[тело вращения]]) [[прямоугольник]]а вокруг одной из его сторон, содержащая которую прямая в таком случае будет осью этого цилиндра и его [[Ось симметрии|осью симметрии]].
* Цилиндр, основания которого являются [[эллипс]]ами, [[парабола|параболами]] или [[Гипербола (математика)|гиперболами]], называют соответственно '''эллиптическим''', '''параболическим''' и '''гиперболическим'''; последние два имеют бесконечный объём.
* '''[[Призма (геометрия)|Призма]]''' также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.
* '''Равносторонним''' называется цилиндр вращения, [[диаметр]] основания которого равен его высоте<ref>[http://dict.scask.ru/index.php?id=1411 Математический справочник]</ref>.
[[Файл:Blue cut-cylinder.gif|thumb|right|150px|Сечения ({{D-l|сечение}} плоскостью)]]
[[Файл:Intersection of cylinders.jpg|thumb|right|[[Лемниската Бернулли|Результат]] [[Пересечение|пересечения]] цилиндров]]

== Свойства ==
* Если плоскость основания цилиндра параллельна плоскости направляющей, то граница этого основания будет по форме совпадать с направляющей кривой.

== Площадь поверхности цилиндра ==

=== Площадь боковой поверхности ===
[[Файл:Square of lateral surface of cylinder.png|thumb|right|К вычислению площади боковой поверхности цилиндра]]
Площадь [[Боковая поверхность|боковой поверхности]] цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой [[прямоугольник]] с высотой <math>h</math> и длиной <math>P</math>, равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
: <math>S_b = P h</math>

В частности, для прямого кругового цилиндра:
: <math>P = 2 \pi R</math>, и <math>S_b = 2 \pi R h</math>, здесь и далее <math>R</math> — радиус основания цилиндра.

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:
: <math>S_b = P_{\perp} h</math>

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма не существует. Для наклонного кругового цилиндра можно воспользоваться [[Эллипс#Приближённые формулы для периметра|приближёнными формулами для периметра эллипса]], а затем умножить полученное значение на длину образующей.

=== Площадь полной поверхности ===
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:
<math>S_{p} = 2 \pi R h +2 \pi R^2 = 2\pi R (h+R)</math>

== Объём цилиндра ==

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:
* Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
*: <math>V=S_{\perp}l</math>,
* Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
*: <math>V=Sh=Sl\sin{\varphi}</math>,
: где <math>l</math> — длина образующей, а <math>\varphi</math> — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра <math>h=l</math>.

Для прямого цилиндра <math>\sin{\varphi}=1</math>, <math>l=h</math> и <math>S_{\perp}=S</math>, и объём равен:
*: <math>V=Sl=Sh</math>

Для кругового цилиндра:

<math>V=\pi R^{2}h=\pi \frac{d^{2}}{4}h</math>,

где ''d'' — [[диаметр]] основания.

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Навигация
|Викисловарь=цилиндр
}}

{{Компактные топологические поверхности}}
{{rq|sources|topic=math}}

[[Категория:Геометрические тела]]