Просмотр кода страницы Числа-близнецы

{{falseredirect|Гипотеза Харди — Литтлвуда}}{{Универсальная карточка}}

'''Числа-близнецы''' (''парные простые числа'') — пары [[простое число|простых чисел]], отличающихся на 2.

== Общая информация ==
Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид <math>6n\pm 1,</math> так как числа с другими вычетами [[Сравнение по модулю|по модулю]] 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид <math>30n\pm1</math>, <math>30n+12\pm1</math> либо <math>30n+18\pm1</math>.
Для любого целого <math>m \geqslant 2</math> пара <math>(m, m + 2)</math> является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если <math>4[(m-1)! + 1] + m</math> делится на <math>m(m + 2)</math> (следствие [[Теорема Вильсона|теоремы Вильсона]]).

Первые числа-близнецы<ref>{{OEIS long|1359|6512}}</ref>:
: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа <math>2996863034895 \cdot 2^{1290000}\pm 1</math><ref>{{Cite web |url=http://primes.utm.edu/largest.html#twin |title=The Largest Known Primes |access-date=2006-05-10 |archive-date=2014-09-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140924043459/http://primes.utm.edu/largest.html#twin |url-status=live }}</ref>. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта [[Добровольные вычисления|добровольных вычислений]] [[PrimeGrid]]<ref name=utm>{{cite web|url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122213|title=The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1|first=Chris K.|last=Caldwell|publisher=|access-date=2017-01-06|archive-date=2017-01-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20170107003847/http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122213|url-status=live}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7021|title=World Record Twin Primes Found!|publisher=|accessdate=2017-01-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180104192551/http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7021|archivedate=2018-01-04|deadlink=yes}}</ref>.

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По {{не переведено|Первая гипотеза Харди — Литтлвуда|первой гипотезе Харди — Литтлвуда|en|First Hardy–Littlewood conjecture}}, количество <math>\pi_2(x)</math> пар простых-близнецов, не превосходящих <math>x</math>, асимптотически приближается к
: <math>\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int\limits_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2},</math>
где <math>C_2</math> — [[константа простых-близнецов]]:
: <math>C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.6601618158468695739278121100145\ldots</math><ref>{{OEIS|A005597}} — десятичное разложение константы простых-близнецов.</ref>

== История ==
Гипотеза о существовании бесконечного числа чисел-близнецов была [[Открытые математические проблемы|открытой]] в течение многих лет. В [[1849 год в науке|1849 году]] де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу ([[гипотеза Полиньяка]]): для любого натурального <math>k</math> существует бесконечное число таких пар простых чисел <math>p</math> и <math>p',</math> что <math>p-p' = 2k</math>.

17 апреля 2013 года [[Итан Чжан]] сообщил о доказательстве того, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. Работа была принята в [[Анналы математики]] в мае 2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Моррисон сообщил о снижении оценки до {{num|59470640}}<ref name="н+1">{{cite web|author=Сергей Немалевич|title=Братишка, ты цел?|url=https://nplus1.ru/material/2015/11/06/twin-numbers|date=2015-11-06|publisher=Интернет-издание N+1|accessdate=2015-11-10|language=ru|archive-date=2015-11-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20151107182009/https://nplus1.ru/material/2015/11/06/twin-numbers|url-status=live}}</ref>. Буквально через несколько дней австралийский математик, лауреат Филдсовской медали [[Теренс Тао]] доказал, что граница может быть уменьшена на порядок — до {{num|4982086}}<ref name="н+1" />. Впоследствии он предложил проекту [[Polymath]] совместными усилиями оптимизировать границу.

В ноябре 2013 года 27-летний британский математик [[Джеймс Мейнард]] применил алгоритм, разработанный в 2005 году Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY (аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мейнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект, polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246<ref>{{cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|title=Bounded gaps between primes|publisher=Polymath|accessdate=2014-03-27|archive-date=2013-06-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20130620111740/http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|url-status=live}}</ref><ref name="н+1" />.

В предположении справедливости [[гипотеза Эллиота — Халберстама|гипотезы Эллиота — Халберстама]] и её обобщения оценка может быть снижена до 12 и 6 соответственно<ref>http://arxiv.org/abs/1407.4897 {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1407.4897 |date=20171117104204 }} and http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf {{Wayback|url=http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf |date=20200827204806 }}</ref>.

== Теорема Бруна ==
{{main|Теорема Бруна}}
[[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] доказал ([[1737 год в науке|1737]]), что [[Ряд обратных простых чисел|ряд чисел, обратных простым,]] расходится{{sfn|Euler|1737|с=160–188}}:
: <math>{1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 5} + {1 \over 7} + {1 \over 11} + \dots = \infty,</math>
что, в частности, означало, что простых чисел бесконечно много. 

Норвежский математик [[Брун, Вигго|Вигго Брун]] доказал ([[1919 год в науке|1919]]), что <math>\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2},</math> и ряд обратных величин для пар близнецов сходится:
: <math>B_2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)
+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\ldots\approx 1.902160583104.</math>
Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они всё же расположены в натуральном ряду довольно редко. Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщённых простых близнецов.

Значение <math>B_2 \approx 1.902160583104</math> называется [[Константа Бруна|константой Бруна]] для простых-близнецов.

== Списки ==
{{обновить раздел|дата=2022-02-22}}
Самые большие известные простые близнецы по состоянию на 2022 год<ref>[https://t5k.org/top20/page.php?id=1 PrimePage Primes: Twin Primes<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>:
{| class="wikitable"
|-
! Число !! Количество [[Десятичная система счисления|десятичных знаков]]
|-
| <math>2996863034895 \cdot 2^{1290000}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''388342'''}}
|-
| <math>3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''200700'''}}
|-
| <math>65516468355 \cdot 2^{333333}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''100355'''}}
|-
| <math>70965694293 \cdot 2^{200006}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''60219'''}}
|-
| <math>66444866235 \cdot 2^{200003}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''60218'''}}
|-
| <math>4884940623 \cdot 2^{198800}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''59855'''}}
|-
| <math>2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''58711'''}}
|-
| <math>38529154785 \cdot 2^{173250}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''52165'''}}
|-
| <math>194772106074315 \cdot 2^{171960}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''51780'''}}
|-
| <math>100314512544015 \cdot 2^{171960}\pm 1</math> || {{text-align|right|'''51780'''}}
|}

== Простые числа-триплеты ==
Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Однако далее во всех остальных тройках разность между наибольшим и наименьших членом равна шести и не может быть меньше.
То есть, если обобщить, '''триплетом''' называется тройка простых чисел (2, 3, 5), (3, 5, 7), <math>(p, p+2, p+6)</math> или <math>(p, p+4, p+6).</math>

Первые простые числа-триплеты<ref>{{OEIS long|7529|98414|98415}}</ref>:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

По состоянию {{на|2018}} наибольшими известными простыми-триплетами являются числа <math>(p, p+4, p+6)</math>, где <math>p =6521953289619 \times 2^{55555} - 5</math> (16737 цифр, апрель 2013 года<ref>Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW</ref>).

== Квадруплеты простых чисел ==
Четвёрки простых чисел вида <math>(p, p+2, p+6, p+8),</math> или '''сдвоенные близнецы''', или '''квадруплеты'''<ref>{{OEIS long|7530|136720|136721|90258}}</ref>:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439),
(13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303,
25307, 25309), …

[[Сравнение по модулю|По модулю]] {{ч|30}} все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю [[210 (число)|210]] все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

== Секступлеты простых чисел ==
Шестёрки простых чисел вида <math>(p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16)</math><ref>{{OEIS long|22008}}</ref>:

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793)
…

[[Сравнение по модулю|По модулю]] [[210 (число)|210]] все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

== См. также ==
* [[PrimeGrid]]
* [[Арифметические прогрессии из простых чисел]]
* [[Интервалы между простыми числами]]
* [[Простые числа, отличающиеся на шесть]]
* [[Числа Софи Жермен]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{статья
|ref=Euler
|автор=[[Эйлер, Леонард|Leonhard Euler]]
|оригинал=Variae observationes circa series infinitas
|заглавие=Various observations concerning infinite series
|издание=Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae
|том=9
|год=1737
}}
{{вс}}
{{Гипотезы о простых числах}}
{{Классы простых чисел}}
{{Нет ссылок|дата=14 мая 2011}}


[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Целочисленные последовательности]]
[[Категория:Классы простых чисел]]