Просмотр кода страницы Числа Ризеля

{{unsolved|математики|Чему равно наименьшее число Ризеля?}}
В математике '''число Ри́зеля''' — [[Чётные и нечётные числа|нечётное]] [[натуральное число]] <math>k</math>, для которого [[целое число|целые числа]] вида <math>k \cdot 2^{n} - 1</math> [[составное число|составные]] для всех натуральных чисел <math>n.</math> В 1956 году [[Ризель, Ханс|Ханс Ризель]] ({{lang-sv|[[:sv:Hans Riesel|Hans Riesel]]}}) доказал, что существует [[бесконечное множество|бесконечное]] число целых чисел <math>k</math> таких, что <math>k \cdot 2^{n} - 1</math> является составным для любого целого <math>n</math>. Он показал, что этим свойством обладает число 509 203, а также 509 203 плюс любое [[натуральное число]], умноженное на 11 184 810{{sfn|Hans Riesel|1956}}. То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показано нахождением [[Покрывающее множество (теория чисел)|покрывающего множества]] простых чисел, на которые будет делиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньше одного миллиона имеют следующие покрывающие множества:
* 509 203·2<sup>n</sup> − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
* 762 701·2<sup>n</sup> − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
* 777 149·2<sup>n</sup> − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
* 790 841·2<sup>n</sup> − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
* 992 077·2<sup>n</sup> − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и [[числа Серпинского|числом Серпинского]], например {{nobr|143 665 583 045 350 793 098 657}}{{sfn|BriefNumbers|}}.

== Проблема Ризеля ==
Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Так как ни для одного числа <math>k < 509203</math> не найдено покрывающее множество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числом Ризеля. 

Поиском кандидатов на числа Ризеля занимается проект [[добровольные вычисления|добровольных распределённых вычислений]] [[PrimeGrid]], где рассчитываются значения последовательностей <math>k \cdot 2^{n} - 1</math> для всех натуральных <math>n</math>, начиная с 1. Изначально, в марте 2010 года был известен 101 кандидат на числа Ризеля. Если в такой последовательности оказывается простое число, то этот кандидат исключается из рассмотрения. 

По состоянию на январь 2025 года осталось 41 значение <math>k < 509203</math> для которых последовательность содержит только составные числа для всех проверенных значений <math>n</math>. Вот они{{sfn|PrimeGrids|}}<ref>{{Cite web |url=http://www.primegrid.com/stats_trp_llr.php |title=The Riesel Problem |access-date=2013-10-15 |archive-date=2010-11-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101128173117/http://primegrid.com/stats_trp_llr.php |url-status=live }}</ref>: 

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

== См. также ==
* [[Экспериментальная математика]]
* [[Открытые математические проблемы]]
* [[Открытые проблемы в теории чисел]]
* [[BOINC]]
* [[Числа Мерсенна]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{статья|автор=Riesel, Hans|заглавие=Några stora primtal|язык=sv|издание=Elementa|год=1956|том=39|страницы=258-260|ref=Hans Riesel}}
* {{cite web|url=http://www.primegrid.com/download/TRP-252191.pdf|lang=en|title=PrimeGrid’s The Riesel Problem|ref=PrimeGrids|accessdate=2012-09-17|archiveurl=https://web.archive.org/web/20121018225232/http://www.primegrid.com/download/TRP-252191.pdf|archivedate=2012-10-18|deadlink=yes}}
* {{cite web|url=http://www.primepuzzles.net/problems/prob_029.htm|lang=en|title=Problem 29.- Brier Numbers|ref=BriefNumbers|accessdate=2012-09-17|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120717012743/http://www.primepuzzles.net/problems/prob_029.htm|archivedate=2012-07-17|deadlink=yes}}
* {{книга|автор=Guy, Richard K.|заглавие=Unsolved Problems in Number Theory|ссылка=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|место=[[Берлин]]|издательство=[[Springer-Verlag]]|год=2004|страниц=120|isbn=0-387-20860-7|язык=en|ref=Richard K. Guy}}
* {{книга|автор=Ribenboim, Paulo|заглавие=The New Book of Prime Number Records|ссылка=https://archive.org/details/newbookofprimenu0000ribe|место=[[Нью-Йорк]]|издательство=[[Springer-Verlag]]|год=1996|isbn=0-387-94457-5|язык=en|ref=Paulo Ribenboim}}

[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Гипотезы о простых числах]]
[[Категория:Целочисленные последовательности]]