Просмотр кода страницы Числа Фибоначчи

[[Файл:34*21-FibonacciBlocks.png|thumb|Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21]]
[[Файл:FibonacciSpiral.svg|thumb|Спираль Фибоначчи: приближение [[Золотая спираль|золотой спирали]], созданной путём рисования [[Дуга окружности|круговых дуг]], соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи;<ref>{{книга |ссылка=https://books.google.com/books?id=CDEEAwAAQBAJ&pg=PA81 |заглавие=Изучение мира математики: от древних записей до новейших достижений в области компьютеров |издательство=New Leaf Publishing Group |год=200 |isbn=978-1-61458-155-0 |язык=ru |автор=John Hudson Tiner}}</ref> (см. предыдущее изображение)]]
'''Чи́сла Фибона́ччи''' (вариант написания — ''Фибона́чи''<ref>См., например, {{книга |автор=Т. В. Кропотова,  В. Г. Подольский, П. Е. Кашаргин |заглавие=Введение в высшую математику |издательство=Казанский федеральный университет институт физики}}</ref>) — элементы числовой последовательности<ref>{{OEIS|A000045}}</ref>:
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …,
в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел{{Sfn|Lucas|1891|p=3}}. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как [[Фибоначчи]])<ref>{{БСЭ3|заглавие=Числа Фибоначчи}}</ref>.

Иногда член <math>F_0</math>, равный нулю, опускается — тогда последовательность Фибоначчи начинается с <math>F_1 = F_2 = 1</math>{{Sfnp|Beck|Geoghegan|2010}}{{Sfn|Bóna|2011|p=180}}.

Говоря более формально, последовательность чисел Фибоначчи <math>\{F_n\}</math> задаётся [[линейная рекуррентная последовательность|линейным рекуррентным соотношением]]:
: <math>F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math>,
: где <math>\ n \geqslant 2,\ n \in \Z</math>.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений <math>n</math> как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Соответственно, члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: <math>F_n = F_{n+2} - F_{n+1}</math>:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! ''n''
| … || −10 || −9 || −8 || −7 || −6 || −5 || −4 || −3 || −2 || −1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || …
|-
! <math>F_n</math>
| … || −55 || 34 || −21 || 13 || −8 || 5 || −3 ||2|| −1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 2 || 3 || 5 || 8 || 13 || 21 || 34 || 55 || …
|}
(очевидно, что <math>F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n</math>).

== Происхождение ==
[[Файл:FibonacciRabbit.svg|thumb|left|Количество пар кроликов образуют последовательность Фибоначчи]]
[[Файл:Liber abbaci magliab f124r.jpg|thumb|right|300px|Страница ''[[Книга абака|Книги абака]]'' ({{lang-lat|Liber abaci}}) [[Фибоначчи]] из [[Национальная центральная библиотека Флоренции|Национальной центральной библиотеки Флоренции]].<br>В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи. Позиции от 0 до 12 обозначены тёмным цветом [[Римские цифры|римскими цифрами]], а значения красным цветом {{s|[[Арабские цифры|индо-арабскими цифрами]]}}]]
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в [[Древняя Индия|древней Индии]]<ref name=GlobalScience>{{Citation|title=Toward a Global Science|first=Susantha|last=Goonatilake|publisher=Indiana University Press|year=1998 |page= 126|isbn=978-0-253-33388-9|url=https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126}}</ref><ref name="HistoriaMathematica" /><ref name="Donald Knuth 2006 50" />, где она применялась в [[Метр (стихосложение)|метрических науках]] ([[Просодия (стиховедение)|просодии]], другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе<ref name="HistoriaMathematica">{{Citation|first=Parmanand|last=Singh|title= The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|journal=Historia Mathematica|volume=12|issue=3|pages=229—244|year=1985|doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7 |issn = 0315-0860}}</ref><ref name="knuth-v1">{{Citation|title=The Art of Computer Programming|volume=1|first= Donald|last= Knuth|author-link =Donald Knuth|publisher=Addison Wesley|year=1968|isbn=978-81-7758-754-8|url=https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100|page=100}}</ref>{{sfn|Livio|2003|p=197}}.

Образец длиной <math>n</math> может быть построен путём добавления <math>S</math> к образцу длиной <math>n-1</math>, либо <math>L</math> к образцу длиной <math>n-2</math> — и просодицисты показали, что число образцов длиною <math>n</math> является суммой двух предыдущих чисел в последовательности<ref name="Donald Knuth 2006 50">{{Citation|title=The Art of Computer Programming|volume=4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation|first=Donald|last=Knuth|author-link= Donald Knuth |publisher= Addison–Wesley|year=2006|isbn= 978-0-321-33570-8|page=50|url=https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms}}</ref>. [[Кнут, Дональд Эрвин|Дональд Кнут]] рассмотрел этот эффект в книге «[[Искусство программирования]]».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как [[Фибоначчи]], в его труде «[[Книга абака]]» (1202){{Sfn|Pisano|2002|pp=404—405}}<ref>{{cite web|title=Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)|url=https://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html|date=2009-12-13|website=[[The University of Utah]]|accessdate=2018-11-28|archive-date=2018-12-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20181201043435/http://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html|url-status=live}}</ref>. Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают<ref>{{книга |заглавие=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science |ссылка=https://archive.org/details/divineproportion0000heme |год=2005 |издательство=Sterling |место=New York |isbn=1-4027-3522-7 |страницы=[https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/20 20]—21 |язык=en |автор=Hemenway, Priya}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|title=The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature - 1|last=Knott|first=Dr. Ron|date=2016-09-25|website=[[University of Surrey]]|accessdate=2018-11-27|archive-date=2015-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20150110183546/http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|url-status=live}}</ref>, — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год:
* в начале первого месяца есть только одна новорождённая пара '''(1)''';
* в конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1);
* в конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2);
* в конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3).
* в конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5).

В конце <math>n</math>-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть <math>F_n = F_{n-2} + F_{n-1}</math><ref>{{cite web|last=Knott|first=Ron|title=Fibonacci's Rabbits|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|publisher=[[University of Surrey]] Faculty of Engineering and Physical Sciences|access-date=2019-11-14|archive-date=2015-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20150110183546/http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|url-status=live}}</ref>.
Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей [[Популяционная модель|экспоненциальный рост популяции]].

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века [[Люка, Франсуа Эдуард Анатоль|Эдуардом Люка]]<ref>{{Citation|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|title=Mathematical Circus |publisher = The Mathematical Association of America |year=1996 |isbn= 978-0-88385-506-5|page=153}}</ref>.

== Формула Бине ==
Формула Бине выражает в явном виде значение <math>F_n</math> как функцию от <math>n</math>:
: <math>F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}</math>,
где <math>\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> — [[золотое сечение]] и <math>\varphi</math> и <math>(-\varphi )^{-1}=1-\varphi</math> являются корнями характеристического уравнения <math>x^2-x-1=0</math>.
Вообще, аналогичная формула существует для любой [[Линейная рекуррентная последовательность|линейной рекуррентной последовательности]], какой является и последовательность Фибоначчи.

Из формулы Бине следует, что для всех <math>n\geqslant 0</math> число <math>F_n</math> есть [[округление]] <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}},</math> то есть <math>F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil.</math>
В частности, при <math>n\to\infty</math> справедлива [[асимптотика]] <math>F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}.</math>

Формула Бине может быть [[Аналитическое продолжение|аналитически продолжена]] следующим образом{{уточнить}}:
: <math>F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)</math><!-- Действительно ли должен быть косинус, а не сумма косинуса и синуса, умноженного на плюс-минус мнимую единицу? -->.
При этом соотношение <math> F_{z+2} = F_{z+1} + F_z </math> выполняется для любого [[комплексное число|комплексного числа]] <math>z</math>.

== Тождества ==
[[Файл:FibonacciBlocks.svg|thumb|Иллюстрация формулы для суммы квадратов первых ''n'' чисел Фибоначчи<ref>{{книга |ответственный=Сост. Савин А. П. |часть=Фибоначчи числа |заглавие=[[Энциклопедический словарь (Педагогика)|Энциклопедический словарь]] юного математика |издание=2-е изд |место={{М}} |год=1989 |издательство=[[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |страницы=312—314 |страниц=352 |isbn=5715502187}}</ref>]]
Некоторые соотношения:
* <math>F_1 + F_2 + F_3 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/profile/Marcin-Krzywkowski/publication/267072760_New_proofs_of_some_Fibonacci_identities/links/565420f108ae1ef929765de7/New-proofs-of-some-Fibonacci-identities.pdf|title=Теорема изложена в данном файле|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509041636/https://www.researchgate.net/profile/Marcin-Krzywkowski/publication/267072760_New_proofs_of_some_Fibonacci_identities/links/565420f108ae1ef929765de7/New-proofs-of-some-Fibonacci-identities.pdf|url-status=live}}</ref>
* <math>F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}</math><ref name=":0" /><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Пункт 23|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513104313/https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|url-status=live}}</ref>
* <math>F_2 + F_4 + F_6 + \dots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1</math><ref name=":0" /><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Пункт 24|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513104313/https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|url-status=live}}</ref>
* <math>F_{n+1} F_{n+2} - F_n F_{n+3} = (-1)^n</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Следствие из пункта 36|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513104313/https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|url-status=live}}</ref>
* <math>F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}</math>
* <math>F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}</math><ref name=":0" />
* <math>F_{2n} = F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2</math><ref name=":0" />
* <math>F_{3n} = F_{n+1}^3 + F_n^3 - F_{n-1}^3</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Пункт 30|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513104313/https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|url-status=live}}</ref>
* <math>F_{5n} = 25 F_n^5 + 25(-1)^n F_n^3 + 5 F_n</math>
* <math>F_{n+1} = C^0_n + C^1_{n-1} + C^2_{n-2} + \dots</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=64|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513104313/https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|url-status=live}}</ref>, где <math>C_n^k</math> — [[биномиальные коэффициенты]].

Некоторые более общие формулы:
* <math>F_{n+m} = F_{n-1} F_m + F_n F_{m+1} = F_{n+1} F_{m+1} - F_{n-1} F_{m-1}</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Пункт 55|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513104313/https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|url-status=live}}</ref>
* <math>F_{(k+1)n} = F_{n-1} F_{kn} + F_n F_{kn+1}</math>
* <math>F_n = F_l F_{n-l+1} + F_{l-1} F_{n-l}</math>

Числа Фибоначчи представляются значениями [[континуанта|континуант]] на наборе единиц: <math>F_{n+1} = K_n(1, \dots, 1),</math> то есть:
: <math>F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
 1     &  1     & 0      & \cdots & 0 \\
-1     &  1     & 1      & \ddots & \vdots\\
 0     & -1     & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 
 0     & \cdots & 0      & -1     & 1
\end{pmatrix}</math>, а также <math>\ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1      & i      & 0      & \cdots & 0 \\
i      & 1      & i      & \ddots & \vdots\\
0      & i      & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & i \\ 
0      & \cdots & 0      & i      & 1
\end{pmatrix}</math>,
где [[Матрица (математика)|матрицы]] имеют размер <math>n \times n</math> и где ''i'' — [[мнимая единица]].

Также числа Фибоначчи можно выразить через [[многочлены Чебышёва]]:
: <math>F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right)</math>
: <math>F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right)</math>
Для любого <math>n</math> справедливо:
: <math>\begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
 1 & 0
\end{pmatrix}^n =
\begin{pmatrix}
 F_{n+1} & F_n \\
 F_n     & F_{n-1}
\end{pmatrix}</math>
Как следствие, подсчёт [[определитель|определителей]] даёт [[тождество Кассини]]<ref>{{Cite web|url=https://planetmath.org/proofofcassinisidentity|title=proof of Cassini’s identity|website=planetmath.org|access-date=2021-05-30|archive-date=2021-04-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20210415024838/https://planetmath.org/ProofOfCassinisIdentity|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/CassinisIdentity.html|title=Тождество Кассини|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509201841/https://mathworld.wolfram.com/CassinisIdentity.html|url-status=live}}</ref>:
: <math>(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2</math>.
С равенством Кассини сопряжено более общее утверждение, названное в честь [[Каталан, Эжен Шарль|Эжена Каталана]]:
: <math>F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2</math>.

Из тождества Кассини следует:
: <math>F_{n+1} = \frac{F_n + \sqrt{5 F_n^2 + 4(-1)^n}}{2}</math>.

== Свойства ==
[[Файл:Thirteen ways of arranging long and short syllables in a cadence of length six.svg|thumb|upright|Тринадцать (<math>F_7</math>) способов расположения длинных ({{oncolor||#D5271E|'''красные'''}}) и коротких слогов ({{oncolor||gray|'''серые'''}}) в {{iw|Каденция (поэзия)|каденции||Cadence (poetry)}} длины шесть: пять {{s|(<math>F_5</math>)}} заканчивается длинным слогом и восемь (<math>F_6</math>) — коротким]]
[[Файл:PascalTriangleFibanacci.svg|thumb|upright|Числа Фибоначчи — это суммы «мелких» диагоналей (показаны красным) [[Треугольник Паскаля|треугольника Паскаля]]]]
[[Файл:Fibonacci tiling of the plane and approximation to Golden Ratio.gif|thumb|Последовательные наклоны плоскости и график приближений к золотому сечению, рассчитанному путём деления каждого числа Фибоначчи на предыдущее]]
[[Наибольший общий делитель]] двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть <math>(F_m,F_n) = F_{(m,n)}</math>. Одним из следствий этого является то, что <math>F_m</math> делится на <math>F_n</math> тогда и только тогда, когда <math>m</math> делится на <math>n</math> (за исключением <math>n=2</math>). В частности, <math>F_m</math> делится на <math>F_3=2</math> (то есть является чётным) только для <math>m=3k</math>; <math>F_m</math> делится на <math>F_4=3</math> только для <math>m=4k;</math> <math>F_m</math> делится на <math>F_5=5</math> только для <math>m=5k</math> и так далее. Другое следствие: <math>F_m</math> может быть [[простое число|простым]] только для простых <math>m</math> (с единственным исключением <math>m=4</math>). Например, число <math>F_{13}=233</math> простое, и его индекс 13 также прост. Но, даже если число <math>m</math> простое, число <math>F_m</math> '''не всегда''' оказывается простым, и наименьший контрпример — <math>F_{19}=4181=37\cdot 113.</math> Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем [[возвратная последовательность|возвратной последовательности]], её [[характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности|характеристический многочлен]] <math>x^2-x-1</math> имеет корни <math>\varphi</math> и <math>-\frac{1}{\varphi}</math>.

Отношения <math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math> являются [[Цепная дробь#Подходящие дроби|подходящими дробями]] [[золотое сечение|золотого сечения]] <math>\phi\colon</math> в частности, <math>\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi.</math>

Суммы [[биномиальный коэффициент|биномиальных коэффициентов]] на диагоналях [[треугольник Паскаля|треугольника Паскаля]] являются числами Фибоначчи ввиду формулы:
: <math>F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}.</math>

Нахождение числа Фибоначчи <math>F_n</math> с помощью [[Бином Ньютона|бинома Ньютона]]:
: <math>F_n = {1 \over 2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n\choose 2k+1} 5^k</math>.

В 1964 году доказано<ref>{{cite news |title= Square Fibonacci Numbers Etc |author= J H E Cohn |journal= Fibonacci Quarterly |volume= 2 |year= 1964 |pages= 109—113 |url= http://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html |access-date= 2010-07-01 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20100711072556/http://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html |archivedate= 2010-07-11 }}</ref>, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
: <math>F_0=0^2=0,</math> <math>F_1=1^2=1,</math> <math>F_2=1^2=1,</math> <math>F_{12}=12^2=144.</math>.

[[Производящая функция последовательности|Производящей функцией]] последовательности чисел Фибоначчи является:
: <math>x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}</math>,
в частности, 1/998,999 = '''0'''.00'''1'''00'''1'''00'''2'''00'''3'''00'''5'''00'''8'''0'''13'''0'''21'''…

Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений [[многочлен]]а:
: <math>z(x,y) = 2xy^4 + x^2 y^3 - 2 x^3 y^2 - y^5 -  x^4 y + 2y</math>
на множестве неотрицательных целых чисел <math>x</math> и <math>y</math><ref>{{книга |автор=P. Ribenboim. |заглавие=The New Book of Prime Number Records |издательство=Springer |год=1996 |страницы=193 |ссылка=https://books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC&pg=PA193}}</ref>.

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа <math>n</math> называется [[Период Пизано|периодом Пизано]] и обозначается <math>\pi(n)</math>. Периоды Пизано <math>\pi(n)</math> образуют последовательность<ref>{{OEIS|A001175}}</ref>:
: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, …;
в частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом <math>\pi(10)=60</math>, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом <math>\pi(100)=300</math>, последние три цифры — с периодом <math>\pi(1000)=1500,</math> последние четыре — с периодом <math>\pi(10000)=15000,</math> последние пять — с периодом <math>\pi(100000)=150000</math> и так далее.

Натуральное число <math>N</math> является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда <math>5N^2 + 4</math> или <math>5N^2 - 4</math> является [[Квадратное число|квадратом]]<ref>{{статья|автор=Ira Gessel|заглавие=Problem H-187|ссылка=https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1972-10_10_4/page/417|том=10 |издание=Fibonacci Quarterly |страницы=417—419 |год=1972}}</ref>.

Не существует [[арифметическая прогрессия|арифметической прогрессии]] длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи<ref>{{книга |автор=[[Серпинский, Вацлав|В. Серпинский]] |заглавие=250 задач по элементарной теории чисел |часть=Задача 66 |место=М. |издательство=Просвещение |год=1968 |страниц=168 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm |archive-date=2011-06-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110630224155/http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm }}</ref>.

Число Фибоначчи <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_n</math> равно количеству [[Кортеж (математика)|кортежей]] длины <math>n</math> из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом <math>F_{n+1}</math> равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а <math>F_n</math> — начинающихся с единицы.

Произведение любых <math>n</math> подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых <math>n</math> чисел Фибоначчи.

[[Ряд (математика)|Бесконечная сумма]] чисел, обратных числам Фибоначчи, сходится, его сумма («[[обратная постоянная Фибоначчи]]») равна 3,359884…

== Вариации, обобщения, применение ==
{{catmain|Обобщение чисел Фибоначчи}}
Вариант обобщения чисел Фибоначчи — так называемые [[числа трибоначчи]].

Числа Фибоначчи являются частным случаем [[последовательность Люка|последовательностей Люка]] <math>F_n = U_n(1,-1)</math>, при этом их дополнением являются [[числа Люка]] <math>L_n = V_n(1,-1)</math>.

В связи со свойствами чисел Фибоначчи возникли такие понятия, как [[дерево Фибоначчи]], [[фибоначчиева система счисления]]; разработаны [[метод Фибоначчи с запаздываниями]] и [[Метод золотого сечения|метод Фибоначчи поиска экстремума]].

== Проявления в других сферах ==
[[Файл:FibonacciChamomile.PNG|thumb|upright|[[Пупавка красильная|Жёлтая ромашковая]] головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательные числа Фибоначчи, встречаются у самых разных растений]]
[[Файл:Fibbonachi's numbers.jpg|170px|мини|Числа Фибоначчи в интерьере [[Ломоносовский проспект (станция метро)|станции метро Ломоносовский проспект]]]]
[[Файл:X chromosome ancestral line Fibonacci sequence.svg|thumb|left|upright|Число возможных предков на линии наследования {{s|Х-хромосомы}} в данном поколении предков следует последовательности Фибоначчи<ref name="xcs">{{статья |заглавие=Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships |ссылка=http://fhtw.byu.edu/static/conf/2005/hutchison-growing-fhtw2005.pdf |издание=Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) |accessdate=2016-09-03 |язык=en |тип=journal |автор=Hutchison, Luke |месяц=9 |год=2004 |archivedate=2020-09-25 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20200925132536/https://fhtw.byu.edu/static/conf/2005/hutchison-growing-fhtw2005.pdf }}</ref>]]
[[Файл:SunflowerModel.svg|thumb|upright|Иллюстрация модели Фогеля для {{math|''n'' {{=}} 1 ... 500}}]]
Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат<ref>[http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm Fibonacci Flim-Flam]. {{Wayback|url=http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm |date=20120423115509 }}{{ref-en}}.</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20070523075937/http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html The Myth That Will Not Go Away]{{ref-en}}.</ref>.

=== В природе ===
[[Филлотаксис]] (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи, если листья (почки) на однолетнем приросте (побеге, стебле) имеют так называемое спиральное листорасположение. При этом число последовательно расположенных листьев (почек) по спирали плюс один, а также число совершенных при этом полных оборотов спирали вокруг оси однолетнего прироста (побега, стебля) выражаются обычно первыми числами Фибоначчи.

Семена [[Подсолнечник однолетний|подсолнуха]], [[сосна|сосновые]] [[шишка|шишки]], [[лепесток|лепестки]] [[цветок|цветков]], ячейки [[ананас]]а также располагаются согласно последовательности Фибоначчи<ref name="Золотое сечение в природе">[http://himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92 Золотое сечение в природе] {{Wayback|url=http://himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92 |date=20111021055148 }}.</ref><ref>[http://elementy.ru/trefil/21136 Числа Фибоначчи] {{Wayback|url=http://elementy.ru/trefil/21136 |date=20110829161241 }}.</ref><ref>[http://www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm Числа Фибоначчи] {{Wayback|url=http://www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm |date=20090218140133 }}.</ref><ref>{{Книга|автор={{nobr|Акимов О. Е.}}|заглавие=Конец науки|ссылка=http://sceptic-ratio.narod.ru/rep/kn15.htm#kn15g|archive-date=2013-10-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20131005010432/http://sceptic-ratio.narod.ru/rep/kn15.htm#kn15g}}</ref>.

=== В искусстве ===
В поэзии чаще находят отношение «золотого сечения» (золотую пропорцию), связанное через формулу Бине с числами Фибоначчи. Например, в поэме [[Шота Руставели|Шоты Руставели]] «[[Витязь в тигровой шкуре]]» и на картинах художников<ref>''Волошинов А. В.'' Математика и искусство. Москва: Просвещение, 2000. 400 с. ISBN 5-09-008033-X </ref>.

Однако числа Фибоначчи встречаются и непосредственно в поэзии и в музыке<ref>{{Cite web |url=https://kino.rambler.ru/other/44109466-matematika-v-stihah-i-muzyke/?updated |title=Математика в стихах и музыке |access-date=2020-07-24 |archive-date=2020-07-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200724220500/https://kino.rambler.ru/other/44109466-matematika-v-stihah-i-muzyke/?updated |url-status=live }}</ref>.

=== В кодировании ===
В теории кодирования предложены устойчивые так называемые «[[Фибоначчиева система счисления|коды Фибоначчи]]»<ref>''Стахов А., Слученкова А., Щербаков И.'' Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПБ. Издательство: Питер, 2006. 320 с. ISBN 5-469-01369-3</ref>, причём [[Позиционная система счисления#Нецелочисленные основания|основание]] этих кодов — иррациональное число.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Воробьёв, Николай Николаевич (математик)|Н. Н. Воробьёв]]
|заглавие = Числа Фибоначчи
|серия = [[Популярные лекции по математике]]
|издательство = Наука
|том =  39
|год = 1978
|ссылка = http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a06.htm
}}
* {{книга
|автор = [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]]
|заглавие = Возвратные последовательности
|серия = [[Популярные лекции по математике]]
|издательство = Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы
|том =  1
|год = 1950
|ссылка = http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a01.htm
}}
* {{статья
|автор = А. Н. Рудаков
|заглавие = Числа Фибоначчи и простота числа 2<sup>127</sup> − 1
|издание = [[Математическое Просвещение]], третья серия
|том =  4
|год = 2000
|ссылка = http://www.mccme.ru/free-books/matpros5.html
}}
* {{книга
|автор = [[Кнут, Дональд Эрвин|Дональд Кнут]]
|заглавие = Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы
|оригинал = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms
|ссылка = 
|издание = 3-е изд
|место =  М.
|издательство = [[Вильямс (издательство)|«Вильямс»]]
|год = 2006
|страницы = 720
|isbn = 0-201-89683-4
}}
* {{книга
 |заглавие = [[Конкретная математика|Конкретная математика. Основание информатики]] 
 |оригинал = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science
 |автор = [[Кнут, Дональд Эрвин|Дональд Кнут]], [[Роналд Грэхем]], [[Орен Паташник]] 
 |isbn = 5-94774-560-7 
 |год = 2006
 |страницы = 703 
 |место = М. 
 |издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]; [[Бином. Лаборатория знаний]]}}
* ''[[Аракелян, Грант Бабкенович|Грант Аракелян]]''. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
* {{Citation|title= Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations|first= Keith M|last = Ball |publisher= [[Princeton University Press]]| place= Princeton, NJ|year= 2003|chapter= 8: Fibonacci's Rabbits Revisited |isbn= 978-0-691-11321-0}}.
* {{Citation |title= The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics |first1= Matthias |last1= Beck |first2 = Ross |last2=Geoghegan |publisher=Springer |place=New York |year= 2010 |isbn=978-1-4419-7022-0}}.
* {{Citation |title=A Walk Through Combinatorics |edition= 3rd |first= Miklós |last= Bóna |authorlink=:en:Miklós Bóna |publisher= World Scientific|place=New Jersey |year= 2011 |isbn= 978-981-4335-23-2}}.
** {{Citation |title=A Walk Through Combinatorics |edition= 4th Revised |first= Miklós |last= Bóna |publisher= World Scientific|place=New Jersey |year= 2016 |isbn= 978-981-3148-84-0}}.
* {{Citation|first = Franz|last = Lemmermeyer|year = 2000|title = Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein|series = Springer Monographs in Mathematics|place = New York|publisher = Springer|isbn = 978-3-540-66957-9}}.
* {{книга |заглавие=The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number |ссылка=https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C |издание=First trade paperback |год=2003 |издательство={{Нп3|Broadway Books}} |место=New York City |isbn=0-7679-0816-3 |ref=Livio |язык=en |автор=[[Mario Livio|Livio, Mario]]}}
* {{Citation |title=Théorie des nombres |first= Édouard |last= Lucas |publisher= Gauthier-Villars|year= 1891|volume = 1|language = French|place = Paris|url = https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft|id = {{Google books|_hsPAAAAIAAJ|Théorie des nombres|plainurl=yes}} }}.
* {{Citation|first = Leonardo|last = Pisano|title = Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation|others = Sigler, Laurence E, trans |series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|publisher=Springer|year=2002|isbn=978-0-387-95419-6}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html#100 Первые 300 чисел Фибоначчи]{{ref-en}}
* [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html Числа Фибоначчи в природе]{{ref-en}}

{{внешние ссылки}}
{{Последовательности и ряды}}
[[Категория:Целочисленные последовательности]]
[[Категория:Золотое сечение]]
[[Категория:Числа Фибоначчи| ]]
[[Категория:История математики]]
[[Категория:Фибоначчи]]