Просмотр кода страницы Число

{{Другие значения}}
[[Файл:Venn Diagram of Numbers-ru.svg|thumb|right|356px|Иерархия чисел]]

'''Число́''' — одно из основных понятий [[Математика|математики]]<ref>{{книга |часть=Число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=5 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archive-date=2020-11-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201117081408/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu }}</ref>, используемое для [[количество|количественной]] характеристики, сравнения, [[Система счисления|нумерации]] [[Объект (философия)|объектов]] и их частей.

Письменными знаками для обозначения чисел служат [[цифра|цифры]], а также [[символ]]ы математических [[Операция (математика)|операций]]. Возникнув ещё в [[первобытное общество|первобытном обществе]] из потребностей [[Вычисление|счёта]], понятие числа с развитием [[Наука|науки]] значительно расширилось.

== Основные числовые множества ==
* '''[[Натуральное число|Натуральные числа]]''' (<math>\mathbb{N}</math>) — числа, получаемые при естественном счёте: <math>\mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, ...\right\}.</math> Иногда к множеству натуральных чисел также относят [[0 (число)|ноль]], то есть <math>\mathbb{N}=\left\{0, 1, 2, 3, ...\right\}.</math> Натуральные числа [[Замыкание (алгебра)|замкнуты]] относительно [[сложение|сложения]] и [[умножение|умножения]] (но не [[вычитание|вычитания]] или [[Деление (математика)|деления]]). Сложение и умножение натуральных чисел [[коммутативность|коммутативны]] и [[Ассоциативность (математика)|ассоциативны]], а умножение натуральных чисел [[Дистрибутивность|дистрибутивно]] относительно сложения и вычитания.

* '''[[Целое число|Целые числа]]''' ('''<math>\mathbb{Z}</math>''') — числа, получаемые объединением натуральных чисел со множеством чисел [[Противоположное число|противоположных]] натуральным и нулём, обозначаются <math>\mathbb{Z}=\left\{...-2, -1, 0, 1, 2, ...\right\}.</math> Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления); в [[Общая алгебра|общей алгебре]] такая алгебраическая структура называется [[Кольцо (математика)|кольцом]].

* '''[[Рациональное число|Рациональные числа]]''' (<math>\mathbb{Q}</math>) — числа, представимые в виде [[Дробь (математика)|дроби]] {{s|1={{mvar|m}}/{{mvar|n}} ({{mvar|n}} ≠ 0)}}, где {{mvar|m}} — целое число, а {{mvar|n}} — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме [[Деление на ноль|деления на ноль]]); в общей алгебре такая алгебраическая структура называется [[Поле (алгебра)|полем]]. Для обозначения рациональных чисел используется знак <math>\mathbb{Q}</math> (от {{lang-en|quotient}}).

* '''[[Вещественное число|Действительные (вещественные) числа]]''' (<math>\mathbb{R}</math>) — числа, представляющие собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для [[математический анализ|математического анализа]]) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается <math>\mathbb{R}</math>. Его можно рассматривать как [[Фундаментальная последовательность|пополнение]] поля рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> при помощи [[Нормирование (алгебра)#Примеры нормирований|нормы]], являющейся обычной [[Абсолютная величина|абсолютной величиной]]. Кроме рациональных чисел, <math>\mathbb{R}</math> включает множество [[иррациональное число|иррациональных чисел]] <math>\mathbb I</math>, не представимых в виде отношения целых.

* '''[[Комплексное число|Комплексные числа]]''' (<math>\mathbb{C}</math>) — числа, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде <math>z = x + iy</math>, где {{mvar|i}} — т. н. [[мнимая единица]], для которой выполняется равенство <math>i^2=-1.</math> Комплексные числа используются при решении задач [[электротехника|электротехники]], [[гидродинамика|гидродинамики]], [[картография|картографии]], [[квантовая механика|квантовой механики]], [[теория колебаний|теории колебаний]], [[теория хаоса|теории хаоса]], [[Теория упругости|теории упругости]] и многих других. Комплексные числа подразделяются на [[алгебраическое число|алгебраические]] и [[трансцендентное число|трансцендентные]]. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё [[Счётное множество|счётными]]) классами чисел, чем алгебраические, являются [[Кольцо периодов|периоды]], [[Вычислимое число|вычислимые]] и [[Арифметическое число|арифметические числа]] (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: <math>\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset  \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.</math>

== Обобщения чисел ==
'''[[Кватернион]]ы''' представляют собой разновидность [[Гиперкомплексные числа|гиперкомплексных чисел]]. Множество кватернионов обозначается <math>\mathbb{H}</math>. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не [[Коммутативность|коммутативны]] относительно умножения.

В свою очередь '''[[октонионы]]''' <math>\mathbb{O}</math>, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство [[Ассоциативность (математика)|ассоциативности]].

В отличие от октонионов, '''[[седенион]]ы''' <math>\mathbb{S}</math> не обладают свойством [[Альтернативная операция|альтернативности]], но сохраняют свойство [[степенная ассоциативность|степенной ассоциативности]].

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение: <math>\mathbb{C}\subset  \mathbb{H}\subset  \mathbb{O}\subset \mathbb{S}.</math>

'''[[p-адическое число|p-адические числа]]''' <math>\Q_p</math> можно рассматривать как элементы поля, являющегося [[Фундаментальная последовательность|пополнением]] поля рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> при помощи т. н. [[Нормирование (алгебра)|p-адического нормирования]], аналогично тому, как поле действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> определяется как его пополнение при помощи обычной [[Абсолютная величина|абсолютной величины]].

'''[[Адель (теория чисел)|Аде́ли]]''' определяются как бесконечные последовательности ''{a<sub>∞</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,…a<sub>p</sub>…}'', где ''a<sub>∞</sub>'' — любое действительное число, а ''a<sub>p</sub>'' — p-адическое, причём все ''a<sub>p</sub>'', кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют [[Кольцо (алгебра)|кольцо]]. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом ''r→{r, r,…r,…}''. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются '''[[Идель (теория чисел)|иде́лями]]'''.

Практически важным обобщением числовой системы является [[интервальная арифметика]].

== Иерархия чисел ==
Ниже представлена иерархия чисел, для множеств которых справедливо выражение <math>\mathbb{N}\subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{O} \subset \mathbb{S}</math>, с примерами:
{{Иерархия чисел}}
Данная иерархия не является полной, так как её можно расширять сколь угодно много раз (см. [[процедура Кэли — Диксона]]).

== Представление чисел в памяти компьютера ==
: ''подробнее см. [[Прямой код]], [[Дополнительный код (представление числа)]], [[Число с плавающей запятой]]''

Для представления натурального числа в [[Компьютерная память|памяти компьютера]], оно обычно переводится в [[двоичная система счисления|двоичную систему счисления]]. Для представления отрицательных чисел часто используется [[Дополнительный код (представление числа)|дополнительный код]] числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определённое число ячеек (обычно двоичных, бит — от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, результат вычислений становится неверным — происходит так называемое [[арифметическое переполнение]]. Действительные числа обычно представляются в виде [[число с плавающей запятой|чисел с плавающей запятой]]. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой [[Экспоненциальная запись|мантиссу]] числа, другая часть — [[Возведение в степень|показатель степени]], и ещё один бит используется для указания знака числа.

В [[Система компьютерной алгебры|системах компьютерной алгебры]], [[Python|Питоне]] и некоторых других языках программирования числа представлены в виде объектов, над которыми определены операции сложения, умножения, возведения в степень и обратные к ним. В таких системах возможны операции и над иррациональными, и над трансцендентными числами без потери точности. Такое представление обычно требует большего объема памяти, чем приближенное представление рациональными числами.

== История развития понятия ==
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более впоследствии усложняясь. Позже число становится основным понятием [[Математика|математики]], и потребности этой [[Наука|науки]] определяют дальнейшее развитие этого понятия.

=== Доисторические времена ===
Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например «три человека», «три топора». При этом использовались разные слова «один» «два», «три» для понятий «один человек», «два человека», «три человека» и «один топор», «два топора», «три топора». Это показывает анализ языков первобытных народностей. Такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием «много». Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как «толпа», «стадо», «куча». Примитивный счёт предметов заключался «в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона»<ref name=autogenerated2>{{Из БСЭ|заглавие=Число (матем.)}}</ref>, которым у большинства народов являлись пальцы («счёт на пальцах»). Это подтверждается лингвистическим анализом названий первых чисел. На этой ступени понятие числа становится не зависящим от качества считаемых объектов.

=== Появление письменности ===
Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением [[письменность|письменности]]. Первое время числа обозначались чёрточками на материале, служащем для записи, например [[папирус]], глиняные таблички, позже стали применяться специальные знаки для некоторых чисел (сохранившиеся до наших дней «[[римские цифры]]») и знаки для больших чисел. О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в [[Кириллическая система счисления|кириллической системе счисления]]. Когда в [[Индия|Индии]] появилась [[позиционная система счисления]], позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков ([[цифра|цифр]]), это стало большим достижением человека.

Осознание [[бесконечность|бесконечности]] натурального ряда явилось следующим важным шагом в развитии понятия натурального числа. Об этом есть упоминания в трудах [[Евклид]]а и [[Архимед]]а и других памятниках античной математики [[III век до н. э.|III века до н. э.]] В «[[Начала Евклида|Началах]]» Евклид устанавливает безграничную продолжаемость ряда [[Простое число|простых чисел]]. Здесь же Евклид определяет число как «множество, составленное из единиц»<ref name=autogenerated1>{{Cite web |url=dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/3689/%D0%A7%D0%98%D0%A1%D0%9B%D0%9E |title=Число — Философская энциклопедия |access-date=2013-06-02 |archive-date=2013-06-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130603090556/dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/3689/%D0%A7%D0%98%D0%A1%D0%9B%D0%9E |url-status=live }}</ref>. Архимед в книге «[[Псаммит]]» описывает принципы для обозначения сколь угодно больших чисел.

=== Появление арифметики ===
Со временем начинают применяться действия над числами, сначала [[сложение]] и [[вычитание]], позже [[умножение]] и [[Деление (математика)|деление]]. В результате длительного развития сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от рассматриваемых предметов, о том, что, например, два предмета и семь предметов составляют девять предметов независимо от характера этих предметов. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиваться [[арифметика]] — наука о числах. Потребность в изучении свойств чисел как таковых проявляется в самом процессе развития арифметики, становятся понятными сложные закономерности и их взаимосвязи, обусловленные наличием действий, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных чисел и так далее. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется [[теория чисел]]. Когда было замечено, что натуральные числа могут характеризовать не только количество предметов, но и ещё могут характеризовать порядок предметов, расположенных в ряд, возникает понятие порядкового числа.
Вопрос об обосновании понятия натурального числа, столь привычного и простого, долгое время в науке не ставился. Только к середине [[XIX век]]а под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа.

=== Введение отрицательных чисел ===
В [[Средние века]] были введены [[отрицательные числа]], с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток.

Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием [[алгебра|алгебры]] как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к [[Линейное уравнение|линейным уравнениям]] с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в [[VI век|VI]]—[[XI век]]ах в [[Индия|Индии]] и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время.
		 
После того, как [[Декарт]] разработал [[аналитическая геометрия|аналитическую геометрию]], позволившую рассматривать [[корни уравнения]] как [[координаты]] точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, что окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, отрицательные числа окончательно вошли в употребление в европейской науке.

=== Введение действительных чисел ===
Ещё в [[Древняя Греция|Древней Греции]] в геометрии было совершено принципиально важное открытие: не всякие точно заданные отрезки соизмеримы, другими словами, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом, например сторона [[квадрат]]а и его [[диагональ]]. В «Началах» Евклида была изложена теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. В Древней Греции умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия в геометрической форме. Хотя греки обращались с такими отношениями, как с числами, они не осознали, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число. Это было сделано в период зарождения современной математики в [[XVII век]]е при разработке методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. [[И. Ньютон]] во «Всеобщей арифметике» даёт определение понятия действительного числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Позже, в 1870-х годах, понятие действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности [[Р. Дедекинд]]ом, [[Г. Кантор]]ом и [[К. Вейерштрасс]]ом.

=== Введение комплексных чисел ===
С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине «мнимое». Уже у итальянских математиков [[XVI век]]а ([[Дж. Кардано]], [[Р. Бомбелли]]), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение [[Квадратное уравнение|квадратного уравнения]], в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось, что в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.

После установления в конце [[XVIII век]]а геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, в особенности после знаменитых работ [[Л. Эйлер]]а и [[К. Гаусс]]а, комплексные числа были признаны математиками и начали играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Значение комплексных чисел особенно возросло в [[XIX век]]е в связи с развитием теории функций комплексного переменного<ref name=autogenerated2 />.

== Число в философии ==
Философское понимание числа заложили пифагорейцы. [[Аристотель]] свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято [[Платон]]ом, а позже [[неоплатонизм|неоплатониками]]. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе) и неподлинное бытие (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Срединное положение между ними занимает число. Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Последние являются несовершенными подобиями первых.

Аристотель, наоборот, приводит целый ряд аргументов, показывающих, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к нелепостям. Арифметика выделяет в этих реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения.

Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы.

Математические определения, разработанные в XIX веке, были серьёзно пересмотрены в начале XX века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математических подхода: логицизм, интуиционизм и формализм.

Философскую базу логицизма разработал Рассел. Он полагал, что истинность математических аксиом неочевидна. Истинность обнаруживается сведением к наиболее простым фактам. Отражением таких фактов Рассел считал аксиомы логики, которые он положил в основу определения числа. Важнейшим понятием у него является понятие класса. Натуральное число n есть класс всех классов, содержащих n элементов. [[Дробь (математика)|Дробь]] — это уже не класс, а отношение классов. [[Интуиционизм|Интуиционист]] Брауэр имел противоположную точку зрения: логику он считал лишь абстракцией от математики, рассматривал натуральный ряд чисел как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности. Гильберт, главный представитель формальной школы, видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в пределах которой можно бы было формально обосновать любое математическое понятие. В разработанной им аксиоматической теории действительных чисел представление о числе лишается всякой глубины и сводится лишь к графическому символу, подставляемому по определённым правилам в формулы теории<ref name=autogenerated1 />.

== См. также ==
{{кол|3}}
* [[Системы наименования чисел]]
* [[Обратное число]]
* [[Псевдослучайное число]]
* [[Алгебраические числа]]
* [[Трансфинитное число]]
* [[Нумерология]]
* [[Арифметика]]
* Гипердействительное или [[гипервещественное число]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{викисловарь}}
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Матвиевская Г. П. |заглавие=Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке
  |место=Ташкент |издательство=ФАН |год=1967 |страниц=344 |ref=Матвиевская Г. П.}} Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
* {{книга |автор = Меннингер К. |заглавие = История цифр. Числа, символы, слова |место = М. |издательство = ЗАО [[Центрполиграф]] |год = 2011 |страниц = 543 |isbn = 9785952449787 |ref=Меннингер}}
* {{книга |автор=[[Понтрягин Л. С.]] |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm  |заглавие=Обобщения чисел |место=М. |издательство=Наука |год=1986 |страниц=120 |серия=[[Библиотечка «Квант»]] |ref = Понтрягин }}
* {{Книга |автор = Ifrah G. |заглавие = The Universal History of Numbers  |год = 2000 |издательство = John Wiley & Sons |allpages = 635 |isbn = 0471393401  |ref = Ifrah }}{{ref-en}}

== Ссылки ==
* [http://www.vokrugsveta.ru/quiz/?item_id=310 Вокруг света: Какое число самое большое?]
* [http://gramota.ru/biblio/magazines/nauka_i_zhizn/28_666 Грамота.ру: История происхождения слов «число» и «цифра», статья из журнала «Наука и жизнь»]
* {{книга |автор=Кириллов А. А. |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/chislo.htm   |заглавие=Что такое число?  
  |место=М. |год=1993}}

{{ВС}}
{{Числа}}
{{Числа с собственными именами|nocat=1}}

[[Категория:Числа| ]]
[[Категория:Математические объекты]]
{{спам-ссылки|1=
* dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/3689/%D0%A7%D0%98%D0%A1%D0%9B%D0%9E}}