Просмотр кода страницы Шестидесятеричная система счисления

{{Системы счисления}}
'''Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ния''' — [[Позиционная система счисления|позиционная]] [[система счисления]] по целочисленному основанию [[60 (число)|60]]. Изобретена [[шумер]]ами в III тысячелетии до н. э., использовалась в древние времена на Ближнем Востоке.

== Исторический очерк ==
С одной стороны, шестидесятеричная система удобна тем, что основание системы делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. С другой стороны, наличие 60 цифр создаёт многочисленные неудобства (скажем, таблица умножения насчитывала 1770 строк на глиняных табличках), так что использовавшим эту систему финикийским и [[Вавилонская математика|вавилонским математикам]] пришлось разработать специальную технику записи цифр — число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной{{sfn |История математики, том I|1970|с=36—37}}.

Происхождение шестидесятеричной системы неясно. По одной гипотезе ([[Веселовский, Иван Николаевич|И. Н. Веселовский]]), она связана с применением счёта на пальцах{{sfn |Ван дер Варден|1959|loc=Комментарии И. Н. Веселовского, стр. 437-438. }}. Существует также гипотеза [[Нейгебауэр, Отто|О. Нейгебауэра]] (1927)<ref>{{книга |автор=Г. И. Глейзер |заглавие=История математики в школе |место=М. |издательство=Просвещение |год=1964 |страниц=376 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm |archive-date=2017-12-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171204234104/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm }}</ref> о том, что после [[Аккад|аккадского]] завоевания [[шумер]]ского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: [[шекель]] (сикль) и [[Мина (единица измерения)|мина]], причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел. И. Н. Веселовский выступил с критикой этой гипотезы, отметив, что шестидесятеричная система существовала у шумеров задолго до аккадского завоевания, ещё в IV тысячелетии до н. э.<ref>{{статья |автор=[[Веселовский, Иван Николаевич|Веселовский И. Н.]] |заглавие=Вавилонская математика |издание=Труды Института истории естествознания и техники |выпуск=5 |издательство=Академия наук СССР |место=М. |год=1955 |страницы=241—303. }}</ref> Другие историки оспаривают это утверждение Веселовского и на основании археологических находок доказывают, что исконная числовая система шумеров (в IV тысячелетии до н. э.) была десятичной<ref>{{книга |автор=Виолант-и-Хольц, Альберт. |заглавие=Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=160 |isbn=978-5-9774-0625-3 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 9 |страницы=23—24 }}</ref>. Французский историк {{нп5|Ифра, Жорж|Жорж Ифра||Georges Ifrah}} в своей классической монографии «Всеобщая история чисел» (1985) аргументировал мнение, близкое к гипотезе Веселовского: шестидесятеричная система есть результат наложения двух более древних систем — двенадцатеричной и пятеричной. Археологические находки показали, что обе эти системы действительно реально использовались, а шумерские названия чисел 6, 7 и 9 обнаруживают следы пятеричного счёта, видимо, наиболее древнего<ref>{{книга |автор=Торра, Бизенц. |заглавие= От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=160 |isbn=978-5-9774-0710-6 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 15 |страницы=17—18 }}</ref>.

Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим [[астроном]]ам. В более позднее время шестидесятеричная система использовалась [[араб]]ами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Эти дроби использовались для записи астрономических координат — углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут и в одной минуте 60 секунд.

[[Аль-Бируни]] был первым, кто разделил час на шестидесятеричные части: минуты, секунды, трети и четверти в 1000 году<ref name="al-Biruni">{{citation |author=Аль-Бируни |title=The Chronology of Ancient Nations |pages=147–149 |year=1879 |url=https://books.google.com/books?id=pFIEAAAAIAAJ&pg=PA147 |author-link=Аль-Бируни |translator-last=Sachau |translator-first=C. Edward |orig-year=1000}}</ref>. Около 1235 года [[Иоанн Сакробоско]] продолжил эту традицию<ref>{{Книга|автор=C. Philipp E. Nothaft|заглавие=Scandalous error: calendar reform and calendrical astronomy in medieval Europe|год=2018|место=Oxford|издательство=Oxford university press|isbn=978-0-19-879955-9}}</ref>.
{{начало цитаты}}
Огонь — {{дробь|1|60}} часть [[Геенна|геенны огненной]]. [[Финики|Финиковый нектар]] — {{дробь|1|60}} часть [[Манна небесная|манны небесной]]. [[Шаббат|Суббота]] — {{дробь|1|60}} часть [[Рай|рая]]. Сон — {{дробь|1|60}} часть смерти. Сновидение — {{дробь|1|60}} часть пророчества.
{{oq|he|{{lang-he2|אש אחד מששים לגיהנם דבש אחד מששים למן שבת אחד מששים לעולם הבא שינה אחד מששים למיתה חלום אחד מששים לנבואה}}}}
{{конец цитаты|источник=Вавилонский [[Талмуд]], [[Брахот]] 57 б}}
В [[XIII век]]е влиятельный ректор [[Парижский университет|Парижского университета]] Пётр Филомен (он же Petrus de Dacia<ref>''Smith D. E.'' [https://books.google.ru/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA238&lpg=PA238&dq=Petrus+de+Dacia+mathematician&source=bl&ots=4VK-QlwIUo&sig=xZiL7BCvC2pSkM-4AGkU7kr-oM0&hl=ru&ei=TuL8TOOTK4ntOZ6fzdQK&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEsQ6AEwBg#v=onepage&q=Petrus%20de%20Dacia%20mathematician&f=false History of mathematics], p. 238.</ref>) выступил за повсеместное внедрение шестидесятеричной системы в Европе. В [[XV век]]е с аналогичным призывом выступил Иоганн Гмунден, профессор математики [[Венский университет|Венского университета]]. Обе инициативы остались без последствий.

Начиная с XVI века, [[Десятичная дробь|десятичные дроби]] в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас шестидесятеричную систему применяют при измерении [[Градус, минута, секунда|углов]] и [[Время суток|времени]]. Причём за пределами Европы, в [[КНР]], [[система гань-чжи|шестидесятеричная система]] иногда используется не только для секунд и минут, но и для лет. Так, в пятом издании (2005 год) популярного в КНР словаря {{нп5|Сяньдай Ханьюй Цыдянь||en|Xiandai Hanyu Cidian}} приведена таблица правителей с указанием года как по десятичной системе, так и иероглифического обозначения номера года в шестидесятилетнем цикле<ref>{{книга|заглавие=现代汉语词典 (Сяньдай Ханьюй Цыдянь)|издательство=[[Шану иньшугуань]]|место=[[Пекин]]|год=2010|издание=5-е изд. (2005)|isbn=9787100043854|страницы=1837-1854}}. На странице 1837 приведено описание таблицы правителей и таблица соответствия номера года в шестидесятилетнем цикле его иероглифическому (два иероглифа) обозначению в словаре.</ref>.

== Структура шестидесятеричного числа ==
Первый шестидесятеричный знак после запятой называется ''минута'' (&prime;), второй — ''секунда'' (&Prime;). Ранее использовались названия ''терция'' (‴) для третьего знака, ''кварта'' для четвёртого знака, ''квинта'' для пятого знака {{nobr|и т. д.}} Название «минута» происходит от того же слова, что и «минимум» — обозначает «малая часть», а «секунда», «терция» и остальные являются порядковыми — «второе» деление на части, «третье» деление на части {{nobr|и т. п.}} Частей традиционно берётся по 60.

== Примеры использования ==
* 1 [[радиан]] &asymp; 57°17&prime;45&Prime; = <math>\left ( 57 + \frac{17}{60} +\frac{45}{60^2} \right )^\circ</math>.
* [[Коперник, Николай|Николай Коперник]] в знаменитой работе «[[О вращениях небесных сфер]]» даёт значение [[сидерический год|сидерического года]] 365;15&prime;24&Prime;10‴ дней, приблизительно 365,25671 дней.

== Вавилонская система счисления ==
[[Вавилон]]ская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: стоячий клин [[Файл:Babylonian digit 1.svg]] для обозначения единиц и лежачий клин [[Файл:Babylonian digit 10.svg]] для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда.
[[Файл:Babylonian numerals.svg|470px|center]]
Таким образом, вавилонские цифры были составными и записывались как числа в десятеричной не позиционной системе счисления. Аналогичный принцип использовали индейцы Майя в своей [[Цифры майя|двадцатеричной позиционной системе счисления]]. Для понимания записи числа между вавилонскими цифрами необходимы «пробелы».
: [[Файл:Babylonian digit 1.svg]][[Файл:Babylonian digit 2.svg]] = 62, [[Файл:Babylonian digit 2.svg]][[Файл:Babylonian digit 2.svg]] = 122 и [[Файл:Babylonian digit 2.svg]][[Файл:Babylonian digit 9.svg]] = 129.

Система использовалась для записи как целых, так и дробных чисел.
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|Вавилонская табличка с числом {{nowrap|1;24,51,10}} — наиболее точным приближением [[Квадратный корень из 2|квадратного корня из двух]] четырьмя шестидесятеричными цифрами]]
Вначале нуля не было, что приводило к неоднозначной записи чисел, и об их значении приходилось догадываться по контексту. Позже (между VI и III веком до нашей эры) появилось обозначение «нуля» [[Файл:Babylonian digit 0.svg]], но только для обозначения пустых шестидесятеричных разрядов в середине числа<ref name="lukped">{{Cite web |url=http://lukped.narod.ru/internet/binary/theor.htm |title=Знакомство с системами счисления. |accessdate=2009-10-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170601090102/http://lukped.narod.ru/internet/binary/theor.htm |archivedate=2017-06-01 |deadlink=yes }}</ref><ref>{{Книга|автор = Robert Kaplan|заглавие = The Nothing That Is: A Natural History of Zero|ссылка = https://archive.org/details/nothingthatis00robe|ответственный = |издание = |место = |издательство = Oxford University Press|год = 2000|страницы = [https://archive.org/details/nothingthatis00robe/page/12 12]|страниц = |isbn = 0-19-512842-7}}</ref>. Заключительные нули числа не писались, и запись чисел оставалась неоднозначной.

== Примечания ==
{{список примечаний}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Ван дер Варден |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции |место=М. |год=1959 |страниц=456 |ответственный=Пер. с голл. И. Н. Веселовского |ref=Ван дер Варден }}
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
  |заглавие=История математики  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=I |ref=История математики, том I }}
{{ВС}}
[[Категория:Системы счисления]]
[[Категория:Наука в Древней Месопотамии]]