Просмотр кода страницы Эйлерова характеристика


'''Эйлерова характеристика''' или '''характеристика Эйлера — Пуанкаре''' — целочисленная характеристика [[топологическое пространство|топологического пространства]].
Эйлерова характеристика пространства <math>X</math> обычно обозначается <math>\chi(X)</math>.
Она находит применения в классификации топологических пространств, кристаллографии и алгоритмах компьютерной графики.

== Определения ==
* Для конечного [[клеточный комплекс|клеточного комплекса]] (в частности, для конечного [[симплициальный комплекс|симплициального комплекса]]) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма
*: <math>\chi=k_0-k_1+k_2-...,</math>
: где <math>k_i</math> обозначает число клеток размерности <math>i</math>.

* Эйлерова характеристика произвольного [[топологическое пространство|топологического пространства]] может быть определена через [[число Бетти|числа Бетти]] <math>b_n</math> как знакопеременная сумма:
*: <math>\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...</math>
: Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.
:* Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

== Свойства ==
* Эйлерова характеристика является [[гомотопический инвариант|гомотопическим инвариантом]]; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
** В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
* Эйлерова характеристика любого [[Замкнутое многообразие|замкнутого многообразия]] нечётной размерности равна нулю<ref>Richeson 2008, p. 261</ref>.
* Эйлерова характеристика [[Произведение топологических пространств|произведения]] топологических пространств ''M'' и ''N'' равна произведению их эйлеровых характеристик:
: <math>\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N).</math>

=== Эйлерова характеристика полиэдров ===
* Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле <math>\chi = \Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B},</math> где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного [[многогранник]]а верна ''[[Теорема Эйлера для многогранников|формула Эйлера]]'':
*: <math>\Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B} = \chi(S^2) = 2.</math>
: Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

=== Формула Гаусса — Бонне ===
Для [[компактное пространство|компактного]] двумерного ориентированного [[риманово многообразие|риманова многообразия]] (поверхности) <math>S</math> без границы существует
[[формула Гаусса — Бонне]], связывающая эйлерову характеристику <math>\chi(S)</math> с [[гауссова кривизна|гауссовой кривизной]] <math>K</math> многообразия:

: <math>\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),</math>
где <math>d\sigma</math> — элемент площади поверхности <math>S</math>.

* Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
* Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное [[риманово многообразие]], известная, как '''теорема Гаусса — Бонне — Черна''' или [[обобщённая формула Гаусса — Бонне]].
* Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме [[дефект полиэдра|дефектов полиэдра]], делённой на <math>2\pi</math><ref>{{Cite web |url=http://www.viz.tamu.edu/faculty/ergun/research/topology/papers/gmp06a.pdf |title=Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem |access-date=2011-01-19 |archive-date=2010-06-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100628223845/http://www.viz.tamu.edu/faculty/ergun/research/topology/papers/gmp06a.pdf |url-status=live }}</ref>.
* Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

== Ориентируемые и неориентируемые поверхности ==
Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её [[Род поверхности|родом]] ''g'' (числом [[Ручка (топология)|ручек]], то есть числом [[тор (поверхность)|торов]] в [[связная сумма|связной сумме]], представляющей эту поверхность) соотношением
: <math>\chi = 2 - 2g.\ </math>

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её ''неориентируемым родом'' ''k'' (числом [[Проективная плоскость|проективных плоскостей]] в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
: <math>\chi = 2 - k.\ </math>

== Величина эйлеровой характеристики ==
{| class="wikitable"
|-
!Название
!Вид
!Эйлерова характеристика
|-
|[[Отрезок]]
|[[Файл:Complete graph K2.svg|100px]]
|'''1'''
|-
|[[Окружность]]
|[[Файл:Cirklo.svg|100px]]
|'''0'''
|-
|[[Круг]]
|[[Файл:Disc Plain grey.svg|100px]]
|'''1'''
|-
|[[сфера]]
|[[Файл:Sphere-wireframe.png|100px]]
|'''2'''
|-
|[[Тор (поверхность)|Тор]] <br> (произведение двух окружностей)
|[[Файл:Torus illustration.png|100px]]
|'''0'''
|-
|Двойной тор
|[[Файл:Double torus illustration.png|100px]]
|'''−2'''
|-
|Тройной тор
|[[Файл:Triple torus illustration.png|100px]]
|'''−4'''
|-
|[[Вещественная проективная плоскость]]
|[[Файл:Steiners Roman.png|100px]]
|'''1'''
|-
|[[Лента Мёбиуса]]
|[[Файл:MobiusStrip-01.png|100px]]
|'''0'''
|-
|[[Бутылка Клейна]]
|[[Файл:KleinBottle-01.png|100px]]
|'''0'''
|-
|Две сферы (несвязные)
|[[Файл:Sphere-wireframe.png|100px]][[Файл:Sphere-wireframe.png|100px]]
|2 + 2 = '''4'''
|-
|Три сферы
|[[Файл:Sphere-wireframe.png|100px]][[Файл:Sphere-wireframe.png|100px]][[Файл:Sphere-wireframe.png|100px]]
|2 + 2 + 2 = '''6'''
|}

== История ==
В [[1752 год]]у [[Эйлер, Леонард|Эйлер]]<ref>''L. Euler'' [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E231.pdf Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita] {{Wayback|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E231.pdf |date=20121222081635 }}. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии [[6 апреля]] [[1752 год]]а. Opera Omnia 1(26): 94-108.
* Перевод на английский язык: ''Leonhard Euler'' [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E231.pdf Proof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed] {{Wayback|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E231.pdf |date=20110623192732 }}. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)</ref> опубликовал формулу, связывающую между собой количество вершин, граней и рёбер трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде
: <math>S+H=A+2,</math>
где ''S'' — количество вершин, ''H'' — количество граней, ''A'' — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях [[Декарт, Рене|Рене Декарта]], опубликованных в XVIII в.
<!-- В книге «Многогранники, графы, оптимизация» на стр. 39 ошибка, поскольку Лейбниц умер в 1716 и не мог опубликовать книгу в 1760 г. Либо публиковал Эйлер, либо Лейбниц опубликовал в 1706 г.-->

В 1812 году [[Симон Люилье]] распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое <math>(-2g),</math> где <math>g</math> — количество дырок («[[род поверхности]]»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: <math>16+16=32+2-2\cdot 1.</math>

В 1899 году [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]]<ref>H. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.</ref> обобщил эту формулу на случай ''N''-мерного многогранника:

: <math>\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},</math>

где <math>A_i</math> — количество ''i''-мерных граней ''N''-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности ''N'', формулу можно записать в более простом виде:

: <math>\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.</math>

== Вариации и обобщения ==
* [[Уравнения Дена — Сомервиля]] — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

== См. также ==
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья |автор=Долбилин Н. |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/kv0501dolbilin.pdf |заглавие=Три теоремы о выпуклых многогранниках |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=5 |год=2001 |страницы=7—12}}
* {{книга |автор=[[Лакатос, Имре|Лакатос И.]] |заглавие=Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы |ответственный=Пер. И. Н. Веселовского |место=М. |издательство=Наука |год=1967}}
* {{книга |автор=Шашкин Ю. А. |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a58.htm |заглавие=Эйлерова характеристика |серия=[[Популярные лекции по математике]] |том=58 |место=М. |издательство=Наука |год=1984}}
* Ю. М. Бурман [http://www.mathnet.ru/present5189 Эйлерова характеристика] Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна

{{rq|topic=математика|refless}}
{{ВС}}
{{Вклад Леонарда Эйлера в науку}}

[[Категория:Алгебраическая топология]]
[[Категория:Топологическая теория графов]]
[[Категория:Комбинаторика многогранников]]
[[Категория:Топологические инварианты]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]