Просмотр кода страницы Эквант

[[Файл:Ptolemaic elements.svg|250px|right|thumb|Эквант (жирная точка); ниже его — центр [[деферент]]а (крестик) и Земля]]

'''Эква́нт''' ({{lang-lat|punctum aequans}}; от {{lang-lat2|aequo}} «уравниваю», досл.«точка уравнивания») — понятие, используемое в древних и средневековых теориях движения планет, в частности, в [[геоцентризм|геоцентрической системе мира]] [[Клавдий Птолемей|Птолемея]]. Согласно этим теориям, эквант — это некая точка, из которой движение планеты выглядит равномерным (откуда название), хотя и не совпадающая с [[Геометрический центр|геометрическим центром]] траектории планеты.

== Зодиакальное неравенство в движении Солнца, Луны и планет ==
[[Файл:Mars_arks.png|thumb|right|300px|Дуги попятного движения Марса в эпоху Клавдия Птолемея (152—165 гг. н. э.)]]

Наблюдательным основанием для введения экванта в древние планетные теории является зодиакальное неравенство в движении небесных тел. У Солнца и Луны оно проявляется в неравномерности их движения по эклиптике (в случае Солнца следствием этого является неравенство времён года). У планет зодиакальное неравенство проявляется в том, что длины дуг попятного движения планеты и их угловое расстояние друг от друга зависят от того, на какой знак зодиака они приходятся. Это неравенство наиболее заметно у Марса: в тех знаках зодиака, в которых продолжительность попятных движений является наименьшей, точки на небе, соответствующие середине попятных движений (приближенно совпадающие с противостояниями планет), оказываются разнесенными на наибольшее расстояние друг от друга<ref>Evans 1984, 1998.</ref>.

Согласно современной теории движения планет, зодиакальное неравенство вызывается тем, что движение планет (в том числе Земли) является неравномерным и происходит не по кругу, а по эллипсу (II и I [[законы Кеплера]], соответственно). Однако если [[эксцентриситет]] орбиты планеты очень мал, то форма её орбиты неотличима от окружности, а скорость движения планеты по орбите практически не отличается от рассчитываемой на основании теории экванта<ref>Brenke 1936, Evans 1988, Ньютон 1985.</ref>.

== Птолемеева теория бисекции эксцентриситета ==
{{якорь|Рисунок 1}}[[Файл:Equant1.png|thumb|left|250px|Рисунок 1. Теория бисекции эксцентриситета. Точки на окружности показывают положения планеты через равные промежутки времени. O — центр деферента, T — Земля, E — точка экванта, A — апогей деферента, P — перигей деферента, S — планета, C — средняя планета (центр эпицикла)]]

Астрономы древности и средневековья исходили из принципа, что траектории планет должны являться суперпозицией равномерных круговых движений. Для объяснения попятных движений планет они предполагали, что каждая планета движется по малой окружности ([[эпицикл]]у), центр которой (средняя планета), в свою очередь, перемещается вокруг Земли по большой окружности ([[деферент]]у). Необходимость объяснения зодиакального неравенства заставила [[Клавдий Птолемей|Клавдия Птолемея]] (II век н. э.) предположить, что движение средней планеты выглядит равномерным при наблюдении не из центра деферента, но некоторой точки, которая и называется эквантом, или уравнивающей точкой. При этом Земля также находится не в центре деферента, а смещена в сторону симметрично точке экванта относительно центра деферента (см. рисунок). Эта модель называется теорией бисекции эксцентриситета, поскольку в ней отрезок, соединяющий Землю и эквант, делится центром деферента на две равные части. В теории Птолемея [[угловая скорость]] центра [[эпицикл]]а относительно экванта неизменна, а при наблюдении из центра деферента угловая скорость центра эпицикла при движении планеты меняется. Также не остается неизменной и линейная скорость средней планеты: чем ближе к Земле, тем она больше. Расстояние <math>r</math> и линейная скорость <math>v</math> средней планеты в апогее и перигее связаны между собой как <math>r_a v_a=r_p v_p</math>, где индексы <math>a</math> и <math>p</math> относятся к апогею и перигею соответственно.

Параметры теории экванта Птолемей для каждой из планет определил исходя из астрономических наблюдений.
Умелый подбор положения экванта позволил Птолемею довольно точно смоделировать видимое неравномерное движение планет.

Большинство историков астрономии приписывает авторство теории бисекции эксцентриситета и само введение понятия экванта самому Птолемею<ref>Различные предположения о том, каким мог быть путь Птолемея к этой теории, изложены в работах Evans (1984, 1998), Swerdlow (2004), Jones (2004), Duke (2005b).</ref>. Однако в последнее время появились основания считать, что основы этой теории были заложены древнегреческими астрономами предшествующего периода (см. ниже).

== Теория экванта у средневековых мусульманских астрономов ==
[[Файл:Urdi.png|thumb|right|150px|Движение планеты согласно теории ал-Урди. Положение планеты задается шарниром TUDCS]]

Концепция экванта была удачным, хотя и искусственным, математическим приёмом, однако она резко диссонировала с общей идеологией античной астрономии, согласно которой все движения на небесной сфере являются равномерными и круговыми. В средние века была отмечена ещё одна трудность, имеющая чисто физический характер: движение средней планеты по деференту представлялось как вращение некоторой материальной сферы (в которую была встроена ещё одна, малая сфера, вращение которой представляло движение планеты по эпициклу). Однако, как отмечали многие средневековые исламские астрономы (начиная с [[ибн ал-Хайсам]]а, XI век), совершенно невозможно представить себе вращение твердого тела вокруг оси, проходящей через её центр, чтобы скорость вращения была неизменной относительно некоторой точки за пределами оси вращения.

С целью преодоления этой трудности астрономами стран ислама были разработаны ряд моделей движения планет, альтернативных птолемеевской (хотя они также были геоцентрическими). Первые из них были разработаны во второй половине XIII века астрономами знаменитой [[Марагинская обсерватория|Марагинской обсерватории]], благодаря чему и вся деятельность по созданию нептолемеевских планетных теорий иногда называется [[Астрономия исламского средневековья#«Марагинская революция»|Марагинской революцией]]. В числе этих астрономов были организатор и первый директор этой обсерватории [[ат-Туси, Насир ад-Дин|Насир ад-Дин ат-Туси]], его ученик [[аш-Ширази|Кутб ад-Дин аш-Ширази]], главный конструктор приборов этой обсерватории [[Муаййад ад-Дин ал-Урди]] и другие. Эту деятельность продолжили восточные астрономы более позднего времени: [[ибн аш-Шатир|Мухаммад ибн аш-Шатир]] (Сирия, XIV в.), [[ал-Хафри|Мухаммад ал-Хафри]] (Иран, XVI в.) и др.

Согласно этим теориям, движение относительно точки, соответствовавшей птолемеевскому экванту, выглядело равномерным, но вместо неравномерного движения по одной окружности (как это имело место у Птолемея) средняя планета двигалась по комбинации равномерных движений по нескольким окружностям.<ref>Рожанская 1976 (с. 268—286); Kennedy 1966; Saliba 1991, 1996.</ref> Поскольку каждое из этих движений было равномерным, оно моделировалось вращением твёрдых сфер, что устраняло противоречие математической теории планет с её физическим фундаментом. С другой стороны, эти теории сохраняли точность теории Птолемея, поскольку при наблюдении из экванта движение по-прежнему выглядело равномерным, а результирующая пространственная траектория средней планеты практически не отличалась от окружности.

Так, в теории [[Ал-Урди, Муаййад ад-Дин|ал-Урди]] (принятой также [[аш-Ширази]]) центром деферента планеты является точка U, расположенная посередине между птолемеевым центром деферента O и эквантом E. По деференту равномерно движется точка D, являющаяся центром вспомогательного эпицикла, по которому равномерно движется точка C, являющаяся центром основного эпицикла планеты, то есть средней планетой. Сама планета S движется по второму, основному эпициклу. Скорости движения по деференту и малому эпициклу подобраны таким образом, чтобы четырёхугольник UECD оставался равнобедренной трапецией. Поскольку центр малого эпицикла D движется по деференту равномерно, угол между отрезком CE (соединяющим среднюю планету и эквант) и линией апсид ТО также изменяется равномерно, то есть движение средней планеты из точки экванта выглядит равномерным. Траектория средней планеты C слегка отличается от окружности, но это отличие настолько мало, что отличие положения планеты в теории ал-Урди от теории Птолемея заведомо не может быть обнаружено при наблюдениях невооруженным взглядом.

== Теория экванта у астрономов Нового времени ==
[[Файл:Copernicus equant.png|thumb|left|250px|Теория движения внешних планет у Коперника. S — Солнце, P — планета, E — точка экванта, U — центр орбиты планеты. Четырёхугольник UEDP оставался равнобедренной трапецией. Движение планеты из точки экванта выглядит равномерным (угол между отрезком EP и линией апсид SО изменяется равномерно)]]

Как полагают некоторые историки науки, именно желание избавиться от неравномерности в движении планет, связанной с эквантом, побудило [[Николай Коперник|Николая Коперника]] заняться разработкой [[гелиоцентрическая система мира|гелиоцентрической системы мира]]<ref>Swerdlow 1973.</ref>. Для объяснения зодиакального неравенства он применял те же геометрические построения, что и средневековые исламские астрономы<ref>Hartner 1973, Swerdlow 1973, Guessoum 2008.</ref>. Так, его теория движения внешних планет (изложенная в книге «''[[О вращениях небесных сфер]]''») идентична теории движения средней планеты в модели [[Ал-Урди, Муаййад ад-Дин|ал-Урди]], с тем отличием, что движение происходит вокруг Солнца, а не Земли. Не исключено, что Коперник знал об этих моделях, хотя возможные пути проникновения этой информации в Европу пока неясны<ref>Возможно, промежуточной инстанцией были ученые Византии, некоторые из которых изучали астрономию в исламских странах. См. Ragep 2007, а также [http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.1.html G. Saliba, Arabic/Islamic Science And Renaissance Science in Italy.] {{Wayback|url=http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.1.html |date=20080115070924 }}</ref>.

Учёные XVI века считали главным достижением Коперника не гелиоцентрическую систему мира, а строгое соблюдение принципа равномерных круговых движений<ref>Westman 1975.</ref>. Тем не менее, рассматривались и иные способы объяснения зодиакального неравенства. Так, астрономы, работавшие в обсерватории [[Тихо Браге]] (особенно [[Лонгомонтан, Христиан-Северин|Лонгомонтан]]) отметили, что высокой точности определения долготы планеты можно достичь, если предположить, что расстояния от Земли и от экванта до центра деферанта не равны друг другу<ref>Evans 1998, pp. 431—433.</ref>, а относятся как 5/3.

Дальнейшее развитие планетной теории связано с именем [[Иоганн Кеплер|Иоганна Кеплера]]. На ранних стадиях работы над обработкой наблюдений [[Тихо Браге]] он рассматривал разные варианты теории экванта (бисекцию эксцентриситета, теорию Браге-Лонгомонтана), но не для движения центров планетных эпициклов вокруг Земли, а для движения планет и Земли вокруг Солнца. Однако в конечном итоге он пришел к своим знаменитым [[законы Кеплера|законам движения планет]], дав тем самым окончательное решение проблемы зодиакального неравенства. Впрочем, достижения Кеплера не сразу стали известными всем астрономам, и многие из них по-прежнему рассматривали теорию экванта. Это относится, например, к [[Исаак Ньютон|Исааку Ньютону]] на ранних стадиях его работы над планетной теорией<ref>Whiteside 1964.</ref>.

== Теория движения планет у средневековых индийских астрономов и генезис теории экванта ==
[[Файл:Concentric-equant.png|thumb|right|250px|Концентрический эквант. E — точка экванта, T — Земля. Точки на окружности показывают положение светила через равные промежутки времени]]

Основная линия развития астрономии проходит от древних греков через средневековых астрономов ислама к европейским астрономам Нового времени. Параллельно ей происходило развитие теории движения планет в средневековой Индии. Величайшим из индийских астрономов был [[Ариабхата]] (V век н. э.). Для вычисления положения планет на небе он использовал своеобразную модификацию теории эпициклов. Как впервые показал [[Варден, Бартель Леендерт ван дер|Бартель ван дер Варден]], эта теория математически эквивалентна птолемеевой теории бисекции эксцентриситета. Эта точка зрения получила поддержку в трудах ряда современных историков науки<ref>Thurston 1992, Duke 2005a.</ref>. С другой стороны, при моделировании движения Солнца и Луны индийские астрономы использовали теорию, эквивалентную теории концентрического экванта, в которой Земля находится в геометрическом центре орбиты светила, но скорость движения светила меняется таким образом, что его движение выглядит равномерным при наблюдении из точки, смещенной относительно его центра, то есть экванта<ref>Pingree 1974, Duke 2008.</ref>. Как полагают большинство современных исследователей, индийская астрономия непосредственно базируется на греческой астрономии доптолемеева (и даже догиппархова) периода<ref>Нейгебауер 1968, с. 165—174; Pingree 1971, 1976; van der Waerden 1987; Duke 2005a.</ref>, поэтому выглядит обоснованным предположение, что эти теории в конечном итоге базируются на не дошедших до нас теориях греческих астрономов<ref>Duke 2008.</ref>. Если это так, то представляется вполне естественной точка зрения [[Варден, Бартель Леендерт ван дер|ван дер Вардена]], что понятие об экванте и теория бисекции эксцентриситета являются достижениями не Птолемея, а астрономов более раннего времени<ref>В работе Rawlins (1987) высказывается предположение, что истинными авторами теории экванта были древнегреческие сторонники [[гелиоцентрическая система мира|гелиоцентрической системы мира]].</ref>.

== Уравнение движения точки по теории экванта ==
При наблюдении из центра деферента угол α между центром эпицикла и эквантом (угол EOC на [[#Рисунок 1|рисунке 1]]) зависит от времени ''t'' согласно формуле
: <math> \alpha(t) = \Omega t - \arcsin\left(\frac{E}{R} \sin(\Omega t) \right) </math>
где Ω — средняя угловая скорость планеты, ''E'' — расстояние от экванта до центра деферента, и ''R'' — радиус деферента<ref>{{Cite web |url=http://www.mathpages.com/home/kmath639/kmath639.htm |title=Eccentrics, deferents, epicycles and equants (Mathpages) |access-date=2017-07-24 |archive-date=2012-10-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121010084031/http://www.mathpages.com/home/kmath639/kmath639.htm |url-status=live }}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Астрономия Древней Греции]]
* [[Геоцентрическая система мира]]
* [[Гелиоцентрическая система мира]]
* [[Деферент]]
* [[Эпицикл]]
* [[Птолемей, Клавдий]]

== Литература ==
* {{книга |автор=Еремеева А.&nbsp;И., Цицин Ф.&nbsp;А.
  |заглавие=История астрономии
  |место=М. |издательство=Изд-во МГУ |год=1989  |ref= Еремеева, Цицин
  }}
* {{книга
  |автор= Идельсон Н.&nbsp;И.
  |заглавие=Этюды по истории небесной механики
  |ссылка=
  |место=М. 
  |издательство=Наука
  |год=1975
  |ref=Идельсон
  }}
* {{книга |автор=Нейгебауер O.
  |заглавие=Точные науки в древности |ссылка=
  |место=М. |издательство=Наука |год=1968  |ref=Нейгебауер
  }}
* {{книга |автор= Ньютон Р.
  |заглавие=Преступление Клавдия Птолемея |ссылка=http://portvein777.narod.ru/
  |место=М. |издательство=Наука |год=1985  |ref=Ньютон
  }}
* {{книга |автор=Паннекук А.
  |заглавие=История астрономии |ссылка= 
  |место=М. |издательство=Наука |год=1966  |ref=Паннекук
  }}
* {{книга |автор=Рожанская М.&nbsp;М.
 |заглавие=Механика на средневековом Востоке
 |место=Москва |издательство=Наука |год=1976  |ref=Рожанская
 }}
* {{книга |автор=Рожанский И.&nbsp;Д.
  |заглавие=История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи
  |место=М. |издательство=Наука |год=1988  |ref=Рожанский
  }}
* {{статья |автор= Brenke W. C.
 |заглавие= An angle connected with the mean place in the ellipse
 |издание= Popular Astronomy
 |год= 1936
 |volume= 44
 |pages= 76—77
 |ссылка= http://adsabs.harvard.edu/full/1936PA.....44...76B
 |ref= Brenke
 |язык= en
 }}
* {{книга |автор=Dreyer J.&nbsp;L.&nbsp;E.
  |заглавие=History of the planetary systems from Thales to Kepler
  |место= 
  |издательство=Cambridge University Press 
  |год=1906
  |ссылка=https://archive.org/details/historyofplaneta00dreyuoft
  |ref=Dreyer
  }}
* {{статья |автор= Duke D.
 |заглавие= The Equant in India: The Mathematical Basis of Ancient Indian Planetary Models
 |издание= Archive for History of Exact Sciences
 |год= 2005a
 |volume= 59 
 |pages= 563—576
 |ссылка= http://people.sc.fsu.edu/~dduke/india8.pdf
 |ref= Duke
 }}
* {{статья |автор= Duke D.
 |заглавие= Comment on the Origin of the Equant papers by Evans, Swerdlow, and Jones
 |издание= Journal for the History of Astronomy
 |год= 2005b
 |volume= 36(1) 
 |pages= 1—6
 |ссылка= http://adsabs.harvard.edu/full/2005JHA....36....1D
 |ref= Duke
 }}
* {{статья |автор= Duke D.
 |заглавие= An Interesting Property of the Equant
 |издание= DIO
 |год= 2008
 |volume= 36(1) 
 |pages= 24—37
 |ссылка= http://people.sc.fsu.edu/~dduke/equant.pdf
 |ref= Duke
 }}
* {{статья |автор= Evans J.
 |заглавие= On the function and the probable origin of Ptolemy’s equant
 |издание= American Journal of Physics
 |год= 1984
 |volume= 52
 |pages= 1080—1089
 |ссылка= http://www2.ups.edu/faculty/jcevans/Equant.pdf
 |ref= Evans
 }}
* {{статья |автор= Evans J.
 |заглавие= The division of the Martian eccentricity from Hipparchos to Kepler: A history of the approximations to Kepler motion
 |издание= American Journal of Physics
 |год= 1988
 |volume= 11
 |pages= 1009—1024
 |ссылка= http://www2.ups.edu/faculty/jcevans/Division%20of%20eccentricity.pdf
 |ref= Evans
 }}
* {{книга |автор=Evans J.
 |заглавие=The History and Practice of Ancient Astronomy
 |место= New York
 |издательство= Oxford University Press
 |год=1998
 |ref= Evans
 |язык=en
 }}
* {{статья |автор= Guessoum N.
 |заглавие=Copernicus and Ibn Al-Shatir: does the Copernican revolution have Islamic roots?
 |издание={{Нп3|The Observatory (журнал)|The Observatory||The Observatory (journal)}}
 |год= 2008
 |volume=128
 |pages=231—239
 |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/2008Obs...128..231G
 |ref= Evans
 |nodot=1
 |язык=en
 }}
* {{статья |автор= Hartner W.
 |заглавие=Copernicus, the Man, the Work, and its History
 |издание=Proceedings of the American Philosophical Society
 |год= 1973
 |volume=117
 |pages=413—422
 |ref= Hartner
}}
* {{статья |автор= Jones A.
 |заглавие= A Route to the ancient discovery of nonumiform planetary motion
 |издание= Journal for the history of astronomy
 |год= 2004
 |volume= 35
 |pages= 375—386
 |ссылка= http://adsabs.harvard.edu/full/2004JHA....35..375J
 |ref= Jones
}}
* {{статья |автор= Kennedy E.&nbsp;S.
 |заглавие=Late Medieval Planetary Theory
 |ссылка= https://archive.org/details/sim_isis_fall-1966_57_189/page/365
 |издание=Isis
 |год= 1966
 |volume=57
 |pages=365—378
 |ref= Kennedy
}}
* {{книга 
  |автор= Koyre A.
 |заглавие=The Astronomical Revolution
 |место=New York
 |издательство=Dover
 |год=1973
 |ref= Koyre
}}
* {{книга |автор=Linton C.&nbsp;M.
 |заглавие=From Eudoxus to Einstein
 |место=
 |издательство= Cambridge University Press
 |год=2004
 |ref= Linton
}}
* {{статья
  |автор= Pingree D.
 |заглавие=On the Greek Origin of the Indian Planetary Model Employing a Double Epicycle
 |издание=Journal of the History of Astronomy
 |год=1971
 |volume=2
 |pages=80—85
 |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/1971JHA.....2...80P
 |ref= Pingree
}}
* {{статья
  |автор= Pingree D.
 |заглавие=Concentric with Equant
 |издание=Archives Internationales d'Histoire des Sciences
 |год=1974
 |volume=24
 |pages=26—28
 |ссылка=
 |ref= Pingree
}}
* {{статья
  |автор= Pingree D.
 |заглавие=The Recovery of Early Greek Astronomy from India
 |издание=Journal of the History of Astronomy
 |год=1976
 |volume=7
 |pages=109—123
 |ссылка=http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1976JHA.....7..109P/0000109.000.html
 |ref= Pingree
}}
* {{статья
 |автор=Ragep F.&nbsp;J.
 |заглавие=The Two Versions of the Tusi Couple
 |издание=in: From Deferent to Equant. A Volume of Studies on the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E.S. Kennedy (Annals of the New York Academy of Sciences)
 |год=1987
 |volume=500
 |место= New York
 |pages=329—356
 |ref=Ragep
 |ссылка=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1749-6632.1987.tb37210.x/full
}}
* {{статья |автор= Ragep F.&nbsp;J.
 |заглавие=Copernicus and his Islamic Predecessors: Some historical Remarks
 |издание=History of Science
 |год= 2007
 |volume=45
 |pages=65—81
 |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/2007HisSc..45...65R
 |ref=Ragep
}}
* {{статья
  |автор=Rawlins D.
 |заглавие=Ancient Heliocentrists, Ptolemy, and the equant
 |издание=American Journal of Physics
 |год=1987
 |volume=55
 |pages=235—9
 |ref=Rawlins
 |ссылка=http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/55/3/10.1119/1.15224
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20161202175201/http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/55/3/10.1119/1.15224
 |archivedate=2016-12-02
}}
* {{статья |автор= Saliba G.
 |заглавие=The Astronomical Tradition of Maragha: A Historical Survey and Prospects for Future Research
 |издание=Arabic Sciences and Philosophy
 |год= 1991
 |volume=1
 |pages=67—99
 |ссылка=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2486916
 |ref=Saliba
}}
* {{статья |автор= Saliba G.
 |заглавие=Arabic Planetary Theories after the Eleventh Century AD
 |издание=in: Encyclopedia of the History of Arabic Science
 |место= London
 |издательство= Routledge
 |год= 1996
 |ссылка=https://www.academia.edu/11554697/Arabic_Planetary_Theories_after_the_11th_century
 |pages=58—127
 |ref=Saliba
}}
* {{статья
  |автор= Swerdlow N. M.
 |заглавие= The Derivation and First Draft of Copernicus’s Planetary Theory: A Translation of the Commentariolus with Commentary
 |издание= Proceedings of the American Philosophical Society
 |год=1973
 |volume= 117
 |pages= 423—512
 |ссылка=http://ciuhct.fc.ul.pt/textos/Swerdlow_1973-Derivation.pdf
 |ref= Swerdlow
}}
* {{статья
  |автор= Swerdlow N. M.
 |заглавие= The empirical foundations of Ptolemy’s planetary theory
 |издание= Journal for the History of Astronomy
 |год= 2004
 |volume= 120
 |pages= 249—271
 |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/full/2004JHA....35..249S
 |ref= Swerdlow
}}
* {{статья
  |автор= Thurston H.
 |заглавие= Greek and Indian planetary longitudes
 |издание= Archive for History of Exact Sciences
 |год= 1992
 |volume= 44
 |pages= 191—195
 |ссылка=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00377048
 |ref= Thurston
}}
* {{книга |автор= Thurston H.
 |заглавие=Early astronomy
 |место= New York
 |издательство= Springer-Verlag
 |год=1994
 |ref=Thurston
}}
* {{статья
  |автор=Van der Waerden B.&nbsp;L.
 |заглавие=The heliocentric system in Greek, Persian and Hindu astronomy
 |издание=In: From deferent to equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E.S. Kennedy
 |ссылка= 
 |издательство=Annals of the New York Academy of Sciences
 |год=1987, June
 |volume=500
 |pages=525—545
 |ref=Van der Waerden
}}
* {{статья
  |автор= Westman R.&nbsp;S.
 |заглавие=The Melanchthon Circle, Rheticus, and the Wittenberg Interpretation of the Copernican Theory
 |издание=Isis
 |ссылка= http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic1367052.files/westman%20wittenberg%20interpretation.pdf
 |издательство=
 |год=1975
 |volume=66, No. 2
 |pages=164—193
 |ref= Westman
}}
* {{статья
  |автор= Whiteside D. T.
 |заглавие= Newton’s Early Thoughts on Planetary Motion: A Fresh Look
 |издание= The British Journal for the History of Science
 |ссылка= http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2903000
 |издательство=
 |год=1964
 |volume=2
 |pages= 117—137
 |ref=Whiteside
}}

== Ссылки ==
* Ю. А. Кимелев, Т. Л. Полякова, [https://web.archive.org/web/20100620084357/http://warrax.net/Satan/Books/sci_rel/3.htm Эксцентры и эпициклы: от Птолемея к Проклу.] // «Наука и религия»
* [http://people.scs.fsu.edu/~dduke/models.htm D. Duke, Ancient Planetary Model Animations.] {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/6BcdEVS4k?url=http://people.sc.fsu.edu/~dduke/models.htm |date=2012-10-23 }}
* G. Saliba, [http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.1.html Whose Science is Arabic Science in Renaissance Europe? Section 2: Arabic/Islamic Science And Renaissance Science in Italy.]

{{Древнегреческая астрономия}}
{{Внешние ссылки}}

[[Категория:История астрономии]]
[[Категория:Античная астрономия]]