Просмотр кода страницы Электрическая ёмкость

{{Электродинамика}}
{{Физическая величина
| Название    =Электрическая ёмкость
| Символ      = <math>C</math>
| Размерность = L<sup>-2</sup>M<sup>-1</sup>T<sup>4</sup>I<sup>2</sup>
| СИ          = [[фарад]]
| СГС         = [[сантиметр]]
| Примечания  =
}}
'''Электри́ческая ёмкость''' — характеристика [[Проводник (электричество)|проводника]], мера его способности аккумулировать [[электрический заряд]]. В [[Теория электрических цепей|теории электрических цепей]] ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы ([[электрический конденсатор|конденсатора]]), представленного в виде двухполюсника. 

В [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]] ёмкость измеряется в [[фарад]]ах, общепринятое обозначение ёмкости: <math>C</math>.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к [[Электрическое напряжение|разности потенциалов]] между проводником и бесконечностью или между проводниками<ref name="ФЭ2">{{книга |автор=Шакирзянов  Н. |часть=Ёмкость электрическая |ссылка часть=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1161.html |заглавие=[[Физическая энциклопедия]] |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]] |издание= |место=М. |издательство=[[Советская энциклопедия]] |год=1990 |том=2 |страницы=28—29 |страниц=704 |серия= |isbn=5-85270-061-4 |тираж=100000}}</ref>
: <math>C = \frac{Q}{\varphi - \varphi_{ref}}</math>,
где <math>Q</math> — [[Электрический заряд|заряд]], <math>\varphi</math> — [[Электростатический потенциал|потенциал]] проводника, <math>\varphi_{ref}</math> — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).  

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её [[диэлектрическая проницаемость|диэлектрической проницаемости]]). 

== Определение. Некоторые формулы ==
Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники [[бесконечность|бесконечно]] удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид
: <math>C = \frac{Q}{\varphi}</math>,
где <math>Q</math> — [[Электрический заряд|заряд]], <math>\varphi</math> — [[Электростатический потенциал|потенциал]] проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса <math>R</math> равна (в системе СИ):
: <math>C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R,</math>
где <math>\varepsilon_0</math> — [[электрическая постоянная]] (8,854{{e|−12}} [[фарад|Ф]]/[[метр|м]]), <math>\varepsilon_r</math> — [[диэлектрическая проницаемость|относительная диэлектрическая проницаемость]].
{|
|{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Известно, что <math>\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 E\,dl \Rightarrow \varphi = \int_R^\mathcal{\infty} E\,dl = \frac {1} {4 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0} \int_R^\mathcal{\infty} \frac {q} {r^2}\,dr = \frac {1} {4 \pi \varepsilon \varepsilon_0} \frac {q} {R}.</math>

Так как <math> C= \frac {q} {\varphi} </math>, то подставив сюда найденный <math>\varphi</math>, получим, что <math>C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R</math>.
}}
|}

Для системы из двух проводников, разделённых [[диэлектрик]]ом или [[вакуум]]ом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами <math>\pm Q</math>, ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула <math>C = Q/\varphi</math> останется в силе и для этого случая. 

Дискретный элемент [[Электрическая цепь|электрической цепи]] на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется [[электрический конденсатор|конденсатором]]. Два проводника при этом именуются обкладками.

Для плоского конденсатора ёмкость равна:
: <math>C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac S d</math>,
где <math>S</math> — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), <math>d</math> — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет
: <math> W = \frac{CU^2}{2}</math>,
где <math>U</math> — напряжение между обкладками.

== Обозначение и единицы измерения ==
Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой <math>C</math> (от {{lang-la|capacitas}} — ёмкость, вместимость).

В системе единиц [[СИ]] ёмкость выражается в [[Фарад (единица измерения)|фарадах]]<ref name="Викитека МСЭ2">«''[[s:МСЭ2/Электроёмкость|Электроёмкость]]''» — статья в [[Малая советская энциклопедия|Малой советской энциклопедии]]; 2 издание; 1937—1947 гг.</ref>, сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один [[Вольт (единица измерения)|вольт]] этот проводник несёт заряд в один [[кулон]]. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика [[Фарадей, Майкл|Майкла Фарадея]].

Единицей измерения ёмкости в системе [[СГС]] является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10<sup>11</sup> см ёмкости.

== Свойства ёмкости ==
* Ёмкость всегда положительна<ref>Здесь имеется в виду настоящая ёмкость; в электронике можно создать искусственно элементы, зависимость <math>Q(\varphi)</math> в которых будет убывающей — такие элементы можно условно назвать (по их поведению в электрической цепи) элементами с отрицательной ёмкостью, однако они не имеют отношения к предмету данной статьи.</ref>, за исключением случаев некоторых структур с [[Сегнетоэлектрик|сегнетоэлектриками]].
* Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
* Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость [[Диэлектрическая проницаемость|проницаемости]] среды <math>\varepsilon_r</math> от соответствующих величин).
* В случае среды с постоянными значениями <math>\varepsilon_r</math> ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда <math>\varepsilon_r</math> зависит от [[Напряжённость электрического поля|напряжённости электрического поля]], ёмкость будет изменяться с напряжением.
* Применительно к цепи синусоидального тока с частотой <math>\omega</math>, элементу «ёмкость» может быть приписано [[Реактивное сопротивление#Ёмкостное сопротивление|реактивное сопротивление]] <math>X_C =\omega^{-1}C^{-1}</math>.
* Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком<ref>См., напр. в книге: ''О. И. Клюшников'', ''А. В. Степанов''. [https://elar.rsvpu.ru/bitstream/123456789/12485/1/978-5-8050-0374-6_2010.pdf Теоретические основы электротехники] {{Wayback|url=https://elar.rsvpu.ru/bitstream/123456789/12485/1/978-5-8050-0374-6_2010.pdf |date=20220310114909 }}, РГППУ, Екатеринбург, 2010 — стр. 9.</ref>.

== Дифференциальная ёмкость ==
Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу
: <math>C_{diff} = \frac{dQ}{d\varphi} \approx \frac{\Delta Q}{\Delta\varphi}</math>,
которая определяется для выбранных условий <math>\varphi = \varphi_0</math>. Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то <math>C_{diff} = C</math>, но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых [[Вольт-фарадная характеристика|вольт-фарадных характеристик]] структур [[МДП-конденсатор|металл-диэлектрик-полупроводник]] — зависимостей <math>C_{diff}(\varphi)</math> при разных частотах <math>\omega</math> изменения потенциала со временем <math>t</math> по закону <math>\varphi = \varphi_0 + \Delta\varphi\,\sin(\omega t)</math>. Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

== Электрическая ёмкость некоторых систем ==
Вычисление электрической ёмкости системы требует решение [[Уравнение Лапласа|Уравнения Лапласа]] ''∇<sup>2</sup>φ = 0'' с постоянным потенциалом ''φ'' на поверхности [[Электрический проводник |проводников]].
Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также [[Отображение Шварца — Кристоффеля]].

{| class="wikitable"
|+ Электрическая ёмкость простых систем (СГС)
! Вид !! Ёмкость !! Комментарий
|-
! Плоский конденсатор
|<math> \frac {\varepsilon S} {4\pi d} </math>
| ''S'': Площадь<br>''d'': Расстояние
|-
! Два коаксиальных цилиндра
|<math>\frac{\varepsilon l}{\log\left( R_{2}/R_{1}\right)}</math>
| ''l'' : Длина''<br>R<sub>1</sub>'': Радиус<br>''R<math>_2</math>'': Радиус
|-
! Две параллельные проволоки<ref name="Jackson 1975 80">{{книга |заглавие=Classical Electrodynamics |ссылка=https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0 |год=1975 |издательство=Wiley |страницы=[https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0/page/80 80] |язык=und |автор=Jackson, J. D.}}</ref>
|<math>\frac{\varepsilon l}{4\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) }=\frac{ \varepsilon l}{2\log \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) }</math>
| ''a'': Радиус<br> ''d'': Расстояние, ''d &gt; 2a''
|-
! Проволока параллельна стене<ref name="Jackson 1975 80"/>
|<math>\frac{\varepsilon l}{2\operatorname{arcosh}\left(\frac{d}{a}\right) }=\frac{\varepsilon l}{4\log\left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) }</math>
| ''a'': Радиус <br>''d'': Расстояние, ''d &gt; a'' <br>''l'': Длина
|-
! Две параллельные<br>копланарные полосы<ref>{{книга |заглавие=Analysis and computation of electric and magnetic field problems |ссылка=https://archive.org/details/analysiscomputat0000binn |издательство={{Нп3|Pergamon Press}} |год=1973 |isbn=978-0-08-016638-4 |язык=en |автор=Binns; Lawrenson}}</ref>
|<math>\varepsilon l \frac{ K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{8\pi K\left(k \right) }</math>
| ''d'': Расстояние<br>''w<sub>1</sub>, w<math>_2</math>'': Ширина полос<br>''k<sub>m</sub>'': ''d/(2w<sub>m</sub>+d)''<br>
k<sup>2</sup>: k<sub>1</sub>k<sub>2</sub><br>K: [[Эллиптический интеграл]]<br>''l'': Длина
|-
! Два концентрических шара
|<math> \frac{ \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}} </math>
| ''R<sub>1</sub>'': Радиус<br>''R<sub>2</sub>'': Радиус
|-
! Два шара одинакового радиуса<ref name="Maxwell 1873 266 ff">{{книга |заглавие=A Treatise on Electricity and Magnetism |ссылка=https://archive.org/details/treatiseonelectr02jcma_638|год=1873 |издательство=Dover |страницы=[https://archive.org/details/treatiseonelectr02jcma_638/page/266 266] ff |isbn=0-486-60637-6 |язык=und |автор=Maxwell, J. C.}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres |издание={{Нп3|IMA Journal of Applied Mathematics}} |том=34 |номер=1 |страницы=119—120 |doi=10.1093/imamat/34.1.119 |язык=en |тип=journal |автор=Rawlins, A. D. |год=1985}}</ref>
|<math>\frac{\varepsilon a}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh\left(\log\left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\log\left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right)}</math><br><math>\frac{\varepsilon a}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}</math><br><math>=\frac{\varepsilon a}{2}\left\{\log 2+\gamma -\frac{1}{2}\log\left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\}</math>
| ''a'' : Радиус<br>''d'': Расстояние, ''d''  > 2''a''<br>''D'' = ''d''/2''a''<br> ''γ'': [[Постоянная Эйлера — Маскерони|Постоянная Эйлера]]
|-
! Шар вблизи стены<ref name="Maxwell 1873 266 ff"/>
|<math>\varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( 2D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( 2D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) } </math>
| ''a'': Радиус<br>''d'': Расстояние,  ''d &gt; a''<br>''D = d/a''
|-
! Шар
|<math> \varepsilon a </math>
| ''a'': Радиус
|-
! Круглый диск<ref name = "Jackson 1975 128">{{книга|заглавие = Classical Electrodynamics|ссылка=https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0 |год=1975 |издательство=Wiley |страницы=[https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0/page/128 128], problem 3.3 |язык=und |автор=Jackson, J. D.}}</ref>
|<math> \frac{2 \varepsilon a}{\pi} </math>
| ''a'' : Радиус
|-
! Тонкая прямая проволока, <br>ограниченная длина<ref>{{статья |заглавие=On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness |doi=10.1112/plms/s1-9.1.94 |издание=Proc. London Math. Soc. |том=IX |страницы=94—101 |язык=en |тип=journal |автор=Maxwell, J. C. |год=1878}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas |издание=Zh. Tekh. Fiz. |том=32 |страницы=1165—1173 |язык=en |тип=journal |автор=Vainshtein, L. A. |год=1962}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Charge density on thin straight wire, revisited |издание=Am. J. Phys |том=68 |номер=9|страницы=789—799|doi=10.1119/1.1302908 |bibcode=2000AmJPh..68..789J |язык=und |автор=Jackson, J. D. |год=2000}}</ref>
|<math> \frac{ \varepsilon l}{2\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} </math>
| ''a'': Радиус проволоки<br>''l'': Длина<br>''Λ'': ''ln(l/a)''
|}

== Эластанс ==
Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ{{sfn|Тензорный анализ сетей|1978|с=509}}.

== См. также ==
* [[Квантовая ёмкость]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Навигация|Викисловарь = электроёмкость|Викитека = |}}
* {{ВТ-ЭСБЕ|Электроёмкость|[[Боргман, Иван Иванович|Боргман И. И.]]}}
* {{книга |автор         = Савельев И.В. |часть         = Глава X. Движение заряженных частиц. |ссылка часть  =  |заглавие      =Курс общей физики|оригинал      =  |ссылка        =  |викитека      =  |ответственный =  |издание       = 3 |место         = М. |издательство  = Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. |год           = 1988 |том           = 2 |страницы      = 87—88
 |страниц       = 496 |серия         =  |isbn          =  |тираж         = 220000}}
* {{книга | автор         = Г. Крон | часть         =  | ссылка часть  =  | заглавие      =  Тензорный анализ сетей | оригинал      =  | ссылка        =  | викитека      =  | ответственный =  | издание       = | место         = Москва | издательство  = Сов. радио | год           = 1978 | том           =  | страницы      =  | столбцы       =  | страниц       = 720 | серия      =  | isbn          =  | тираж         =  | ref           = Тензорный анализ сетей}}

{{ВС}}

[[Категория:Электричество]]