Просмотр кода страницы Эргодичность

{{falseredirect|Эргодическая теория}}
'''Эргодичность''' — специальное свойство некоторых [[Динамическая система|динамических систем]], состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

'''Эргодическая теория''' — один из разделов общей динамики.

== Эргодические системы ==
{{нет источников в разделе |дата=2024-02-27}}
Для эргодических систем [[математическое ожидание]] по [[Временной ряд|временным рядам]] должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам.
То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать [[статистика|статистическими]] методами.
Например, [[температура]] газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

==Определение==
Пусть <math>(X,\; \Sigma ,\; \mu\,)</math> есть [[вероятностное пространство]] и <math>T:X \to X</math> — отображение, сохраняющее меру.

Отображение ''T'' '''эргодично''' по отношению к <math>\mu</math>, если выполнено следующее условие:

для любого ''T''-инвариантного подмножества <math> E \in \Sigma</math> (то есть такого, что <math>T^{-1}(E)=E</math>) либо <math>\mu(E)=0</math>, либо <math>\mu(E)=1</math>.

===Замечания===
Определение эквивалентно следующим условиям,

*Для любого подмножества <math> E \in \Sigma</math> положительной меры имеем
*:<math>\mu\left( \bigcup_{n=1}^\infty T^{-n} E \right) = 1</math>;
*Для любых двух множеств ''E'' и ''H'' положительной меры существует ''n'' > 0 такое, что *:<math>\mu((T^{-n}E)\cap H)>0</math>;
*Любая ''T''-инвариантная измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> почти везде постоянна.

== См. также ==
* [[Преобразование пекаря]]
* [[Теорема Биркгофа — Хинчина]]
* [[Динамический хаос]]
* [[Эргодическая гипотеза]]

== Литература ==
* ''[[Арнольд, Владимир Игоревич|В. И. Арнольд]], А. Авец''. Эргодические проблемы [[Классическая механика|классической механики]]. — Москва—Ижевск: РХД, 1999.
* ''И. П. Корнфельд, [[Синай, Яков Григорьевич|Я. Г. Синай]], [[Фомин, Сергей Васильевич|С. В. Фомин]]''. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.
* {{Книга:Каток А.Б, Хасселблат Б: Введение в современную теорию динамических систем}}
* {{Книга:Каток А.Б., Хасселблат Б.: Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений}}
* ''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]'' Математические основания [[Статистическая механика|статистической механики]], М. — Л., 1943.
* ''[[Немыцкий, Виктор Владимирович|Немыцкий В. В.]], [[Степанов, Вячеслав Васильевич|Степанов В. В.]]'' Качественная [[Дифференциальное уравнение|теория дифференциальных уравнений]], 2 изд., М. — Л., 1949.
* ''[[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]]'' Лекции по эргодической теории: пер. с англ. — М., 1959.
* ''[[Биркгоф, Джордж Дэвид|G. D. Birkhoff]]'', Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
* ''[[Нейман, Джон фон|J. von Neumann]]'', Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
* ''[[Нейман, Джон фон|J. von Neumann]]'', Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.

== Ссылки ==
* {{БСЭ3|Эргодическая теория}}

__NOTOC__
{{rq|refless}}

[[Категория:Эргодическая теория]]