Просмотр кода страницы Эффект Лутца — Келкера

'''Эффект Лутца—Келкера''', '''смещение Лутца—Келкера''' ({{lang-en|Lutz–Kelker bias}}) — систематическое смещение ([[Погрешность измерения|систематическая погрешность]]), возникающее вследствие предположения о том, что количество наблюдаемых звёзд возрастает прямо пропорционально квадрату расстояния. В частности, данное смещение приводит к тому, что измеренные значения [[параллакс]]а звёзд оказываются выше истинных значений. При измеренном параллаксе и его неопределённости как более близкие, так и более далёкие звёзды в пределах неопределённостей попадают в один и тот же интервал значений параллаксов. Но в сферических слоях на больших расстояниях расположено больше объектов, что приводит к смещению результатов измерений, вследствие чего, например, вычисляемые значения [[Светимость|светимостей]] и расстояний окажутся заниженными. Первое описание эффекта было дано в статье Томаса Лутца ({{lang-en| Thomas E. Lutz}}) и Дугласа Келкера ({{lang-en| Douglas H. Kelker}}).<ref>{{статья |bibcode=1973PASP...85..573L |заглавие=On the Use of Trigonometric Parallaxes for the Calibration of Luminosity Systems: Theory |том=85 |страницы=573 |издание=[[Publications of the Astronomical Society of the Pacific]] |doi=10.1086/129506 |язык=en |тип=journal |автор=Thomas E.; Lutz; Kelker, Douglas H. |год=1973}}</ref> Существование данного смещения  и необходимость коррекции оценок измеренных величин стали особо актуальными после высокоточных измерений параллаксов, осуществлённых спутником [[Hipparcos]].

При данном значении параллакса и известной неопределённости звёзды как более близкие, так и более далёкие, вследствие неопределённости измерения могут оказаться имеющими одинаковое значение измеренного параллакса. Если предположить однородное распределение звёзд, то количество звёзд в расчёте на единицу параллакса будет пропорционально <math>1/p^4</math> (здесь <math>p</math> показывает истинное значение параллакса), и, следовательно, на больших расстояниях в единичную [[Сферическая оболочка|сферическую оболочку]] попадёт большее количество звёзд. В результате у большего количества звёзд истинное значение параллакса будет меньше, чем наблюдаемое.<ref name=":0">{{статья |заглавие=On the Use of Trigonometric Parallaxes for the Calibration of Luminosity Systems: Theory |издание=[[Publications of the Astronomical Society of the Pacific]] |том=85 |номер=507 |страницы=573 |bibcode=1973PASP...85..573L |doi=10.1086/129506 |язык=en |тип=journal |автор=Thomas E.; Lutz; Kelker, Douglas H. |год=1973}}</ref><ref name=":1">{{книга |заглавие=Galactic Astronomy |издательство=[[Princeton University Press]] |год=1998 |isbn=978-0-691-00402-0 |место=Princeton, New Jersey, 08540 |страницы=115—119 |автор=Binney and Merrifield }}</ref> Следовательно, измеренный параллакс будет систематически смещаться в сторону большего значения, чем истинное. При этом полученное значение светимостей и расстояний окажется заниженным, что в дальнейшем может сказаться на других методах оценки расстояний, по светимостям.

Метод коррекции, предложенный Лутцом и Келкером, применим только в случае справедливости трёх предположений. [[Стандартное отклонение]] должно быть много меньше среднего значения, поскольку в противном случае возможно возникновение отрицательных расстояний. Наблюдаемые объекты должны быть равномерно распределены в пространстве, так что количество объектов на расстоянии ''d'' пропорционально ''d<sup>2</sup>''. Также наблюдаемые объекты должны быть достаточно яркими для того, чтобы быть доступными для наблюдения в пределах рассматриваемых расстояний.<ref>Paterson, David.A. [http://freepages.misc.rootsweb.ancestry.com/~hallsofjamaica/Topics%20in%20Astronomy.pdf "Topics in Astronomy: Topic 8. Inappropriateness of the Lutz-Kelker equation for brown dwarfs"]{{Недоступная ссылка|date=Февраль 2020 |bot=InternetArchiveBot }}. Retrieved on 22 September 2015.</ref>

== Математическое описание ==

=== Первоначальное описание ===

==== Функция распределения ====
С математической точки зрения смещение Лутца-Келкера возникает из зависимости количественной плотности от наблюдаемого параллакса, что можно выразить с помощью условной вероятности измерения параллакса. Предположим, что наблюдаемый параллакс имеет [[нормальное распределение]] относительно истинного параллакса вследствие ошибок измерения. Тогда мы можем записать функцию распределения условной вероятности измеренного параллакса <math>p_o</math>, если истинное значение параллакса равно <math>p</math>:

<math>g(p_o|p) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \exp{\Big(\dfrac{-(p_o-p)^2}{2\sigma^2}\Big)}</math>

Поскольку в задачах определяется истинное значение параллакса по наблюдениям, то необходимо вывести условную вероятность истинного параллакса <math>p</math> при имеющемся наблюдаемом параллаксе <math>p_o</math>. При первоначальном рассмотрении явления Лутцом и Келкером данная вероятность, согласно [[Теорема Байеса|теореме Байеса]], была представлена в виде

<math>g(p|p_o) = \dfrac{g(p_o|p) \ g(p)}{g(p_o)},</math>

где <math>g(p) dp</math> и <math>g(p_o) dp_o</math> — [[Априорная вероятность|априорные вероятности]] истинного и наблюдаемого параллакса, соответственно.

==== Зависимость от расстояния ====
Плотность вероятности обнаружения звезды с [[Видимая звёздная величина|видимой звёздной величиной]] <math>m</math> на расстоянии <math>s</math> можно записать в виде

<math>h(s|m) = \dfrac{h(m|s)\ h(s)}{h(m)}</math>
<math>h(m|s)</math> будет зависеть от [[Функция светимости|функции светимости]] звезды, связанной с [[Абсолютная звёздная величина|абсолютной звёздной величиной]] объекта. <math>h(m)</math> является функцией плотности вероятности видимой звёздной величины, не зависящей от расстояния. Вероятность того, что звезда находится на расстоянии <math>s</math>, пропорциональна  <math>s^2</math>, так что

<math>h(s) \propto n(s) \ s^2</math>

Если предположить равномерное распределение звёзд в пространстве, то количественная плотность <math>n(s)</math> будет постоянной, поэтому можно переписать выражение в виде

<math>g(p) \ dp = h(s|m) \ \Bigg | \dfrac{\partial s}{\partial p} \Bigg |_m \ dp \propto s^2 \Bigg | \dfrac{\partial s}{\partial p} \Bigg |_m dp</math>, где <math>s = 1/p</math>.

Поскольку мы рассматриваем распределение вероятности истинного значения параллакса на основе фиксированного наблюдаемого параллакса, мы можем сделать вывод, что для распределения справедлива пропорциональность<ref name=":1" />

<math>g(p|p_o) \propto  g(p|p_o) \ p^{-4}</math>  и, следовательно,

<math>g(p|p_o) \propto \dfrac{1}{p^4} \exp\Big({-\dfrac{(p-p_o)^2}{2 \ \sigma^2}}\Big)</math>

==== Нормализация ====
Условная вероятность для истинного значения параллакса на основе наблюдаемого параллакса расходится вблизи нуля для истинного параллакса. Следовательно, нельзя нормировать данную вероятность. Следуя первоначальному описанию смещения,<ref name=":0" /> мы можем ввести нормализацию, учтя наблюдаемый параллакс, как

<math>g(p|p_o) \propto \Big(\dfrac{p_o}{p}\Big)^4 \ \exp\Big({-\dfrac{(p-p_o)^2}{2 \ \sigma^2}}\Big) </math>

Включение <math>p_o </math> не меняет пропорциональность, поскольку является фиксированной константой. does not affect proportionality since it is a fixed constant. При такой нормализации мы получим вероятность 1 при равенстве истинного параллакса и наблюдаемого вне зависимости от ошибок измерения. Следовательно, можно ввести безразмерный параллакс <math>Z := p/p_o </math> и получить безразмерное распределение истинного параллакса

<math>G(Z) \propto Z^{-4} \ \exp\Big({-\dfrac{(Z-1)^2}{2 \ (\sigma/ p_o)^2}}\Big) </math>

Здесь <math>Z=1 </math> означает точку, в которой измеренный параллакс совпадает с истинным, то есть распределение вероятности должно иметь центр в данной точке. Однако такое распределение вследствие наличия множителя <math>Z^{-4} </math> будет отклоняться от точки <math>Z=1 </math> в сторону меньших значений. Это и есть проявление систематического смещения Лутца-Келкера. Значение смещения определяется значением <math>\sigma / p_o</math>, неопределённостью измерения параллакса.

== Исследование эффекта ==

=== Первоначальное объяснение ===
Изначально считалось, что смещение Лутца-Келкера можно объяснить только наличием неопределённости измерения параллаксов.<ref name=":0" /> В результате зависимости параллакса от распределения звёзд меньшие неопределённости наблюдаемого параллакса приведут к малому смещению относительно истинного значения. Чем выше неопределённость, тем сильнее будет систематическое отклонение наблюдаемого параллакса относительно истинного. Большие ошибки в измерении параллакса проявятся в вычислении светимостей, что даст возможность отследить наличие больших неопределённостей. В первоначальном описании эффекта смещение считалось значимым, когда неопределённость наблюдаемого параллакса <math>\sigma</math> становилась близка к 15% от измеряемой величины, <math>p_o</math>.<ref name=":0" /> Утверждалось, что если неопределённость параллакса составляет по крайней мере 15–20%, то смещение оказывается настолько существенным, что мы теряем большую часть информации о параллаксе и расстоянии. Ряд последующих работ опроверг этот вывод, поскольку к смещению могли приводить и другие факторы. Считается, что для большинства звёздных систем смещение не настолько сильное, насколько считалось изначально.

=== Последующие исследования ===
Во многих работах исследовалось само явление смещения, его наличие и способы внесения поправок.<ref>{{статья |заглавие=On the Use of Trigonometric Parallaxes for the Calibration of Luminosity Systems: Theory |издание=[[Publications of the Astronomical Society of the Pacific]] |язык=en |том=85 |номер=507 |страницы=573 |doi=10.1086/129506 |issn=0004-6280 |bibcode=1973PASP...85..573L |тип=journal |автор=Lutz, Thomas E.; Kelker, Douglas H. |год=1973}}</ref><ref name=":2">{{статья |заглавие=Is there really a Lutz--Kelker bias? Reconsidering calibration with trigonometric parallaxes |издание=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]] |язык=en |том=338 |номер=4 |страницы=891—902 |doi=10.1046/j.1365-8711.2003.06167.x |issn=0035-8711 |bibcode=2003MNRAS.338..891S |тип=journal |автор=Smith, H. |число=1 |месяц=2 |год=2003 |издательство=[[Oxford University Press]] }}</ref><ref>{{статья |заглавие=The Lutz-Kelker Paradox |издание=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters]] |том=444 |номер=1 |страницы=L6—L10 |doi=10.1093/mnrasl/slu103 |issn=1745-3933 |arxiv=1406.6580 |bibcode=2014MNRAS.444L...6F |язык=en |автор=Francis, Charles |число=11 |месяц=10 |год=2014 |тип=journal}}</ref><ref>{{книга |ссылка=https://books.google.com/books?id=1LL1CAAAQBAJ&pg=PA48 |заглавие=Calibration of Fundamental Stellar Quantities: Proceedings of the 111th Symposium of the International Astronomical Union held at Villa Olmo, Como, Italy, May 24–29, 1984 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer Science & Business Media]] |isbn=978-94-009-5456-4 |язык=en |автор=Hayes, D. S.; Pasinetti, L. E.; Philip, A. G. Davis |день=6 |месяц=12 |год=2012}}</ref> В некоторых статьях утверждалось, что предположение об однородном распределении звёзд может быть неприменимым в зависимости от выбора звёздной подсистемы. Более того, различное распределение звёзд в пространстве наряду с наличием ошибок измерения приведёт к различным видам смещения.<ref name=":2" /> Таким образом, смещение зависит от выборки звёзд и распределения ошибок измерения, хотя понятие смещения Лутца-Келкера применяется в целом для описания явления для произвольной выборки звёзд. Также неизвестно, как согласуются другие источники ошибок и смещений (например, [[Смещение Малмквиста|сдвиг Малмквиста]]) со смещением Лутца-Келкера: усиливают ли они общее смещение или, наоборот, смещают оценку в противоположные стороны.<ref>{{статья |заглавие=The calibration problem I. Estimation of mean absolute magnitude using trigonometric parallaxes |издание=A&A |том=171 |страницы=336—341 |bibcode=1987A&A...171..336S |автор=Haywood, Smith, Jr. |год=1987 }}</ref>

Недавно исследования наличия эффекта Лутца-Келкера стали особенно важны в свете высокоточных измерений, проводимых в рамках миссии Gaia, при учёте возможного различия функций распределения ошибок измерений.<ref>{{статья |заглавие=Gaia Data Release 2: using Gaia parallaxes |arxiv=1804.09376 |издание=[[Astronomy and Astrophysics]] |том=616 |страницы=A9 |doi=10.1051/0004-6361/201832964 |issn=0004-6361 |язык=en |автор=Luri, X.; Brown, A. G. A.; Sarro, L. M.; Arenou, F.; Bailer-Jones, C. A. L.; Castro-Ginard, A.; de Bruijne, J.; Prusti, T.; Babusiaux, C. |число=25 |месяц=4 |год=2018 |тип=journal}}</ref> По-прежнему важно с осторожностью относиться к влиянию смещения при отборе образцов, поскольку распределение звёзд, как ожидается, будет неоднородным на больших масштабах расстояний. В результате возникает вопрос, применимы ли методы коррекции, включая поправку Лутца-Келкера, предложенную в первоначальной работе, к данной выборке звёзд, поскольку ожидается, что эффекты будут зависеть от распределения звёзд. Более того, если следовать исходному описанию и зависимости смещения от погрешностей измерения, ожидается, что влияние смещения будет ниже из-за более высокой точности современных инструментов, таких как [[Gaia]].

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Астрометрия]]