Просмотр кода страницы 142 857 (число)

{{Натуральное число}}
{{преамбула натурального числа}} Оно не является [[простое число|простым числом]], а относительно последовательности простых чисел расположено между {{ч|142841}} и {{ч|142867}}<ref>[https://ru.numberempire.com/142857 Свойства числа 142857] {{Wayback|url=https://ru.numberempire.com/142857 |date=20160829214213 }} ru.numberempire.com</ref>.

== Математические свойства ==
Являясь периодом разложения обыкновенной дроби <math>\frac{1}{7}</math> в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

=== Циклическое число ===
[[Файл:Cyclic number 142857.svg|thumb|Умножение {{num|142857}} на 1,2,3,4,5,6]]
Если 142 857 [[умножение|умножать]] на {{nums|2|3|4|5|link=yes}} или {{num1|6}}, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857<ref name="wells142857" />.

: 1 × 142 857 = 142 857
: 2 × 142 857 = 285 714
: 3 × 142 857 = 428 571
: 4 × 142 857 = 571 428
: 5 × 142 857 = 714 285
: 6 × 142 857 = 857 142
: 7 × 142 857 = 999 999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно <math>\frac{1}{7}</math>, <math>\frac{2}{7}</math> и т. д.)

=== Обобщения цикличности ===
Если умножать 142857 на бо́льшие [[целое число|целые числа]], результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999<ref name="wells142857" />:

: {{0|5}}8 × 142857 = 1142856{{0|4}} (''после прибавления первой цифры к последней получается 142 857'')
: {{0|4}}42 × 142857 = 5999994{{0|4}} (''после прибавления первой цифры к последней получается 999 999'')
: 142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (''после прибавления последних шести цифр к первым пяти — ''122 449'' + ''20 408'' — получается 142 857'')

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты [[Деление (математика)|деления]] числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на <math>\frac{5}{10}</math> или на <math>\frac{2}{10}</math> соответственно) также можно получить сдвигом:

: 142 857 / 2 = 71 428.5
: 142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в [[квадрат (алгебра)|квадрат]] последних трёх цифр и [[вычитание|вычитания]] из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

: <math>857^2 = 734449</math>

: <math>142^2 = 20164</math>

: <math>734449 - 20164 = 714285</math>

=== Как период обыкновенной дроби ===
Число 142 857 также является повторяющейся [[последовательность (математика)|последовательностью]] в [[периодическая дробь|периодической дроби]] <math>\frac{1}{7}</math>. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами<ref name="wells142857" /><ref name="mrob142857" /><ref name="mrob7" />:

: 1/7 = 0.'''142857'''142857'''142857'''14…
: 2/7 = 0.2857'''142857'''142857'''1428'''…
: 3/7 = 0.42857'''142857'''142857'''142'''…
: 4/7 = 0.57'''142857'''142857'''142857'''…
: 5/7 = 0.7'''142857'''142857'''142857'''1…
: 6/7 = 0.857'''142857'''142857'''14285'''…

Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби)<ref name="wells142857" /><ref name="mrob7" />. Первые несколько значений {{mvar|n}}, для которых длина периода дроби 1/{{mvar|n}} в десятичной записи равна {{s|1={{mvar|n}} - 1}}, равны {{nums|7|17|19|23|29|47|59|61|97|109|113|131}}<ref name="wells142857" /><ref>{{OEIS long|6883}} = Long period primes: the decimal expansion of 1/p has period p-1.</ref>.

=== Другие операции ===
Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99<ref name="wells142857" />.

=== Другие свойства ===
142 857 является также [[Числа харшад|числом харшад]]<ref>{{OEIS long|A005349}} = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits.</ref>:
: <math>142857 = 5291\cdot (1+4+2+8+5+7)</math>
и [[Число Капрекара|числом Капрекара]]<ref>{{OEIS long|A006886}} = Kaprekar numbers: n such that n=q+r and <nowiki>n^2=q*10^m+r</nowiki>, for some m >= 1, q>=0 and 0<=r<10^m, with n != 10^a, a>=1.</ref><ref name="wells142857" /><ref name="mrob142857" />:
: <math>142857^2 = 20408122449,</math>
: <math>142857 = 20408 + 122449.</math>

== См. также ==
* [[Теорема Миди]]
* {{num1|76923}}
* [[Эннеаграмма]]

== Примечания ==
{{примечания|1|refs =

<ref name="mrob7">{{cite web
 |url = http://www.mrob.com/pub/math/numbers-3.html#l7
 |title = 7
 |author = Robert Munafo
 |work = Notable Properties of Specific Numbers at MROB
 |access-date = 2015-10-24
 |archive-date = 2015-10-11
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20151011030609/http://mrob.com/pub/math/numbers-3.html#l7
 |deadlink = no
 }}</ref>

<ref name="mrob142857">{{cite web
 |url = http://www.mrob.com/pub/math/numbers-15.html#le005_14285
 |title = 142857
 |author = Robert Munafo
 |work = Notable Properties of Specific Numbers at MROB
 |access-date = 2015-10-24
 |archive-date = 2015-10-11
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20151011030548/http://mrob.com/pub/math/numbers-15.html#le005_14285
 |deadlink = no
 }}</ref>

<ref name="wells142857">{{книга
 |автор         = David Wells
 |язык          = en
 |заглавие      = [[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]
 |издание       = 1st ed.
 |издательство  = [[Penguin Books]]
 |год           = 1987
 |часть         = 142857
 |страниц       = 229
 |isbn          = 0-14-008029-5
}}</ref>

}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор=[[Гарднер, Мартин|Мартин Гарднер]]
 |заглавие=Лучшие математические игры и головоломки
 |место=М.
 |издательство=АСТ, Астрель 
 |год=2009
 |isbn=978-5-17-058244-0 («Издательство АСТ»), 978-5-271-23247-3 («Издательство Астрель»)
 |страницы=111—121
}}
* {{книга
 |автор = [[Перельман, Яков Исидорович|Яков Перельман]]
 |заглавие = Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел
 |место = М.
 |год = 1954
 |издательство = [[Детгиз]]
 |издание = Издание восьмое, сокращённое
 |страницы = 90—96
 |часть = Магические кольца
}}
* {{книга
 |автор         = David Wells
 |язык          = en
 |заглавие      = [[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]
 |издание       = 1st ed.
 |издательство  = [[Penguin Books]]
 |год           = 1987
 |часть         = 142857
 |страниц       = 229
 |isbn          = 0-14-008029-5
}}
* {{книга
 |автор = Joe Roberts
 |заглавие = Lure of the Integers
 |ссылка = https://archive.org/details/lureintegers00robe_848
 |издательство = [[Математическая ассоциация Америки|MAA]]
 |год = 1992
 |isbn = 0-88385-502-X
 |страницы = [https://archive.org/details/lureintegers00robe_848/page/n43 26]
 |язык = en
}}