Просмотр кода страницы 1 (число)

{{Похожие буквы|1}}
{{о числе|Единица|1 (значения)|Один (значения)}}
{{Натуральное число|factor=единица|roman=Ⅰ|lang1=[[Греческая система счисления|Греческое]]|lang1 symbol=α'|lang2=[[Восточно-арабские цифры|Арабское]], [[Персидская письменность|Персидское]], [[Урду]]|lang2 symbol={{resize|150%|١}}|lang3=[[Ассамский язык|Асамидское]] и [[Бенгальский язык|Бенгальское]]|lang3 symbol={{resize|150%|১}}|lang4=[[Китайские числительные|Китайское]]|lang4 symbol=[[一]]|lang5=[[Деванагари]]|lang5 symbol={{resize|150%|१}}|lang6=[[Эфиопское письмо|Эфиопское]]|lang6 symbol={{resize|150%|፩}}|lang7=[[Грузинская система счисления|Грузинское]]|lang7 symbol={{resize|130%|[[Ани (буква)|ა]]}}|lang8=[[Еврейские цифры|Еврейское]]|lang8 symbol={{resize|150%|א}}|lang9=[[Японские числительные|Японское]]|lang9 symbol=一|lang10=[[Каннада]]|lang10 symbol={{resize|150%|೧}}|lang11=[[Кхмерский язык|Кхмерское]]|lang11 symbol={{resize|150%|១}}|lang13=[[Малаялам|Малаяльское]]|lang13 symbol=൧|lang14=[[Тайские цифры|Тайское]]|lang14 symbol={{resize|150%|๑}}|lang15=[[Тамильский язык|Тамильское]]|lang15 symbol={{resize|150%|௧}}|lang16=[[Телугу]]|lang16 symbol={{resize|150%|೧}}|Английский=I}}
'''1''' ({{lang-ru|оди́н, единица}}; {{lang-chu|ѥдинъ, ѥдина, ѥдино, ѥдьнъ, ѥдьна}}<ref>{{Фасмер|один}}</ref>, {{lang-chu2|ѥдиница}}<ref>{{Фасмер|единый}}</ref>) — наименьшее [[натуральное число]]{{sfn |БРЭ}}<ref group="комм.">[[Ноль]] традиционно в русских источниках не считается натуральным числом, но считается у французских и ряда других авторов</ref>, [[целое число]] между [[0 (число)|0]] и [[2 (число)|2]].

== Обозначение ==
В [[Математика инков|математике инков]] единица обозначалась в [[кипу]] в виде одного узла на свисающей нити. В [[Система записи чисел кириллицей|кириллической записи чисел]] единица обозначалась буквой [[А (кириллица)|а]] (азъ). [[Арабские цифры|Арабскими цифрами]] единица записывается как «1»{{sfn|БРЭ}}.

== Свойства ==
Единица — единственное положительное число, которое равно своему [[Обратное число|обратному]]. Поэтому привело к одному из основных понятий в [[Теория групп|теории групп]] — [[Нейтральный элемент|нейтральному элементу]], часто называемому просто ''единицей группы''.

Для любого числа ''x'':

: ''x''·1 = 1·''x'' = ''x'' (см.: [[умножение]]).

: ''x''/1 = ''x'' (см.: [[деление (математика)|деление]])

: ''x''<sup>1</sup> = ''x'', 1<sup>''x''</sup> = 1, и для ненулевого числа ''x'', ''x''<sup>0</sup> = 1 (см.: [[возведение в степень]])

: ''x''↑↑1 = ''x'' и 1↑↑''x'' = 1 (см.: [[суперстепень]]).

Число 1 не может быть самостоятельно использовано как основа [[Позиционная система счисления|позиционной системы счисления]], но существует [[унарная система счисления]], которая основана на многократном суммировании единицы, обозначаемой единственной цифрой в унарной системе, и, соответственно, является непозиционной. Поскольку [[квадрат (алгебра)|квадрат]], [[куб (алгебра)|куб]] и любая другая степень числа 1 равняется единице, [[логарифм]]ы по основанию 1 от числа, не равного 1, не существуют. Логарифм числа 1 по основанию 1 также не определён, так как за его значение может быть принято любое число.

В настоящее время в математике принято не относить единицу ни к [[Простое число|простым]], ни к [[Составное число|составным числам]], так как это нарушает важную для теории чисел [[Основная теорема арифметики|единственность разложения на простые множители]]. Последним из профессиональных математиков, кто рассматривал 1 как простое число, был [[Лебег, Анри Леон|Анри Лебег]] в [[1899 год]]у.

Число 1 — наименьшее [[натуральное число]], большее [[0 (число)|нуля]] (является ли нуль натуральным числом — зависит от принятых соглашений). Иногда за определение 1 принимают утверждение «при умножении единицы на любое другое число в результате получается это же число», а натуральные числа определяют, исходя из определений единицы и операции сложения.

Единица также используется в [[Тождество Эйлера (комплексный анализ)|тождестве Эйлера]] — математическом соотношении пяти [[Математическая константа|констант]] математики — собственно единицы, [[0 (число)|нуля]], [[e (число)|''e'']], [[Пи (число)|''π'']] и [[Мнимая единица|''i'']]:
: <math>e^{\pi i}+1=0.</math>
Числом 1 также оказалась [[константа Лежандра]]. Изначально сам [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] высказал гипотезу о том, что она равна примерно {{Число|1,08366}}, но впоследствии [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёв]], а затем [[Ла Валле-Пуссен, Шарль Жан де|Валле-Пуссен]] и Пинтц доказали элементарность этого числа, и константа Лежандра стала иметь лишь историческую ценность.

== История ==
Ряд знаменитых учёных [[Древняя Греция|Древней Греции]] рассматривали каждое из натуральных чисел как собрание единиц; сама же единица числом не считалась{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}. В XVII веке [[Декарт, Рене|Декарт]] и [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] приняли в своих трудах более современную точку зрения на сущность числа. Ньютон в трактате «[[Универсальная арифметика]]» писал<ref>{{книга |заглавие=История математики |ответственный = Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=II |страницы=35}}</ref>:
{{начало цитаты}}Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.
{{oq|la|Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.}}
{{конец цитаты}}
В XX веке понятие числа окончательно отделилось от операции измерения и рассматривается как чисто [[математический объект]], свойства которого задаются [[Аксиоматика|набором аксиом]].

== Вариации и обобщения ==
Единица — единственное положительное число, которое равно своему обратному. Поэтому обобщение этого свойства привело к одному из основных понятий в [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теории групп]] — понятию [[Нейтральный элемент|нейтрального элемента]], который часто называют просто ''единицей группы''.

Единица является [[автоморфное число|автоморфным числом]] в любой [[позиционная система счисления|позиционной системе счисления]].

В [[аксиомы Пеано|представлении фон Неймана]] для натуральных чисел единица определяется как [[множество]] {0}. Это множество имеет [[кардинальность]] 1 и [[наследственный ранг]] 1. Такие множества с единственным элементом называются [[Синглетон (математика)|синглетонами]].

== См. также ==
{{Навигация
|Тема         = Число 1
|Портал       = Математика
|Портал2      = Наука
|Викисловарь  = один
|Викицитатник = 1 (число)
}}
* [[0,(9)]]
* [[Унарная система счисления]]

== Примечания ==
=== Комментарии ===
{{примечания|group=комм.}}

=== Источники ===
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |ссылка = https://archive.org/details/libgen_00069640 |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Единица |страницы = [https://archive.org/details/libgen_00069640/page/n113 113]-114 |ref = Энциклопедический словарь юного математика}}
* {{Книга|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Первые  натуральные  числа  и  их  значение → 1|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|ответственный=|издание=|место=|издательство=[[De Agostini]]|год=2014|том=21|страницы=15-16|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}
* {{Книга|автор=David Wells|часть=1|заглавие=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]|ответственный=|издание=|место=|издательство=Penguin Books|год=1986|страницы=[https://archive.org/details/penguindictionar00well_107/page/n30 30]-32|страниц=229|isbn=0-14-008029-5}}

== Ссылки ==
* {{БРЭ |статья=Единица |ref=БРЭ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/1976267 |архив=https://web.archive.org/web/20230221172125/https://old.bigenc.ru/mathematics/text/1976267 |архив дата=2023-02-21 }}

{{ВС}} {{^v}}
{{Числа с собственными именами}}{{Натуральные числа до 100|nocat=1}}

[[Категория:1 (число)| ]]
[[Категория:Числа с собственными именами]]
[[Категория:Числа Белла]]
[[Категория:Автоморфные числа]]
[[Категория:Полнократные числа]]
[[Категория:Степени 10]]
[[Категория:Степени тысячи]]