Просмотр кода страницы ARIMA

{{не путать|Arima}}
'''ARIMA''' ({{lang-en|autoregressive integrated moving average}}, иногда ''модель [[Бокс, Джордж|Бокса]] — [[Дженкинс, Гвилим|Дженкинса]]'', ''методология Бокса — Дженкинса'') — [[интегрированный временной ряд|интегрированная]] [[модель авторегрессии — скользящего среднего]] — модель и методология анализа [[Временной ряд|временных рядов]]. Является расширением моделей [[Модель авторегрессии — скользящего среднего|ARMA]] для нестационарных временных рядов, которые можно сделать [[Стационарность|стационарными]] взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые [[интегрированный временной ряд|интегрированные]] или разностно-стационарные временные ряды). Модель <math>ARIMA(p,d,q)</math> означает, что разности временного ряда порядка <math>d</math> подчиняются модели [[ARMA|<math>ARMA(p, q)</math>]].

== Формальное определение модели ==
Модель <math>ARIMA(p, d, q)</math> для нестационарного временного ряда <math>X_t</math> имеет вид:
: <math>\triangle^d X_t=c+\sum_{i=1}^p a_i\triangle^d X_{t-i}+\sum_{j=1}^q b_j\varepsilon_{t-j}+\varepsilon_t</math>

где <math>\varepsilon_t</math> — [[стационарность|стационарный]] временной ряд;
: <math>c, a_i, b_j</math> — параметры модели.
: <math>\triangle^d</math> — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как <math>ARMA(p+d, q)</math>- модель с <math>d</math> [[единичный корень|единичными корнями]]. При <math>d=0</math> имеем обычные <math>ARMA</math>-модели.

=== Операторное представление ===
С помощью [[Лаговый оператор|лагового оператора]] <math>L:~Lx_t=x_{t-1}</math> данные модели можно записать следующим образом:
: <math>(1-L)^d X_t=c+(\sum_{i=1}^p a_iL^i)(1-L)^d X_t+(1+\sum_{j=1}^q b_j L^j)\varepsilon_t</math>,

или сокращённо:
: <math>a(L)(1-L)^d X_t=c+ b(L)\varepsilon_t</math>.

где <math>a(L)=1-\sum_{i=1}^p a_iL^i</math>
: <math>b(L)=1+\sum_{j=1}^q b_j L^j</math>

== Пример ==
Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:
: <math>x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t \Rightarrow \triangle x_t=(1-L)x_t=\varepsilon_t</math>

Следовательно это модель <math>ARIMA(0,1,0)</math>.

== Интегрированные временные ряды ==
{{main|Интегрированный временной ряд}}
ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды ('''DS-ряды''', diference stationary).

Временной <math>X_t</math> ряд называется интегрированным порядка <math>k</math> (обычно пишут <math>X_t \sim I(k)</math>), если разности ряда порядка <math>k</math>, то есть <math>\triangle^k x_t</math> являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности <math>I(0)</math> — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок <math>d</math> модели <math>ARIMA(p, d, q)</math>.

== Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса) ==
Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка <math>d</math>).

== Модели ARFIMA ==
Теоретически порядок интегрированности <math>d</math> временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия <math>d</math>-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных <math>d</math> (разложение в [[ряд Тейлора]]):
: <math>\triangle^d =(1-L)^d=\sum_{k=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{k-1}(d-j) \frac {(-1)^k} {k!} L^k</math>.

== Литература ==
* {{книга
|автор  = [[Айвазян, Сергей Арутюнович|Айвазян С. А.]]
|заглавие  = Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2
|место  = М.
|издательство = Юнити-Дана
|год    = 2001
|страниц   = 432
|isbn   = 5-238-00305-6
}}
* {{книга
|автор  = Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А.
|заглавие  = Эконометрика. Начальный курс
|место  = М.
|издательство = Дело
|год    = 2007
|страниц   = 504
|isbn   = 978-5-7749-0473-0
}}
* {{книга
|ответственный = Под ред. Елисеевой И. И
|заглавие   = Эконометрика. Учебник
|издание = 2-е изд
|место   = М.
|издательство = Финансы и статистика
|год = 2006 
|страниц = 576
|isbn    = 5-279-02786-3
}}

{{вс}}

[[Категория:Анализ временных рядов]]