Просмотр кода страницы Ars Magna (Кардано)

{{другие значения|Ars magna}}
{{Издание
| название = Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus
| автор = [[Girolamo Cardano]]
| язык = [[Latin]]
| серия = 
| isbn = 
| викитека-текст = 
}}
«'''''Ars Magna'''''» ({{tr-la|Великое искусство}}) — книга на [[Латинский язык|латинском языке]] по [[Алгебра|алгебре]], написанная итальянским математиком [[Джероламо Кардано]], крупнейшим алгебраистом [[XVI век]]а{{sfn |[[Гутер, Рафаил Самойлович|Гутер]]|1980|с=151}}. Впервые она была опубликована в [[1545 год в науке|1545 году]] под названием '''''Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis''''' (''Великое искусство, или Правила алгебры''). При жизни Кардано было второе, дополненное издание, опубликованное в 1570 году. В этой книге была решена (в значительной степени) проблема, с которой два тысячелетия не могли справиться лучшие математики мира — нахождение в явном (алгебраическом) виде корней уравнений третьей и четвёртой степеней ([[формулы Кардано]])<ref>{{книга |автор=[[Гиндикин, Семён Григорьевич|Гиндикин С. Г.]] |заглавие=Рассказы о физиках и математиках |серия=Библ. «Квант», вып. 14 |место=М. |издательство=Наука|год=1982}}</ref>.

Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико, так как к этому моменту математики уже разработали численные методы для вычисления корней уравнений любой степени с хорошей точностью. Однако книга Кардано была первым трудом математика новой Европы, которая содержала не сводку ранее известных результатов, а открытие нового теоретического метода, неизвестного ни [[Математика в Древней Греции|греческим]], ни [[Математика исламского средневековья|исламским математикам]]. Этот успех воодушевил математиков Европы на новые достижения, которые не замедлили последовать<ref name=IM295/>.

Формулы Кардано также стали основой для введения одного из важнейших [[Математический объект|математических объектов]] — [[Комплексное число|комплексных чисел]]{{sfn |Гиндикин|2001|с=27—29}}. Кроме того, книга Кардано начала долгую историю исследований по [[Выразимость в радикалах|решению уравнений в радикалах]], которая три столетия спустя привела [[Галуа, Эварист|Эвариста Галуа]] к созданию [[Теория групп|теории групп]]. Поэтому [[Ойстин Оре]] назвал этот труд началом современной алгебры и одним из трёх величайших научных книг раннего [[Возрождение|Возрождения]] — вместе с трактатами «''[[О вращении небесных сфер]]''» [[Коперник, Николай|Коперника]] и «''[[О строении человеческого тела]]''» [[Везалий, Андреас|Везалия]]. Первые издания всех этих трёх книг вышли в период 1543–1545 годов и ознаменовали начало научной революции в [[Математика|математике]], [[Астрономия|астрономии]] и [[Медицина|медицине]] соответственно{{sfn |Английский перевод|1993|loc=Предисловие}}<ref name=IM295/>.

== История ==
В 1535 году итальянский математик [[Никколо Тарталья]] прославился тем, что нашёл способ решения в явной форме [[Кубическое уравнение|кубических уравнений]] вида <math>x^3 + ax = b</math> и  <math>x^3 = ax + b,</math> где <math>a,b>0</math> (отрицательные числа тогда считались недопустимыми, поэтому эти два типа уравнений рассматривались как существенно различные). Первый из этих двух типов уравнений сумел решить несколько ранее [[Дель Ферро, Сципион|дель Ферро]], который сохранил свой метод в тайне, однако Тарталья независимо сделал аналогичное открытие и расширил этот метод на оба указанных типа уравнений{{sfn |Гутер|1980|с=153—156}}.

В 1539 году миланский математик Джероламо Кардано попросил Тарталью раскрыть ему свой метод. После некоторого сопротивления Тарталья согласился, но попросил Кардано ни с кем не делиться этой информацией, пока он сам её не опубликует. В течение следующих нескольких лет, Кардано работал над тем, как распространить формулу Тартальи на другие типы кубических уравнений. Более того, его ученик [[Лодовико Феррари]] нашёл способ решения [[Уравнение четвёртой степени|уравнений четвёртой степени]]. Поскольку Тарталья не предпринял никаких усилий по публикации своего метода (и, кроме того, обнаружился приоритет дель Ферро), Кардано счёл себя свободным от обязательств и опубликовал собственный труд, честно указав при этом на авторство Тартальи и дель Ферро. Тем не менее исторически за этим алгоритмом закрепилось название «[[Формула Кардано|формулы Кардано]]»{{sfn |MacTutor}}.

== Содержание труда ==
Книга, разделённая на сорок глав, содержит подробное описание способа алгебраического решения [[Кубическое уравнение|кубических уравнений]], а также, с помощью вспомогательного кубического уравнения, и [[Уравнение четвёртой степени|четвёртой степени]]. В предисловии Кардано признал, что автором формулы является Тарталья, и что эта же формула была открыта [[Сципион дель Ферро|дель Ферро]]. Он также сообщил, что способ решения уравнений четвёртой степени открыл его ученик Феррари{{sfn |Рыбников|1960—1963|с=119—120|name=RYB119}}.

В ''Ars Magna'' впервые появляется понятие [[Корень многочлена|кратного корня]] (глава I). Кардано знал о возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня, а также о том, что сумма этих корней равна (по абсолютной величине) коэффициенту при <math>x^2</math> (одна из [[Формулы Виета|формул Виета]]){{sfn |Никифоровский|1979|с=80}}. Отрицательные корни Кардано, в духе того времени, называет «фиктивными» (''fictae''), хотя учитывал их при анализе уравнений и иногда использовал их как промежуточное средство для получения «истинного» (положительного) результата. Задолго до [[Декарт, Рене|Декарта]] он сформулировал «[[Правило знаков Декарта|правило знаков]]»{{sfn |Гутер|1980|с=160, 164—165}}. Ему известен и факт, позднее обобщённый и названный [[Теорема Безу|теоремой Безу]]: [[многочлен]] <math>p(x)</math> делится без остатка на двучлен <math>x-r,</math> где <math>r</math> — один из корней <math>p(x)</math><ref name=RYB119/>.

В начале трактата Кардано объясняет, как привести кубическое уравнение общего вида: <math>ax^3\pm bx^2 \pm cx \pm d = 0</math> к каноническому виду (без члена <math>bx^2</math>). Поскольку в то время [[Отрицательное число|отрицательные коэффициенты]] не признавались, ему пришлось рассмотреть тринадцать различных типов кубических уравнений (главы XI – XXIII). В следующих главах, вплоть до главы XXXVIII, приводятся методы приближённого численного решения кубического уравнения [[Метод хорд|методом хорд]]<ref name=RYB119/>.

В современной записи формула Кардано для трёх корней уравнения <math>x^3+px+q=0</math> имеет вид:
: <math>x_{1,2,3}= \sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},</math>
Кардано, как ранее Тарталья, оставляет открытым вопрос, что делать с кубическим уравнением, для которого <math>q^2 / 4 + p^3 / 27 < 0,</math> из-за чего под знаком квадратного корня получается отрицательное число. Например, в главе I приводится уравнение <math>x^3 + 9 = 12x</math>, для которого <math>q^2 / 4 + p^3 / 27  = -175.</math> Однако Кардано никогда не применял свою формулу в подобных случаях. Парадоксально, но как раз этот, «самый комплексный» случай, соответствует «самому вещественному» набору корней уравнения — все три корня получаются вещественными. Вскоре анализ этой ситуации (названной ''[[Casus irreducibilis]]'', «неприводимый случай») привёл к началу легализации нового класса чисел; арифметика [[Комплексное число|комплексных чисел]] впервые была раскрыта в «Алгебре» [[Бомбелли, Рафаэль|Бомбелли]] (1572) и в трактате [[Жирар, Альбер|Альбера Жирара]] «Новое открытие в алгебре» (1629){{sfn |История математики, том I|1970|с=295—296|name=IM295}}.

[[Файл:Cardano notation.jpg|мини|240px|[[История математических обозначений|Математическая символика]] XVI века из книги Кардано: записано произведение<br>{{nbsp|3}}<math>(5+\sqrt{-15})</math><br><math>\times (5-\sqrt{-15})</math><br> <math>= 25-(-15) = 40</math>]]
''Ars Magna'' содержит первое появление в математике комплексных чисел (глава XXXVII), однако оно ещё не было связано с формулами Кардано. Кардано поставил следующую задачу{{sfn |Никифоровский|1979|с=81}}: найти два числа <math>a,b</math>, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Ответ: <math>a=5 + \sqrt{-15}; b=5 - \sqrt{-15}.</math> Кардано назвал это решение «софистическим», потому что не видел в нём никакого реального смысла, но смело написал «тем не менее, мы будем работать» и формально подсчитал, что их произведение действительно равно 40. Затем Кардано говорит, что этот ответ «столь же тонок, сколь и бесполезен».

Глава XXXIX посвящена уравнениям четвёртой степени, для которых аналогично рассматриваются 20 разновидностей с положительными коэффициентами.

== Текст в интернете ==
* [http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf ''Ars Magna'' в PDF-формате]{{ref-la}}
* {{книга|автор=[[Кардано, Джероламо|Cardano, Gerolamo]]|заглавие=''Ars magna'' or The Rules of Algebra|ссылка=https://archive.org/details/arsmagnaorruleso0000card |издательство=Dover |год=1993|allpages=308|isbn=0-486-67811-3 |ref=Английский перевод}}{{ref-en}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Гиндикин, Семён Григорьевич|Гиндикин С. Г.]] |часть=Великое искусство
  |заглавие=Рассказы о физиках и математиках |издание=издание 3-е, расширенное |место={{М}} |страниц=448
  |isbn=5-900916-83-9 |ref=Гиндикин |год=2001 |страницы=8—42
  |издательство=[[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]}}
* {{книга |автор=Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. |заглавие=Джироламо Кардано |место={{М}}
  | издательство=[[Знание (издательство, Москва)|Знание]] |год=1980 |страниц=192
  | серия=[[Творцы науки и техники (Знание)|Творцы науки и техники]] |ref=Гутер}}
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени |страниц=352
  |заглавие=История математики |том=I |ref=История математики, том I |место=М. |издательство=Наука |год=1970
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]], в трёх томах}}
* {{книга |автор=Никифоровский В. А. |заглавие=Из истории алгебры XVI—XVII веков |место=М.
  |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=1979 |страницы=42—88 |страниц=208
  |серия=История науки и техники |ref=Никифоровский}}
* {{книга |автор=[[Рыбников, Константин Алексеевич|Рыбников К. А.]] |заглавие=История математики в двух томах
  |место=М. |издательство=Изд. МГУ |год=1960—1963 |том=1 |ref=Рыбников}}

== Ссылки ==
* {{cite web|title=Ars magna: Великое искусство|url=http://history-math.blogspot.com/2012/09/ars-magna.html
   |website=История математики|accessdate=2021-04-22 |ref=history-math}}
* {{h|MacTutor|3={{MacTutor Biography|id=Cardan|title=Girolamo Cardano}}}}

{{ВС}}
[[Категория:История математики]]
[[Категория:Книги по математике]]
[[Категория:1545 год в науке]]